Задачи для математической драки для учащихся 7 класса

Задачи для математической драки для учащихся 7 класса

В качестве задач, которые можно применить для математической драки 7 класса, можно использовать следующие:
Брат и сестра по очереди пишут цифры со старшего разряда по порядку вплоть до младшего. Начинать с нуля нельзя, а остальные цифры – совершенно произвольные. Если записанное число разделить нацело на 11, то победителем объявляется написавший последнюю цифру, а если не раздаться, то победителем будет написавший предпоследнюю цифру. Кто выиграет при правильной игре, если всего должно быть записано 6 цифр? – 3б.
Алеша задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получал число 2. Какое число задумал Алеше? – 3б.
Две девочки играют в игру – отрывают лепестки у ромашки, содержащей 14 лепестков. За один ход разрешается отрывать либо один лепесток, либо два лепестка, расположенных рядом друг с другом. Побеждает та девочка, которая оторвала последний лепесток. Кто выиграет при правильной игре? – 2б.
Двое по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски так, чтобы слоны не были друг друга. (Цвет слонов значения не имеет). Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной стратегии? – 3б.
Алеша, Боря и Витя учатся в одном классе. Один ездит домой из школы на автобусе, другой – на трамвае, третий – на троллейбусе. Однажды после уроков Алеше пошел проводить друга до остановки автобуса. Когда мимо проходил троллейбус, третий друг крикнул из автобуса: «Боря, ты забыл в школе тетрадь!» Кто на чем ездит домой? – 4б.
Игнату сейчас вчетверо больше лет, чем было его сестре в тот момент, когда она была вдвое моложе его. Сколько лет сейчас Игнату, если через 15 лет ему и сестре вместе 100 лет? – 6б.
В вершинах куба записаны числа 2, 0, 0, 3, 1, 9, 5, 7. За один ход разрешается прибавить к числам, стоящим на концах одного ребра, одно и то же целое число. Можно ли за несколько ходов получить нули во всех вершинах? – 4б.
Можно ли шахматную доску с вырезанным угловым полем покрыть плитками размером 1Ч3 клетки? – 6б.
На рисунке изображено 13 точек. Сколько квадратов с вершинами в этих точках можно нарисовать? (Точки располагаются все в вершинах квадратиков со стороной 1.) – 6б.





Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на 2 равные части. – 5б.



Из бочки, содержащей не менее 10л бензина, отлейте ровно 6л, используя бидон вместимостью 5л и девятилитровое ведро. – 5б
Решение и ответы
Выиграет второй игрок при следующей стратегии: каждым своим ходом он повторяет цифру, записанную соперником. В этом случае получается число вида aabbcc, которое всегда делится на 11.
Решаем с конца: (2*7+6)/4*3-5=10.
Выиграет второй игрок при следующей стратегии. Независимо от первого хода первого игрока второй игрок отрывает такое же количество лепестков, чтобы оставшиеся лепестки разбились на две одинаковые по длине цепочки лепестков. А каждым своим следующем ходом он отрывает такое же число лепестков, что и соперник, в симметричной цепочке лепестков.
Выиграет второй игрок, применяя следующую стратегию: на каждый ход соперника он отвечает ходом слона, которого ставит на клетку, симметричную клетке слона соперника относительно прямой, проходящей между четвертой и пятой горизонталью шахматной доски.
Так как Алеша не ездит на троллейбусе и провожает друга до автобусной остановки, то он ездит на трамвае. Так как третий друг кричал Боре из троллейбуса, то Боря ездит на автобусе, а третий друг – Витя – на троллейбусе.
6.

Игнат
Сестра

Тогда
2х
Х

Сейчас
4х
3х

Через 15 лет
4х+15
3х+15


Уравнение: 7х+30=100. Поэтому х=10. Игнату сейчас 40 лет.
7.Сумма всех чисел первоначально была равна 27 – это число нечетное. При прибавлении двух одинаковых чисел четность суммы не изменится. А так как сумма шести нулей равна нулю – число четное, то получить нули во всех вершинах куба будет нельзя.
8. Произведем раскраску доски в три цвета (см рисунок, цифра соответствует номеру цвета).
Заметим, что плитка размером 1Ч3 клетки всегда покрывает по одной клетке каждого цвета. Черных клеток на рисунке только 20 штук, поэтому на доске нельзя разместить более 20 плиток, а 20 плиток не покроют доску полностью. Следовательно, требуемого покрытия не существует.
1
2
3
1
2
3
1
2

3
1
2
3
1
2
3
1

2
3
1
2
3
1
2
3

1
2
3
1
2
3
1
2

3
1
2
3
1
2
3
1

2
3
1
2
3
1
2
3

1
2
3
1
2
3
1
2

3
1
2
3
1
2
3
1

9. можно нарисовать (см рисунок) 4 квадрата со стороной 1 клетка; 5 – со стороной, равной диагонали клетки; 1 – со стороной в 2 диагонали клетки, 1 – со стороной 2 диагонали клетки. Всего получится 11 квадратов.











10. См рисунок







11.
5л
0
5
0
5
1
1
0
5
0

9л
0
0
5
5
9
0
1
1
6


В конце занятия учитель подводит итоги драки, награждает победителей (им является ученик, набравший больше всего баллов; в качестве приза можно вручить книгу). Также происходит разбор наиболее трудных задач. При этом некоторые задачи можно предложить и для решения домой.

15