Методическое указание по выполнению практических работ по математике (1-2 курс)
JАЗАJСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ Ж€НЕ BЫЛЫМ МИНИСТІРЛІГІ
АКАДЕМИК С€ТБАЕВ АТЫНДАBЫ ЕКІБАСТ`З ИНЖЕНЕРЛІК - ТЕХНИКАЛЫJ ИНСТИТУТЫНЫR КОЛЛЕДЖІ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
ЕКИБАСТУЗСКИЙ КОЛЛЕДЖ ИНЖЕНЕРНО - ТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМЕНИ АКАДЕМИКА САТПАЕВА
КолледждіS барлыK
мамандыCына (мамандыKтар тобына) арналCан
Математика
п‰ні бойынша
€ Д І С Т Е М Е Л І К Н ` С J А У Л А Р
практикалыK жaмыстарды орындауCа арналCан
М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я
по выполнению практических работ
по дисциплине
Математика
для специальности
Курс
1,2
Семестр
1, 2,3
Курс
Семестр
Методические указания по выполнению практических работ составлены на основании рабочей учебной программы для средних профессиональных учебных заведений по дисциплине «Математика» для всех специальностей колледжа.
JaрастырCан/Составил:
оKытушысы:
Омирбаева А.М.
преподаватель
подпись
п‰ндік-циклдiк комиссиясында маKaлданды /
Одобрено цикловой методической комиссией
Хаттама №
Ц€К т™раCасы
Баграмова Ж.К.
Протокол №
Председатель ЦМК
подпись
«
»
20
ж/г
Келісілді / Согласовано:
директордыS ОЖ бойынша орынбасары
Б.К. Орынбаев
зам. директора по учебной работе
подпись
директордыS Г€Ж бойынша орынбасары
Т.И. Иконникова
зам. директора по НМР
подпись
Рецензент:
Содержание
Пояснительная записка......
4
Раздел 1. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
Уравнения и системы уравнений. Корень уравнения.
Свойства уравнений...
5
1.2 Неравенство и системы неравенств. Решение неравенство. Свойства неравенств...
7
1.3 Определители ІІ и ІІІ порядков. Решение систем двух (трех) уравнений
по формуле Крамера...............................................................................................
10
Раздел 2.Функции, их свойства и графики
2.1 Числовая функция. Способы задания функции. График функции.
Свойства функции...................................................................................................
12
2.2 Предел функции в точке. Основные свойства предела.................................
14
Раздел 3. Показательная, логарифмическая и степенная функции
3.1 Логарифмы. Решение простейших и сводящихся к ним логарифмических уравнений и неравенств.........
17
3.2 Решение простейших и сводящихся к ним показательных уравнений и неравенств...
20
Раздел 4. Тригонометрические функции
4.1 Решение тригонометрических уравнений.....
22
4.2 Решение тригонометрических неравенств....
28
4.3 Тождественные преобразования тригонометрических выражений...
30
Раздел 5. Векторы и координаты
5.1 Понятие вектора. Действия с векторами....
32
5.2 Уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящий через одну точку, через две точки. Угол между прямыми
37
Раздел 6. Производная и ее приложения
6.1 Производные суммы, произведения и частного двух функций. Правило дифференцирования сложной функции...
41
6.2 Производные тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций.......
43
6.3 Производные степенной, показательной, логарифмической функций...
45
6.4 Применение производной к построению графиков функции .
47
Раздел 7. Первообразная функция и интеграл
7.1 Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.
51
7.2 Определенный интеграл. Основные свойства и вычисление определенного интеграла..
54
Пояснительная записка
Методические указания предназначены для проведения практических работ по дисциплине "Математика" учащихся первого курса (для всех специальностей колледжа).
Содержание практических работ позволяет освоить:
методы и способы решения систем уравнений;
методы и способы решения систем неравенств;
исследование графиков функции;
практические приемы вычисления пределов;
виды и методы решения простейших логарифмических уравнений и неравенств;
виды и методы решения простейших показательных уравнений и неравенств;
виды и методы решения тригонометрических уравнений и неравенств;
различные способы задания прямой;
практические приемы нахождения частных производных функций многих переменных;
исследование функции с помощью производной;
практические приемы вычисления с помощью методов интегрального исчисления;
В методических указаниях к выполнению практических работ содержится инструкция с четким алгоритмом хода работы. Каждая практическая работа включает краткий теоретический материал, примеры задач и разноуровневый набор заданий. Выполнение практической работы помогает сконцентрировать внимание на главных проблемах изучаемого материала, способствуют развитию зрительной памяти, развивают навыки самостоятельной работы с материалом и закрепляют полученные знания.
Методические указания могут быть использованы для самостоятельной работы студентов.
Ход выполнения практической работы
Практические работы необходимо выполнять в специальных тетрадях с указанием номера, темы, целей работы.
Познакомиться с теоретическим материалом
Сделать краткий конспект теоретического материала в рабочих тетрадях (основные понятия, определения, формулы, примеры)
В тетрадях для практических работ выполнить задания по варианту.
Сдать преподавателю тетради для практических работ.
Критерии оценивания практических работ
Оценка «5» ставится, если верно и рационально решено 90%-100% предлагаемых заданий, допустим 1 недочет, неискажающий сути решения.
Оценка «4» ставится при безошибочном решении 80% предлагаемых заданий.
Оценка «3» ставится, если выполнено 70% предлагаемых заданий, допустим 1 недочет.
Оценка «2» - решено мене 50% предлагаемых заданий.
Раздел 1. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
Практическая работа №1.1
“ Уравнения и системы уравнений. Корень уравнения. Свойства уравнений ”
Цель работы:
Научиться находить корни уравнения и системы уравнений различными способами.
Содержание работы: Общие приемы решения систем уравнений
Система линейных уравнений называется определённой, если она имеет единственное решение.
Несовместной называется линейная система, не имеющая решения.
Неопределенной называется линейная система имеющая бесконечное множество решений.
Существуют различные приёмы решения систем уравнений.
Метод подстановки заключается в следующем:
Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором y выражено через х (или х через y);
Полученное выражение подставляют вместо y (или вместо х) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной;
Находят корни этого уравнения;
Воспользовавшись выражением y через х (или х через y), находят соответствующие значения х (или y).
2. Метод сложения основан на следующих теоремах:
Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна заданной;
Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна заданной.
3. Метод введения новых переменных применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов:
Вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы;
Вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.
4. Для того чтобы графически решить систему двух уравнений с двумя переменными, нужно в одной системе координат построить графики уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков.
5. Методы умножения и деления при решении систем уравнений основаны на следующем утверждении: если обе части уравнения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] ни при каких значениях [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] одновременно не обращаются в нуль, то системы
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] равносильны.
I вариант
II вариант
III вариант
«3»
а) 13EMBED Equation.31415
а) 13EMBED Equation.31415
а) 13EMBED Equation.31415
б) 13EMBED Equation.31415
б) 13EMBED Equation.31415
б) 13EMBED Equation.31415
в) 13EMBED Equation.31415
в) 13EMBED Equation.31415
в) 13EMBED Equation.31415
г) 13EMBED Equation.31415
г) 13EMBED Equation.31415
г) 13EMBED Equation.31415
«4»
а) 13EMBED Equation.31415
а) 13EMBED Equation.31415
а) 13EMBED Equation.31415
б) 13EMBED Equation.31415
б) 13EMBED Equation.31415
б) 13EMBED Equation.3141513 EMBED Equation.3 1415
в) 13EMBED Equation.31415
в) 13EMBED Equation.31415
в) 13EMBED Equation.31415
г) 13EMBED Equation.31415
г) 13EMBED Equation.31415
г) 13EMBED Equation.31415
«5»
а) 13EMBED Equation.31415
а) 13EMBED Equation.31415
а) 13EMBED Equation.31415
б) 13EMBED Equation.31415
б) 13EMBED Equation.31415
б) 13EMBED Equation.31415
в) 13EMBED Equation.31415
в) 13EMBED Equation.31415
в) 13EMBED Equation.31415
Раздел 1. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
Практическая работа №1.2
“ Неравенства и системы неравенств. Решение неравенство. Свойства неравенств ”
Цель работы:
Совершенствовать навыки применения различных методов при решении неравенств различной сложности и систем неравенств.
Содержание работы: Иррациональными называют неравенства, в которые переменные или функция от переменной входят под знаком корня. Основным стандартным методом решения иррациональных неравенств является последовательное возведение обеих частей неравенства в степень с целью освобождения от корня. Но эта операция часто приводит к появлению посторонних корней или, даже, к потере корней, т.е. приводит к неравенству, неравносильному исходному. Поэтому, надо очень тщательно следить за равносильностью преобразований и рассматривать только те значения переменной, при которых неравенство имеет смысл:
если корень четной степени, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным и значение корня тоже неотрицательное число.
если корень степени - нечётное число, то подкоренное выражение может принимать любое действительное число и знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.
возводить в чётную степень обе части неравенства можно только, предварительно убедившись в их неотрицательности;
возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечётную степень всегда является равносильным преобразованием.
Метод подстановки заключается в следующем:
Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором y выражено через х (или х через y);
Полученное выражение подставляют вместо y (или вместо х) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной;
Находят корни этого уравнения;
Воспользовавшись выражением y через х (или х через y), находят соответствующие значения х (или y).
2. Метод сложения основан на следующих теоремах:
Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна заданной;
Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна заданной.
3. Метод введения новых переменных применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов:
Вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы;
Вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.
4. Для того чтобы графически решить систему двух уравнений с двумя переменными, нужно в одной системе координат построить графики уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков.
5. Методы умножения и деления при решении систем уравнений основаны на следующем утверждении: если обе части уравнения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] ни при каких значениях [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] одновременно не обращаются в нуль, то системы
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] равносильны.
I вариант
II вариант
III вариант
«3»
а) 13EMBED Equation.31415
а) 13EMBED Equation.31415
а) 13EMBED Equation.31415
б) 13EMBED Equation.31415
б) 13EMBED Equation.31415
б) 13EMBED Equation.31415
в) 13EMBED Equation.31415
в) 13EMBED Equation.31415
в) 13EMBED Equation.31415
г) 13EMBED Equation.31415
г) 13EMBED Equation.31415
г) 13EMBED Equation.31415
«4»
а) 13EMBED Equation.31415
а) 13EMBED Equation.31415
а) 13EMBED Equation.31415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13EMBED Equation.31415
б) 13EMBED Equation.3141513 EMBED Equation.3 1415
«5»
а) 13EMBED Equation.31415
а) 13EMBED Equation.31415
а) 13EMBED Equation.31415
б) 13EMBED Equation.31415
б) 13EMBED Equation.31415
б) 13EMBED Equation.31415
в) 13EMBED Equation.31415
в) 13EMBED Equation.31415
в) 13EMBED Equation.31415
Раздел 1. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
Практическая работа №1.3
“ Определители ІІ и ІІІ порядков. Решение систем двух (трех) уравнений по формуле Крамера.”
Цель работы:
1. Познакомиться с формулами Крамера
2. На конкретных примерах научиться решать системы уравнения методом Крамера
Содержание работы:
Формулы Крамера: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Возможны 3 случая:
1.
·[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]0 Тогда xi=
· xi/
· - решение существует, причем единственное.
2.
· =0 , а какой-либо из
· xi[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] 0 , то есть у нас в xi=
· xi/
· производится деление на 0, система не имеет решения (несовместна).
3.
· =0 и все
· xi=0 то система имеет бесконечно много решений.
Пример: Решите систему
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
I вариант
II вариант
III вариант
«3»
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13EMBED Equation.31415
в) 13EMBED Equation.31415
в) 13EMBED Equation.31415
«4»
а) 13EMBED Equation.31415
а) 13EMBED Equation.31415
а) 13EMBED Equation.31415
б) 13EMBED Equation.31415
б) 13EMBED Equation.31415
б) 13EMBED Equation.3141513 EMBED Equation.3 1415
«5»
а) 13EMBED Equation.31415
а) 13EMBED Equation.31415
а) 13EMBED Equation.31415
Раздел 2.Функции, их свойства и графики
Практическая работа №2.1
“ Числовая функция. Способы задания функции. График функции. Свойства функции ”
Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.
Обозначение: y = f(x),
где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Способы задания функции.
аналитический способ (с помощью математической формулы);
табличный способ (с помощью таблицы);
описательный способ (с помощью словесного описания);
графический способ (с помощью графика).
Основные свойства функции.
1. Четность и нечетность
Функция называется четной, если – область определения функции симметрична относительно нуля – для любого х из области определения f(-x) = f(x)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
График четной функции симметричен относительно оси 0y
Функция называется нечетной, если – область определения функции симметрична относительно нуля – для любого х из области определения f(-x) = –f(x)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
2.Периодичность
Функция f(x) называется периодической с периодом [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.
3. Монотонность (возрастание, убывание)
Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1)< f(x2).
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, чтоx1 < x2 выполнено неравенство f(x1) > f(x2).
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
I вариант
II вариант
III вариант
Найти область определения функции:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
Исследовать функцию на четность и нечетность:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
Найти интервалы возрастания и интервалы убывания функции:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Назовите период функции:
а)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
а)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
а)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Раздел 2.Функции, их свойства и графики
Практическая работа №2.2
“ Предел функции в точке. Основные свойства предела”
Предел функции
Определение. Число А называется пределом функции y = f(x) при х стремящихся к х0 (или в точке х0 , если для любого
· > 0 существует такое
· > 0, что для всех x, удовлетворяющих условиям
|x– х0| <
· , x
· х0 , имеет место неравенство | f(x) –А| <
·.
или
Определение. Число А называется пределом функции f(x), при х
·
если для любого
· > 0 существует, что если х>М, то
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х
·
если для любого
· > 0 существует М > 0, что если х<–М, то
Основные теоремы о пределах функций
Если функции f(x) и q(x) определены в некоторой окрестности точки а, возможно, за исключением самой точки а, и существуют пределы и , то
Пример 1. Вычислить
Здесь f(x)=5x+2 и q(x) = х–5. Так как q(3) = 3–5 = –2
· 0, то
Пример 2. Вычислить
Пример 3. Вычислить предел
Здесь f(x)= 5x+2 и q(x) = 1 – x
Пример 4. Вычислить предел
Применяем замечательный предел , где е*>2,7182Н.. – иррациональное число (основание натурального логарифма). Преобразуем функ цию:
I вариант
II вариант
III вариант
Вычислить предел функции:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Вычислить пределы функций, используя замечательные пределы:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
Раздел 3. Показательная, логарифмическая и степенная функции
Практическая работа №3.1
“ Логарифмы. Решение простейших и сводящихся к ним логарифмических уравнений и неравенств ”
Определение. Логари
·фм числа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] по основанию [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (от [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
·
·
·
·
· «слово», «отношение» и
·
·
·
·
·
·
· «число») определяется как[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], в которую надо возвести [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], чтобы получить число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Обозначение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], произносится: "логарифм [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] по основанию [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]".
Из определения следует, что нахождение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] равносильно решению уравнения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Например, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]потому что [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение логарифмических уравнений
Если в уравнении присутствуют показательные функции с разными основаниями, можно попытаться привести их к одному и тому же основанию. То же относится и к логарифмическим уравнениям.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] , [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Простейшие логарифмические уравнения имеют вид: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение логарифмических неравенств
Решение логарифмических неравенств, сводится к решению:
простейших неравенств вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. В каждом из этих случаев нужно различать, каким числом является а, так как от этого зависит характер монотонности логарифмической функции. Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то функция возрастает, а если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], - убывает. Поэтому приходится рассматривать различные простейшие неравенства.
или неравенств вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
Решение системы логарифмических уравнений не содержит каких-либо принципиально новых моментов.
Используются обычные приемы решения логарифмических уравнений, такие как метод, заключающийся в преобразовании уравнения к виду [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], затем к виду [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и метод введения новой переменной, а также обычные приемы решения систем уравнений.
I вариант
II вариант
III вариант
Вычислить:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
Решить уравнения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
е) 13 EMBED Equation.3 1415
е) 13 EMBED Equation.3 1415
е) 13 EMBED Equation.3 1415
Решить неравенства:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
Решить системы уравнений:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
Раздел 3. Показательная, логарифмическая и степенная функции
Практическая работа №3.2
“ Решение простейших и сводящихся к ним показательных уравнений и неравенств ”
Показательные уравнения
Простейшие показательные уравнения имеют вид: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Уравнение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] корней не имеет, так как показательная функция всегда положительна.
Решение показательных неравенств
При решении показательных неравенств вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] следует помнить, что показательная функция [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]возрастает при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и убывает при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] . Значит, в случае, когда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], от неравенства [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] следует переходить к неравенству того же смысла [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. В случае же, когда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], от неравенства [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] следует переходить к неравенству противоположного смысла [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Решение системы показательных уравнений не содержит каких-либо принципиально новых моментов. Используются обычные приемы решения показательных уравнений, такие как метод уравнивания показателей и метод введения новой переменной, а также обычные приемы решения систем уравнений.
I вариант
II вариант
III вариант
Решить уравнения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
Решить неравенства:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) (0,04)5x-x2-8 < 625.
в) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 25x + 1 < 6 ( 5x + 1 - 5.
в) 13 EMBED Equation.3 1415
Решить системы уравнений:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
Раздел 4. Тригонометрические функции
Практическая работа №4.1
“ Решение тригонометрических уравнений ”
Определение. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.
Простейшие тригонометрические уравнения.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.
1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры ( метод замены переменной и подстановки ).
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.
П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .
Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:
sin x + cos x – 1 = 0 ,
преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,
sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,
sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,
2 cos 4x cos 2x = 2 cos І 4x ,
cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,
cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,
1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
3
Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:
а) перенести все его члены в левую часть;
б) вынести все общие множители за скобки;
в) приравнять все множители и скобки нулю;
г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени;
д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .
П р и м е р . Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y1 = -1, y2 = -3, отсюда
1) tan x = –1, 2) tan x = –3,
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.
Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:
a sin x + b cos x = c ,
где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и sin [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] ( здесь [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - так называемый вспомогательный угол ), инаше уравнение принимает вид:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.
П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin 2x · sin 6x = cos 4x.
Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:
cos 4x – cos 8x = cos 4x ,
cos 8x = 0 ,
8x = p / 2 + pk ,
x = p / 16 + pk / 8 .
7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 4 cos x = 3 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
I вариант
II вариант
III вариант
Решить уравнения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
е) 13 EMBED Equation.3 1415
е) 13 EMBED Equation.3 1415
е)13 EMBED Equation.3 1415
ж) 13 EMBED Equation.3 1415
ж) 13 EMBED Equation.3 1415
ж) 13 EMBED Equation.3 1415
з) 13 EMBED Equation.3 1415
з) 13 EMBED Equation.3 1415
з) 13 EMBED Equation.3 1415
и) 13 EMBED Equation.3 1415
и) 13 EMBED Equation.3 1415
и) 13 EMBED Equation.3 1415
Раздел 4. Тригонометрические функции
Практическая работа №4.2
“Решение тригонометрических неравенств”
Определение. Неравенство, в котором неизвестная переменная находится под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим неравенством.
К простейшим тригонометрическим неравенствам относятся следующие 16 неравенств:
sinx>a, sinx
·a, sinx
·a, cosx>a, cosx
·a, cosx·a, tanx>a, tanx
·a, tanx·a, cotx>a, cotx
·a, cotx·a.
Здесь x является неизвестной переменной, a может быть любым действительным числом.
Неравенство [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] , то это неравенство решения не имеет, так как синус не может быть больше единицы. Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] , то решением неравенства является любое число, так как синус всегда больше или равен -1. Рассмотрим теперь случай, когда а лежит на полуинтервале [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] . Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] .
Неравенство [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] , то решением неравенства является любое число, так как синус всегда меньше или равен 1. Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] , то это неравенство решения не имеет, так как синус не может быть меньше -1. Рассмотрим теперь случай, когда а лежит на полуинтервале [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] . Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] .
Неравенство [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] . Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] , то это неравенство решения не имеет, так как косинус не может быть больше единицы. Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] , то решением неравенства является любое число, так как косинус всегда больше или равен -1. Рассмотрим теперь случай, когда а лежит на полуинтервале [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] . Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] .
Неравенство [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] . Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] , то решением неравенства является любое число, так как косинус всегда меньше или равен 1. Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] , то это неравенство решения не имеет, так как косинус не может быть меньше -1. Рассмотрим теперь случай, когда а лежит на полуинтервале [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] . Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] .
Неравенство [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Неравенство[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] : [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Неравенство [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] : [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Неравенство [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] : [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
I вариант
II вариант
III вариант
Решить неравенства:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
е)
е)
е)
Раздел 4. Тригонометрические функции
Практическая работа №4.3
“ Тождественные преобразования тригонометрических выражений ”
В тождественных преобразованиях тригонометрических выражений могут быть использованы следующие алгебраические приемы: добавление и вычитание одинаковых слагаемых; вынесение общего множителя за скобки; умножение и деление на одну и ту же величину; применение формул сокращенного умножения; выделение полного квадрата; разложение квадратного трехчлена на множители; введение новых переменных с целью упрощения преобразований.
При преобразованиях тригонометрических выражений, содержащих дроби, можно использовать свойства пропорции, сокращение дробей или приведение дробей к общему знаменателю. Кроме того, можно пользоваться выделением целой части дроби, умножением числителя и знаменателя дроби на одинаковую величину, а так же по возможности учитывать однородность числителя или знаменателя. При необходимости можно представлять дробь в виде суммы или разности нескольких более простых дробей.
Кроме того, применяя все необходимые методы преобразования тригонометрических выражений, необходимо постоянно учитывать облась допустимых значений преобразуемых выражений.
Пример 1.Вычислить А = (sin(2x –
·)cos(3
· – x)+sin(2x – 9
·/2)cos(x+
·/2))2+(cos(x–
·/2)cos(2x–7
·/2) + sin (3
·/2 – x) · sin (2x – 5
·/2))2
Решение.
Из формул приведения следует:
sin (2x –
·) = -sin 2x; cos (3
· – x) = -cos x;
sin (2x – 9
·/2) = -cos 2x; cos (x +
·/2) = -sin x;
cos (x –
·/2) = sin x; cos (2x – 7
·/2) = -sin 2x;
sin (3
·/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5
·/2) = -cos 2x.
Откуда в силу формул сложения аргументов и основного тригонометрического тождества получаем
А = (sin2xcosx + cos2xsinx)2 +(-sinxsin2x + cosxcos2x)2 = sin2 (2x + x) + cos2 (x+2x) = sin2 3x + cos2 3x = 1
Ответ: 1.
Основными приемами доказательства тригонометрических тождеств являются:
а) сведение левой части тождества к правой путем соответствующих преобразований; б) сведение правой части тождества к левой; в) сведение правой и левой частей тождества к одному и тому же виду; г) сведение к нулю разности левой и правой частей доказываемого тождества.
Пример 4.
Проверить, что cos 3x = -4cos x · cos (x +
·/3) · cos (x + 2
·/3).
Решение.
Преобразуя правую часть этого тождества по соответствующим тригонометрическим формулам, имеем
-4cosxcos(x +
·/3)cos(x + 2
·/3) = -2cosx(cos((x +
·/3) + (x + 2
·/3)) + cos ((x +
·/3) – (x + 2
·/3))) = -2cos x · (cos (2x +
·) + cos
·/3) = 2cos xcos 2x - cos x = (cos3x + cos x) – cos x = cos 3x.
Правая часть тождества сведена к левой.
I вариант
II вариант
III вариант
Упростить выражение:
а)
а)
а)
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б)
в)13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
г)13 EMBED Equation.3 1415
Доказать тождества:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить:
а) если
а) если
а) если
б) если
б) если
б) если
Раздел 5. Векторы и координаты
Практическая работа №5.1
“ Понятие вектора. Действия с векторами ”
Определение: «Вектор это направленный отрезок». Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости. Единичным называется вектор, длина которого равна 1. Нулевым вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.
Сложение векторов
Для сложения векторов есть два способа.
1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.
2. Второй способ сложения векторов правило треугольника. Возьмем те же векторы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]