Конспект открытого урока по геометрии в 8 классе на тему Подобие треугольников

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа-интернат №2»


Открытый урок
Применение подобия треугольников к доказательству теорем и решению задач.
8 класс




Харитонова Наталья Евгеньевна учитель математики высшей категории








С.Лыкошино

2015г.
Введение.
Новые государственные стандарты образования предполагают наличие в ГИА и ЕГЭ геометрических задач, решаемых с помощью признаков подобия треугольников, а также с помощью теорем и следствий из этих признаков.

Теоретический материал, который необходимо изучить с учащимися в системе уроков по теме « Подобие треугольников. Применение подобия треугольников к доказательству теорем и решению задач».
 О делении отрезка в данном отношении. В VI книге «Начал» Евклид так решает задачу о делении отрезка в данном отношении. Задача . Пусть (рис. 1) требуется рассечь отрезок \AВ\ в отношении, представленном данными тремя отрезками.


Рис.1 Решение. Строим угол ВАС и откладываем на стороне |AС| данные три отрезка: |AD|, \DE\, \EC\. Соединив С и В, проведем через точки Е и D отрезки \ЕН\ и |DJ| , параллельные \ВС\. На основе теоремы о пропорциональности отрезков, образующихся на прямых, пересеченных параллельными прямыми, получаем: \AJ\ : \JH\ : \НВ\ = \AD\ : \DE\ : |EС| .
Симон Стевин (голландский математик и инженер) дал следующий способ деления отрезка АВ на равные части
(рис.2)
Рис.2
На прямой (MN), параллельной (АВ), откладываем заданное число, допустим шесть равных между собой отрезков: \MD\ = \DF\= \FH\ = |HK| =\KL\ =\LN\. Соединим М с A, N с В и продолжим до пересечения в точке Р. Теперь соединяем точку Р с D, F, H, K, L. При пересечении прямых с отрезком \АВ\ и получим искомые точки деления: D`, F`, H`, K`, L`.
О подобии Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры встречаются в вавилонских и египетских памятниках. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамсеса II имеется стена, покрытая сетью квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров. Пропорциональность отрезков, образующихся на прямых, пересеченных несколькими параллельными прямыми, была известна еще вавилонским ученым. Хотя некоторые приписывают это открытие Фалесу Милетскому. До наших дней сохранилась клинописная табличка, в которой речь идет о построении пропорциональных отрезков путем проведения в прямоугольном треугольнике параллелей к одному из катетов.
Определение.  Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
Сходственные стороны – это стороны, которые лежат в подобных треугольниках против равных углов.
A
·
·
·
·
·
·
·
C'
AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'=k, где число k – коэффициент пропорциональности, который равен отношению сходственных сторон треугольника.
Очень важна для решения задач теорема: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Три признака подобия: 1)Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.  2)Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
3)Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 

4. Применение подобия к доказательству теорем.
Подобие используется при доказательстве теоремы о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. MN//AC, MN= Ѕ AC.


Доказательство. Пусть MN– средняя линия треугольника ABC. Докажем, что MN//AC и MN = Ѕ АС Треугольники BMN и ВАС подобны по второму признаку подобия треугольников (угол B – общий),  ВМ/ВА =BN/BC = Ѕ , поэтому углы 1 и 2 равны и MN/AC = Ѕ . из равенства углов 1 и 2 следует, что MN//AC, а из второго равенства, что MN = Ѕ АС. Пользуясь данной теоремой, можно решить следующие задачи: Задача 1. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.  Решение. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Обозначим буквой О- точку пересечения его медиан AA1 и BB1 и проведём среднюю линию A1B1 ,этого треугольника. Отрезок A1B1 параллелен стороне АВ, поэтому углы 1 и 2, 3 и 4 равны. Следовательно, треугольники АОВ и A1OB1 подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны:
 AO/A1O = BO/B1O  = AB/A1B1. Но АВ = 2А1В1, поэтому АО =2A1O и ВО = 2B1O. Таким образом, точка О – точка  пересечения медиан AA1 и BB1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан BB1 и СС1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О. Итак, все три медиан треугольника ABC пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины. Задача 2. Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. Решение. Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом С. A CD -высота, проведённая из вершины С к гипотенузе АВ. Докажем, что
·ABC~
·ACD,
·ABC~
·CBD,
·ACD~
·CBD. Треугольники ABC и ACD подобны по первому признаку подобия треугольников. Точно так же подобны треугольники ABC и CBD, поэтому угол А равен углу BCD. Наконец треугольники ACD и CBD также подобны по первому признаку подобия, что и требовалось доказать. На основе задачи 2, сформулируем следующие утверждения, которые также доказываются с помощью подобия: 10 .  Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. 20 .  Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключённым между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.

 Свойство биссектрисы угла треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Доказательство. Пусть CD биссектриса треугольника ABC. Если треугольник ABC - равнобедренный с основанием АВ, то указанное свойство биссектрисы очевидно, так как в этом случае биссектриса является и медианой. Рассмотрим общий случай, когда АС не равно ВС. Опустим перпендикуляры AF и BE из вершин А и В на прямую CD. Прямоугольные треугольники ACF и ВСЕ подобны, так как у них равны острые углы при вершине С . Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: АС/ВС = AF/BE. Прямоугольные треугольники ADF и BDE тоже подобны. У них углы при вершине D равны как вертикальные. Из подобия следует: AF/BE = AD/BD. Сравнивая это равенство с предыдущим, получим: АС/ВС = AD/BD или AC/AD = BC/BD, то есть AD и BD пропорциональны сторонам АС и ВС.

Пропорциональные отрезки в круге. Свойство 1. Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS BS = CS
·DS, то есть DS/BS = AS/CS.
Доказательство. Докажем сначала, что треугольники ASD и CSB подобны. Вписанные углы DCB и DAB равны, как опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы ASD и BSC равны как вертикальные. Из равенства указанных углов следует, что треугольники ASD и СSB подобны. Из подобия треугольников следует пропорция DS/BS = AS/CS, или AS BS = CS DS, что и требовалось доказать.


Свойство  2.Если из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то АР/СР = DP/BP.









Доказательство. Пусть А и С - ближайшие к точке Р точки пересечения секущих с окружностью. Треугольники PAD и РСВ подобны. У них угол при вершине Р общий, а углы В и D равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Из подобия треугольников следует пропорция АР/СР = DP/BP, что и требовалось доказать. Теорема о четырёх точках трапеции. Середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.










Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD . Пусть точки L , М - середины оснований ВС и AD соответственно, О - точка пересечения диагоналей, К -точка пересечения продолжений боковых сторон. Так как ВС // AD и KL делит ВС пополам, то по теореме Фалеса KL делит AD в том же отношении, то есть пересекает AD в точке М. Значит, точки К, L, М лежат на одной прямой. К принадлежит LM. Рассмотрим треугольники AOD и СОВ. Они подобны по двум углам: угол 1 равен углу 2 и угол 3 равен углу 4. Из подобия следует СО/АО = ВС/AD. Соединим точки К и О с точками L и М , так как LC = ВС/2 , AM = AD/2 , то LC/AM = BC/AD . Значит треугольники OLC и ОМА подобны по двум сторонам и углу между ними. Значит, угол 5 равен углу 6,то есть эти углы вертикальны, отсюда следует, что точки 0,L,M, то есть точки К, L, М и О лежат на одной прямой.
Теорема Чевы. Теорема названа в честь итальянского математика [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], который доказал её в [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
Начнём с определения: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой.






Пусть на сторонах треугольника ABC выбраны точки А1 на ВС, В1 на AC, C1 на АВ. Отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство: ВА,/А1С-СВ,/В]А=АС1/С]В=1. (1) В теореме Чевы два взаимно обратных утверждения. Докажем, что если три отрезка АА1, BB1 и СС1 пересекаются в точке О, то выполняется равенство (1). Проведём через вершину В прямую а//АС. Пусть прямые АА1 и СС1 пересекают прямую а в точках Р и Q соответственно.  Тогда из подобия треугольников АА1C и PA1В имеем СА1/А1 B = АС/РВ. (2) Аналогично из подобия треугольников АС1С и BC1Q имеем BC/C1A = BQ/AC (3). Наконец, из подобия треугольников ОАС и OPQ следует: AB1/B1 C = PB/PQ. (4) Перемножив соответственно, левые и правые части равенств (2), (3), (4), получим (1).








Восхождение к вершине.

Тип урока:  урок обучения умениям и навыкам
Структура урока включает этапы: организационный, постановки цели, проверки домашнего задания и актуализации знаний, выполнение задач стандартного типа, затем реконструктивно-вариативного типа, творческого типа, определения домашнего задания.
Сначала ученики занимаются воспроизводящей деятельностью. Затем выполняют задания, требующие владения обобщенными умениями и элементами переноса знаний и способов деятельности в новые ситуации. Далее - выполнение творческих задач.
Цель данного урока - выработать у учащихся определенные умения и навыки, предусмотренные учебной программой.
Задачи:
образовательные: познакомить с теоремами и задачами, в доказательстве и решении которых используется подобие треугольников; научить владению новых знаний при решении задач ; углубить знание о практическом применении подобия треугольников.
воспитательные: показать необходимость знания геометрического материала для успешной сдачи экзамена и в практической жизни; вовлечь в активную практическую деятельность; совершенствовать навыки общения.
развивающие: научить работать с дополнительной литературой и другими источниками информации; умения анализировать и применять знания в нестандартной ситуации, обобщать и делать выводы.
Ход урока.
Организационный момент. Объявление темы урока, целей, задач и видов деятельности учащихся.
Оформление доски ( рисунок)

Мои достижения



Творчество

Дополнительные знания



Элементарные знания о подобии

Учитель. Сегодня мы с вами отправимся в увлекательное и нелёгкое путешествие – восхождение к вершине. Как вы думаете, к вершине чего? Конечно же, к вершине знаний, умений, навыков, творчества и преодоления трудностей.
2) Проверка домашнего задания.
Учитель: В начале всякого нелёгкого путешествия необходимо проверить всё ли мы взяли снаряжение, повторить правила техники безопасности в экстремальных ситуациях. Проверяем, как вы справились с домашним задание ( на дом была задана карточка с теоретическими вопросами и простейшими задачами на применение определения подобных треугольников и признаков подобия).
Карточка.
Что такое пропорция и как найти её неизвестные члены?
Примеры: 1) 1) 13 QUOTE 1415; 2)13 QUOTE 1415.

Определение подобных треугольников и формулировки признаков подобия треугольников, отношение площадей двух подобных треугольников.
Решение задач.

A P
5
N
10 13 6,5

10,5

B C M
21
Докажите подобие треугольников.


F Дано: ABCD – параллелограмм,
BE: BC= 5: 7, AB=102см.

Найти: BF.
E
B C


A D

Решение:
1. AD
·BE,

·FAD=
·FBE, =>
·FAD~
·FBE=>AD/BE=AF/BF

·F – общий

AD=BC, AF=BF+102
Пусть BF=x, тогда 7/5=x+102/x, 7x=5(x+102), 7x=5x+510, 7x-5x=510,
2x=510, x=255. BF=255см.
Ответ: 255 см.


Изучение нового материала.
Учитель: Познакомимся с теоремой, в доказательстве которой используется подобие треугольников и задачей, в решении которой используется подобие.

Подобие используется при доказательстве теоремы о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. MN//AC, MN= Ѕ AC.


Доказательство. Пусть MN– средняя линия треугольника ABC. Докажем, что MN//AC и MN = Ѕ АС Треугольники BMN и ВАС подобны по второму признаку подобия треугольников (угол B – общий),  ВМ/ВА =BN/BC = Ѕ , поэтому углы 1 и 2 равны и MN/AC = Ѕ . из равенства углов 1 и 2 следует, что MN//AC, а из второго равенства, что MN = Ѕ АС. Пользуясь данной теоремой, можно решить следующие задачи: Задача 1. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.  Решение. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Обозначим буквой О- точку пересечения его медиан AA1 и BB1 и проведём среднюю линию A1B1 ,этого треугольника. Отрезок A1B1 параллелен стороне АВ, поэтому углы 1 и 2, 3 и 4 равны. Следовательно, треугольники АОВ и A1OB1 подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны:
 AO/A1O = BO/B1O  = AB/A1B1. Но АВ = 2А1В1, поэтому АО =2A1O и ВО = 2B1O. Таким образом, точка О – точка  пересечения медиан AA1 и BB1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан BB1 и СС1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О. Итак, все три медианы треугольника ABC пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.
Учитель: Попробуем теперь проявить немного творчества, находчивости и сообразительности, которые так необходимы при решении задач.

Задача №1. ( №566)
A
Дано:
· ABC, P и Q – середины сторон AB и AC, PAPQ = 21см.
Найти периметр треугольника ABC.
P Q




B C Решение.

PQ – средняя линия треугольника ABC, PQ=ЅBC, AP=ЅAB, AQ=ЅAC =>

PABC=2PAPQ=42 см.
Ответ: 42 см.

Задача №2 ( №571) В треугольнике ABC медианы AA' и BB' пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника ABO равна S.
Решение.

Пусть CC' – медиана треугольника ABC, CD и OE – высоты треугольников ABC и AOB. Так как CC':OC'=3:1, то CD:OE=3:1, т.е. CD=3*OE. Поэтому SABC= ЅAB*CD, SAOB=ЅAB*OE, откуда ЅAB= SAOB
·OE.
SABC= 3*S.




C



B' A'
O



A D E C' B
Ответ: 3S.


Домашнее задание.
Повторить определения и формулировки теорем. Учебник №570.
Карточка. Признаки подобия треугольников.

№1.

B Дано: MF
·AB.
M
20 Найти MF и BM.
40 C

24
F
36

A


№2.

A Дано:
·D=
·B

5,2
Найдите AC.


D 4
B


3
C








Рисунок 2 Заголовок 1 Заголовок 315