Урок-лекция Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация
Урок-лекция по теме «Непрерывные функции и их свойства.
Точки разрыва и их классификация»
Методические рекомендации по организации лекции
Мы предлагаем в начале лекции сформулировать вопросы на которые необходимо ответить в конце урока. В конце лекции на основе предложенных вопросов проводится проверочная работа №1
(Приложение 1).
Для удобства конспектирования учащимся в начале лекции раздаются рабочие листы, которые они будут заполнять по ходу лекции
(Приложение 2).
Конспект урока по теме «Непрерывные функции и их свойства.
Точки разрыва и их классификация»
Цель: Сформировать теоретический аппарат по теме. Ввести
- понятие непрерывности функции в точке и на отрезке;
- понятие односторонней непрерывности;
- понятие точек разрыва и их классификацию;
- свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке.
План лекции:
1. Постановка цели перед учащимися.
В начале лекции формулируются вопросы на которые необходимо попытаться ответить в конце урока.
1. Какая функция называется непрерывной в точке?
2.Каковы характерные признаки непрерывности функции в точке?
3. Какая функция называется непрерывной на отрезке?
4. Какими свойствами обладают непрерывные функции?
5. Какие точки называются точками разрыва?
6. Какие бывают точки разрыва?
2. Актуализация знаний учащихся, необходимых для восприятия новой темы.
Учащимся предлагается выполнить следующее задание:
Пример 1. Построить схематически графики функций:
1) 13 QUOTE 1415, 2) 13 QUOTE 1415; 3) 13 QUOTE 1415 4)13 QUOTE 1415 5) 13 QUOTE 1415
и ответить на вопросы.
1. Сформулируйте определение функции, ее области определения и множества значений.
2. Определены ли функции в точке 13 QUOTE 1415?
3. Является ли указанная точка внутренней точкой области определения?
4. Чем отличаются графики функций?
5. Имеют ли функции предел в точке 13 QUOTE 1415? Если да, то чему он равен?
6. Равен ли предел значению функции в точке 13 QUOTE 1415?
По ходу ответов на вопросы на наглядно-интуитивном уровне вводятся понятия функции непрерывной в точке и функции разрывной.
1. Если график функции в точке 13 QUOTE 1415 не «разрывается», то говорят, что функция в этой точке непрерывна ( слово разрывается поставлено в кавычки, так как нами не определено точно, что значит разрывается).
2. Если график функции в точке 13 QUOTE 1415 «разрывается», то точка 13 QUOTE 1415 называется точкой разрыва функции, а о функции говорят, что она не является непрерывной в точке 13 QUOTE 1415 (является разрывной, терпит разрыв)
Ответив на все вопросы учитель вместе с учащимися дает строгое определение непрерывной функции в точке.
3. Введение понятия функции непрерывной в точке.
На этом этапе лекции формулируются два определения функции, непрерывной в точке.
Определение 1. Функция 13 QUOTE 1415, определенная в некоторой окрестности точки 13 QUOTE 1415, называется непрерывной в точке 13 QUOTE 1415, если 13 QUOTE 1415.
Необходимо обратить внимание учащихся на то, что согласно данному определению непрерывность функции 13 QUOTE 1415 в точке 13 QUOTE 1415 означает одновременную выполняемость следующих условий:
1. Функция 13 QUOTE 1415 должна быть определена в точке 13 QUOTE 1415.
2. У функции 13 QUOTE 1415 должен существовать предел в точке 13 QUOTE 1415. Как отмечалось выше, это подразумевает существование и равенство односторонних пределов в точке 13 QUOTE 1415.
3. Предел функции 13 QUOTE 1415 в точке 13 QUOTE 1415 совпадает со значением функции в этой точке.
Прежде чем рассматривать второе определение функции, непрерывной в точке, необходимо вспомнить определение предела функции в точке и ввести понятия приращения аргумента 13 QUOTE 1415 и приращения функции 13 QUOTE 1415.
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке 13 QUOTE 1415, если бесконечно малому приращению аргумента 13 QUOTE 1415 соответствует бесконечно малое приращение функции 13 QUOTE 1415, то есть 13 QUOTE 1415.
Приводятся примеры на использование определений 1 и 2 для доказательства непрерывности функции в точке.
Пример 2. Используя определение 1, доказать непрерывность функции 13 QUOTE 1415 в точке 13 QUOTE 1415.
Пример 3. Используя определение 2, доказать непрерывность функции 13 QUOTE 1415 при любом значении 13 QUOTE 1415.
Следует обратить внимание учащихся на то, что рассматривая аналогичным образом каждую основную элементарную функцию, можно доказать, что каждая основная элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
4. Введение понятия односторонней непрерывности.
По аналогии с понятием предела слева и предела справа вводится понятие непрерывности слева и непрерывности справа. Можно предложить учащимся самостоятельно сформулировать эти определения.
Определение 3. Если функция 13 QUOTE 1415 определена на полуинтервале 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415, т.е. 13 QUOTE 1415, то эта функция называется непрерывной справа в точке 13 QUOTE 1415.
Определение 4. Если функция 13 QUOTE 1415 определена на полуинтервале 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415, т.е. 13 QUOTE 1415, то эта функция называется непрерывной слева в точке 13 QUOTE 1415.
Необходимо обратить внимание учащихся на то, что для непрерывности функции в точке необходимо и достаточно её непрерывности в этой точке слева и справа.
В качестве примера можно рассмотреть одностороннюю непрерывность функций из примера 1.
5. Введение понятия функции непрерывной на отрезке
Формулируются определения функции непрерывной на интервале и функции непрерывной на отрезке.
Определение 5. Если функция непрерывна в каждой точке интервала 13 QUOTE 1415, то она называется непрерывной на этом интервале.
Определение 6. Функция называется непрерывной на отрезке 13 QUOTE 1415, если она непрерывна на интервале 13 QUOTE 1415 и, кроме того, непрерывна справа в точке 13 QUOTE 1415 и непрерывна слева в точке 13 QUOTE 1415.
Геометрический смысл введенных определений можно рассмотреть на примере функций из примера1.
6. Введение понятия точек разрыва и их классификации.
Формулируется определение точек разрыва и приводится их классификация.
Определение 7. Точка 13 QUOTE 1415 называется точкой разрыва функции 13 QUOTE 1415, если эта функция либо не определена в точке 13 QUOTE 1415, либо определена, но не является непрерывной в точке 13 QUOTE 1415.
При этом следует отметить, что в точке разрыва нарушается одно из трех условий непрерывности. В зависимости от того какое условие нарушается выделяют точки разрыва первого рода (точки устранимого разрыва, точки разрыва с конечным скачком функции) и точки разрыва второго рода. У каждого типа разрыва есть свои характерные особенности, на которые нужно обратить внимание.
В качестве примера можно рассмотреть поведение вблизи точек разрыва графиков функций из примера 1.
7. Формулировка основных свойств функций, непрерывных в точке
Формулируются основные свойства функции, непрерывной в точке и даются указания на способы их доказательства.
1. Ограниченность в некоторой окрестности точки 13 QUOTE 1415 непрерывной в точке 13 QUOTE 1415 функции.
2. Знак функции, непрерывной в точке 13 QUOTE 1415, в некоторой окрестности этой точки.
3. Непрерывность в точке суммы, произведения и частного непрерывных в точке функций.
4. Непрерывность сложной функции.
8. Формулировка основных свойств функций, непрерывных на отрезке
На этом этапе лекции формулируют без доказательства ( доказательство теорем можно рассмотреть на семинаре) основные теоремы для функции, непрерывной на отрезке и рассматривают их геометрический смысл.
1. Теорема о нулях непрерывной на отрезке функции.
Если функция 13 QUOTE 1415 определена и непрерывна на отрезке 13 QUOTE 1415 и принимает на его концах значения разных знаков, т.е. 13 QUOTE 1415, то на интервале 13 QUOTE 1415 имеется по крайней мере один корень функции, т.е. 13 QUOTE 1415.
2. Теорема о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции.
Если функция 13 QUOTE 1415 определена и непрерывна на отрезке 13 QUOTE 1415 и принимает на его концах различные значения 13 QUOTE 1415, то для любого числа C, лежащего между A и B, на интервале 13 QUOTE 1415найдется такая точка с, что 13 QUOTE 1415.
3. Теорема об ограниченности непрерывной на отрезке функции.
Если функция 13 QUOTE 1415 непрерывна на отрезке 13 QUOT
·E 1415, то она ограничена на этом отрезке.
4. Теорема о достижимости своего наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной на отрезке.
Если функция 13 QUOTE 1415 непрерывна на отрезке 13 QUOTE 1415,то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.
Необходимо обратить внимание учащихся на значимость этих теорем для решения практических задач.
9. Подведение итогов
Проведение диагностической работы. Целью этой работы является определение уровня усвоения учебного материала, рассмотренного на лекции. Учащимся предлагается ответить на вопросы, сформулированные в начале лекции.
10. Постановка домашнего задания.
1. Разобраться с материалом лекции, выучить основные определения и формулировки теорем.
В результате этой лекции на рабочих листах, выданных в начале лекции, у учащихся появится опорный конспект.
Приложение 1.
Проверочная работа №1
1. Функция 13 QUOTE 1415, определенная в некоторой окрестности точки 13 QUOTE 1415, называется непрерывной в точке 13 QUOTE 1415, если ____________________________________
2. Перечислите условия , которые должны выполняться для функции непрерывной в точке 13 QUOTE 1415.
1) _______________________________________________________________
2) ________________________________________________________________
3) ________________________________________________________________
3. Функция называется непрерывной на отрезке 13 QUOTE 1415, если
_______________________________________________________________
4. Какие точки называются точками разрыва графика функции?
__________________________________________________________________
5. Когда функция терпит разрыв первого рода?
__________________________________________________________________
6. Сформулируйте условия, при которых функция имеет разрыв второго рода ._____________________________________________________________
7. В каком случае функция терпит устранимый разрыв?
__________________________________________________________________
Приложение 2.
Рабочие листы, которые заполняются по ходу лекции
Пример 1. Построить графики функций и ответить на вопросы.
1. Найдите односторонние пределы функции в точке 13 QUOTE 1415.
2. Что можно сказать о наличии предела функции в точке 13 QUOTE 1415?
3. Укажите связь, которая существует между односторонними пределами функции13 QUOTE 1415 и пределом этой функции в точке 13 QUOTE 1415.
4. Что можно сказать о поведении графика в точке 13 QUOTE 1415?
Определение 1. Функция 13 QUOTE 1415, определенная в некоторой окрестности точки 13 QUOTE 1415, называется непрерывной в точке 13 QUOTE 1415, если _____________________(1)
Условия, которые должны выполняться для непрерывной в точке 13 QUOTE 1415 функции:
1) ________________________________________________________________
2) ________________________________________________________________
3) ________________________________________________________________
Определение 13 QUOTE 1415. Функция 13 QUOTE 1415, определенная в некоторой окрестности точки 13 QUOTE 1415, называется непрерывной в точке 13 QUOTE 1415, если _______________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________
Пример 2. Используя определение 1, доказать непрерывность функции 13 QUOTE 1415 в точке 13 QUOTE 1415.
Решение:
1)________________________________________________________________
2) ________________________________________________________________
3) ________________________________________________________________
Вывод: ____________________________________________________________
Преобразуем равенство (1). _____________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Разность 13 QUOTE 1415 называется приращением аргумента13 QUOTE 1415 в точке 13 QUOTE 1415 и обозначается 13 QUOTE 1415, а разность f(x) f(a) - приращением функции в точке 13 QUOTE 1415, соответствующим приращению аргумента 13 QUOTE 1415, и обозначается 13 QUOTE 1415.
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке 13 QUOTE 1415, если
__________________________________________________________________
Пример 3. Используя определение 2, доказать непрерывность функции
13 QUOTE 1415 при любом значении 13 QUOTE 1415.
Решение:
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
По аналогии с понятием предела слева и предела справа вводится понятие непрерывности слева и непрерывности справа.
Определение 3. Функция 13 QUOTE 1415 определенная на полуинтервале 13 QUOTE 1415 называется непрерывной слева в точке 13 QUOTE 1415, если________________ __________________________________________________________________
Определение 4. Функция 13 QUOTE 1415 определенная на полуинтервале 13 QUOTE 1415 называется непрерывной справа в точке 13 QUOTE 1415, если ________________ _______________________________________________________________
Определение 5. Функция 13 QUOTE 1415 называется непрерывной на интервале 13 QUOTE 1415, если ________________________________________________________
Определение 6. Функция называется непрерывной на отрезке 13 QUOTE 1415, если __________________________________________________________
__________________________________________________________________
Свойства функций, непрерывных в точке
1) ________________________________________________________________
__________________________________________________________________
2) ________________________________________________________________
__________________________________________________________________
3) ________________________________________________________________
__________________________________________________________________
4) ________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Теорема 1. _____________________________________________________
_______________________________________________________________
Теорема 2. _______________________________________________________
_______________________________________________________________
Теорема 3. ________________________________________________________
__________________________________________________________________
Теорема 4. ________________________________________________________
__________________________________________________________________
Определение 7. Точка 13 QUOTE 1415 называется точкой разрыва функции 13 QUOTE 1415, если в точке 13 QUOTE 1415, __________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Точки разрыва и их классификация
Тип точки
разрыва 13 QUOTE 1415
Определение
Пример
Устранимый
разрыв
Неустранимый разрыв I рода
(разрыв с конечным скачком функции)
Неустранимый разрыв II рода
Пример 4. Найти такие числа 13 QUOTE 1415, при которых функция
непрерывна в точке 13 QUOTE 1415.
Решение:
1) _______________________________________________________________
__________________________________________________________________
2) Функция 13 QUOTE 1415 непрерывна в точке 13 QUOTE 1415. если
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Пример 5. Выяснить является ли непрерывной функция
непрерывной в точке 13 QUOTE 1415.
Решение:
1)_________________________________________________________________
2) ________________________________________________________________
3) ________________________________________________________________
Вывод: ____________________________________________________________
15