Статья по алгебре «Метод интервалов при решении задач части С»
Методическая разработка по алгебре для подготовки к ЕГЭ 2014 по теме:
«Метод интервалов при решении задач части С».
Вот уже на протяжении нескольких лет формой сдачи итогового экзамена в школе является ЕГЭ. Внедрялся он посредством эксперимента. Конечно, как и любой масштабный проект ЕГЭ имеет сторонников и противников, плюсы и минусы, как бы то ни было, без него уже трудно представить школу сегодня.
Часть С ЕГЭ по математике предназначается для определения математической компетенции выпускников образовательных учреждений, реализующих программы среднего(полного) общего образования на базовом уровне. Задание С – 3 относится к заданиям повышенного уровня. Чаще всего оно представлено в виде комбинированного неравенства или системы неравенств, поиск решения которого заставляет мобилизовать знания по всем основным разделам алгебры и начал анализа.
Ниже рассмотрим наиболее интересные задачи, решаемые методом интервалов, с методическими пояснениями (замечаниями) к каждому примеру, иллюстрирующими математические «тонкости» применения метода интервалов.
Метод интервалов позволяет наиболее рационально решать такие неравенства, так как он основан на одном важном свойстве рациональной функции, которое сформулировано следующим образом: в интервале между двумя своими соседними критическими точками рациональная функция сохраняет знак.
Метод интервалов состоит в следующем. Рациональное неравенство приводят к стандартному виду:
1) 13 EMBED Equation.3 1415>0 или 13 EMBED Equation.3 1415< 0 (в случае строгого неравенства)
2) 13 EMBED Equation.3 1415
·0 или 13 EMBED Equation.3 1415
· 0 (в случае нестрогого неравенства)
Затем находят все критические точки рациональной функции. Эти точки отмечают на числовой оси. Вся числовая ось разбивается критическими точками на конечное число интервалов, на каждом из которых левая часть неравенства сохраняет знак. Чтобы определить знак левой части на всем интервале, достаточно определить знак 13 EMBED Equation.3 1415 в одной какой-либо точке этого интервала и тем самым установить, входит ли этот интервал в множество решений данного неравенства.
Что касается самих критических точек, то в случае строгого неравенства 13 EMBED Equation.3 1415>0 они не входят во множество решений; в случае нестрогого неравенства 13 EMBED Equation.3 1415
·0 нули многочлена 13 EMBED Equation.3 1415 входят во множество решений, если только они не являются нулями и многочлена 13 EMBED Equation.3 1415, если же они являются нулями многочлена 13 EMBED Equation.3 1415, то во множество решений они уже не войдут.
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих преимущество использования метода интервалов.
Пример 1 Решить неравенство:
13 EMBED Equation.3 1415
Данное неравенство можно классифицировать как логарифмическое. Решение выглядит следующим образом:
13 EMBED Equation.3 1415
Теперь мы можем обратиться к методу интервалов. Для этого найдем нули функций:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
После этого наносим нули функции на числовую прямую (рис. 1).
3 4 6 х
Рис. 1
Но знак функции на этом этапе не проверяем, т.к. область определения неравенства неизвестна, и есть риск проделать лишние действия, затратив на это время и силы. Найдем область определения неравенства (ООН):
ООН:
13 EMBED Equation.3 1415
ООН: (-
·;4)
Отметим ООН на числовой прямой и определим знак функции на промежутках, принадлежащих ООН (рис. 2).
3 4 6 х
Рис.2
Для этого из промежутка (-
·;3] возьмем число 0 и подставим в выражение 13 EMBED Equation.3 1415. Выражение принимает положительное значение, значит, и на всем промежутке (-
·;3] функция принимает положительное значение. Аналогично, определим знак функции и на промежутке [3;4). Решением неравенства будет являться промежуток (-
·;3].
Ответ: (-
·;3]
Замечание Если не использовать метод интервалов для решения данного неравенства, то тогда пришлось бы рассматривать два случая, когда
13 EMBED Equation.3 1415
1 случай: 2 случай:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Рассматривать две системы не целесообразно с точки зрения потери времени и рациональности решения. Тем более, в данном случае можно запутаться с понятиями совокупности неравенств и системы неравенств. Метод интервалов представляет собой наиболее рациональный путь решения представленного неравенства.
Пример 2 Решить неравенство:
13 EMBED Equation.3 1415
Сначала необходимо упростить левую часть:
13 EMBED Equation.3 1415
В данном случае трудно представить какой-либо другой способ решения неравенства, кроме метода интервалов.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Отмечаем нули функции на числовой прямой. Важно понять, где на числовой прямой располагается число 13 EMBED Equation.3 1415. Для этого представим числа в логарифмической форме:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Остальные числа необязательно представлять в логарифмической форме, т.к. местоположение числа 13 EMBED Equation.3 1415 уже известно (рис. 3)
х
-2 -1 -13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Рис.3
Далее находим ООН:
13 EMBED Equation.3 1415
ООН: (-2; 13 EMBED Equation.3 1415)
Отметим ООН на числовой прямой и определим знаки функции на промежутках, входящих в ООН. Далее, отбираем те промежутки, на которых знак функции совпадает со знаком исходного неравенства (рис.4).
х
-2 -1 -13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Рис. 4
Ответ : 13 EMBED Equation.3 1415
Замечание Трудности при решении этого неравенства возникают лишь на этапе определения местоположения числа 13 EMBED Equation.3 1415 на числовой прямой.
Пример 3 Решить неравенство:
13 EMBED Equation.3 1415
Предварительно анализируя неравенство, можно заметить, что оно комбинированное, в нем встречаются степенные, показательные, логарифмические функции, а также модули. В предыдущих случаях сначала производились упрощения неравенства, а затем находились нули функции. В данном же примере, нули функции начинаем искать уже в начале решения.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Для решения этого показательно-степенного уравнения необходимо рассмотреть несколько случаев:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2)13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
решений нет 13 EMBED Equation.3 1415 решений нет
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
После того, как все нули функции найдены, наносим их на числовую прямую. Затем ищем ООН:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Отмечаем ООН на числовой прямой и проверяем знаки функции на промежутках, которые входят в ООН (рис.5)
-6 -5 -2 -1 0 2 3 5 6 х
Рис. 5
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Замечание Этот пример иллюстрирует необходимость проверять знаки функции на числовой прямой после нахождения ООН.
Пример 4 Решить неравенство:
13 EMBED Equation.3 1415
Данное неравенство можно решить двумя способами.
1 способ:
В основании логарифма находится переменное выражение под модулем, которое влияет на знак неравенства при его упрощении. Поэтому необходимо рассмотреть две системы:
1 случай 2 случай
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
решений нет 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
2 способ:
Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого приведем логарифм к новому основанию.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Найдем область определения неравенства:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Нанесем область определения неравенства и нули функции на числовую прямую (рис. 6)
х
13 EMBED Equation.3 1415 -2 -1 0 1 9
Рис. 6
Определим знаки функции на промежутках, выберем ответ.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Замечание Сравнивая оба способа решения неравенства, можно сделать вывод, что метод интервалов является более рациональным для решения данного неравенства. Т.к. он позволяет избежать лишних действий и экономить время, в отличие от первого способа.
Пример 5 Решить неравенство:
13 EMBED Equation.3 1415
Данное неравенство является комбинированным. Решим его методом интервалов. Для этого найдем нули функции
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415 х = 3 х = 13 EMBED Equation.3 1415
х=2, х=-1
Найдем область определения неравенства:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Нанесем область определения и нули функции на числовую прямую и проверим знаки функции на полученных промежутках (рис. 7)
х
-2 13 EMBED Equation.3 1415 -1 0 13 EMBED Equation.3 1415 2 13 EMBED Equation.3 1415 3 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Рис. 7
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Замечание 1 В данном неравенстве присутствует периодическая функция у = sin 3x, и важно помнить, что нулей этой функции бесконечное множество, а не одно число 13 EMBED Equation.3 1415 .
Замечание 2 Нули функции достаточно близко расположены к друг другу, и важно проявить внимательность при расстановке нулей на числовой прямой.
Подводя итог, можно сказать, что метод интервалов актуален и сегодня, и его использование целесообразно и рационально для решения подобных задач при подготовке школьников к ЕГЭ, а также на факультативах и элективных курсах с углубленным изучением математики.
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeoEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native