Уравнения: уравнения следствия, равносильные уравнения, уравнения, содержащие знак модуля».
МОДУЛЬ 1 Лекция (2 часа) «Уравнения: уравнения следствия, равносильные уравнения, уравнения, содержащие знак модуля».
Цель лекции. Повторить понятия: уравнения;
корня уравнения;
уравнения следствия;
равносильных уравнений;
модуля действительного числа.
Рассмотреть алгоритмы решения уравнений, содержащих знак модуля.
Сформировать навык решения уравнений, содержащих знак модуля.
План лекции
Уравнения следствия.
Равносильные уравнения.
Определение модуля действительного числа.
Алгоритмы решения уравнений, содержащих знак модуля:
13 EMBED Equation.3 1415.
Литература. Алгебра и начала математического анализа 11 класс, А.Г. Мордкович,
Математика ЕГЭ 2008, под ред Ф.Ф. Лысенко Издательство «Легион»
Подборка материала, Спицыной Т., Суворовой О.. Калугиной Е., из лицея-интерната при СГАУ им. Н.И.Вавилова
Определение. Выражения, состоящие из чисел, переменных, знаков арифметических и алгебраических операций, скобок, знака равенства, называются уравнениями.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Определение. Корнем уравнения называется такое значение переменной, при подстановке которой в уравнение оно обращается в истинное равенство.
Решить уравнение это, значит, найти все его корни или доказать, что таковых нет.
Определение. Уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают или они не имеют решений.
Определение. Пусть даны 2 уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Если любой корень 1-го уравнения является корнем 2-го уравнения, то 2-ое уравнение называют уравнением-следствием 1-го.
Пример
1 уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 2 уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Корни 1 уравнения: 13 EMBED Equation.3 1415 Корни 2 уравнения: 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 2 уравнение является уравнением следствием 1 уравнения.
Задание №1. Среди предложенных уравнений выберите:
а) пару равносильных уравнений;
б) уравнение и уравнение-следствие.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: а) уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 равносильны, так как на множестве всех действительных чисел решения не имеют;
б) уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение-следствие уравнения 13 EMBED Equation.3 1415, так как корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 является корнем уравнения 13 EMBED Equation.3 1415.
Определение. Абсолютной величиной числа a(модулем действительного числа a) называется расстояние от точки, изображающей данное число а на координатной прямой, до начала отсчёта и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Основные свойства модуля.
1. 13 EMBED Equation.3 1415 2. 13 EMBED Equation.3 1415 3. 13 EMBED Equation.3 1415 4. 13 EMBED Equation.3 1415 5. 13 EMBED Equation.3 1415 6. 13 EMBED Equation.3 1415
7. 13 EMBED Equation.3 1415 8. 13 EMBED Equation.3 1415 9. 13 EMBED Equation.3 1415
10. 13 EMBED Equation.3 1415
Пример Объясните, как раскрыли модуль13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Определение. Уравнения, содержащие знак модуля, называются уравнениями, содержащими знак модуля.
Алгоритм решения уравнений 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение корней не имеет
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1.13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
Решение
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3. 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
Решение
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, при 13 EMBED Equation.3 1415, уравнение корней не имеет.
Ответ: уравнение корней не имеет.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, при 13 EMBED Equation.3 1415, уравнение корней не имеет.
Ответ: уравнение корней не имеет.
Пример 5. (ЦТ 2006 г.) 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 6. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
Решение
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 7. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 Вернёмся к переменной х 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 8. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Домашнее задание.
1). Материал лекции.
Урок - Лекция № 3-4
«Уравнения: уравнения, содержащие знак модуля».
Цель лекции: рассмотреть алгоритмы решения уравнений, содержащих знак модуля;
сформировать навык решения уравнений, содержащих знак модуля.
План лекции
Алгоритмы решения уравнений, содержащих знак модуля:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
1. Проверка домашнего задания:
Сформулируйте алгоритм решения уравнений типа 13 EMBED Equation.3 1415.
Решите уравнение по группам с последующим разбором
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение корней не имеет13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение корней не имеет13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение корней не имеет13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение корней не имеет13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, то уравнение корней не имеет
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3
1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, то уравнение корней не имеет
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, то уравнение корней не имеет
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, то уравнение корней не имеет
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
2. Изучение нового материала.
Алгоритм решения уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
I способ. Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 равносильно совокупности уравнений 13 EMBED Equation.3 1415
II способ. Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
III способ. По определению модуля уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 равносильно совокупности
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 1. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 3;0,25.
Пример 2. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ:13 EMBED Equation.3 1415
Алгоритм решения уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
I способ. По определению модуля действительного числа уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 равносильно совокупности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
II способ. Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 равносильно смешанной системе 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4. 13 EMBED Equation.3 1415(ЦТ 2004 г.)
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: -8;-1;0.
Алгоритм решения уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
Найти нули всех подмодульных выражений, расположить их по возрастанию на числовой оси и выбрать крайний левый из полученных интервалов между корнями.
На полученных интервалах определить знак всех подмодульных выражений и раскрыть модули по определению.
Составить и решить совокупность смешанных систем.
Пример 1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Нули модулей 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
·
+
+
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
·
·
+
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Ответ: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Нули модулей 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
·
+
+
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
·
·
+
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Ответ: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Нули модулей 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
·
+
+
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
·
·
+
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Ответ: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Домашнее задание.
1
13PAGE 15
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native=іEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native