Конспект урока математики по теме Интегрирование рациональных функций (с применением СКМ Maxima)

КОНСПЕКТ УРОКА МАТЕМАТИКИ
Урок № 1.
Тема: Интегрирование рациональных функций
Разработчик: Савинова Лариса Николаевна – преподаватель математики.
Место работы: ГОУ ВО МО «Государственный гуманитарно-технологический университет» (ГГТУ) Промышленно-экономический колледж.
Для студентов 1 курса специальности 09.02.03 Программирование в компьютерных системах.
Базовые учебники:
Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 5-е изд., испр. – М.: Издательский центр «Академия», 2012. – 256 с.
Башмаков М.И. Математика. Задачник: учебное пособие для образоват. учреждений нач. и сред.проф. образования / М.И. Башмаков. – 3-е изд. стер. М.: Издательский центр «Академия». 2013. – 416 с.
Дадаян А.А. Математика: учебник. / А.А. Дадаян. – 3-е изд. – М.: ФОРУМ, 2011. – 544 с. – (Профессиональное образование).
Цели урока:
обучающая:
обобщить понятие неопределенного интеграла, углубить знания и умения о методах интегрирования функций;
ознакомить студентов со способом интегрирования рациональных функций, закрепить навык действий с дробями, решения систем уравнений;
развивающая: развитие памяти, продуктивного мышления, способности четко формулировать свои мысли, умения пользоваться математической символикой и самоконтроля в процессе выполнения упражнений;
воспитывающая: совершенствование умения анализировать и обобщать полученные знания о неопределенных интегралах, воспитание аккуратности при выполнении упражнений, способности доводить любое учебное задание до конца, правильно оценивать результаты своей работы, усиление внимания к развитию творческого мышления и повышению интереса к предмету.
Формируемые предметные результаты:
Знать табличные интегралы и общие методы интегрирования.
Знать определение рациональной функции, многочлена и его степени.
Знать алгоритм интегрирования рациональных функций.
Уметь решать упражнения на интегрирование различных видов рациональных функций «ручным» способом.
Формируемые метапредметные результаты:
личностные универсальные учебные действия: самоопределение, смыслообразования, нравственно-этического оценивания;
регулятивные универсальные учебные действия: целеполагание, планирование, прогнозирование, контроль, коррекция, оценка, волевая саморегуляция;
познавательные универсальные учебные действия: общеучебные, логические, действия постановки и решения проблем.
Тип занятия: комбинированный урок.
Формы работы учащихся: групповая (по вариантам), индивидуальная, фронтальная, устная и письменная.
Оборудование: мультимедийный проектор, ноутбук, презентация, экран, карточки-задания для проверочной работы, стенд «Табличные интегралы».

План – конспект занятия
Начальный этап занятия: (13 мин.)
организационный момент; (1 мин.)
проверка домашней работы; (10 мин.)
мотивация на изучение нового материала; (1 мин.)
постановка цели занятия. (1 мин.)
Основная часть занятия: (27 мин.)
изучение нового материала с использованием презентации; (15 мин.)
закрепление материала: нахождение интегралов по образцу примеров «ручным» способом; (12 мин.)
Заключительный этап занятия: (5 мин)
Домашнее задание. (3 мин.)
Подведение итогов занятия, рефлексия (2 мин.)

Ход занятия
1 этап. Начальный этап занятия
1) Организационный момент: проверка готовности обучающихся к уроку, отмечаем отсутствующих на уроке.
2) Проверка домашней работы осуществляется в форме письменной проверочной работы по вариантам.
Вариант 1.
Дать определение неопределенного интеграла. В чем геометрический смысл неопределенного интеграла?
Чему равны табличные интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415.
Найти интегралы 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 2.
Дать определение неопределенного интеграла. Доказать основные свойства неопределенного интеграла.
Чему равны табличные интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415.
Найти интегралы 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 3.
Дать определение неопределенного интеграла. Записать основные правила интегрирования.
Чему равны табличные интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415.
Найти интегралы 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 4.
Дать определение неопределенного интеграла. Охарактеризовать методы интегрирования.
Чему равны табличные интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415.
Найти интегралы 13 EMBED Equation.3 1415.
3) Мотивация на изучение нового материала
На данном занятии студенты закрепляют навык в интегрировании функций. При изучении темы активизируется познавательная деятельность студентов, так как создается проблемная ситуация при отыскании методов интегрирования рациональных функций. Качество усвоения учебного материала данной темы непосредственно связано с качеством усвоения последующих тем.
4) Постановка цели занятия
На сегодняшнем занятии мы научимся интегрировать рациональные функции «ручным» способом и с помощью СКМ Maxima, закрепим полученные знания при выполнении самостоятельной работы в конце урока.
2 этап. Основная часть занятия
1) Изучение нового материала с использованием презентации
1. Понятие рациональной дроби
Рациональной дробью R (x) называется дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, т.е. всякая дробь вида:
13 EMBED Equation.3 1415.
Например, 13 EMBED Equation.3 1415рациональные дроби.
Достаточно рассмотреть правильные дроби, т.е. дроби, в которых степень числителя меньше степени знаменателя nЕсли 13 EMBED Equation.3 1415, то дробь называется неправильной. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби (для этого делим числитель на знаменатель по правилу деления многочленов):
13 EMBED Equation.3 1415,
где R (х) – многочлен-частное (целая часть дроби), S (х) – остаток (многочлен степени nНапример, 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Интегрирование рациональных функций
Простейшей дробью называется правильная рациональная дробь одного из видов:
13 EMBED Equation.3 1415.
Эти простейшие дроби интегрируются непосредственно с помощью основных правил интегрального исчисления:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1.
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2.
13 EMBED Equation.3 1415
3) Вычисление интегралов вида 13 EMBED Equation.3 1415.
Для нахождения указанных интегралов надо сначала преобразовать знаменатель 13 EMBED Equation.3 1415 в разность квадратов, если 13 EMBED Equation.3 1415, или сумму квадратов, если 13 EMBED Equation.3 1415, а затем воспользоваться таблицей неопределенных интегралов.
Пример 3.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
4) Вычисление интегралов вида 13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415многочлены, nДля их вычисления необходимо представить дробь 13 EMBED Equation.3 1415 в виде суммы более простых дробей. Рассмотрим решение этой задачи на примерах.
Пример 5. Найти интеграл 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Так как корнями знаменателя являются х1 = 2 и х2 = 3, то знаменатель раскладывается на множители 13 EMBED Equation.3 1415.
Представим теперь дробь в виде следующей суммы:
13 EMBED Equation.3 1415 и найдем коэффициенты А и В.
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю:
13 EMBED Equation.3 1415
Так как это – тождество, то, приравняв числители, получим
13 EMBED Equation.3 1415.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тождества, составим систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, 13 EMBED Equation.3 1415
или 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 6. Найти интеграл 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то представим дробь в виде следующей суммы:
13 EMBED Equation.3 1415 Итак, 13 EMBED Equation.3 1415.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тождества, составим систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
Решив систему, получим 13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2) Закрепление изученного материала
Ответить на вопросы:
Что такое рациональная дробь? многочлен?
Какая рациональная дробь называется правильной, неправильной?
В каком виде надо представить неправильную дробь?
Как выполняется деление многочленов?
Как интегрируют рациональные дроби вида 13 EMBED Equation.3 1415?
Как вычисляют интеграл вида 13 EMBED Equation.3 1415?
Каков алгоритм нахождения интегралов вида 13 EMBED Equation.3 1415?
Какие способы решения систем уравнений существуют?
Решение упражнений. Найти интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
3 этап. Заключительный этап занятия
Домашнее задание.
Разобрать конспект в тетради.
Вычислить интегралы от рациональных функций:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
3. Дополнительно найти интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Подведение итогов занятия, рефлексия
Обучающиеся оценивают свою работу на уроке по трём параметрам: активность, самочувствие, самостоятельность. Поводят итоги занятия.
На уроке изучили способы интегрирования различных видов рациональных функций.
Закрепили навыки деления многочленов, действий с дробями с разными знаменателями, а также решения системы уравнений.
Студенты закрепили знания и умения при вычислении неопределенных интегралов.
Студенты проанализировали и обобщили полученные знания о неопределенных интегралах, методах их нахождения. Развивали умение быстро и правильно проводить вычисления, в том числе с использованием микрокалькулятора.
Внимание студентов было обращено на приемы оформления, рациональную запись решения, на умение пользоваться математической символикой в процессе решения упражнений.
На занятии воспитывались способности доводить любое учебное задание до конца, правильно оценивать результаты своей работы, усиливалось внимание к развитию творческого мышления и повышению интереса к предмету «математика».
Урок № 2.
Тема: Интегрирование функций с помощью системы компьютерной математики Maxima
Разработчик: Савинова Лариса Николаевна – преподаватель математики.
Место работы: ГОУ ВО МО «Государственный гуманитарно-технологический университет» (ГГТУ) Промышленно-экономический колледж.
Для студентов 1 курса специальности 09.02.03 Программирование в компьютерных системах.
Базовые учебники:
Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 5-е изд., испр. – М.: Издательский центр «Академия», 2012. – 256 с.
Башмаков М.И. Математика. Задачник: учебное пособие для образоват. учреждений нач. и сред.проф. образования / М.И. Башмаков. – 3-е изд. стер. М.: Издательский центр «Академия». 2013. – 416 с.
Дадаян А.А. Математика: учебник. / А.А. Дадаян. – 3-е изд. – М.: ФОРУМ, 2011. – 544 с. – (Профессиональное образование).
Цели урока:
обучающая: научиться выполнять интегрирование рациональных функций с помощью системы компьютерной математики Maxima;
развивающая: развитие логического мышления, способности четко формулировать свои мысли, навыков работы на компьютере, умения пользоваться математической символикой и самоконтроля в процессе выполнения упражнений;
воспитывающая: воспитание информационной культуры обучающихся,
воспитание аккуратности при выполнении практических упражнений, способности доводить любое учебное задание до конца, правильно оценивать результаты своей работы, повышение интереса к математике.
Формируемые предметные результаты:
Знать табличные интегралы и общие методы интегрирования.
Знать алгоритм интегрирования рациональных функций.
Знать понятия «команда», «функция» системы Maxima.
Уметь использовать встроенные функции при выполнении заданий на интегрирование различных видов рациональных функций с помощью системы компьютерной математики Maxima.
Формируемые метапредметные результаты:
личностные универсальные учебные действия: самоопределение, смыслообразования, нравственно-этического оценивания;
регулятивные универсальные учебные действия: целеполагание, планирование, прогнозирование, контроль, коррекция, оценка, волевая саморегуляция;
познавательные универсальные учебные действия: общеучебные, логические, действия постановки и решения проблем.
Тип занятия: комбинированный урок.
Формы работы учащихся: индивидуальная, фронтальная, устная и письменная.
Оборудование: мультимедийный проектор, ноутбук, экран, 12 компьютеров для обучающихся, оболочка wxMaxima, презентация, карточки с заданиями, раздаточный материал, стенд «Табличные интегралы».

План – конспект занятия
Начальный этап занятия: (10 мин.)
организационный момент; (1 мин.)
проверка домашней работы; (7 мин.)
мотивация на изучение нового материала; (1 мин.)
постановка цели занятия (1 мин.)
Основная часть занятия: (30 мин.)
изучение нового материала с использованием презентации; (5 мин.)
первичное закрепление материала: работа обучающихся с системой Maxima под руководством преподавателя; (10 мин.)
закрепление изученного материала: самостоятельная работа обучающихся с системой Maxima. (15 мин.)
Заключительный этап занятия: (5 мин)
домашнее задание. (3 мин.)
подведение итогов занятия, рефлексия (2 мин.)

Ход занятия
1 этап. Начальный этап занятия
1) Организационный момент: проверка готовности обучающихся к уроку, отмечаем отсутствующих на уроке.
2) Проверка домашней работы
На предыдущем уроке мы научились интегрировать различные рациональные функции. Давайте повторим материал урока. Трое обучающихся записывают примеры из домашнего задания, остальные отвечают на вопросы:
Что такое рациональная дробь?
Какая рациональная дробь называется правильной, неправильной?
В каком виде надо представить неправильную дробь?
Как интегрируют рациональные дроби вида 13 EMBED Equation.3 1415?
Как вычисляют интеграл вида 13 EMBED Equation.3 1415?
Каков алгоритм нахождения интегралов вида 13 EMBED Equation.3 1415?
Как находят интеграл вида 13 EMBED Equation.3 1415?
После ответов на вопросы обучающиеся проверяют правильность выполнения домашних упражнений, исправляют ошибки.
3) Мотивация на изучение нового материала
На данном занятии студенты познакомятся с системой компьютерной математики Maxima, которая является системой для решения многих математических задач, научатся интегрировать функции с помощью этой системы. При изучении темы активизируется познавательная деятельность студентов, формируется информационная культура.
4) Постановка цели занятия
На сегодняшнем занятии мы научимся интегрировать рациональные функции с помощью СКМ Maxima, закрепим полученные знания при выполнении самостоятельной работы в конце урока.
Обучающиеся записывают в тетрадь дату и тему урока.
2 этап. Основная часть занятия
1) Изучение нового материала с использованием презентации
Рассмотрим графический интерфейс wxMaxima, т.к. он является наиболее дружественным для начинающих пользователей системы.
Достоинствами wxMaxima являются:
возможность графического вывода формул;
упрощенный ввод наиболее часто используемых функций (через диалоговые окна), а не набор команд, как в классической Maxima.
разделение окна ввода данных и области вывода результатов.
После запуска программы на экране появится окно (рис 1). Это и есть рабочее окно системы Maxima. Рассмотрим рабочее окно программы.
Рис.1 Рабочее окно системы Maxima
Рабочее окно системы компьютерной математики Maxima похоже на рабочие окна многих Windows-приложений. Рассмотрим основные элементы рабочего стола (рис. 2)
Рис. 2 Основные элементы рабочего стола
Стандартное окно программы содержит:
- строка заголовка, в которой представлено версия оболочки и имя открытого документа Maxima;
- главное меню, здесь сосредоточенны все основные действия, которые может выполнять система;
- рабочие инструменты, системы. При наведении курсора мыши на инструменты появляется подсказка о назначении инструмента;
- зона рабочего пространства, куда записываются все команды системы и комментарии к ним;
- строка текущего состояния системы, в ней отображается текущее состояние системы.
Итак, рассмотрим основные панели главного меню.
В меню ФАЙЛ (рис.3) собраны все команды связанные с открытием, сохранением, загрузкой пакетов и печатью документов, как и в любом Windows-приложении. Справа от каждой команды показаны «быстрые клавиши» для вызова данных команд.

Рис. 3 Основные команды меню ФАЙЛ
В меню ПРАВКА (рис.4) собраны команды, связанные с редактированием текста, копированием поиском в документе, выделением и т.п.
Рис. 4 Команды меню ПРАВКА
В меню CELL (рис.5) собраны команды которые помогут редактировать документ. С помощью этого меню можно выделять название страницы, делить на страницы рабочий документ созданный в Maxima

Рис. 5 Команды меню Cell
Команды меню Maxima (рис.6) специфичны для этой программы. Здесь содержатся основные рабочие панели и команды ввода и удаления функций и переменных

Рис.6 Команды меню Maxima
Команды меню ПОМОЩЬ. В системе Maxima встроена справочная система на английском языке. Она включает в себя документацию по организации работы в системе, а также информацию по встроенным командам системы с большим количеством примеров их использования для решения математических задач.
Каждая система компьютерной математики, как система программирования имеет свой язык, без знания которого не обойтись. При работе с системами компьютерной математики необходимо знать правила синтаксиса встроенного языка. Как и в любом языке программирования, в Maxima есть переменные, константы, математические функции, возможность задания функций пользователя, операторы и др.
В системе Maxima имеется множество встроенных функций, и нет четкого разграничения между операторами и функциями. Каждый оператор – это на самом деле функция. В системе Maxima предусмотрена возможность задания функций пользователя. Разработчики Maxima посчитали удобным начинать имена всех встроенных служебных имен с символа %, для того чтобы избежать накладки с пользовательскими именами.
При решении задач математического анализа с помощью системы Maxima используется меню АНАЛИЗ. Основные команды этого меню представлены на рис.7.

Рис.7 Меню АНАЛИЗ
2) Первичное закрепление материала: работа обучающихся с системой Maxima под руководством преподавателя.
Неопределенный интеграл вычисляется с помощью команды integrate (выражение, x).
Рассмотрим примеры, аналогичные разобранным на прошлом уроке.
Пример 1. Найти интеграл 13 EMBED Equation.3 1415.
В меню АНАЛИЗ выбираем ИНТЕГРИРОВАНИЕ в диалоговое окно вводим функцию

На экране получаем:

Пример 2. Найти интеграл 13 EMBED Equation.3 1415.

На экране получаем:

Пример 3. Найти интеграл 13 EMBED Equation.3 1415.


Пример 4. Найти интеграл 13 EMBED Equation.3 1415.

На экране получаем:

3) Закрепление изученного материала: самостоятельная работа обучающихся с системой Maxima.
1. Фронтальный опрос.
Каковы достоинства wxMaxima?
Назовите основные элементы рабочего стола.
Каковы основные команды меню ФАЙЛ?
Каковы основные команды меню CELL?
Каковы основные команды меню Maxima?
Каковы основные команды меню АНАЛИЗ?
2. Перед вами лежат карточки с заданиями для самостоятельной работы. При выполнении работы вы должны применить полученные на уроке знания и выполнить задания в системе Maxima.
Вариант 1.
Вариант 2.

Найти интегралы от рациональных функций:

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.

Добавить свой пример
Добавить свой пример

3 этап. Заключительный этап занятия
1) Домашнее задание.
Разобрать конспект в тетради.
Вычислить интегралы от рациональных функций с помощью системы Maxima
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
2) Подведение итогов занятия, рефлексия
Демонстрация результатов самостоятельной работы обучающихся и оценка работы каждого обучающегося учителем.
На уроке научились интегрировать рациональные функции с помощью системы Maxima.
Закрепили полученные знания при выполнении самостоятельной работы в конце урока.
Внимание студентов было обращено на приемы оформления, рациональную запись решения, на умение пользоваться математической символикой в процессе решения упражнений.
На занятии происходило формирование информационной культуры обучающихся, воспитание аккуратности при выполнении практических упражнений, способности доводить любое учебное задание до конца, правильно оценивать результаты своей работы, повышение интереса к математике.








13PAGE 15


13PAGE 14115




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 5Рисунок 4Рисунок 35Equation NativeEquation NativeРисунок 1Equation NativeРисунок 6Рисунок 1Рисунок 1Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native