Элективный курс на тему АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Абсолютная величина числа. Основные свойства (1ч).
Определение абсолютной величины числа или модуля. Аналитическая запись определения. Геометрический смысл. Основные свойства. Историческая справка.
Основная цель – систематизировать и обобщить знания обучающихся по теме “Абсолютная величина”, полученные ими в 6 и 8 классах; рассмотреть геометрический смысл абсолютной величины и основные свойства; дать историческую справку о введении термина “модуль” и “знак модуля”; рассмотреть примеры, решение которых основано на определении модуля.
Решение уравнений с модулями (3ч).
Решение линейных, квадратных уравнений с модулями, а также уравнений, содержащих абсолютную величину, с параметрами.
Основная цель – геометрическая интерпретация выражения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и использование ее для решения уравнений вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]; рассмотреть решение линейных уравнений, основанных на определении модуля; решение квадратных уравнений, содержащих знак абсолютной величины, а также графическое решение уравнений, содержащих абсолютную величину, с параметрами.
Решение неравенств с модулями (3ч).
Решение линейных, квадратных неравенств с модулями, а также неравенств, содержащих абсолютную величину, с параметрами.
Основная цель – выработать умения решать линейные неравенства с модулем различными способами (используя геометрический смысл, возведение неравенства в квадрат, с помощью двойного неравенства); квадратные неравенства, содержащие знак абсолютной величины, используя схематический набросок графика квадратной функции, а также метод интервалов; дать представление о решении неравенств, содержащих абсолютную величину, с параметрами.
Метод интервалов (2ч).
Решение уравнений и неравенств, содержащих абсолютную величину, методом интервалов.
Основная цель – научить школьников решать уравнения и неравенства, содержащие абсолютную величину, методом интервалов; сформулировать теорему, на которой основано отыскание интервалов знакопостоянства; нахождение нулей модуля.
Неравенства вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], решаемые посредством равносильных переходов (2ч).
Решение неравенства вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]посредством равносильных переходов к совокупности неравенств [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], а неравенства [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- к системе неравенств [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Основная цель – закрепить понятие равносильности, известное учащимся из 8 класса; сформулировать (а в “сильном” классе доказать) свойство равносильного перехода от неравенства [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]к совокупности [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и от неравенства [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]к системе [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Применение свойств абсолютной величины при решении уравнений и неравенств (1ч).
Решение уравнений и неравенств (линейных, квадратных, степени выше второй), а также систем уравнений и неравенств с помощью свойств абсолютной величины.
Основная цель – повторить при необходимости основные свойства модуля; научить обучающихся решать уравнения и неравенства (линейные, квадратные, степени выше второй), а также систем уравнений и неравенств с помощью свойств абсолютной величины; показать графические приемы при записи ответа; расширить класс уравнений с модулем (рассмотреть уравнение с двумя переменными).
Решение уравнений и неравенств с модулем на координатной прямой (1ч).
Решение линейных уравнений и неравенств с модулем на координатной прямой.
Основная цель – повторить формулу расстояния между двумя точками А(х1) и В(х2) координатной прямой; научить обучающихся решению уравнений и неравенств с модулем на координатной прямой.
Модуль и преобразование корней (1ч).
Применение понятия модуля при оперировании арифметическими корнями. Преобразование иррациональных выражений, при решении которых используется модуль.
Основная цель – выработать умение выполнять преобразования выражений, содержащих квадратный корень, при которых используется модуль.
Модуль и иррациональные уравнения (2ч).
Решение иррациональных уравнений с использованием метода выделения полного квадрата или введения новой переменной.
Основная цель – повторить известное обучающимся из 8 класса определение иррациональных уравнений; показать на примерах решение иррациональных уравнений, связанных с необходимостью использования модуля.
Учебно-тематический план
№ п/п
Тема
Количество часов
Форма проведения занятий
Форма контроля
Наименование образовательного продукта

1
Абсолютная величина числа. Основные свойства.
2
лекция
-
-

2
3
4
Решение уравнений с модулями:
-линейных;
-квадратных;
-с параметрами.
2
2
2
практикум
практикум
изучение нового материала
решение контрольных заданий
решение контрольных заданий
проверка рабочих тетрадей
-

5
6
7
Решение неравенств с модулями:
-линейных;
-квадратных;
-с параметрами.
2
2
2
практикум
семинар
изучение нового материала
проверка домашнего задания
ответы на вопросы
проверка рабочих тетрадей
-

8
9
Метод интервалов.
2
2
комбинированный урок
урок-соревнование
ответы на вопросы
урок взаимопроверки
-

10
11
Решение неравенств вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], решаемые посредством равносильных переходов.
2
2
изучение нового материала
закрепление изученного материала
проверка конспектов
математический диктант
-

12
Применение свойств абсолютной величины при решении уравнений и неравенств.
2
обобщение и систематизация знаний
устный опрос
-

13
Решение уравнений и неравенств с модулем на координатной прямой.
2
обобщение и систематизация знаний
самостоятельная работа
-

14
Модуль и преобразование корней.
2
практикум
работа в группах
-

15
16
Модуль и иррациональные уравнения.
2
проверка и коррекция ЗУН
консультация
домашняя контрольная работа
ответы на вопросы
-

17
Зачет.
1
контрольная или тестовая работа
-
составление опорного конспекта

Всего -34 часа


Список литературы для учителя

Голубев В.И. Абсолютная величина числа в конкурсных экзаменах по математике (по материалам ведущих ВУЗов страны).- Львов: Квантор, 1991.
Голубев В. Эффективные методы решения задач по теме “Абсолютная величина”.- М.: Чистые пруды, 2006.
Данкова И.Н., Бондаренко Т.Е., Емелина Л.Л., Плетнева О.К. Предпрофильная подготовка учащихся 9 классов по математике.- М.: 5 за знания, 2006.
Рурукин А.Н. Пособие для интенсивной подготовки к экзамену по математике “Выпускной, вступительный, ЕГЭ на 5+”.- М.: ВАКО, 2006.
Смыкалова Е.В. Математика (модули, параметры, многочлены), предпрофильная подготовка, 8-9 кл.- Санкт-Петербург: СМИО-Пресс, 2006.
Список литературы для обучающихся
Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы.- М.: Просвещение, 1988.
Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по Математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Наука, 1973.
Зорин В.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Высшая школа,1974.
Ивлев Б.М., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П., Шварцбурд С.И. Задачи повышенной сложности по алгебре и началам анализа.- М.: Просвещение, 1990.
Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции, издательство “Наука”, главная редакция физико-математической литературы.- М.: Наука, 1975.
Круликовский Н.Н. Математические задачи для абтуриентов.- Томск: изд. Томского Университета, 1973.
Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К. Задачи вступительных экзаменов по математике.- М.: Наука, 1986.
Шарыгин И.Ф. Математика для школьников старших классов, Москва, “Дрофа”, 1995.
Методические материалы
Занятие №1: Определение абсолютной величины числа (модуля числа), его геометрический смысл и основные свойства.
Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа а называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное.
Модуль числа а обозначается так:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Устанавливая связь между модулем числа и самим числом, получим аналитическую запись определения:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Модулем числа называется также расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой. В этом состоит геометрический смысл модуля. Т.о. используются термины “модуль”, “абсолютная величина” или “абсолютное значение” числа. В соответствии с приведенным определением [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= 5, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= 3, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=0. Модуль числа может быть определен и как наибольшее из чисел а и – а.
Историческая справка: термин “модуль” (от лат.modulus – мера) ввел английский математик Р. Котес (16821716), а знак модуля немецкий математик К.Вейерштрасс (1815-1897), в 1841 г.
Основные свойства модуля:
Модуль любого действительного числа а есть неотрицательное число: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]0.
Каждое действительное число а не больше своего модуля и не меньше числа, противоположного модулю, т.е. -[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]а[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Если число a [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]0 и для числа х справедливо одно из неравенств х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]а или х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]-а, то модуль числа х удовлетворяет неравенству [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]а. Каждое число х, удовлетворяющее неравенству [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]а, удовлетворяет одному из неравенств х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]а или х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]-а.
Если число а>0 и число х удовлетворяет неравенству -а[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]а, то модуль числа х удовлетворяет неравенству [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]а. Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]а, то справедливо неравенство:-а[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]а.
Модуль суммы двух или более слагаемых не больше суммы модулей этих чисел: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],
Модуль разности двух чисел не меньше разности модулей этих чисел [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]-[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Модуль произведения двух или более множителей равен произведению модулей этих чисел: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Модуль частного двух чисел равен частному модулей этих чисел: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Модуль степени какого-либо числа равен степени модуля этого числа: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]n=[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] причем если п=2к – четное число, то [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]2к=а2к.
Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками числовой прямой, изображающими эти числа: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=p(а,в). Из этого свойства следует важное равенство: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. В частности, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Сумма модулей чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое число равно нулю.
Модуль разности модулей двух чисел не больше модуля разности этих чисел: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Квадратный корень квадрата числа равен модулю этого числа: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Рассмотрим примеры, решение которых основано на определении модуля.
№ 1. Решить уравнение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=4.
По определению модуля; х=4 или х =-4.
№ 2. Решить уравнение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=3.
Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Откуда: х1 =2 и х 2=-1.
№ 3. Решить уравнение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=-2.
По свойству 1: модуль любого действительного числа есть число неотрицательное, делаем вывод, что решения нет.
№ 4. Решить уравнение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=х–5.
По этому же свойству 1: х–5[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]0, х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]5.
№ 5. Решить уравнение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+х=0.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=- х, х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]0.
№ 6. Решить уравнение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=х+2.
В отличие от предыдущего примера в правой части данного уравнения содержится выражение с переменной. Поэтому уравнение имеет решение при условии, что х +2[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]0,т.е. х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]-2. Тогда имеем:
2х+1= х +2 или
2х+1 = - х – 2.
Т.о. при х [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]-2, имеем:
х = 1,
х = - 1.
Упражнения для самостоятельной работы:
Решить уравнения:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=х–3,
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=х+2,
13 INCLUDEPI
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·=3х+1,
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+х=9,
х+[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] =11,
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+ х+2=6,
х–4-[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=-2,
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]–[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=3,
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+х+3=[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+3х=[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]–18,
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+3х=2.
Занятие №2. Решение линейных уравнений с модулями.
При решении линейных уравнений используется или геометрический смысл модуля числа или раскрытие знака модуля. Рассмотрим на примере: решить уравнение
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] = 7.
а) Используем геометрический смысл модуля числа. Запишем уравнение в виде: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=7. Тогда d=х–5 - расстояние от точки х до точки 5 на числовой прямой, f =х–(-2) - расстояние от точки х до точки (-2) .По условию задачи сумма этих расстояний d+f=7. Нанесем точки 5 и -2 на числовую прямую. Легко проверить, что для любого числа из отрезка [-2;5] сумма расстояний d+f равна длине отрезка АВ, т.е. 7. Так же легко установить, что для точек х<2 или х>5 сумма расстояний d+f>7. Поэтому решением уравнения является интервал [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
б) Раскроем знак модуля. Для этого нанесем точки -2 и 5 на числовую прямую. Эти точки разбивают ее на три интервала. Рассмотрим знаки модулей в каждом из промежутков.
В интервале 1 (х<-2) получаем: -(х–5)–(х+2)=7 или –х+5–х–2=7 или –2х+3=7, откуда получаем: х=-2. Но эта точка в рассматриваемый промежуток не входит. Поэтому х=-2 не является решением.
В интервале 2: х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] получаем: -(х–5)+(х+2)=7 или 7=7. Так как получилось верное равенство, то любая точка из этого промежутка является решением данного уравнения.
В интервале 3 (х>5) получаем: (х-5)+(х+2)=7 или 2х-3=7, откуда х=5. Точка х=5 в рассматриваемый промежуток не входит и не является решением уравнения.
Итак, решение данного уравнения: -2[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]5.
Упражнения для самостоятельной работы:
Решить уравнения:
№1. х=[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],
№2. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]-[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=2х+4,
№4. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=11,
№5. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]-2[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=0.
Занятие №3. Решение квадратных уравнений с модулем.
Рассмотрим решение квадратных уравнений с модулями на примерах:
№1. Решить уравнение
х2 -6[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+8=0.
Введем замену [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=у, тогда при у [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]0 уравнение принимает вид:
y2–6у+8=0, откуда у1=2 и у2=4. а х=2 или -2; 4 или -4.
№2. Решить уравнение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+ [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= 0.
Уравнение равносильно системе: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Откуда х=1.
№3. Решить уравнение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= 2х – 1.
Уравнение имеет решение при условии, что 2х–1[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]0, а равенство возможно при условии: значения выражений х2+х–1 и 2х–1 одинаковы либо противоположны. Т.о. имеем: х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]0,5. Составим уравнения: х2+х–1=2х–1 или х2+х–1=-(2х–1); решая которые, получим
Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
№4. Найти корни уравнения: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Представим данное уравнение в виде: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= х 2 – 1, откуда:
х2 – 1[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],
х – 1 = х2 – 1,
или х – 1 = - (х2 – 1).
х2 – 1 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]при х [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- 1 и х [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]1.Решая уравнения, получим из первого: х=0 и х=1, из второго: х=-2 и х=1.
Ответ: х=1; х=-2.
№5. Найти целые корни уравнения: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Используя определение модуля, прходим к выводу, что равенство возможно, если значения выражений х–х2–1 и 2х+3–х2 равны или противоположны, т.е. данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решая совокупность, получим корни данного уравнения: х=-4;-0,5;2. Целые среди них: -4 и 2.
№6. Решить уравнение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=2х2–3х+1.
Обозначим выражение 3х-1-2х2 буквой а. Тогда данное уравнение примет вид: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=-а. Исходя из аналитической записи определения модуля, можно сделать вывод, что данное уравнение равносильно неравенству: 3х–1-2х2[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]0, решая которое, получим ответ: х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]0,5 и х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]1.
Упражнения для самостоятельной работы.
Решить уравнение:
№1.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=х2+ х–20.
№2. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+ 3х -5=0,
№3. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=(х–1)(х+1),
№4. х2–6[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+5=0,
№5. х2+8[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=9,
№6.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=х2 –6х+6,
№7. х [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=-8.
Занятие №4. Решение уравнений, содержащих абсолютную величину, с параметрами.
Рассмотрим пример: решить уравнение с параметром
3–х=[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Построим графики функций у=3–х и у=[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. График у=3–х фиксирован и от параметра не зависит. График у=[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]получается из графика фукции у=[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], зависит от параметра а. Поэтому рассмотрим 3 случая:
Этот случай, как видно из рисунка, будет при а<3. Графики этих функций пересекаются в единственной точке В. Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол А равен углу В и равен 450, проведем в этом треугольнике высоту ВД. Т.к. треугольник АВС – равнобедренный, то ВД также и медиана этого треугольника. Поэтому абсцисса точки Д х =(а + 3)/2.
Этот случай имеет место при а=3. Тогда графики функций совпадают по отрезку АВ и абсцисса любой точки этого луча является решением данного уравнения, т.е. х<3.
В этом случае а>3. Видно, что графики функций не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Поэтому уравнение решения не имеет.
Упражнения для самостоятельной работы:
Решите уравнения:
№1.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=а,
№2. а[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=3,
№3. (а–2)[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=а–2,
№4. а2х2+а[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=0.
Занятие №5. Решение линейных неравенств с модулями.
Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, решают различными способами; рассмотрим достаточно простой пример:
№1.Решить неравенство:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]>4.
Первый способ: Имеем: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]>4,
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]>4,
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]>2.
Геометрически выражение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]означает расстояние на координатной прямой между точками х и 2,5. Значит, нам нужно найти все такие точки х, которые удалены от точки 2,5 более чем на 2, - это точки из промежутков х<0,5 и х>4,5.
Второй способ: Поскольку обе части заданного неравенства неотрицательны, то возведем обе части этого неравенства в квадрат:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]2>42 .
(2х–5)2>42,
(2х–5)2–16>0,
(2х–5–4)(2х–5+4)>0,
2(х–4,5) 2(х–0,5)>0,
(х–4,5)(х–0,5)>0.
Применив метод интервалов, получим: х<0,5 и х>4,5.
Третий способ: Выражение 2х–5 может быть неотрицательным или отрицательным. Т.е. имеем совокупность двух систем:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Откуда: х<0,5 и х>4,5.
Рассмотрим еще несколько примеров.
Пример №2.Решить неравенство: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]<3.
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Из первой системы получаем 2[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]х<5, из второй -1<х<2. Объединяя эти два решения, получаем: -1<х<5.
Пример №3. Решить неравенство: 3[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]х+3.
Данное неравенство равносильно двойному неравенству -х-3[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]3х–3[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]х+3 или системе [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Имеем: 0[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]3.
Упражнения для самостоятельной работы:
Решить неравенства:
№1. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]<3х+1,
№2. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]>2,
№3. -[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]>[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]-2.
Занятие № 6. Решение квадратных неравенств с модулями.
Рассмотрим пример №1. Решите неравенство: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+х–2<0.
Данное неравенство можно решить методом интервалов. Рассмотрим иное решение, основанное на следующем утверждении: при любом значении а неравенство [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]равносильно системе неравенств: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], а неравенство [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]равносильно совокупности неравенств [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Поэтому наше неравенство равносильно системе неравенств: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]решая которые, получим: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Запишем ответ: (1-[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];2-[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]).
Пример №2. Найти целые решения неравенства: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]2х–х2 . Задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решим первую систему: из первого неравенства имеем: х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]1; х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]2.
из второго: 2х2–5х+2[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]0, или 0,5[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]2.
Отметив найденные решения первого и второго неравенств первой системы на координатной прямой, находим пересечение решений.
Т.о. 0,5[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]1 и х=2. Это решение первой системы.
Решим вторую систему: из первого неравенства имеем: 1<х<2, из второго: -(х2 -3х+2)[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]2х–х2, или – х2+3х–2–2х+ х2[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]0, или х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]2.
Отметив найденные решения первого и второго неравенств второй системы на координатной прямой, получим: 1<х<2. Это решение второй системы.
Объединив найденные решения систем неравенств 0,5[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]x[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]1; х=2; 1Упражнения для самостоятельной работы:
Решите неравенства:
№1. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]<6,
№2. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]<х,
№3. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]<3х–3,
№4. х2-3[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+2>0,
№5. х2-х<3[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],
№6. х2-6х+7-[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]<0,
№7. 3[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+х2–7>0,
№8. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]>[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Занятие № 7. Решение неравенств, содержащих абсолютную величину, с параметрами.
Пример. При каких значениях а верно неравенство: ах2+4[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+а+3<0?
При х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]0 имеем ах2+4х+а+3<0. Старший коэффициент а должен быть отрицательным, дискриминант – меньше нуля.
а<0, Д=16–4а(а+3)<0; 16-4а2-12а<0; а2+3а-4>0; а<-4 и а>1;
абсцисса вершины параболы х0=-в/2а=- 4/2а=-2/а[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] 0, откуда а<-4.
При х<0 имеем ах2–4х+а+3<0. Рассуждая аналогично, получим: а<-4.
Ответ: при а<-4 данное неравенство выполняется при всех действительных значениях х.
Упражнения для самостоятельной работы:
Решите неравенства с параметрами:
№1.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]>-а,
№2. (х–а)[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]<0,
№3. Существуют ли такие значения а, при которых неравенство ах2>2[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+5 не имеет решений?
Занятия №8 - 9. Метод интервалов решения уравнений и неравенств, содержащих модуль.
Рассмотрим метод интервалов на примере решения уравнения
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]-[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+3[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]-2[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=х+2.
Чтобы решить данное неравенство, необходимо раскрыть модули. Для этого выделим интервалы, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, принимают только положительные или отрицательные значения. Отыскание таких интервалов основано на теореме: если на интервале (а; в) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.
Чтобы выделить интервалы знакопостоянства, найдем точки, в которых выражения, записанные под модулем, обращаются в нуль:
х+1=0, х=-1; х=0; х–1=0, х=1; х–2=0, х=2.
Полученные точки разобьют прямую на искомые интервалы. Определим знаки выражений
х+1, х, х–1, х–2 на этих интервалах:
Учитывая знаки, раскроем модули. В результате получим совокупность систем, равносильную данному уравнению:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Последняя совокупность приводится к виду:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение совокупности систем и данного уравнения: -2; х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]2.
Использованный прием называется методом интервалов. Он применяется и при решении неравенств.
Решить неравенство: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+х–2<0.
1) Найдем нули выражения: х2-3х.
х1=0, х2=3.
2) Разобьем координатную прямую на интервалы и установим знак выражения х2-3х на каждом интервале:
3) Раскроем модуль: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение первой системы: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], решение второй [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Решение данного неравенства: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Упражнения для самостоятельной работы:
№1[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
№2[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
№3[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Занятие №10 - 11. Решение неравенств вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]посредством равносильных переходов.
Рассмотрим неравенства вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Примем без доказательства следующую теорему: при любом значении а неравенство [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]равносильно системе неравенств [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]а неравенство [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]равносильно совокупности неравенств [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рассмотрим пример: решить неравенство:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]>х+2.
Пользуясь сформулированной теоремой, перейдем к совокупности неравенств:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Система [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и неравенство 0х>2 не имеют решений. Следовательно, решением совокупности (и данного неравенства) является х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Упражнения для самостоятельной работы:
№1. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]<6,
№2.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]1,
№3.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]>х+3,
№4. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]<х+3.
Занятие № 12. Применение свойств абсолютной величины при решении уравнений и неравенств.
При решении некоторых заданий находят применение свойства модуля. (При необходимости повторить их, см. занятие № 1).
Проиллюстрируем применение свойств модуля при решении следующих примеров.
Пример №1: решить уравнение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=1.
Заметим, что [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=1, значит, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Следовательно, по свойству 5: (х3-1)(2–х3)[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]0, решением которого является числовой отрезок [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример №2. Решите систему уравнений: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Заметим, что [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Следовательно, по свойству 5 ху[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]0, т.е. х и у принимают значения одного знака. Тогда данная система равносильна совокупности систем:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решением первой системы является любая пара неотрицательных чисел, сумма которых равна 1. Например, (0,5; 0,5), (1/6; 5/6).Решением второй системы является пара неположительных чисел, сумма которых равна – 1. Например, (0,8;-0,2).
Пример №3.Запишите при помощи знака модуля, что по крайней мере одно из чисел а, в, с, d отлично от нуля.
Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример №4. Дано: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]<1,[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]<10, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]<10.
Докажите неравенство: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]<20.
Доказательство:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]10=20.
Упражнения для самостоятельной работы:
№1. Решите систему: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
№2. При каких значениях х справедливы равенства:
а) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],
б)[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
№3. Найдите числа х и у такие, что [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=0;
№4. Найдите наименьшее значение суммы:
а) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
б) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
№5. Решите уравнение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Занятие № 13. Решение уравнений и неравенств с модулями на координатной прямой.
При изучении расстояния между двумя точками А(х1) и В(х2) координатной прямой выводится формула, согласно которой АВ=[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Используя эту формулу, можно решать уравнения и неравенства вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=в, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]<в, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], а также уравнения и неравенства, к ним приводимые.
Рассмотрим примеры.
№1. Решите уравнение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=1.
Переводя запись данного уравнения на “язык расстояний”, получим предложение “расстояние от точки с координатой х до точки с координатой 3 равно 1”. Следовательно, решение уравнения сводится к отысканию точек, удаленных от точки с координатой 3 на расстояние 1.
Корнями уравнения являются числа 2 и 4.
№2. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= 3.
Приводя данное уравнение к виду [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=1,5, используем формулу расстояния:
Ответ: - 2; 1.
№3. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Запишем данное уравнение в виде: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Исходя из геометрических представлений, нетрудно понять, что корнем последнего уравнения является координата точки, равноудаленной от точек с координатами 1 и – 2, т.е. число – 0,5.
Упражнения для самостоятельной работы:
Решите уравнения и неравенства:
№1. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=0,4;
№2. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=0,7;
№3. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]<0,5;
№4. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]<7;
№5.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
№6. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
№7. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
№8. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Занятие №14. Модуль и преобразование корней.
Понятие модуля находит применение при оперировании арифметическими корнями. Так как арифметический квадратный корень из числа может принимать лишь неотрицательные значения, то при записи этих значений используется модуль. Так, например,
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
В общем случае справедливо тождество: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Приведем примеры заданий на преобразование иррациональных выражений, при решении которых используется модуль.
№1. Упростить выражение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
при в>0, в[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]0 получим:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
№2. Вычислите значение выражения:
А=[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при х=0,5[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], где а>0, в>0.
1) Преобразуем выражение для х:
 
х=0,5[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
2) Вычислим значение корня:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
3) Вычислим значение знаменателя:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
4) Вычислим значение выражения А:
А=[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Упражнения для самостоятельной работы:
Упростить:
№1. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
№2. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
№3. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
№4. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Занятие № 15-16. Модуль и иррациональные уравнения.
Ситуация, связанная с необходимостью использования модуля, может возникнуть и при решении иррациональных уравнений.
Решите уравнение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=1.
Обозначим [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]через у, где у [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]0.
Тогда х+1=у2; х+5=у2+4; х+10=у2+9.
Данное уравнение примет вид:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], решая которое методом интервалов получим совокупность:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Т.о., 2[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]у[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]3, т.е. 2[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]3, откуда х принадлежат отрезку [3;8].
Упражнения для самостоятельной работы:
При решении уравнений, приведенных ниже для самостоятельной работы, также используйте модуль.
№1. х2-5[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]-6=0,
№2. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=10,
№3. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
В качестве домашнего задания обучающимся можно предложить домашнюю контрольную работу. Приведем примерный вариант такой работы:
№1. Решите уравнение:
а) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=2(3-х);
б) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
№2. Решите неравенство:
а) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
б) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
№3. Упростить выражение:
а) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
б) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
№4. Решите уравнение:
а) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
б) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
№5. Решите систему уравнений:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Занятие №17. Зачет.