Конспект урока Взаимное расположение сферы и плоскости

Урок по геометрии в 11-Г классе 02.02.2017
Тема: ,,Взаимное расположение сферы и плоскости. Касательная плоскость к сфере.”

Цели урока:
Образовательные:
- изучение видов взаимного расположения сферы и плоскости (сечения сферы плоскостью; касательная плоскость к сфере);
- изучение свойства касательной плоскости к сфере;- формирование навыка решения задач;
Развивающие:
- развитие способности к самостоятельному планированию и организации работы, к самоанализу и способности коррекции собственной деятельности;
Воспитательные:
- воспитание познавательного интереса к математике;- воспитание информационной культуры и культуры общения;- воспитание наблюдательности, самостоятельности, способности к коллективной работе.
Оборудование: карточки с заданиями для индивидуального контроля, карточки для оценивания и рефлексии настроения и результативности; компьютер, проекционный экран, проектор, набор прозрачных геометрических тел с сечениями (разборный).
Формы работы: фронтальная, работа в парах, индивидуальная.
Тип урока: урок изучения новых знаний, формирование умений и навыков.
Структура урока:
1.30'
Организационный момент. Мотивация к учебной деятельности.
Проверка домашнего задания.
Актуализация знаний, умений, навыков.
Постановка проблемы, выявление места и причины затруднения. Формулирование целей урока.
2.30'
Построение проекта выхода из затруднения (открытие нового знания).
Реализация построенного проекта.
Физминутка.
Первичное закрепление.
3.30'
Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону (образцу) .Применение нового материала при решении задач.
Постановка домашнего задания.
Рефлексия учебной деятельности (итог урока).
Ход урока:
1.30'
Организационный момент. Мотивация к учебной деятельности. (2мин)
- Приветствие, сообщение основных этапов урока, заполнение оценочной карточки.
Начать наш урок я хочу со слов известного учёного Ал - Бируни:
«Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно
не приходит».
Пусть эти слова станут девизом нашего урока.
Проверка домашнего задания (14 мин).
Проверка домашнего задания проводится в форме теста, в который включены вопросы прошлого урока: Сфера. Шар. Уравнение сферы».
Обучающиеся заполняют карточки и дублируют ответы в тетради. По окончании работы сдаются учителю, а в тетрадях проводят взаимопроверку по ответам на слайде и выставляют полученный результат в оценочный лист.
Критерии оценивания:
4 правильных ответа – «5»
3 правильных ответа – «4»
2 правильных ответа – «3»
1 правильный ответ – «2»
Тестовая работа по теме «Сфера и шар». Вариант 1.
Фамилия Имя ____________________________
Класс_____________________
№ п/п Вопрос Решение
1 Найдите координаты центра О и радиус сферы R, заданной уравнением
(х-2)2+(у+3)2+z2 = 25. 2 Напишите уравнение сферы радиуса R с центром в точке O, если O(2;0; -1),
R = 7. 3 Проверьте лежит ли точка А на сфере, заданной уравнением
(х+2)2+(у-1)2+(z-3)2 = 1,
если А(-2;1; 4). 4 Докажите, что данное уравнение
х2+у2+z2 +2х -2у = 2 является уравнением сферы, запишите координаты центра O и радиус сферы R.
Тестовая работа по теме «Сфера и шар». Вариант 2.
Фамилия Имя ____________________________
Класс_____________________
№ п/п Вопрос Решение
1 Найдите координаты центра O и радиус сферы R, заданной уравнением (х+3)2+у2+(z-1)2 = 16. 2 Напишите уравнение сферы радиуса R с центром в точке O, если O(-2;1; 0), R = 6. 3 Проверьте лежит ли точка А на сфере, заданной уравнением
(х-3)2+(у+1)2+(z-4)2 = 4,
если А(5;-1; 4). 4 Докажите, что данное уравнение
х2 +у2+z2 -2х +2z = 2 является уравнением сферы, запишите координаты центра O и радиус сферы R. Тестовая работа по теме «Сфера и шар». Вариант 3.
Фамилия Имя ____________________________
Класс_____________________
№ п/п Вопрос Решение
1 Найдите координаты центра O и радиус сферы R, заданной уравнением
(х-1)2+(у+2)2+(z+5)2 = 4. 2 Напишите уравнение сферы радиуса R с центром в точке O, если O(-7;5; -1),
R = 2,5. 3 Проверьте лежит ли точка А на сфере, заданной уравнением
(х-1)2+у2+(z-2)2 = 9,
если А(4;0; 2). 4 Докажите, что данное уравнение
х2+у2+z2 +2у-4z = 4 является уравнением сферы, запишите координаты центра O и радиус сферы R.
Тестовая работа по теме «Сфера и шар». Вариант 4.
Фамилия Имя ____________________________
Класс_____________________
№ п/п Вопрос Решение
1 Найдите координаты центра O и радиус сферы R, заданной уравнением х2+(у+2)2+(z+8)2 = 2. 2 Напишите уравнение сферы радиуса R с центром в точке O, если O(-5;3; 9), R = 8. 3 Проверьте лежит ли точка А на сфере, заданной уравнением
х2+(у+3)2+(z-2)2 = 25,
если А(4;-3; -1). 4 Докажите, что данное уравнение
х2 +у2+z2 -4х +6y = 36 является уравнением сферы, запишите координаты центра O и радиус сферы R. Актуализация знаний учащихся (7 мин)
Работа по вопросам
- определение сферы
- определение центра, радиуса и диаметра сферы
- определение шара
- определение центра, радиуса и диаметра шара
- уравнение сферы
Постановка проблемы, выявление места и причины затруднения. Формулирование целей урока. (7 мин)
Рассмотрим задачу № 586 на стр. 151 учебника.
№ 586. Отрезок ОН-высота тетраэдра ОАВС. Выясните взаимное расположение сферы радиуса R с центром О и плоскости АВС, если:
23145751333500 а) R=6 дм, ОН=60 см;
б) R=3 м, ОН=95 см;
в) R=5 дм, ОН=45 см;
г) R=3,5 дм, ОН=40 см;

Анализируя условие задачи обучающиеся делают вывод, что знаний, полученных на прошлом уроке недостаточно для решения поставленной проблемы. Чтобы решить задачу необходимо установить зависимость взаимного расположения сферы и плоскости АВС от длин радиуса R и высоты тетраэдра ОН.
Обучающиеся формулируют тему, цели и задачу урока:
Цели:
изучить виды взаимного расположения сферы и плоскости;
сформировать навыки решения задач.
Задача: провести исследование взаимного расположения сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от ее центра до плоскости.

2.30'
Построение проекта выхода из затруднения (открытие нового знания) (7 мин)
На этом уроке мы должны изучить возможные случаи взаимного расположения сферы и плоскости в пространстве.
Прежде чем приступить к новой теме, давайте вспомним некоторые факты.
В курсе планиметрии мы с вами рассматривали три случая взаимного расположения прямой и окружности, в зависимости от соотношения расстояния от центра окружности до прямой и радиуса окружности. Повторим их:
1)                Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.

2)                Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

3)                Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

В стереометрии же можно рассмотреть взаимное расположение сферы и плоскости в пространстве.
Итак, давайте исследуем взаимное расположение сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от ее центра до плоскости.
Для этого введём следующие обозначения. Обозначим радиус сферы буквой , центр сферы буквой , а расстояние от её центра до некоторой плоскости альфа – буквой .
Введём систему координат . Затем построим плоскость , совпадающую с плоскостью .
Изобразим сферу с центром в точке , лежащей на положительной полуоси .

Обратите внимание, в этой системе координат точка , где  – расстояние (перпендикуляр) от центра сферы до плоскости .
В зависимости от соотношения  – расстояния от центра сферы до плоскости  и  – радиуса сферы возможны три случая взаимного расположения сферы и плоскости в пространстве.
1. d<R
Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то … 2. d=R
Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то … 3. d>R
Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то …

Ваша задача исследовать каждый случай, сделать соответствующие выводы и проиллюстрировать при помощи набора прозрачных геометрических тел с сечениями.
1 ряд исследует 1 случай, 2 ряд -2 случай и 3 ряд-3 случай.
Работа проводится в парах.
Реализация построенного проекта. (15 мин)
Рассмотрим первый случай. Если .
Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то в данном случае сфера и плоскость пересекаются по окружности.
Сделаем вывод. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность.
Понятно, что сечение шара плоскостью есть круг. С приближением секущей плоскости к центру шара радиус сечения (круга) увеличивается.

Тогда расстояние от центра сферы до секущей плоскости равно нулю, а в сечении получается круг, радиус которого равен радиусу шара.
Определение:
Плоскость, проходящая через диаметр шара, называется диаметральной.
А круг, полученный в результате сечения, называется большим кругом шара.

Если же секущая плоскость не проходит через центр шара, то очевидно, что тогда радиус сечения будет меньше радиуса сферы.

Рассмотрим второй случай. Если .
Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.
Плоскость, имеющая со сферой одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая
точка – точкой касания.
Свойство касательной функции:
И рассмотрим третий случай. Если .
Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.
Физминутка. (3мин)
Первичное закрепление.(5мин)
Вернемся к задаче № 586.
Применим к её решению приобретённые знания и сделаем выводы.
№ 586. Отрезок ОН-высота тетраэдра ОАВС. Выясните взаимное расположение сферы радиуса R с центром О и плоскости АВС, если:
а) R=6 дм, ОН=60 см;
в) R=5 дм, ОН=45 см;
г) R=3,5 дм, ОН=40 см;
Решение: чтобы выяснить взаимное расположение сферы и плоскости, мы должны рассмотреть соотношение расстояния от центра сферы до плоскости и радиус сферы.
4295775144081500
В первом пункте, расстояние от центра сферы до плоскости   равно радиусу сферы.
а) R=6 дм=60 см, ОН=d=60 см =>d = R.
А это говорит о том, что сфера и плоскость имеют только одну общую точку или иначе говоря, плоскость касается сферы.
Во втором пункте, расстояние от центра сферы до плоскости 4010025-381000  меньше радиуса сферы.
в) R=5 дм=50 см, ОН=d=45 см =>d < R.
Значит, сфера и плоскость пересекаются по окружности.
4552950825500И в последнем пункте, расстояние от центра сферы до плоскости   больше радиуса сферы.
г) R=3,5 дм=35 см, ОН=d=40 см =>d > R.
Следовательно, сфера и плоскость не имеют общих точек, и значит, не пересекаются.
3.30'
Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону (образцу) .Самостоятельная работа по теме «Взаимное расположение сферы и плоскости». Вариант 1.
Фамилия Имя ____________________________
Класс_____________________
№ п/п R d Взаимное расположение сферы и плоскости
1 4 дм0,4 м 2 1 м 65 см 3 9 дм105 см 4 8 см Не имеют общих точек
5 13 см Имеют только одну общую точку
6 4 см Пересекаются по окружности
Самостоятельная работа по теме «Взаимное расположение сферы и плоскости». Вариант 2.
Фамилия Имя ____________________________
Класс_____________________
№ п/п R d Взаимное расположение сферы и плоскости
1 50 м 0,04 км 2 0,1 м 10 см 3 0,7 дм95 см 4 21 см Не имеют общих точек
5 5 см Пересекаются по окружности
6 7 см Имеют только одну общую точку
Осуществляется взаимопроверка по образцу. Результаты выставляются в оценочный лист, карточки сдаются учителю.
Применение нового материала при решении задач.
№ 580, № 581, №592

Ответ. 1600π дм²
581. Вершины треугольника АВС лежат на сфере
51911251079500 радиуса 13 см. Найдите расстояние от центра сферы
до плоскости треугольника, если АВ=6 см, ВС=8 см,
АС=10 см.
Плоскость треугольника АВС пересекает сферу с центром в точке О по окружности, которая описана около ΔАВС. Из точки О проведем ОК перпендикулярно плоскости АВС, ОК — искомое расстояние, точка К — центр описанной около ΔАВС окружности. 
Рассмотрим ∆АВС. Так как АС² = АВ² + ВС², то ∆АВС-прямоугольный. Следовательно, точка К – середина гипотенузы АС.
Таким образом: АК=СК=5 см.
Из ΔОКС(∠ ОКС=90°) по теореме Пифагора находим ОК:
ОК=ОС2-СК² = 132-5² = 144 = 12 (см).
Ответ. 12 см.
5172075508000
№ 592 Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.
ВN-искомое расстояние.
α-касательная плоскость, следовательно ОА⊥α, а значит
ΔОАВ-прямоугольный. По теореме Пифагора
ОВ = ОА2+АВ²= 1122+15²= 113 (см).
Так как ОN=112 см, то ВN = 113-112 =1 (см).
Ответ: 1 см.
Постановка домашнего задания.
п. 66-67, № 582, № 585, * № 590
Инструкция по выполнению домашнего задания

Рефлексия учебной деятельности (итог урока).
На этом уроке мы рассмотрели случаи возможного взаимного расположения сферы и плоскости в пространстве. И выявили, что: если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность; если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку; и если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.
Ребята, когда вы будете выходить из класса, оцените каждый самостоятельно свою работу на уроке с помощью соответствующего смайлика на оценочной карточке и сдайте их.
Спасибо за урок, до свидания.