Курсовая работа по теме: Приложение теории рядов
Введение…………………………………………………………...…2
Глава 1. Теория рядов
1.1. Числовые ряды. Основные понятия……………………..….4
1.2. Степенные ряды…………………………………………..….6
1.3. Разложение элементарных функций в степенные ряды….10
1.4. Ряд Фурье………………………………………………........14
Глава 2.Применения теории рядов на практике
1.1. Приближенное вычисление значений функции с помощью степенных рядов………………………………………………..…...18
2.2. Применение степенных рядов к вычислению пределов...............................................................................................20
2.3. Применение степенных рядов к вычислению определенных интегралов……………………………………………………...…....21
2.4. Применение рядов Фурье…………………………………..21
Заключение………………………………………………………....28
Список литературы……………………………………………......29
Введение
Математика является наукой, которая широко используются на практике. Любой производственно-технологический процесс не обходится без фундаментальных математических закономерностей. Эффективное применение различных инструментов математического аппарата позволяет конструировать устройства и автоматизированные агрегаты, способные выполнять операции с высоким уровнем точности, выполнять сложные расчеты и вычисления при проектировании зданий и сооружений, производить необходимые вычисления при геодезических исследованиях. Подобная тесная связь приводит к взаимному обогащению, как самой математики, так и прикладных дисциплин. Зачастую идеи и методы, созданные для решения частных задач, принимают общий характер и требуют строгого обоснования. Те методы, которые выдержали всесторонние проверки и весьма длительные испытания, впоследствии становятся математическими теориями. В дальнейшем эти теории используются при решении более широкого круга задач, нежели те, на основе которых они были созданы. Инженерная практика в значительной мере ориентирует и стимулирует развитие математического аппарата.
Именно потому, что элементы математики встречаются на производстве практически на каждом шагу, специалистам важно знать и блестяще ориентироваться в области применения тех или иных инструментов анализа и расчета. Например, инженеру-электротехнику для расчетов периодических несинусоидальных процессов следует иметь четкое представление о таком важном понятии, как ряд Фурье.
Степенные ряды благодаря их простоте и замечательным свойствам нашли применение практически во всех разделах математики, физики и других наук. Рассматриваемые как предел многочленов при стремлении их степеней к бесконечности, они обладают почти всеми свойствами многочленов с той разницей, что для многих рядов эти свойства выполняются не для всех значений аргумента, а лишь для некоторого ограниченного множества значений.
Основные положения теории числовых и функциональных рядов
являются важнейшей составляющей математической подготовки студентов инженерных, экономических и других специальностей. Вопросы сходимости и суммируемости рядов, представления функций рядами остаются актуальными в современной математической науке, ее приложениях, находят применения в таких учебных курсах, как дифференциальные уравнения, комплексный анализ, теория вероятностей, вычислительная математика и др.
Степенные ряды, ряды Тейлора, ряды Фурье находят огромное применение в реальной жизни. В этой работе показаны основные применения данных рядов и их актуальность.
Глава 1. Теория рядов
1.1. Числовые ряды. Основные понятия.
Пусть u1, u2,u3⋯un… , где un=fn,-бесконечная числовая последовательность. Выражение
u1+u2+u3+⋯+un+⋯называется бесконечным числовым рядом, а числа u1, u2,u3⋯un- членами ряда; un=fn- называется общим членом.
Ряд часто записывают в виде n=1∞un.
Сумму первых n членов числового ряда обозначают Sn и называют n-ной частичной суммой ряда: Sn=u1+u2+u3+⋯+un.
Ряд называется сходящимся, если его n-я частичная сумма Sn при неограниченном возрастании n стремится к конечному пределу, т.е. если limn→∞Sn=S.
Число S называют суммой ряда. Если же n-я частичная сумма ряда при n→∞ не стремится к конечному пределу, то ряд называют расходящимся.
Ряд a+aq+aq2+⋯+aqn-1+⋯ q<1, составленный из членов любой убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся и имеет сумму a1-q.
Ряд 1+12+13+14+⋯+1n+⋯, называемый гармоническим расходится.
Основные теоремы о сходящихся числовых рядах.
Если сходится ряд u1+u2+u3+⋯, то сходится и ряд um+1+um+2+,um+3+⋯, получаемый из данного ряда отбрасыванием первых m членов (этот последний ряд называют m-м остатком исходного ряда); наоборот, из сходимости m-го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда.
Если сходится ряд u1+u2+u3+⋯ , и суммой его является число S, то сходится и ряд au1+au2+au3+⋯, причем сумма последнего ряда равна a∙S.
Если сходятся ряды u1+u2+u3+⋯ и v1+v2+v3+⋯, имеющие соответственно суммы S и W, то сходится и ряд (u1+v1)+u2+v2+u3+v3+⋯ причем сумма последнего ряда равна S+W.
Если ряд u1+u2+u3+⋯ сходится, то limn→∞un=0, т.е. при n→∞ предел общего члена сходящегося ряда равен нулю (это необходимый признак сходимости ряда).
Таким образом, если limn→∞un≠0, то ряд расходится.
Важнейшие признаки сходимости и расходимости числовых рядов.
Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами:
u1+u2+,u3+⋯+un+⋯ (1) иv1+v2+,v3+⋯+vn+⋯ (2), причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т.е. un≤vn (n=1,2,3,…). Тогда, если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1); если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).
Этот признак остается в силе, если неравенства un<vn выполняются не при всех n, а лишь начиная с некоторого номера n=N.
Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел limn→∞unvn=k, то оба ряда n=1∞un и n=1∞vn одновременно сходятся или одновременно расходятся.
Признак Коши. Если для ряда u1+u2+u3+⋯+un+⋯существует limn→∞nun=C, то этот ряд сходится при C<1 и расходится при С>1.Признак Даламбера. Если для ряда u1+u2+u3+⋯+un+⋯существует limn→∞un+1vn=D, то этот ряд сходится при D<1 и расходится при D>1.Интегральный признак. Если f(x) при x≥1 - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, то ряд n=1∞un , где un=f(n), сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл 1∞f(x)dx.
Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов убывают, а общий член стремится к нулю.
1.2. Степенные ряды
Сходимость функциональных рядов
Ряд
(1)
называется функциональным, если его члены являются функциями от аргумента x.
При каждом фиксированном значении функциональный ряд (1) становится числовым рядом
(2)
Если ряд (2) сходится, то называется точкой сходимости ряда (1). Совокупность всех точек сходимости x функционального ряда (1) называется его областью сходимости, а функция
- суммой данного ряда.
Функция называется остатком ряда (1).
Если ряд (2) расходится, то значение называется точкой расходимости ряда.
В простейших случаях для определения области сходимости ряда (1) можно применять к нему известные признаки сходимости числовых рядов, считая x фиксированным.
Степенные ряды
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
,(3)
где (n = 0, 1, 2, …) – числа, называемые коэффициентами ряда. При a = 0 ряд принимает вид
(4)
Теорема Абеля.
1) Если ряд (4) сходится при , то он абсолютно сходится при любом значении x, удовлетворяющем неравенству .
2) Если ряд (4) расходится при , то он расходится и при любом значении x, для которого .
Область сходимости степенного ряда (4) есть симметричный относительно начала координат O интервал (–R, R), называемый интервалом сходимости ряда (4). Число называется радиусом сходимости ряда (4).
Радиус сходимости может быть вычислен по формулам
(5)
или
. (6)
Степенной ряд (4) внутри интервала сходимости сходится абсолютно. Вне интервала сходимости ряд (4) расходится. При x = –R или x = R ряд (4) может оказаться расходящимся, сходящимся условно или сходящимся абсолютно.
Степенной ряд (3) сходится абсолютно на интервале
(a – R, a + R ).
На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма степенного ряда есть непрерывная функция.
Если пределы интегрирования α, β лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то определённый интеграл от суммы ряда в этих пределах равен сумме таких же интегралов от членов ряда. Интервал сходимости нового ряда остаётся прежним.
Пусть
степенной ряд, имеющий интервал сходимости (–R, R). Тогда ряд
сходится на том же интервале, и его сумма при .
Простейшим примером степенного ряда является ряд, составленный из членов геометрической прогрессии . Этот ряд сходится при . Следовательно, для данного ряда радиус сходимости R = 1, а интервалом сходимости является интервал (–1, 1). Сумма этого ряда равна
(в соответствии с формулой , a = 1, q = x). Поэтому для функции имеем следующее разложение в степенной ряд:
(7)
Пример 1. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда
.
Применим формулу (5):
.
R = ∞, значит, ряд сходится при всех x, т. е. в интервале (– ∞, + ∞). Заметим для дальнейшего, что из сходимости ряда вытекает: при всех x.
Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда
.
Радиус сходимости найдём по признаку Даламбера:
.
Таким образом, ряд сходится на интервале . Исследуем сходимость ряда на концах интервала:
1) На левом конце ряд принимает вид , т. е. является знакочередующимся. Абсолютная величина его общего члена с учётом формулы Стирлинга эквивалентна при n → ∞
.
По теореме Лейбница, ряд на левом конце интервала сходится.
2) На правом конце интервала ряд принимает вид ;
.
Это – ряд Дирихле при , поэтому данный ряд на правом конце своего интервала сходимости расходится.
Таким образом, область сходимости ряда есть промежуток .
1.3 Разложение элементарных функций в степенные ряды
Пусть функция f (x) имеет на некотором отрезке непрерывные производные до (n + 1)-го порядка включительно, а точка a находится внутри этого отрезка. Тогда для любого x из этого отрезка имеет место формула Тейлора:
,(1)
где остаточный член может быть записан в виде
(2)
(форма Лагранжа), причём ξ лежит между a и x.
Очевидно, число ξ можно записать также в виде a + θ (x – a), где 0 < θ < 1.
В случае a = 0 формула Тейлора принимает вид:
, (3)
где
. (4)
Формула (3) носит название формулы Маклорена.
Если функция f (x) имеет производные всех порядков на некотором отрезке, содержащем внутри себя точку a, и выполняется условие
(5)
для всех x из указанного отрезка, то функция на этом отрезке является суммой степенного ряда
(6)
Этот ряд называется рядом Тейлора для данной функции.
В случае a = 0 ряд Тейлора принимает вид
(7)
Этот ряд называется рядом Маклорена для данной функции.
Разложение функции в степенной ряд единственно, т. е., если функция f (x) разложена каким-либо образом в степенной ряд
,
то .
Формально ряд Тейлора можно написать для всякой функции, которая в окрестности точки a имеет производные любого порядка. Однако этот ряд будет сходиться к породившей его функции f (x) только при тех значениях x, при которых остаточный член при неограниченном возрастании n стремится к нулю.
Для разложения данной функции в ряд Тейлора нужно:
1) Написать ряд Тейлора для данной функции, т. е. вычислить значения этой функции и её производных при x = a и подставить их в общее выражение ряда Тейлора (6);
2) исследовать остаточный член формулы Тейлора для данной функции и определить те значения x, при которых полученный ряд сходится к данной функции, т. е. при которых .
При разложении функций в степенные ряды часто используются разложения в ряд Маклорена следующих функций:
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
В скобках указаны промежутки, на которых верны данные разложения.
Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функцию f (x) = arcsin x, используя разложение функции .
Разложим в ряд Маклорена, для чего воспользуемся формулой (12), заменив в этой формуле x на и положив . Получим:
Этот ряд сходится при |x| < 1. Интегрируя его по промежутку [0, x], где 0 < x < 1, находим:
=
=
Так как , то
Полученный ряд сходится при |x| < 1 .
1.4 Ряд Фурье
Рядом Фурье функции f (x), определённой на отрезке [–π, π], называется ряд
,
коэффициенты которого определяются по формулам
,
,
(1)
При этом пишут
(2)
Поскольку построение ряда (2) выполнено формально, то этот ряд может расходиться или сходиться, но сумма его, вообще говоря, может не совпадать с разложенной в него функцией.
Сформулируем достаточные условия, при выполнении которых ряд (2) имеет сумму, равную заданной функции f (x):
Функция f (x) может иметь на отрезке [–π, π] лишь конечное число максимумов и минимумов и должна быть непрерывной, за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода.
Эти условия называются условиями Дирихле.
Теорема Дирихле. Если функция f (x) удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке [–π, π], то её ряд Фурье сходится к функции f (x) во всех точках, в которых она непрерывна. В точках разрыва функции ряд сходится к полусумме её предельных значений слева и справа (c – точка разрыва первого рода). Если , то в точках ряд сходится к значению . При этом сумма ряда (2) является периодической с периодом 2π функцией на всей оси Ox.
Пусть теперь функция f (x) задана на отрезке [–1, 1].
Ряд Фурье в этом случае имеет вид
, (3)
где
,
,
(4)
Вопрос о сходимости ряда (3), в свою очередь, определяется теоремой Дирихле, но на отрезке [–l, l], соответственно. Суммой ряда будет периодическая на всей числовой оси функция с периодом 2l.
Замечание: Значок ~ в (4) и (3) нужно понимать следующим образом: если f (x) удовлетворяет условиям Дирихле на [–π, π] и [–1, 1] соответственно, то во всех точках её непрерывности значок ~ надо заменить знаком = и помнить, что в точках разрыва сумма ряда равна полусумме левого и правого пределов f (x) в этих точках, а на концах отрезка – , если ( соответственно).Пример 1. Разложить функцию
в ряд Фурье на интервале (–2, 2).
Рис. 1
.
Данная функция непрерывна на отрезке [–2, 2] и не имеет там экстремумов, то есть их конечное число, следовательно, удовлетворяет условиям Дирихле. Вычислим коэффициенты ряда:
;
=
= =
=
= =
= .
Таким образом, разложение функции f (x) в ряд Фурье имеет вид
.
В соответствии с теоремой Дирихле, график суммы ряда Фурье для функции f (x) имеет вид
(Рис. 2)
Глава 2.Применения теории рядов на практике
2.1.Приближенное вычисление значений функции с помощью степенных рядов
Ряды широко используются в приближённых вычислениях. С помощью рядов с заданной точностью можно вычислить значения корней, значения тригонометрических функций, логарифмов чисел, определённых интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.
Интегрирование многих дифференциальных уравнений не приводится к квадратурам, а их решения не выражаются в элементарных функциях. Решения некоторых из этих уравнений могут быть представлены в виде степенных рядов, сходящихся в определённых интервалах. Ряд, являющийся решением дифференциального уравнения, можно найти или способом неопределённых коэффициентов, или способом, основанным на применении ряда Тейлора (Маклорена). Способ неопределённых коэффициентов особенно удобен в применении к линейным уравнениям.
Для вычисления логарифмов эффективна формула
lnt+1=lnt+212t+1+ 13(2t+1)3+ 15(2t+1)5+⋯.Ряд в правой части равенства сходится тем быстрее, чем больше t.
Для вычисления приближенного значения функции f(x) в ее разложении в степенной ряд сохраняют первые n членов (n – конечная величина), а остальные члены отбрасывают. Для оценки погрешности найденного приближенного значения нужно оценить сумму отброшенных членов. Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В случае знакопеременного ряда, члены которого удовлетворяют признаку Лейбница, используется оценка Rn<un+1, где un+1 - первый из отброшенных членов ряда.
Пример 1. Оценить погрешность приближенного равенства
ex≅1+x1!+x22!+x33!+⋯+xnn!, 0<x<n+1.Погрешность этого приближенного равенства определяется суммой членов, следующих после xnn! в разложении ex:Rn=xn+1n+1!+xn+2n+2!+xn+3n+3!+⋯,Или
Rn=xnn! xn+1+x2n+1n+2+x3n+1n+2n+3+⋯Заменив каждый из сомножителей n+2, n+3, n+4, … меньшей величиной n+1, получим неравенство
Rn<xnn! xn+1+xn+12+xn+13+⋯Просуммируем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию в квадратных скобках:
Rn<xnn!∙x(n+1)1-x(n+1), т,е. Rn<xnn!∙xn+1-x.Пример 2.
Пользуясь разложением cosx в ряд, вычислить cos18° с точностью до 0,0001.
Имеем
cos18°=cosπ10=1-12!∙π102+14!∙π104-⋯;π10=0,31416 , π102=0,9870 , π104=0,00974.Достаточно взять три члена ряда, так как 16∙π106<0,001. Тогда
cos!18°≅1-0,98702+0,0097424; cos18°≅0,9511.Пример 3.
Вычислить ln1,14 с точностью до 0,0001.
Воспользуемся разложением ln(1+x) в ряд:
ln1,14= ln1+0,04=0,04-0,0422+0,0433-0,0444+⋯,Или
ln1,04=0,04-0,0008+0,000021-0,00000064+⋯,Откуда ln1,04 ≅0,0392.2.2.Применение степенных рядов к вычислению пределов
Есть такие пределы, которые нельзя найти, опираясь на первый и второй замечательный предел и другие правила вычисления. Тогда на помощь могут прийти разложения элементарных функций в степенной ряд и решение предела, уже на основе нового полученного выражения.
Пример 1. Найти limx→∞2ex-2-2x-x2x-sinx.
Заменив ex и sinx их разложениями в степенные ряды, получим
limx→02ex-2-2x-x2x-sinx=limx→0 21+x+x22!+x33!+⋯-2-2x-x2x-(x-x33!+x55!-⋯)= limx→02x33!+x44!+⋯x33!-x55!+⋯=limx→023!+2x4!+⋯13!-x25!+⋯=2.Пример 2.
Найти limx→0sinx-arctanxx3.Имеем limx→0sinx-arctanxx3=limx→0 x-x33!+x55!-⋯-x+x33-x55+⋯x3=limx→013-13!-15-15!x2+⋯=16.2.3. Применение степенных рядов к вычислению определенных интегралов
Есть "не берущиеся интегралы", которые не выражаются через элементарные функции, но при этом входят в расчётные формулы. Как их считать? Раскладываем в ряд Тейлора - любой степенной многочлен интегрируется элементарно. Приведем пару примеров для наглядности.
Пример 1. Вычислить 0121-cosxx2dx=0121-1+x22!-x44!+x66!-⋯x2dx=0121-1+x22!-x44!+x66!-⋯dx=12!-x34!∙3+x56!∙5-⋯012=12!∙2-14!∙3∙23+16!∙5∙25-⋯≅0,25-0,0017=0,2483.Пример 2.
Вычислить 00,1ln(1+x)xdx с точностью до 0,001.
Находим 00,1ln(1+x)xdx=00,1x-12x2+13x3-14x4+⋯xdx=00,11-12x+13x2-14x3+⋯dx=x-14x2+19x3-116x4+⋯00,1=0,1-14∙0,01+19∙0,001-⋯≈0,098.2.4. Применение рядов Фурье
Теория рядов Фурье первоначально была создана для решения
дифференциальных уравнений. Поэтому, неудивительно, что ряды Фурье
широко используются для поиска решений как обыкновенных
дифференциальных уравнений, так и уравнений в частных производных. В настоящем разделе мы рассмотрим приложение рядов Фурье к
решению некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений, а также
к решению трех наиболее популярных типов уравнений математической физики:
Уравнение теплопроводности
Волновое уравнение
Уравнение Лапласа
Пример 1.
Найти решение в виде ряда Фурье дифференциального
уравнения с граничными условиями .
Решение.
Мы будем использовать разложение по нечетным гармоникам для
построения неоднородного решения уравнения с заданными граничными
условиями. Можно записать правую часть уравнения в виде ряда:
Предположим, что решение уравнения имеет вид
Подставляя это в само уравнение, получаем соотношение
Поскольку коэффициенты при каждой гармонике в левой и правой части должны
быть равны друг другу, получаем алгебраическое уравнение
Следовательно, решение исходного дифференциального уравнения
описывается рядом:
Пример 2.
Найти периодические решения дифференциального уравнения ,
где k − константа, а f (x) −периодическая функция.
Решение.
Представим функцию f (x) в правой части уравнения в виде ряда Фурье:
Здесь комплексные коэффициенты Фурье определяются формулой
Предполагая, что решение уравнения представляется рядом Фурье
найдем выражение для производной:
Подставляя это в исходное дифференциальное уравнение, получаем
Поскольку данное равенство справедливо при всех значениях n,
то получаем следующее соотношение:
Здесь cn и k − известные числа. Следовательно, решение выражается
формулой
Пример 3.
Найти решение уравнения Лапласа
в круге c граничным условием
Решение.
Будем искать решение в полярных координатах (r,φ). Взаимосвязь между декартовыми и полярными координатами определяется стандартными формулами (рисунок 1):
Рис.1 Решением задачи будет функция u(r,φ), зависящая от переменных r и φ. Очевидно, u(r,φ) является 2π-периодической функцией по φ. При этом граничная функция f (x,y) преобразуется в функцию f (φ), зависящую только от переменной φ. Уравнение Лапласа в полярных координатах записывается в виде
Будем искать решение u(r,φ) в виде ряда Фурье
где коэффициенты Фурье an (r) и bn (r) зависят от радиуса r. Предполагая, что функция u(r,φ) является достаточно гладкой и допускает двойное дифференцирование по rи φ, получаем следующие выражения для производных:
Подставляя это в уравнение Лапласа, находим
Поскольку это выражение равно нулю при всех r и φ, то приходим к выводу, что
Таким образом, мы получили систему обыкновенных дифференциальных уравнений вместо исходного уравнения в частных производных (этот метод был предложен Жозефом Фурье в 1822). Важно, что каждое уравнение в системе решается независимо. Убедимся, что полученным уравнениям удовлетворяют функции вида
Здесь постоянные an (1) и bn (1) находятся из начальных условий к полученным обыкновенным дифференциальным уравнениям. Чтобы сформулировать эти начальные условия, разложим в ряд Фурье функцию , определяющую граничные условия для уравнения Лапласа в полярных координатах. В результате находим
Приравнивая коэффициенты слева и справа при членах cos nφ
и sin nφ, получаем соотношения
Следовательно, система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет решение
Тогда решение уравнения Лапласа записывается в виде
где αn, βn − известные числа, зависящие от граничных условий. Полученный ответ можно упростить. Подставим явные выражения для коэффициентов αn, βn:
Заметим, что
Поэтому
Используя формулу , можно показать, что выражение в квадратных скобках равно сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Тогда решение будет определяться формулой
Полученное выражение называется интегралом Пуассона для единичного круга.
Заключение
Итак, мы рассмотрели понятия о числовых рядах, степенных рядах, вспомнили признаки сравнения рядов. Разобрали понятие о ряде Фурье и некоторые его применения. Выяснили, как можно использовать разложения элементарных функций в ряд Тейлора и нашли новые способы вычисления определенных интегралов и пределов.
Хочется добавить, что ряды Фурье имеют самое большое применение в разных областях. Начиная от математики и заканчивая машиностроением. Как высказался один известный ученый: «Применение ряда Фурье неисчислимое множество».
Из вышесказанного видно, что ряды тесно связаны со всеми разделами математики и другими науками. Ряды очень полезны в решении задач, которые обычными методами сложно или невозможно решить. Применение рядов встречается в таких сферах как: экономика, физика и других.
Список литературы
1) Атабеков, Г.И. А92 Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи: Учебное пособие. 7-е изд., стер. СПб.: Издательство «Лань», 2009. — 592 с2) Вишик, М.И. Тригонометрические ряды // Соросовский Образовательный Журнал. 1997. ╧ 1. - 122-127 с.
3) Воробьев, Н.Н. Теория рядов. М.: Наука, 1986. - 408 с.
4) Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах.Ч.2.[Текст]/ А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1986
5) Ефимов, А.В. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа.[Текст]/ Б. П. Демидович. – М.: Наука,1981.
6) Жежеленко, И.В. Высшие гармоники в системах электроснабжения промпредприятий 2-е изд., перераб. и доп. [Текст]/ М.: Энергоатомиздат, 1984. — 160 с.
7) Кузнецов, Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). [Текст]/ – М.: Высшая школа, 1983
8) Маркушевич, А.И. Ряды: Элементарный очерк. [Текст]/ - М.: Наука, 1979. 191 с.
9) Сигорский, В.П. Математический аппарат инженера. Изд. 2-е стереотипное. [Текст]/ - “Технiка”, 1997. — 768 с.
10) Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.2. [Текст]/ – М.: Наука, 1978.
11) Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2». [Текст]/ - М.: Наука, 1987
12) Эльсгольц, Л.И. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. [Текст]/ - М.: Наука, 1969. 424 с.