Урок по теме Зачем в школе изучают логарифмы.

МБОУ гимназия №1 имени Героя Советского Союза
В.Н.Тимонова Карасукского района.







Интегрированный урок
Тема: «Зачем в школе изучают логарифмы?».








Выполнила:
Харченко Т. Н.,
учитель математики
высшей квалификационной категории






г. Карасук
Цель урока:
показать огромный спектр применения математических знаний.
Задачи:
- показать необходимость введения понятия логарифма в школьном курсе
- расширить спектр применения данного понятия;
- развить интерес к предметам естественно – математического цикла;
- учить самостоятельно работать с дополнительной литературой.

Оснащение урока:
Компьютер с мультимедийным проектором, экран,
подготовленная заранее презентация Power Point.
Изображение графика функции у = 2х на доске.
Картина Вермеера «Кружевница».


















« В школе учи логарифмы на «5»,
Во взрослой жизни с ними встретишься опять».

Близень Лена 11 «Б» класс


МБОУ гимназия №1 г. Карасук.



Учитель: Изучена еще одна очень важная тема школьного курса математики
«Показательная функция, её свойства и график». Множество различных уравнений и неравенств было решено за это время, построено немало графиков показательных функций (слайд №3).
Предложу вам еще одно уравнение 2х = 5. Рассмотрим график соответствующей показательной функции у = 2х (работа с рисунком на доске).
Решение существует, но как его найти?
Из графика видно, что х
· 2, так как 22 = 4; х
· 3, так как 23= 8.
(Обычно учащиеся предлагают воспользоваться калькулятором, но получат только приблизительный ответ х
·2,3).
Оказывается, что х = log 2 5! Это и есть корень уравнения. Удивительно!
Что же «прячется» за этим необычным символом log?
Попробуем в этом разобраться.
Слово предоставляется учителю истории.
Корни этого слова нужно искать, как всегда, в глубокой древности. Испокон веков люди пытались упрощать вычисления: составляли таблицы, вводили приближенные формулы, заменяли сложные операции умножения и деления более простыми – сложением и вычитанием.
Учитель математики:
Вот, например, пользовались такими формулами:
ab=14(а + b)2 - 14 (а – b)2
sin a sin b = 12 cos (а – b) - 12 cos (а + b)
(слайд №4).

Учитель истории:
Логарифмы были созданы как средство для упрощения вычислений. Их открытие приписывается нескольким ученым. Один из них – Архимед.
(слайд №5)Первый учитель математики:
Основная идея логарифмов лежит в сопоставлении арифметической и геометрической прогрессии, знакомство с которой приписывается еще Архимеду.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2n 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
(слайд № 6).
Эти строки позволяют упрощать вычисления: сводить умножение к сложению, деление к вычитанию, возведение в степень к умножению, извлечение корня к делению. Например, чтобы перемножить числа нижнего ряда 8 и 64, мы
складываем соответствующие числа верхнего ряда 3 и 6 (3+6=9), находим в нижнем ряду ответ под цифрой 9.
Объяснение кроется в свойствах степеней: 864 = 2324 = 23+4 = 27=512.
Попробуем теперь разделить число нижнего ряда на число нижнего ряда, например, поделить 256 на 64. Выписанные строки позволяют заменить деление вычитанием. Итак, над числом 256 стоит 8, над числом 64 стоит 6. Вычтем:
8 – 6, получим 2. Теперь спускаемся вниз за ответом: под числом 2 в нижнем ряду стоит 4. Значит, 256 : 64 = 4.
В помощью указанных двух строк: возведение в степень заменяется умножением, а извлечение корня – делением.
Например: число 32 возвести в квадрат, т. е. в степень с показателем 2. Над числом 32 в верхнем ряду стоит 5. Умножим 5 на 2. Получим 10. От числа 10 в верхнем ряду спускаемся вниз за ответом: 1024. А теперь извлечем корень четвертой степени из числа 256. Над числом 256 стоит 8. Разделим 8 на 4, получим 2. Спускаемся за ответом: под числом 2 стоит 4. Значит, корень четвертой степени из числа 256 равен 4.
Что представляют собой числа верхнего ряда? Это показатели выписанных в нижнем ряду степеней с основанием 2. Так вот показатели степеней и называются логарифмами.
Слово логарифм переводится с греческого, как отношение чисел. Выбор изобретателем логарифмов Дж. Непером такого названия объясняется тем, что логарифмы возникли при сопоставлении двух чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое – геометрической
(слайд №7).
Слово логарифм, переводится с греческого, как отношение чисел.
Идея Архимеда получила развития не стразу. Пока математикам было достаточно уже имевшихся средств вычисления, они проходили мимо этого удивительного свойства прогрессий. Но в эпоху Возрождения ситуация изменилась. Крупнейшие европейские державы стремились к владычеству на море. Для дальних плаваний, для определения положения морских судов по звездам и по солнцу необходимо было все более развивать астрономию, а значит, и тригонометрию. И, в частности, понадобились более совершенные тригонометрические таблицы.
В связи с нарастающими запросами практики продолжали совершенствоваться астрономические инструменты, увеличивалась точность наблюдений, исследовались планетные движения. Обработка полученных данных требовала колоссальных расчётов, следовательно, стали необходимы новые средства упрощения вычислений.
Вернемся к идее Архимеда
Простейшая логарифмическая таблица очень несовершенна. Действия можем производить только с числами нижнего ряда, т. е. с числами 2, 4, 8, 16, 32 и т. д.
Но даже, если представить, что нам нужно выполнить какое – то действие именно с этими числами, то легко заметить, что верхняя строка не всегда позволяет нам это сделать. Например, как посчитать
·32? Над числом 32 стоит число 5. Значит, чтобы извлечь корень степени 2 из 32, нам надо поделить 5 на 2. Но 5 : 2 = 2,5, а числа 2,5 в верхней строчке нет. Значит, нет и ответа.
Какая должна быть таблица?
Попробую предугадать первые шаги по её усовершенствованию:

· числа верхнего ряда продолжить в отрицательную сторону, так появятся степени с нулевым и отрицательным показателем.
Степень с отрицательным показателем встречается уже в трактате «Арифметика» древнегреческого математика Диофанта из Александрии
(слайд №8).
Им, а возможно и его предшественниками, были введены особые обозначения для некоторых положительных и отрицательных степеней. С течением веков символика совершенствовалась, и эта идея получила дальнейшее развитие.
Французский врач и математик Никола Шюке в своем трактате «Наука о числе» более полно рассмотрел нулевые и отрицательные показатели степени.

· уплотнить числа нижнего и верхнего рядов.
Епископ Лизье в Нормандии Николай Орем высказал мысль о том, как надо выражать в рядах простейшей логарифмической таблицы соответствующие величины тригонометрического ряда. Таким образом, он пришёл к степеням с дробным показателем.
Михаэль Штифель, сопоставляя ряд натуральных чисел, начинающихся единицей, отмечал, что a0 = 1. Числам первого ряда Штифель дал употребительное и поныне название «показателей» (exponenten) (слайд №9).
Я указал несколько ученых, которые внесли вклад в развитие понятия степени. Ведь без высказанных в их работах идей и создания таблиц – открытие логарифмов было бы невозможным.
Такая таблица, где, как ранее отмечалось, числа геометрической прогрессии должны идти более плотно, чем в рядах арифметической, могла иметь такой вид. В качестве основания степени – число, близкое к 1 – 1, 01.

n -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
2n 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05

Добившись того, чтобы числа в нижнем и верхних рядах шли достаточно плотно, можно понять: чтобы перемножить два числа, например 16 и 32, надо продолжать числовые ряды, а для этого придется исписать не одну страницу!
Какая же колоссальная работа - составлять таблицу логарифмов!
(10)
Второй учитель математики:
Если логарифмы появились как средство для упрощения вычислений, то нужны ли они сегодня, когда вычислительная техника довольно развита, чтобы справиться с самыми сложнейшими расчетами (слайд №11).
Так зачем же изучают логарифмы сегодня?
Попробую ответить на этот интересный вопрос.

Введение понятия логарифмической спирали
1. Существует известная всем декартова система координат, где положение любой точки определяется двумя числами (х;у)
(слайд № 12).
2. Наряду с такой системой координат есть ещё и полярная система координат, где положение точки определяется углом поворота и длиной радиус-вектора:
при увеличении радиус-вектора, увеличивается и угол (слайд №12).
Траектория, которую описывает точка М, называется логарифмической спиралью (слайд №13).
Уравнение логарифмической спирали в полярной системе координат имеет вид:

· = а
·, где а > 0.
Переписав данное уравнение в виде
· = log a
· , видно, что величина полярного угла пропорциональна логарифму радиус-вектора.
Отсюда и название – логарифмическая спираль.
Спираль в одну сторону развёртывается до бесконечности, а вокруг полюса, напротив, закручивается, стремясь к нему, но, не достигая его.

Интересно, почему в качестве примера логарифмической зависимости в природе выбрали именно логарифмическую спираль (слайд №14)?
За что её называют «изумительной спиралью»?

Учитель биологии:

Известно, что живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех направлениях – взрослое существо и выше и толще детёныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходиться скручиваться, причём рост совершается так, что сохраняется подобие раковины с её первоначальной формой. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или её некоторым пространственным аналогам
Раковины многих моллюсков, улиток имеют вид спирали (слайд №15).
Такие млекопитающие, как архары (горные козлы) имеют рога, которые закручены по логарифмической спирали (слайд №16).
Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы и роста
По логарифмической спирали очерчены не только раковины. Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям (слайд №17).
В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали (слайд №18).
Но морфологи выражали сомнения по поводу того, являются ли спирали подсолнуха действительно логарифмическими спиралями. Конечно, они к ним близки, но случаются такие пересечения, которые вообще в принципе невозможно измерить со строго научной точностью, так что мнения морфологов насчёт того, спирали это или не спирали, расходятся.
Учитель ИЗО:
А вот Сальвадор Дали в своем дневнике писал, что он имел все основания утверждать, что никогда ещё в природе не существовало столь совершенного примера логарифмических спиралей (слайд №19).
Так же Сальвадор Дали заметил ещё один очень интересный факт.
« моей навязчивой идеей, настоящей маниакальной страстью стала картина Вермеера «Кружевница»» (слайд 20).
В своем дневнике он пишет: «я попросил в Лувре разрешить написать копию с этой картины. Потом я попросил киномеханика, показать на экране репродукцию нарисованной мной копии Я объяснил, что, пока не написал эту копию, в сущности, почти нечего не понимал в «Кружевнице», и мне понадобилось размышлять над этим вопросом целое лето, чтобы осознать, наконец, что я инстинктивно провёл на холсте строгие логарифмические кривые» (слайд №21).

Учитель трудового обучения:
Интересно то, что логарифмическая спираль пересекает свои радиус-векторы под постоянным углом. На основании этого её называют также равноугольной.
Это свойство находит, в частности, применение в технике. Дело в том, что там часто используются вращающиеся ножи. Сила, с которой они давят на разрезаемый материал, зависит от угла резания, то есть угла между лезвием ножа и направлением скорости вращения.
Для постоянного давления нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное значение, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по дуге логарифмической спирали.
Величина этого угла зависит от обрабатываемого материала (слайд №22).
Учитель: Логарифмическая спираль – это замечательная кривая, имеющая очень много интересных свойств, но примеры логарифмических функции в природе на этом не заканчиваются. Поэтому рассмотрим ещё несколько интересных фактов (слайд №23).
Учитель астрономии:
Известно, что астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой величины, второй величины, третье и т. д. (слайд №24).
Последовательные звездные величины воспринимаются глазом как члены арифметической прогрессии.
Но физическая яркость их изменяется по иному закону: объективные яркости составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Получается, что «величина» звезды представляет собой не что иное, как логарифм её физической яркости. Например, звезда 3-й величины ярче звезды первой величины в 6,25 раз.
Таким образом, оценивая яркость звёзд, астроном оперирует таблицей логарифмов по основанию 2,5.
По логарифмической спирали закручены и многие Галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система (слайд №25).
Учитель физики:
Практически аналогичная картина получается при оценивании громкости шума. Единица громкости – «бел», практически – его десятая доля, «децибел».
Последовательные степени громкости 10 децибел, 20 децибел и т. д. составляет арифметическую прогрессию. Физическая же «сила» этих шумов составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 10.
Громкость шума, выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы (слайд №26).
Сила звука – это количество звуковой энергии, проходящей через единицу поверхности в единицу времени. Эта величина не выражает величины нашего звукового ощущения – громкости.
Если мы будем слушать звуки различных частот, но одинаковой силы, то они покажутся отличающимися по громкости. То есть наше ухо с разной чувствительностью воспримет звуки различной частоты.
Если увеличить силу какого-нибудь звука в 2, 3, 4 раза, то наше звуковое ощущение во столько же раз не увеличивается.
Тихий шелест листьев оценивается в 1 бел.
Громкая разговорная речь – в 6,5 бела.
Рычание льва – 8,7 бела.
По силе звука разговорная речь превышает шелест листьев
· в 316000 раз;
Львиное рычание сильней громкой разговорной речи
· в 158 раз (слайд №27).
При оценке яркости светил и при изменении громкости шума, мы имеем дело с логарифмической зависимостью между величиной ощущения и порождающим его раздражением.
Учитель русского языка и литературы:

Я вдруг нашла для логарифма
Пусть простенькую, но всё же рифму.
Ведь логарифм – ядро науки,
Чтоб школьники не знали скуки.
Чтоб экспоненту вычислять,
И чтоб смогли они сказать:
«О, логарифм, как ты прекрасен!»
Иль: «Логарифм, ты безучастен
к моим попыткам ночи к ряду
Твоё значенье посчитать!»
Ядро физических процессов,
И кибернетики эксцессы,
Законы жизни у бобров –
Всё в логарифме. Он готов
на все вопросы дать ответы:
Про Универсум сделать смету
Пространством–временем, шутя,
Играет логарифм не зря!
Увы, друзья, мы все в печали:
Науку двигать не рояли
Ночами по полу таскать.
Без логарифмов как? Никак!
Хочу, друзья, я вам сказать:
«Мы изучаем логарифмы
Не для красы и не для рифмы.
Для упрощенья вычислений
И для решенья уравнений!»
(слайд 28).

В роли учителей – предметников выступали учащиеся 11 класса.













IV Используемая литература:

1. Белобородова С.В.
Научнотеоретический и методический журнал “Математика в школе” №8 2004 год, статья «Зачем в школе изучают логарифмы?»;
№9 2003 год, статья «Педагогическое значение истории математики на примере становления понятия логарифма».
2. Выгодский М.Я. «Справочник по высшей математике»
3. Перельман Я.И. «Занимательная алгебра»















































13PAGE 15


13PAGE 14915




15