10 класс алгебра и начала анализа «Методы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции».

10 класс алгебра и начала анализа
Тема «Методы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.
Цели: 1. Систематизировать, обобщить знания и умения учащихся по применению методов решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.
2. Развивать умение наблюдать, сравнивать, обобщать, классифицировать, анализировать математические ситуации.
3. Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели. Побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.
Оценочный лист обучающегося.
Фамилия
Имя
Этапы Задание Достижения Оценка
1 Задание №1 Знать и понимать определения обратных тригонометрических функций, тождеств 2 Тест Уметь применять свойства обратных тригонометрических функций для решения уравнений. 3 Классификация уравнений по методам решения Знать характеристику каждого метода.
Уметь классифицировать уравнения по методам решений 4 Проверка домашнего задания Уметь решать уравнения №9, 11, 10, 3, 13 5 Решение уравнений Уметь решать уравнения №12, 16, 14 6 Самостоятельная работа Уметь решать уравнения:
Вариант 1-1,4
Вариант 2-4,5 Итоговое количество баллов Оценка Критерии оценки: «5» - от 28 до 30 баллов, «4» - от 25 до 27 баллов, «3» - от 18 до 24 баллов, «2» - менее 18 баллов.
Предварительное домашнее задание:
Повторить определение обратных тригонометрических функций, понятие о равносильных и неравносильных преобразованиях, характеристики методов решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.
Ход урока
Урок начинается с вводной беседы учителя, в которой он отмечает, что уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции, часто встречаются у учащихся старших классов значительные трудности. Поэтому сегодня им предстоит повторить и систематизировать методы решения таких уравнений. Учитель ориентирует учеников в работе с оценочным листом.
Этап 1
Учитель предлагает ребятам вначале вспомнить важнейшие свойства обратных тригонометрических функций. Ученики выполняют задания №1, №2 на карточках в парах.
Одна пара выполняет эти задания на магнитной доске. Когда задания карточек выполнены, ребята сравнивают свои записи с работой товарищей у доски, исправляют ошибки, фиксируют свои успехи в оценочном листе.
Задание 1. Соедините линиями соответствующие данным обратные тригонометрические функциям область определения, область значения, условие монотонности, график.
Критерии оценок:
«5» - нет ошибок,
«4» - 1-2 ошибки,
«3»- 3-4 ошибки,
2033053320998Монотонно возрастающая
Монотонно возрастающая
«2» - более 4 ошибок.
1017270159385D(y)=[-1;1]
00D(y)=[-1;1]
2443480122555y=arcsinxy=arcsinx4119880160020E(y)=[-π2;π2]
00E(y)=[-π2;π2]

10153651009015E(y)=(0;π)E(y)=(0;π)1017905375285D(y)=R
00D(y)=R
2448560977265y=arcctgx
y=arcctgx
2453005570865y=arctgx
y=arctgx
2443480185420y=arccosx
y=arccosx
41351201010285E(y)=[0;π]
E(y)=[0;π]
4130818375285E(y)=(-π2;π2)
00E(y)=(-π2;π2)
19742151443355Монотонно убывающая
Монотонно убывающая

Задание 2.
Заполните пропуски в тождествах.
2970530261441arccos x
arccos x
2133376295543π-
π-
698724266725arccos (-x)
arccos (-x)
2122908-48825-
-
2971000-76835arcsin x
arcsin x
709614-77272arcsin (-x)
arcsin (-x)
1)
706380267717arcsin x + arccos x=
0arcsin x + arccos x=
2)
3002243264211arctg x
arctg x
2566791288198-
-
695548287251arctg (- x)=
0arctg (- x)=
3)
3001645316424arctg x
arctg x
2598101319538π-
π-
695325291714arcctg (- x)=
0arcctg (- x)=
4)
668897312016arctg x + arcctg x=
0arctg x + arcctg x=
5)
299974010160π/20π/26)
Этап 2
Тест. Посредствам теста проверяются умения учащихся применять свойства обратных тригонометрических функций для решения уравнений.
Вариант1Найдите пары: «Уравнение - его решение»
-7048514605 решения
уравнения а б в г д
-1 1 0 3/2-1≤x≤11 arcos x=π/6+ 2 sin(arcsin x + arccos x)=1 +
3 arccos x=-(x-1)2 + 4 arctg x=-π/4+ 5 arcsin x=-π2-(x+1)22+ Критерии оценки: «5»- 5 верных ответов, «4» - 4 верных ответа, «3» - 3 верных ответа, «2»- 1-2 верных ответа.
Затем учащиеся объясняют решения уравнений №5.
Этап 3
На третьем этапе проводится классификация уравнений по методам решения. Рядом с каждым методом 1-4 указать номер уравнения, которое можно решать данным методом. Работа в парах.
Обсуждение проводится в быстром темпе. В результате выполнения этого задания появилась схема.
1038281588245Уравнения, решаемые на основе условия равенства обратных тригонометрических функций:
0Уравнения, решаемые на основе условия равенства обратных тригонометрических функций:
103505388073Методы использования свойств функций, входящих в уравнение:
0Методы использования свойств функций, входящих в уравнение:
2470947895350б)метод использования свойств ограниченности функции №1,4
0б)метод использования свойств ограниченности функции №1,4
103828895838а)метод обращения к монотонности функции №3,13
0а)метод обращения к монотонности функции №3,13
7856642580Методы
Методы

219075272309Метод замены переменной
0Метод замены переменной
203828-397510а) одноимённых (№5,6)
а) одноимённых (№5,6)
2392184-397510а) разноимённых (№9,10,11)
а) разноимённых (№9,10,11)

2190751497965Разложение на множители (№8)
0Разложение на множители (№8)
2392471542565б) сводятся к алгебраическим с применением различных преобразований(№12,14,15)
0б) сводятся к алгебраическим с применением различных преобразований(№12,14,15)
213772542727а) сводятся к квадратным (№2,16,7)
а) сводятся к квадратным (№2,16,7)

Этап 4
На следующем этапе проверяем домашнее задание.
На доске заранее заготовлено решение, ученики отвечают по готовым записям. Работа ведётся фронтально, но пары обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку.
№ Уравнения
1 arcsin(x+1)+ arcsin(y-1)=π2 arcsinx arccosx=π2/18
3 arcsin6x-72x-1=2 π- πx
4 arccos(x+y)+ arcos(x-y)=0
5 arcsin (x2 -6x-8)+ arcsin(15-2x)=0
6 arccos (4x2 -3x-2)+ arccos (3x2 -8x-4)=π7 (arccos x)2 -6 arccos x +8=0
8 (x+2)(2x2 -7x+3) arcos x/2=0
9 arccos7x+513=arcsin4x+11310 arctg(x-3a)= arctg(3x-a)
11 arcsin3x-2= arctg2x-212 arctg(x-1)+ arctg(2-x)=π/413 23 arctg(1-6x)=-10π14 arccos7x=2 arcsin2x
15 arcos(3x-4)=2arct(5-3x)
16 18(2arcsin2 x/2+3x arcosx/2)=19π Этап 5
Далее отмечаем, что самый распространённый из данных методов-метод замены переменной. При решении уравнений удачная замена переменной позволяет свести задачу к более простой. Однако во многих случаях удобная замена далеко не очевидна, и поэтому необходимо выполнять некоторые преобразования. Вспоминаем способы преобразований:
-переход к уравнению – следствию;
- переход к уравнению, равносильному на некотором множестве исходному уравнению;
- переход к системе, равносильной исходному уравнению.
Затем трое учеников у доски решают уравнения №12, 16, 14.
Остальные решают любое из предложенных трёх уравнений.
Этап 6
В конце проводится самостоятельная работа (под копировальную бумагу).
Самостоятельная работа
Вариант 1
№1
arcsin(x+1)+ arcsin(y-1)=π
ответ: (0;2)
№6
arccos (4x2 -3x-2)+ arccos (3x2 -8x-4)=π
ответ:{-3/7}
Вариант 2
№4
arccos(x+y)+ arcos(x-y)=0
ответ: (1;0)
№5
arcsin (x2 -6x-8)+ arcsin(15-2x)=0
ответ: х=7
Итог урока
Подводя итоги урока, ещё раз замечаем, что свойства монотонности и ограниченности являются ключевыми при решении многих уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.
Учитель отмечает, в какой мере достигнуты цели урока, успехи ребят и ориентирует их на домашнем задании. Оценка, заработанная им на уроке, показывает им, насколько они готовы к зачётному тесту по теме. Домашнее задание предусматривает уровневую дифференциацию.
1-й уровень-№2,7,8,15
2-й уровень –задания поискового плана: подобрать неравенства, решаемые методом 1-4.
3-й уровень-составить тест, аналогичный тесту этапа 2 по теме: «Решение неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции».