Конспект урока : «Решение задач на вычисление площади поверхности призмы. (По определению).»

Конспект урока.
Тема: «Решение задач на вычисление площади поверхности призмы. (По определению).» Класс: 10 класс
Учебник: Геометрия: Учеб. Для 10-11 кл. сред. шк./ Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.
Тип: Урок-практикум.
Цель урока: формировать навыки решения задач по теме «Призма». Развивать интуитивное мышление школьников, используя задачи на определение площади боковой поверхности призмы, вычисление её линейных элементов.
Диагностируемые цели:
В результате ученик:
- знание определение площади боковой поверхности призмы;
- умеет находить площадь боковой поверхности призмы по определению, вычислить линейные элементы призмы;
- осознаёт значимость определения площади боковой поверхности в теме «Призма».
Ход урока.
Мотивационно-отиентировочная часть.
Чем мы занимались на прошлом уроке?
Итак, цель нашего сегодняшнего урока: решать задачи на вычисление площади боковой поверхности призмы и её элементов.
Но сначала вспомните какая фигура называется призмой? Что называется основанием призмы? Боковыми гранями призмы?
Какая призма называется прямой?
Какая призма называется правильной?
Какие формулы для нахождения площади треугольника (прямоугольного треугольника) вы знаете?
Какая формула для нахождения площади прямоугольника вам известна?
Верно. Давайте устно решим задачи на нахождение площади треугольника (на обратной стороне доски даны рисунки). Решали задачи на вычисление элементов призмы и на вычисление площади поверхности призмы.
Многоугольник. составленный из двух равных многоугольников А1А2…Аn и В1В2…Вn, расположенных в параллельных плоскостях и n параллелограммов, называется призмой.
А1А2А3
Аn…
В1В2В3
...
ВnА1А2А3
Аn…
В1В2В3
...
Вn
Многоугольники А1А2…Аn и В1В2…Вn называются основаниями, а параллелограммы А1А2В1В2,…, АnА1В1Вn – боковыми гранями призмы.
Призма называется прямой, если её боковые рёбра перпендикулярны к основаниям.
Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники.

, если треугольник прямоугольный;
, где а – основание, h – высота;
, где

1
2
3
4
5
6
А
В
С
8
9
А
С
В
13
12
А
В
С
D
8
4
30°
45°
А
В
С
М
4
2
А
В
С
13
14
15
8
10
А
С
В
1
2
3
4
5
6
А
В
С
8
9
А
С
В
13
12
А
В
С
D
8
4
30°
45°
А
В
С
М
4
2
А
В
С
13
14
15
8
10
А
С
В

(Решения фиксируются в тетрадях)



Содержательная часть.
Рассмотрим задачу (рисунок делается на доске, условия задачи диктуются под запись)
Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна m, а острый угол равен 60°. Через катет, противоположный этому углу, и противоположную этому катету вершину другого основания проведено сечение, составляющее угол 45° с плоскостью основания.
Докажите, что ∆А1СВ - прямоугольный;
Укажите различные способы вычисления площади основания и сечения призмы.
Вычислите площадь основания призмы.
Вычислите площадь боковой поверхности призмы.
1.Давайте докажем, что ∆А1СВ - прямоугольный;
Как это можно доказать?
Каким из этих способов удобнее воспользоваться?
2. Какими геометрическими фигурами являются основание и сечение призмы?
Как вычислить площадь треугольника (прямоугольного треугольника)?
3. Рассмотрим ∆АВС.
Мы выяснили, что . Как найти АС и СВ?
4. Теперь нам требуется вычислить площадь боковой поверхности призмы. Как найти площадь боковой поверхности призмы?
Как найти площадь указанных граней?
Верно. Подставьте полученные равенства в формулу площади боковой поверхности и упростите полученное выражение.
Сможем ли мы теперь найти площадь боковой поверхности призмы?
Из какого треугольника мы можем найти АА1?
Почему?
Почему АСА1=45°?
Верно. Найдите А1А.
Правильно. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.
Ребята, что требовалось найти, доказать в этой задаче?
Чем мы пользовались при решении данной задачи?
Как вы думаете, на что направлена данная задача?
Верно. Данная задача позволяет решать последующие задачи на вычисление площади боковой поверхности призмы.
Перейдём к следующей задаче.
Сторона основания правильной треугольной призмы равна а, высота призмы равна 1,5а. Через сторону основания и противоположную вершину другого основания проведено сечение.
Найдите:
площадь боковой поверхности призмы;
Высоту основания призмы;
Угол между плоскостями основания и сечения;
Отношения площадей основания и сечения призмы. 800100171450000А
В
С
А1В1С1m60°
А
В
С
А1В1С1m60°

Можно доказать, что какой-то из углов А1СВ равен 90◦.
По теореме о трёх перпендикулярах.
Вторым способом, т. к. нам дана прямая призма.
АССВ, АС - проекция наклонной;
АА1СВ, АА1 - перпендикуляр к (АВС);
Значит А1ССВ по теореме о трёх перпендикулярах
Значит ∆А1СВ - прямоугольный.
Треугольниками.
(половина произведения основания на высоту).

(половина произведения катетов, если треугольник прямоугольный).
∆АВС - прямоугольный, АВС=30◦,
Значит
По теореме Пифагора:



SБ.П= SА1В1ВА+ SВ1ВСС1+SА1АСС1
SА1В1ВА= SВ1ВСС1=,
т. к. АА1=ВВ1
SА1АСС1=

Нет, т. к. нам неизвестно АА1Из ∆А1АС
Т. к. ∆А1АС содержит А1А и в этом треугольнике нам известно, что А1АС=90◦, АСА1=45°
Потому что АСА1 – это линейный угол двугранного угла АВСА1 – угла между сечением и основанием призмы.
АА1С=АСА1=45°
(т. к. А1АС=90°, АСА1=45°АА1С=АСА1=45°)
Значит А1А=АС=

а) ∆А1СВ - прямоугольный;
б) вычисляли площадь основания призмы;
в) вычисляли площадь боковой поверхности призмы.
Мы пользовались теоремой о трёх перпендикулярах, формулами площади треугольника и площади прямоугольника, определением площади боковой поверхности призмы, теоремой Пифагора и теоремой о сумме углов треугольника.
На отработку формулы боковой поверхности призмы.
А
А1С
С
В
В1А
А1С
С
В
В1
(Данная задача предъявляется учащимся следующим образом: на обратной стороне доски нарисован рисунок - АВСА1В1С1. Формулировка на доске. В результате фронтальной работы с классом строится сечение А1ВС, наносятся на рисунок данные задачи. Учащиеся переносят в тетрадь данные задачи, строят аналогичный рисунок).Найдём площадь боковой поверхности призмы.
Как вычислить площадь боковой поверхности призмы?
Что нам дано?
Что известно про призму?
Сформулируйте определение правильной призмы?
Какой вывод можно сделать?
Теперь вычислите площадь боковой призмы с учётом последних разъяснений.
Найдём высоту основания призмы.
Построим высоту основания призмы.
Какие геометрические фигуры вы видите в основании?
Из какого треугольника можно найти АН – высоту?
Почему?
Охарактеризуйте эти треугольники и АН по отношению к ним?
Верно. Как найти катет в прямоугольном треугольнике?
Что ещё нужно найти, чтобы вычислить длину высоты АН?
Как можно его найти?
Чему равен В в ∆АВС?
Почему?
Итак, чему равен sinВ?
Что требуется найти?
Верно. Вычислите АН, используя sinВ.
Запишите ответ.
3). Давайте теперь найдём угол между плоскостями основания и сечения
Какой угол является углом между плоскостями основания и сечения?
Почему АНА1 – линейный угол двугранного угла АВСА1?
Какой треугольник содержит этот угол?
Что известно об этом треугольнике?
Чем являются стороны АА1 и АН в треугольнике АНА1?
Как, зная катеты треугольника. Найти угол?
Теперь вычислите АНА1, используя тангенс этого угла?
Верно. Запишите ответ.
4). Найдём отношение площади основания и сечения призмы.
Мы выяснили ранее, что основание и сечение призмы являются треугольниками.
Что нам известно про треугольник АВС?
Как с учётом известных данных найти S∆АВС?
Мы нашли площадь основания призмы. Теперь найдём площадь сечения А1ВС.
По какой формуле будем вычислять площадь сечения?
Значит, нам необходимо провести высоту.
Как можно найти высоту А1Н?
Теперь мы знаем А1Н, была известна ВС, вычислите S∆А1ВС?
Что требовалось найти в задаче?
Теперь мы сможем это сделать?
Запишите ответ в тетрадях.
Ребята, что надо было найти в задаче?
Что нам помогло решить данную задачу?
Как вы думаете, какова значимость данной задачи?
Рефлексивно-оценочная часть:
Чем мы занимались на сегодняшнем уроке?
Какие теоретические положения помогли нам решить данные задачи?
Верно. Так какова же была цель урока?
Достигли ли мы её, и почему?
Сформулируйте определение площади боковой поверхности призмы?
Довольны ли вы сегодняшней работой на уроке?
Д/З: №1:
А
В
С
О
А
В
С
О

Дано:
АС=6
ВО=АО=5
Найти:
S∆АВС - ?
№ 230, №223. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей её боковых граней.
Нам дано АА1=1,5а; АВ=а
Призма правильная.
Призма называется правильной, если её основания правильные многоугольники.
Т. к. призма правильная, то ∆АВС и А1В1С1 – правильные и АВ=ВС=АС=а.
SБ.П=SАА1С1С+SСС1В1В+SАА1В1В
SАА1С1С= SСС1В1В= SАА1В1В=
SБ.П=++= =1,5а(а+а+а)= =4,5
Ответ: SБ.П=4,5
(Учащиеся фиксируют решение в тетради. Затем один ученик выходит и записывает решение на доске. Класс проверяет).(выходит ученик и строит высоту основания призмы)
А
А1С1С
В
В1Н
А
А1С1С
В
В1Н

Треугольники: ∆АВС, ∆АВН, ∆АНС
Из ∆АВН и ∆АНС
Эти треугольники содержат АН.
∆АВН и ∆АНС – прямоугольные, т. к. АНВ=АНС=90°
АН является катетом в этих треугольниках.
По определению синуса угла.
sinВ=
В.
Из ∆АВС.
В=60º.
∆АВС – правильный, т. к. нам дана правильная призма АВСА1В1С1, а ∆АВС – её основание.
Значит стороны ∆АВС равны между собой и углы равны:
А=В=С=60°
АВ=ВС=АС=а
sinВ=, В=60°
sin60◦=
Высоту основания призмы АН.
АН= sin60°
Ответ: АН=
(Работа велась фронтально. Ученик у доски фиксировал решение, остальные в тетрадях).Выходит ученик и изображает угол между плоскостями основания и сечения призмы.
А
А1С1С
В
В1Н
А
А1С1С
В
В1Н

АНА1 – угол между плоскостями основания и сечения, т. к. АНА1 – линейный угол двугранного угла АВСА1.
АН – высота, медиана (∆АВС – правильный).
∆А1ВС – равнобедренный, т.к. ∆АВА1=∆АСА1 (прямоугольные, сторона АА1 – общая, АВ = АС), значит А1В = А1С. Следовательно А1Н – высота, медиана. Отсюда: основанием перпендикуляра будет именно точка Н. Поэтому АНА1 – линейный угол двугранного угла АВСА1.
∆АНА1.
∆АНА1 – прямоугольный, т. к. А1АН=90° ( т. к. дана правильная призма).
АА1=1,5а; АН=
Катетами.
Через определения тангенса угла.
tgα= (отношение противолежащего катета к прилежащему)
tgАНА1= ==
АНА1=60°
(Работа велась фронтально. Решение учащиеся фиксируют в тетради самостоятельно. Полученный ответ сообщают учителю).АВ=ВС=СА=а
АН=– высота ∆АВС
А=В=С=60°
1). S∆АВС== 2). Можно ещё через формулу Герона:



Т. к. сечением является треугольник, то площадь сечения будем вычислять по формуле площади треугольника:
S∆А1ВС=А
А1С1В1В
Н
С
А
А1С1В1В
Н
С

А1Н – высота ∆А1ВС
А1Н найдём из ∆А1АН
А1Н=
S∆А1ВС=

Отношение площадей основания и сечения призмы.
Да,
S∆АВС : S∆А1ВС=
(Работа велась фронтально. Записи на доске вёл учитель под диктовку учащихся. Ученики вели записи в тетрадях).а)площадь боковой поверхности призмы;
б)Высоту основания призмы;
в)Угол между плоскостями основания и сечения;
г)Отношения площадей основания и сечения призмы.
При решении данной задачи мы пользовались формулами площади треугольника, площади боковой поверхности призмы, определением синуса, определением линейного угла двугранного угла.
Эта задача позволяет нам формировать умения по решению задач, направленных на вычисление площади боковой поверхности призмы и её элементов.
Решали задачи на вычисление площади боковой поверхности призмы.
Мы пользовались формулой боковой поверхности призмы, формулами площади треугольника, теоремой о трёх перпендикулярах.
Решать задачи на вычисление площади боковой поверхности призмы и её элементов.
Да, достигли, т. к. на уроке мы решили две задачи на вычисление площади боковой поверхности призмы. Также мы находили и элементы данной призмы.
Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей её боковых граней.
( отвечая на этот вопрос, учащиеся говорят о том, что у них не получилось. Что было непонятным. Осталось непонятным).