Завдання математичних олімпіад для 5-11 класів (шкільний етап)
Завдання для учнів 5 класу
Син батька професора розмовляє з батьком сина професора, до того ж сам професор у розмові участі не бере. Чи може таке бути?
Петрик каже: «Позавчора мені було ще 10 років, а в наступному році мені виповниться 13». Чи може бути таке?
Складіть із цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 магічний квадрат, тобто розмістіть цифри у таблиці розмірами 3*3 так, щоб суми чисел у рядках, стовпцях і двох діагоналях були однакові.
Запишіть число 100 дев’ятьма різними цифрами, поєднаними знаками дій.
До табору приїхало троє друзів: Мишко, Володя і Дмитрик. Відомо, що кожний з них має одне з прізвищ: Іванов, Семенов, Герасимов. Батько Володі – інженер. Володя навчається у 6 класі. Хлопчик з прізвищем Герасимов навчається у 5 класі. Батько хлопчика з прізвищем Іванов – слюсар. Яке прізвище у кожного з хлопчиків?
Завдання для 6 класу
Джин обернув на звірів чотирьох розбійників – Ахмеда, Шарифа, Абу та Омара. Одного - на свиню, другого – на віслюка, третього – на верблюда, четвертого – на козла.
Ахмед не став ані свинею, ані козлом.
Шариф не став ані верблюдом, ані свинею.
Якщо Ахмед не був верблюдом, то Омар не був свинею.
Абу не обернувся ані на козла, ані на свиню.
Омар не став ані козлом, ані верблюдом.
На кого обернувся кожен із розбійників?
Червона Шапочка показала трьом поросятам п’ять беретиків: три червоних і два білих. Дала зав’язала їм очі й вдягла на кожного по беретику. Потім дівчинка розв’язала очі Ніф-Ніфу й спитала, якого кольору в нього беретик. Ніф-Ніф не зміг відповісти на запитання. Червона Шапочка розв’язала очі Наф-Нафу й спитала в нього те саме. Наф-Наф теж не зміг відповісти. І лише Нуф-Нуф сказав: «А з мене пов’язки можна не знімати, я й так знаю якого кольору мій берет». Якого кольору берет у Нуф-Нуфа?
Потяг у якому їдуть три мудреці, прямує до тунелю. Коли у вагоні знову стає світло, кожний із мудреців бачить, що обличчя його супутників у сажі, яка потрапила крізь відчинене вікно. Усі троє починають сміятися один з одного, однак найкмітливіший мудрець незабаром здогадується, що в нього теж брудне обличчя. Як він це зробив?
В одній родині було два брати, у кожного з них було по дві сестри й по одному батькові. У кожної сестри було по одній матері. Скільки всього осіб було у родині?
Із сірників складено приклад: VI – IV = XI. Потрібно перекласти лише один сірник, щоб розв’язок прикладу став правильним.
Завдання для 7 класу
Із кошика з яйцями взяли половину всієї кількості яєць, а потім половину остачі, потім половину нової остачі й, нарешті, половину наступної остачі. Після цього в кошику залишилося 10 яєць. Скільки яєць було в кошику з самого початку?
У прикладах наведено дії з одноцифровими числами, позначеними буквами. До того ж однаковими буквами позначено однакові числа, а різними буквами – різні числа. Знайдіть ці числа й запишіть хід міркувань.
а * а = б
в * и = г
е * а = а
3. Відновіть цифри, позначені зірочками:
* 8 *
*
4 * 2
7 * *
3 * *
* * * *
* * * * * 0
Із сірників складено фігуру, зображену на рисунку. Як перекласти два сірники, щоб вийшло рівно чотири квадрати з довжиною сторони, що дорівнює довжині сірника?
Катруся та її друзі стали в коло. З’ясувалося, що обидва сусіди кожної дитини – однієї й тієї ж самої статі. Серед Катрусиних друзів було п’ять хлопчиків. А скільки дівчаток?
Завдання для учнів 8 класу
Мишко купив загальний зошит на 96 аркушів і пронумерував його сторінки одна за одною від числа 1 до числа 192. Ілля вирвав з цього зошита 25 аркушів і склав всі 50 чисел, які на них написано. Чи міг він отримати 1990?
Доведіть, що квадрат будь-якого простого числа, окрім 2 і 3, при діленні на 12 в остачі має 1.
Що більше: 9920 або 999910? Поясніть, чому.
Доведіть, що для будь-якого kєQ правильною є нерівність (k2 + 1) + 1/ k2 + 1
· 2
У 8 класі 40 учнів. Кожний із них вивчає не менше від однієї іноземної мови: англійську, німецьку, французьку. 34 особи вивчають хоча б одну із двох мов: німецьку, французьку; 6 – тільки німецьку мову. Одночасно дві мови – англійську й німецьку – вивчають на 3 особи більше, ніж французьку й німецьку. Скільки осіб вивчає кожну з мов і скільки одночасно – кожну пару мов?
Завдання для 9 класу
Доведіть, що медіана трикутника менша за півсуму сторін, між якими вона розташована, і більша від різниці між цією півсумою й половиною третьої сторони.
Що більше:
·4 +
·7 -
·4 -
·7 -
·2 чи 0?
У прямокутному трикутнику АВС на катеті АС як на діаметрі побудовано коло, що перетинає гіпотенузу АВ у точці Е. Через точку Е проведено дотичну до кола, що перетинає катет СВ у точці D. Доведіть, що трикутник ВDЕ рівнобедрений.
Доведіть, що при кожному цілому вираз n5/120 – n3/24 + n/30 також є цілим числом.
Фабрика випустила товар у пачках масою 3 і 5 кілограмів. Доведемо, що з цих пачок можна скласти пачку будь-якої маси, більшої від 7 кілограмів.
Завдання для учнів 10 класу
Доведіть, що нерівність cos4x + 4sin2x
· 2 sin2x cosx
Два брати продали череду овець, що належала їм, узявши за кожну вівцю стільки гривень, скільки овець було в череді. Гроші, отримані від продажу поділили так: старший брат узяв 10 гривень, потім другий брат узяв десять гривень, після цього старший брат узяв ще 10 гривень і так далі. При цьому молодшому братові не вистачило 10 гривень, тому він узяв усі дрібні гроші, що залишилися, а крім того, щоб поділ був справедливим, старший брат віддав молодшому свого перо чинного ножа. У скільки гривень було поціновано цей ніж?
Доведіть, що коли добуток трьох чисел дорівнює 1, а їх сума більша від суми їх зворотних величин, то тільки одне з цих чисел більше від 1.
Доведіть, що n2 + 3n + 5 при жодному цілому n не ділиться на 121.
Доведіть, що
(n + 1)(n + 2)(2n – 1)·2n / 1· 3 ·5(2n – 1) = 2n
Завдання для учнів 11 класу
1.Сума всіх коефіцієнтів многочлена дорівнює 2, а сума коефіцієнтів при непарних степенях х дорівнює сумі коефіцієнтів при парних степенях х. Знайти остачу від ділення цього многочлена на х2 – 1.
2. Добутки косинусів протилежних кутів чотирикутника дорівнюють один одному. Доведіть, що цей чотирикутник є трапецією.
3. На трьох перехресних ребрах куба виберіть три точки так, щоб сума квадратів сторін трикутника з вершинами в цих точках була найменшою.
4. Нехай а,b,c – довжина сторін трикутника. Доведіть, що нерівність a(b –c)2 + b(c – a)2 + 4abc > a2 + b2 + c2 .
5. Якою є остання цифра числа ((((77)7)7)7) ? дві останні цифри?
15