Подготовка к ЕГЭ Теория вероятностей

Подготовка к ЕГЭ (профильный уровень)Задание 5Математика 11МБОУ СОШ «Солнечная» Дмитровская Елена Васильевна Задача 1. На экзамене 40 вопросов, Коля не выучил 4 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос. Решение:Вероятность события p определятся формулой: p= 𝒌𝒏, где k – число благоприятных событий (исходов), n – число всех возможных событий.Из 40 вопросов (число всевозможных исходов) Коля выучил 40 – 4 = 36 вопросов (число благоприятных исходов).Тогда вероятность того, что Коле попадется выученный вопрос – это p = 𝟑𝟔𝟒𝟎 = 0, 9 3х10хВ 50,9

Задача 2. В фирме такси в данный момент свободно 35 машин: 11 красных, 17 фиолетовых , остальные зеленые. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.Решение:Найдём число зеленых такси в фирме: 35 – (11 + 17) = 7Вероятность того, что к заказчице приедет зелёное такси 𝟕𝟑𝟓 = 0,2. 3х10хВ 50,2

Задача 3. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.Решение: Всего возможных комбинаций при вбрасывании трёх кубиков: 6 * 6 *6 = 216.Из них благоприятные исходы можно перечислить:Таким образом, всего благоприятных исходов 15.Вероятность найдем, как отношение числа 15 благоприятных исходов к числу всех возможных комбинаций 36.15/216 = 0,06944444 … Округлим до сотых. 0, 073х10хВ 50,07


Задача 4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.Решение:Благоприятный исход: орел – орел – орел - орел.Всего исходов : 2 · 2 · 2 · 2 = 16.Значит, вероятность того, что решка не выпадет ни разу – есть 1/16 = 0,0625.3х10хВ 50,0256



Задача 5. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 75 докладов — в первый день 27 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?Решение:Всего запланировано 75 докладов, и так как в первый день запланировано 27, то на оставшиеся два дня остается 75 – 27 = 48 докладов, при этом во второй и третий дни будет прочитано по 48 :2 = 24 доклада.Значит вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на третий день есть 24/75 = 8/25 = 0,32;3х10хВ 50,32

Задача 6. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шашистов, среди которых 3 участника из России, в том числе Василий Лукин. Найдите вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шашистом из России?Решение:В первом туре Василий Лукин может сыграть с 26 − 1 = 25 шашистом, из которых 3 − 1 = 2 из России.Значит, вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шашистом из России, есть 2/25 = 0,08;3х10хВ 50,08

Задача 7. В чемпионате мира участвуют 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Китая окажется в первой группе?Решение:Количество карточек с номером «1» – 4 штуки. Всего карточек (команд) – 20.Значит, вероятность того, что команда Китая окажется в первой группе равна4/20 = 1/5 = 0,2;3х10хВ 50,2


Задача 8. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет меньше 4?Решение:На клавиатуре телефона цифр меньше 4-х – 4 штуки (0; 1; 2; 3). Всего цифр 10.Значит, вероятность того, что случайно нажатая цифра будет меньше 4 равна 4/10 = 0,4;3х10хВ 50,4

Задача 9. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 41 до 56 делится на 2?Решение:От 41 до 56 ровно 16 чисел. Среди них четных 8 штук (42; 44; 46; 48; 50; 52; 54; 56).Значит, вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 41 до 56 делится на 2 равна8/16 = 0,5;3х10хВ 50,5

Задача 10. В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе.Решение:Пусть один из друзей находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 6 человек из 20 оставшихся учащихся. Вероятность того, что друг окажется среди этих 6 человек, равна 6 : 20 = 0,3.3х10хВ 50,3

Задача 11. Вероятность того, что новый блендер в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,096. В некотором городе из 1000 проданных блендеров в течение года в гарантийную мастерскую поступило 102 штуки. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?Решение:Частота события «гарантийный ремонт» составляет 102 : 1000 = 0,102.Вероятность же, что новый блендер в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,096.Разница между частотой события и вероятностью составляет 0,102 - 0,096 = 0,006.3х10хВ 50,060

Задача 12. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 6, но не дойдя до отметки 9 часов.Решение:На циферблате между 6 часами и 9 располагаются три часовых деления.Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна:3 :12 = 0,25;3х10хВ 50,25

Задача 13. Фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет сумки. В сред­нем на 160 ка­че­ствен­ных сумок при­хо­дит­ся че­ты­ре сумки со скры­ты­ми де­фек­та­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся ка­че­ствен­ной. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.Ре­ше­ние.По усло­вию на каж­дые 160 + 4 = 164 сумки 160 сумок — ка­че­ствен­ные. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся ка­че­ствен­ной, равна 160 : 164 = 0,9756… ≈𝟎,𝟗𝟖 3х10хВ 50,98


Задача 14. Две фаб­ри­ки вы­пус­ка­ют оди­на­ко­вые стек­ла для ав­то­мо­биль­ных фар. Пер­вая фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет 45% этих сте­кол, вто­рая — 55%. Пер­вая фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет 3% бра­ко­ван­ных сте­кол, а вто­рая — 1%. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но куп­лен­ное в ма­га­зи­не стек­ло ока­жет­ся бра­ко­ван­ным.Ре­ше­ние.Ве­ро­ят­ность того, что стек­ло куп­ле­но на пер­вой фаб­ри­ке и оно бра­ко­ван­ное: 0,45 · 0,03 = 0,0135.Ве­ро­ят­ность того, что стек­ло куп­ле­но на вто­рой фаб­ри­ке и оно бра­ко­ван­ное: 0,55 · 0,01 = 0,0055.По­это­му по фор­му­ле пол­ной ве­ро­ят­но­сти ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но куп­лен­ное в ма­га­зи­не стек­ло ока­жет­ся бра­ко­ван­ным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019.3х10хВ 50,091

Задача 15. По­ме­ще­ние осве­ща­ет­ся фонарём с двумя лам­па­ми. Ве­ро­ят­ность пе­ре­го­ра­ния лампы в те­че­ние года равна 0,3. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в те­че­ние года хотя бы одна лампа не пе­ре­го­рит.Ре­ше­ние.Най­дем ве­ро­ят­ность того, что пе­ре­го­рят обе лампы. Эти со­бы­тия не­за­ви­си­мые, ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния равно про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: 0,3 · 0,3 = 0,09.Со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что не пе­ре­го­рит хотя бы одна лампа, про­ти­во­по­лож­ное. Сле­до­ва­тель­но, его ве­ро­ят­ность равна 1 − 0,09 = 0,91.3х10хВ 50,91

Задача 16. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.Решение: Всего возможных 2³ = 8 вариантов:   ООО, ООР, ОРО, РОО,ОРР, РОР, РРО, РРР;    значит m = 8Благоприятных 3:   n = 3 Вероятность равна Р = 3/8 = 0,375.3х10хВ 50,357


Задача 17 В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых.Решение: Всего вариантов выпадения для трёх кубиков m= 6³ = 216 (каждый из кубиков имеет 6 граней). А подходящих для нас (сумма равна 16) всего n = 6: 16 = 6+6+4 = 6+4+6 = 4+6+6 = 5+5+6 = 5+6+5 = 6+5+5. Искомая вероятность равна Р = 6/216 = ¹⁄₃₆ ≈ 0,03.3х10хВ 50,03

Задача 18. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.Решение.Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156. 3х10хВ 50,165

Задача 19. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение: Рассмотрим события .А = кофе закончится в первом автомате, В = кофе закончится во втором автомате. Тогда A•B = кофе закончится в обоих автоматах, A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате. По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A•B) = 0,12. События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A•B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48. Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52. 3х10хВ 50,52

Задача20: Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.Решение: Результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле» и т.д. независимы.Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит, вероятность промаха равна 1 – 0,8 = 0,2.1 выстрел: Р= 0,8 ; 2 выстрел : Р= 0,8 ; 3 выстрел : Р= 0,8;4 выстрел :Р = 0,2 ;5 выстрел :Р= 0,2По формуле умножения вероятностей независимых событий, получаем, что искомая вероятность равна: Р=0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.3х10хВ 50,02