Перенос вещества в среде, состоящей из макропористой и микропористой цилиндрических зон
Перенос вещества в среде, состоящей из макропористой и микропористой цилиндрических зон
Изучение переноса вещества в пористой среде имеет важное теоретическое и практическое значение при анализе вторичных и третичных методов добычи нефти, а также утилизации загрязняющих веществ путем закачки их в подземные резервуары и др. В макроскопически неоднородных средах встречаются такие зоны, фильтрационно-емкостные свойства которых очень низки, жидкости в них могут оставаться неподвижными. Математическому моделированию процессов переноса вещества в таких неоднородных средах посвящен ряд работ, в частности [1, 2]. В работе [3] исследована двумерная задача фильтрации суспензии в макроскопически неоднородной пористой среде, состоящей из двух зон с подвижной и неподвижной жидкостью, а в [4] рассмотрена задача переноса вещества в пористой среде, состоящей из двух зон: а) с транзитными порами (с подвижной жидкостью), б) с неподвижной жидкостью (со связанной водой), с учетом эффектов конвективного переноса, гидродинамической дисперсии, адсорбции вещества и внутреннего массопереноса между обеими зонами. Установлено [3, 4], что наличие зон с неподвижной жидкостью значительно влияет на общие характеристики фильтрации суспензии и переноса вещества в пористой среде.
В работе [5] изучен перенос веществ в цилиндрической пористой среде с цилиндрической макропорой в центре и получено аналитическое решение уравнений, описывающих конвективно-диффузионный перенос через макропоры с одновременным радиальным распространением от макропоры в окружающую среду. Перенос вещества из макропоры в окружающую среду моделируется на основе диффузионного уравнения. В моделях [1, 2] массообмен между зонами описывается с помощью кинетического уравнения.
В данной работе рассматривается задача переноса вещества с учетом адсорбционных явлений в горизонтально установленной неоднородной цилиндрической пористой среде. Проанализирован перенос вещества для двух случаев: на основе диффузионного уравнения и кинетического уравнения массопереноса. Найдено такое значение коэффициента массопереноса, для которого оба подхода дают близкие результаты.
Рассматривается цилиндрическая пористая среда с цилиндрической макропорой в центре, т.е. область исследования задачи состоит из двух частей: 1) Макропористая среда (макропора), имеющая радиус 13 EMBED Equation.3 141513 QUOTE 1415 (т.е. область 13 EMBED Equation.3 1415), с большими порами, характеризирующаяся относительно высокой пористостью и средней скоростью жидкости в ней, 2) окружающая цилиндрическая микропористая среда (микропора), занимающая область 13 EMBED Equation.3 1415, имеющая низкую или нулевую пористость и, соответственно, скорость потока (Рис.1) [5].
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис.1 Цилиндрическая среда с цилиндрической макропорой
Используем следующие соотношения [5]
13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415,
где 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415 - объемные доли макропоры и микропоры в единице объема среды, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415 - локальные коэффициенты пористости макропористой и микропористой сред, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415 - относительные коэффициенты пористости макропористой и микропористой сред, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415 - локальные плотности макропористой и микропористой сред, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415- относительные объемные плотности двух сред.
В макропоре в одномерной постановке перенос вещества описывается уравнением [5]
13 EMBED Equation.3 141513 QUOTE 1415, (1)
где 13 EMBED Equation.3 1415 13 QUOTE 1415- средняя концентрация в 13 EMBED Equation.3 1415, 13 QUOTE 1413 EMBED Equation.3 141515 - концентрация адсорбированного вещества в макропоре, 13 EMBED Equation.3 1415 - коэффициент диффузии в макропоре, 13 QUOTE 1413 EMBED Equation.3 141515 - средняя скорость распространения вещества в 13 EMBED Equation.3 1415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415 - средние концентрации вещества и концентрации адсорбированного вещества в области 13 EMBED Equation.3 1415, которые определяются из следующих соотношений
13EMBED Equation.3141513 QUOTE 15, (2)
13 EMBED Equation.3 141513 QUOTE 1415, (3)
13EMBED Equation.31415 - локальная концентрация в 13 EMBED Equation.3 1415, - локальный удельный объем адсорбированного вещества в 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - время, 13 QUOTE 1413 EMBED Equation.3 141515 - расстояние.
Распространение вещества в области 13 EMBED Equation.3 1415 описано уравнением диффузии с учетом адсорбции вещества
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 141513 QUOTE 1415. (4)
где 13 EMBED Equation.3 1415 - коэффициент эффективной диффузии в 13 EMBED Equation.3 1415.
Используется линейная неравновесная адсорбция, кинетическое уравнение которой в зонах имеет вид
, (5)
, (6)
, (7)
где - коэффициент характерного перехода от неравновесного к равновесной адсорбции, 13 EMBED Equation.3 141513 QUOTE
· 1415 13 QUOTE 1415 - адсорбционный коэффициент.
Для решения задачи используем следующие начальные и граничные условия
13EMBED Equation.3141513 QUOTE 15, (8)
13EMBED Equation.3141513 QUOTE 15, (10)
13 QUOTE 15, (12)
13 EMBED Equation.3 1415, (14)
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, (16)
13EMBED Equation.3141513 QUOTE 15, (9) 13 QUOTE 15, (11)
13 QUOTE 15, (13)
13 EMBED Equation.3 1415, (15)
13 EMBED Equation.3 1415. (17)
Задача (1) - (17) решается численно методом конечных разностей [6]. Схема расчета следующая. Сначала из (5)-(7) определяются значения 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Затем из (4) вычисляется 13 EMBED Equation.3 1415 и из (2) определяется . Для определения решается уравнение (1) при известных 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и .
В расчетах использованы следующие значения исходных параметров: 13 EMBED Equation.3 1415 13 QUOTE 1415м2/с, 13 EMBED Equation.3 1415 13 QUOTE 1415м/с, 13 EMBED Equation.3 1415 13 QUOTE 1415м2/с, 13 EMBED Equation.3 141513 QUOTE 1415, 13 EMBED Equation.3 141513 QUOTE 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 QUOTE 1415кг/м3, 13 EMBED Equation.3 1415 13 QUOTE 1415кг/м3, 13 EMBED Equation.3 1415 м3/кг13 QUOTE 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 м, 13 EMBED Equation.3 1415 13 QUOTE 1415м.
Результаты некоторых численных экспериментов представлены на рис. 2. С течением времени значения , в фиксированных точках пласта возрастают и можно заметить продвижение поверхностей концентрации 13 EMBED Equation.3 1415 по направлениям 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. В точке 13EMBED Equation.31415 количество адсорбированного вещества до некоторого значения времени увеличивается и этот процесс характеризуется коэффициентом . Из рис. 2 можно увидеть, что увеличение параметра 13 EMBED Equation.3 1415 приводит к уменьшению концентраций , . Установлено также, что увеличивается удельный объем адсорбированного вещества в макро- и микропорах.
Рис. 2. Профили концентраций 13 QUOTE 1415 13 EMBED Equation.3 1415(а), 13 QUOTE 141513 EMBED Equation.3 1415(б) при 13 EMBED Equation.3 1415 м/с, 13 EMBED Equation.3 1415 м2/с, 13 EMBED Equation.3 1415 м2/с, 13 EMBED Equation.3 1415 с, 13 EMBED Equation.3 1415 м3/кг (сплошные линии), 13 EMBED Equation.3 1415 (штриховые линии), (1 ( 13 EMBED Equation.3 1415с, 2 ( 13 EMBED Equation.3 1415с).
Теперь проанализируем задачу на основе кинетического уравнения массопереноса из макропоры в микропору [1, 2]
13 EMBED Equation.3 141513 QUOTE 1415 , (18)
где 13 EMBED Equation.3 1415
· коэффициент массопереноса.
Уравнение (18) решается совместно с (1) при необходимых начальных и граничных условиях из (8)
· (17).
Сначала из (5), (6) определяются значения 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. После этого из (18) вычисляются значения . Далее из (1) определяются .
На рис.3 представлены результаты обеих подходов. Можно заметить, что при 13 QUOTE 1415 равном, 3·10-6 c-1, распространение вещества в макропоре при обоих подходах почти одинаково. В микропоре при больших значениях времени ( с) профили концентраций вещества для обоих подходов несколько отличаются.
Рис. 3. Профили относительной концентраций 13 QUOTE 13 QUOTE 1415 1415 13 EMBED Equation.3 1415 (а) и 13 QUOTE 13 QUOTE 1415 141513 EMBED Equation.3 1415 (б) в различные моменты времени при 13 EMBED Equation.3 1415 м/с, 13 EMBED Equation.3 1415 м2/с, 13 EMBED Equation.3 1415 м2/с, 13 EMBED Equation.3 1415 м3/кг, 13 EMBED Equation.3 1415 с. для диффузионного подхода (сплошные линии) и кинетического подхода (штриховые линии), 1 ( 13 EMBED Equation.3 1415 c, 2 ( 13 EMBED Equation.3 1415 c, 3 ( 13 EMBED Equation.3 1415 c, 4 ( 13 EMBED Equation.3 1415 c.
Литература
1. Coats, K. H. and Smith, B. D., Dead-end pore volume and dispersion in porous media // Soc. Pet. Eng. J. 1964. No. 4. Pp. 73 - 84.
2. Van Genuchten M. and Wierenga P. J. Mass transfer studies in sorbing porous media. 1. Analytical Solution // Soil Sci. Soc. Am. J. 1976. No. 40. Pp. 473 - 479.
3. Хужаёров Б.Х., Махмудов Ж.М. Кольматационно-суффозионная фильтрация в пористой среде с подвижной и неподвижной жидкостями // ИФЖ. 2007. Т. 80, №1. С. 46-53.
4. Хужаёров Б.Х., Махмудов Ж.М. Зикиряев Ш.Х. Перенос вещества в пористой среде, насыщенной подвижной и неподвижной жидкостью // ИФЖ. 2010. Т. 83, №2. С. 248-254.
5. Van Genuchten M.Th., Tang D.H. and Guennelon R., Some exact solutions for solute transport through soils containing large cylindrical macropores // Water Recourses Research. 1984. Vol. 20, № 3. Pp. 335-346.
6. Самарский А. А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1977. – 656 с.
·1
·2
cm(t, x)/c0
x, м
а
106
·cim(t, x), м3/м3
x, м
б
1
2
1
2
cm/c0
x, м
1
2
4
3
а
x, м
106
·cim, м3/м3
б
1
2
4
3
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native