Применение производной к исследованию функций

Карта - информатор
Тема: Применение производной к исследованию функций.
Применение производной к нахождению промежутков возрастания и убывания функции:
Если 13 EMBED Equation.3 1415 на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 на промежутке, то функция убывает на этом промежутке.
Экстремумы функции:
а) Точки, в которых производная функции равна нулю, называют стационарными.
б) Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (а, в), 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Тогда:
если при переходе через стационарную точку 13 EMBED Equation.3 1415функции 13 EMBED Equation.3 1415 ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 справа от точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 слева от точки 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415- точка максимума функции 13 EMBED Equation.3 1415.
если при переходе через стационарную точку 13 EMBED Equation.3 1415функции 13 EMBED Equation.3 1415 ее производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то 13 EMBED Equation.3 1415- точка минимума функции 13 EMBED Equation.3 1415.
в) Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.
г) Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема,
называют критическими точками этой функции.
3. Применение производной к построению графиков функций.
План исследования функции:
найти область определения функции;
найти производную;
найти стационарные точки ( решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415);
найти промежутки возрастания и убывания;
найти точки экстремума и значения функции в этих точках.
Результаты исследования записать в виде таблицы. Используя таблицу построить график. Для более точного построения найти еще несколько точек графика.
Наибольшее и наименьшее значения функции:
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 нужно:
1) найти значения функции на концах отрезка, т.е. числа 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 E
·MBED Equation.3 1415.
2) найти ее значения в тех критических точках, которые принадлежат интервалу 13 EMBED Equation.3 1415;
3) из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Примеры: 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415 решая неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 находим интервал возрастания, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. Решая неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 находим интервал убывания, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. Ответ: возрастает на промежутке 13 EMBED Equation.3 1415; убывает на промежутке .13 EMBED Equation.3 1415.
2. Найти стационарные точки функции 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Найти производную: 13 EMBED Equation.3 1415Найти стационарные точки, т.е.решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415; методом интервалов
можно установить, что 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 и при 13 EMBED Equation.3 1415
При переходе через точку 13 EMBED Equation.3 1415 производная меняет знак с «минуса» на «плюс», точка 13 EMBED Equation.3 1415- точка минимума, при переходе через точку 13 EMBED Equation.3 1415 производная не меняет знак, точка13 EMBED Equation.3 1415 не является точкой экстремума.
4.Найти наибольшее и наименьшее значения функции 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: 1. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415 3. Стационарные точки: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 4.Интервалу 13 EMBED Equation.3 1415 принадлежит одна точка х = 1. 13 EMBED Equation.3 1415
5. Из чисел 0; 2; -2 наибольшее 2, наименьшее -2.
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native