Презентация по математике на тему Системы линейных уравнений. Подготовлена студентами колледжа к семинарскому занятию

Системы линейных алгебраических уравненийПодготовили студенты гр. БУ-23 ГПОУ «Амвросиевский индустриально- экономический колледж» Вощенко Кристина Склярова Татьяна Бессарабова Екатерина Припутень Алина Припутень Анжелика Назаренко Сергей 2016 год Оценить различные методы решения систем линейных алгебраических уравнений с точки зрения вычислительной сложности и возможности применения средств вычислительной техники для решенияЦЕЛЬ РАБОТЫ «Приобретение любого познания всегда полезно для ума, ибо оно сможет впоследствии отвергнуть бесполезное, и сохранить хорошее. Ведь ни одну вещь нельзя ни любить, ни ненавидеть, если сначала её не познать» Леонардо да Винчи МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ:Метод подстановки(«школьный метод»);Метод сложения уравнений систем («школьный метод»);Метод Крамера;Матричный метод;Метод Гаусса; Возможные исходы решения:Система может иметь:единственное решение;бесконечное множество решений;не иметь решений.Например, Систему линейных уравнений очень удобно записывать в матричном виде АХ = ВА – основная матрица системы, Х – матрица-столбец неизвестных, В – матрица-столбец свободных членовМАТРИЧНЫЙ МЕТОДРешение системы линейных алгебраических уравнений в матричном виде с невырожденной квадратной матрицей А ищут в виде матричного уравнения, гдеХ = А В-1А = -11detАA11 A21 A31 ….A n1A12 A22 A32…. An2…………………..An1 An2 An3 …. Ann



Последовательность решения системы:1. Найти определитель исходной матрицы2. Найти алгебраические дополнения элементов заданной матрицы 3. Составить матрицу из алгебраических дополнений и транспонировать её4. Каждый транспонированный элемент матрицы поделить на определитель МАТРИЧНЫЙ МЕТОД ПРЕИМУЩЕСТВА:-удобен для решения систем невысокого порядка;-удобно применять тогда, когда нужно решить много одинаковых систем с разными правыми частями;-может быть легко реализован на ЭВМ.МАТРИЧНЫЙ МЕТОД НЕДОСТАТКИ МЕТОДА:-если = 0,то матричный метод не применяется;-в процессе решения матричных уравнений у начинающих могут появиться трудности с умножением матриц;-если система содержит больше трех уравнений, то нахождение обратной матрицы требует значительных вычислительных усилий. НЕДОСТАТКИ:-если определитель системы равен нулю, то матричный метод не применяется;-в процессе решения матричных уравнений у начинающих могут появиться трудности с умножением матриц;-если система содержит больше трех уравнений, то нахождение обратной матрицы требует значительных вычислительных усилийМАТРИЧНЫЙ МЕТОД  Метод Крамера Метод Крамера — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).Создан Габриэлем Крамером в 1751 году. Габриэль КрамерДата рождения: 31 июля 1704 года Место рождения: Женева, Швейцария Дата смерти: 4 января 1752 года Место смерти: Баньоль-сюр-Сез, Франция Научная сфера математика, философия, небесная механика Метод КрамераАлгоритм решения: - систему записывают в матричном виде; - вычисляют главный определитель системы; - вычисляют дополнительные определители системы; - если главный определитель системы не равен нулю, то находят значения всех неизвестных по формулам: ПРЕИМУЩЕСТВА:- простой метод;- определители вычисляются независимо друг от друга, следовательно, процесс вычисления определителей может быть распараллелен. Метод Крамера НЕДОСТАТКИ: Высокая ресурсоемкость вычислений определителей. С точки зрения затрат времени на вычисление, считается непрактичным. если определитель равен нулю, то система имеет бесконечно много решений или несовместна. В этом случае правило Крамера не поможет. Метод Крамера Дата рождения: 30 апреля 1777 года Место рождения: Брауншвейг Дата смерти: 23 февраля 1855 года Научная сфера: математика, физика, астрономия Альма-матер: Гёттингенский университетКарл Фридрих Гаусс немецкий математик, астроном и физикМетод Гаусса Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения переменныхИоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил звание величайшего математика всех времен, гения и даже прозвище «короля математики». Портрет Гаусса красовался на купюре в 10 дойчмарок (до введения евро), и до сих пор Гаусс загадочно улыбается немцам с обычных почтовых марок Алгоритм состоит из двух этапов.На первом этапе осуществляется прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме. На втором этапе осуществляется обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы последовательно найти все неизвестные из треугольной системыМетод Гаусса Элементарные преобразования:1. Перемена местами двух любых уравнений2. Умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля;3. Прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное числоЭлементарные преобразования удобно проводить не с уравнениями, а с расширенной матрицей системыМетод Гаусса - метод Гаусса прост тем, что для его освоения достаточно знаний пятиклассника. Необходимо уметь складывать и умножать. Парадокс, но у студентов метод Гаусса вызывает наибольшие сложности.-метод Гаусса - наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений.Правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случае приведет нас к ответу!Метод ГауссаПРЕИМУЩЕСТВА: Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трёх видов: сапог, кроссовок и ботинок. При этом используется сырье трёх типов: S1, S2 и S3. Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объём расхода сырья на 1 день заданы таблицей :Найти ежедневный объём выпуска каждого вида обуви.Решение: Пусть ежедневно фабрика выпускает х пар сапог, у пар кроссовок и z пар ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему 5x+3e+4z=2700 2x+y+z=900 3x+2y+2z=1600 Решая систему любым способом, находим:(200,300,200), т.е. фабрика выпускает ежедневно 200 сапог, 300 кроссовок и 200 ботинок. «Как же я раньше не догадывался, что это так просто?» НИКОЛАЙ БУРБАКИ Если в математике вы имеете дело с дробными числами, то все вычисления старайтесь проводить в обыкновенных неправильных дробях.Скверным признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже-об опечатке), является «плохая» нижняя строка в методе Гаусса.Любое задание следует стремиться выполнить самым рациональным способом. Хотя бы потому, что это экономит время и нервы, а также снижает вероятность допустить ошибку.После того, как решена ЛЮБАЯ система уравнений ЛЮБЫМ способом , настоятельно рекомендуется выполнить проверку (устно, на черновик либо на калькуляторе).Благо, делается это легко и быстро! Если в задаче по математике вам встретилась система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, то всегда можно использовать школьные методы решения.Рекомендуем вам скачать программу автоматизированного решения систем по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Всегда приятно знать правильные ответы заранее, более того, программа позволит сразу обнаружить ошибку по ходу решения задачи, что значительно сэкономит время!Наиболее универсальным способом решения системы является метод исключения неизвестных (метод Гаусса) КластерСистема линейных алгебраических уравнений ГаусаКрамераМетод подстановки Матричный методМетоды решения системМетод сложения уравнений системы Бесконечное Единственное Не имеет решения Система имеет решение Решение средствами ExcelМОБРТРАНСПМОПРЕДМУМНОЖБесконечное