Конспект урока Применение различных способов разложения на множители

Тема урока: Применение различных способов для разложения на множители.
Цель урока: научить учащихся разложить многочлен на множители, применив последовательно несколько способов разложения (вынесение общего множителя за скобки, группировка членов, формулы сокращенного умножения); развивать логическое мышление, самостоятельность, умение рассуждать.
Оборудование:
Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразовательных организаций / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2015. – стр. 186 – 190.
Электронное приложение к учебнику «Алгебра - 7»
3. Таблицы 20 – 22.
№ 20. Формулы сокращенного умножения.
№ 21. Разложение на множители (лист 1).
№ 22. Разложение на множители (лист 2).
Литература:
1. Звавич Л. И. и др. Дидактические материалы по алгебре для 7 класса /Л. И. Звавич, Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1995. – стр. 43 – 44.
2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С. Сборник задач и контрольных работ по алгебре для 7 класса. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1999. стр. 37.

План урока
Повторение
формулы сокращенного умножения:
a² + 2ab +b² = (a + b)²;
a² – 2ab + b² = (a – b)²;
a² – b² = (a – b)(a +b);
a³ + b³ = (a +b)(a²– ab +b²);
a³ – b³ = (a – b)(a² +ab +b²).
Вынесите общий множитель за скобки:
а) 7a +7b; б)16y³ – 12y²; в) - 3b(b – 2) + 7(b -2)².
3) Разложите на множители многочлен:
ab – 2b + 3a – 6.
4) Представьте трехчлен в виде квадрата трехчлена: 4х² + 12х + 9
Объяснение нового материала.
Пример 1.
Разложить на множители многочлен 10а³ - 40а.
Пример 2.
Разложить на множители многочлен 18 х³ + 12 х² + 2х.
Закрепление. № 934, 937, 939, 940, 949.
Подведение итогов урока.
Домашнее задание: п. 38, № 936, 938, 941.
Ход урока.
Учитель. Ребята, давайте повторим пройденный материал. Вспомните, пожалуйста, формулы сокращенного умножения. (Ученики по очереди записывают на доске формулы).
a² + 2ab +b² = (a + b)²;
a² – 2ab + b² = (a – b)²;
a² – b² = (a – b)(a +b);
a³ + b³ = (a +b)(a²– ab +b²);
a³ – b³ = (a – b)(a² +ab +b²).
Задание 1. Вынесите общий множитель за скобки:
а) 7a +7b; б)16y³ – 12y²; в) - 3b(b – 2) + 7(b -2)².
Решения: а) 7a + 7b = 7(a + b);
б) 16y³ – 12y² = 4y²(4y – 3);
в) – 3b(b – 2) + 7(b – 2) = (b - 2)(- 3b + 7).
Задание 2. Разложите на множители многочлен:
ab – 2b + 3a – 6.
Сгруппируем его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель:
ab – 2b + 3a – 6 = (ab – 2b) +( 3a – 6).
В первой группе вынесем за скобки множитель b, а во второй множитель 3:
(ab – 2b) + (3a – 6) = b(a – 2) + 3(a – 2).
Каждое слагаемое получившегося выражения имеет множитель а – 2,
вынесем этот общий множитель за скобки:
b(a – 2) + 3(a – 2) = (a – 2)(b +3).
Итак, ab – 2b + 3a – 6 = (a – 2)(b +3).
Задание 3. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:
4х² + 12х + 9.
Первое слагаемое представляет собой квадрат выражения 2х, третье – квадрат числа 3. Так как второе слагаемое равно удвоенному произведению 2х и 3, то этот трехчлен можно представить в виде квадрата суммы 2х и 3:
4х² + 12х + 9 = (2х)² + 2·2х·3 + 3² = (2х + 3)².
Учитель. Для разложения многочленов на множители мы применяли вынесение общего множителя за скобки, группировку, формулы сокращенного умножения. Сегодняшняя тема является обобщающей. Откройте тетради, записывайте число и тему урока. Иногда удается разложить многочлен на множители, применив последовательно несколько способов. Заметим, что начать преобразование следует, если это возможно, с вынесения общего множителя за скобки.
Пример 1. Разложить на множители многочлен 10а³ - 40а. члены этого многочлена имеют общий множитель 10а. вынесем этот множитель за скобки:
10а³ - 40а = 10а(а² – 4).
Разложение на множители можно продолжить, применив к выражению а² – 4 формулу разности квадратов. В результате получим в качестве множителей многочлены более низких степеней.
Имеем: 10а(а² – 4) = 10а(а + 2)(а – 2).
Значит, 10а³ - 40а = 10а(а + 2)(а – 2).
Пример 2. Разложить на множители многочлен
18 х³ + 12 х² + 2х.
Все члены многочлена имеют общий множитель 2х. вынесем его за скобки: 18 х³ + 12 х² + 2х = 2х (9х² + 6х + 1).
Трехчлен 9х² + 6х +1 можно представить в виде квадрата двучлена:
9х² + 6х +1 = (3х + 1)².
Итак, 18 х³ + 12 х² + 2х = 2х(3х + 1)².
Открыли учебники, решаем № 934.
(Ученики по очереди выполняют задание на доске)
5x² – 5y² = 5( x² – y²) = 5( x – y)(x + y);
б) am² – an² = a(m² – n²) = a(m – n)(m + n);
в) 2ax² - 2ay² = 2a(x² – y²) = 2a(x –y)(x +y) и т.д.
№ 937. Докажите тождество:
a³ – b³ = (a – b)(a +b)(a² +b²)(a¹ + b¹).
Решение: a³ – b³ = (a¹)² – (b¹)² = (a¹ – b¹)(a¹ + b¹) =
= ((a²)² – (b²)²)(a¹ +b¹) = (a² – b²)(a² + b²)(a¹ + b¹) =
= (a – b)(a + b)(a² +b²)(a¹ +b¹).
№ 939. Чтобы разложить на множители сначала надо выносить общий множитель за скобки, затем применить формулы сокращенного умножения.
а) 3х² + 6ху + 3у² = 3(х² + 2ху + у²) = 3( х + у)²;
б) – m² + 2m – 1 = – (m² – 2m + 1²) = – (m – 1)²;
в) – 4x – 4 – x² = – (2² + 2·2x + x²) = – ( 2 + x)² ;
г) 6p² + 24q² + 24 pq = 6(p² + 4q² + 4pq) = 6(p² + 2p·2q + (2q)²) =
= 6(p +2q)²;
д) 45x + 30 ax + 5a²x = 5x(9 + 6a +a²) = 5x(3² + 2·3a + a²) = 5x(3 +a)²;
е) 18 cx² – 24cx + 8c = 2c( 9x² – 12x + 4) = 2c((3x)² – 2·3x·2 + 2²) =
= 2c(3x – 2)².
№ 940. Разложить на множители выражение х6 – у6, представив его в виде:
а) разности квадратов; б) разности кубов.

а) х6 – у6 = (х³)² – (у³)²=((х³) – (у³))((х³) + (у³));
б) х6 – у6 = (х²)³ – (у²)³ = (х – у)(х² +ху +у²).
№ 949. Решить уравнение:
а) х³ – х = 0, выносим за скобки общий множитель х,
х·(х² – 1) = 0, применяем формулу разности квадратов,
х·(х – 1)·(х + 1) = 0 , произведение равно нулю тогда и только
тогда, когда равно нулю один из множителей,
х = 0, х – 1 = 0, х + 1 = 0,
х = 1, х = – 1.
Ответ: 0; 1; –1.
Пункт б) (учащиеся) решение у доски с комментированием
9х – х³ = 0,
х·( 9 – х²) =0,
х·(3 – х)·(3 + х) = 0,
х = 0, 3 – х = 0, 3 + х = 0,
х = 3, х = – 3,
Ответ : 0; 3; –3.
Учитель: пункт в) решаем вместе х³ + х² = 0,
Выносим за скобки общий множитель х², получим:
х²( х + 1) = 0,
х² = 0, х + 1 = 0
х = 0, х = –1.
Ответ: 0; –1.
Пункт г) решите самостоятельно.
Учитель: (Выставляю оценки особо отличившимся учащимся). Откройте дневники, пишите домашнее задание п. 38, № 936, 938, 941.
Урок окончен, отдыхайте.