Разработка урока по геометрии 8 класс на тему Касательная к окружности
Нижегородская область Ветлужский район
Муниципальное общеобразовательное учреждение
Белышевская школа
Урок изучения нового: «Касательная к окружности, ее свойство и признак»
Урок решения ключевых задач: «Касательная к окружности, ее свойство и признак»
Учебник:
Геометрия 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.
Глава VIII.
13 EMBED Equation.3 1415§ 1. Касательная к окружности.
606860 Нижегородская область Ветлужский район
с. Белышево МОУ Белышевская школа
тел.8831(50)32-125
Работу выполнила:
Чистова Елена
Николаевна
Учитель математики
Урок изучения нового: Касательная к окружности, ее свойство и признак
Учебная задача:
Ввести понятие касательной к окружности и точки касания.
Сформулировать и доказать свойство касательной и ее признак, показать их применение при решении задач.
Диагностические цели урока:
Учащиеся должны знать:
определение касательной к окружности, точки касания;
Учащиеся должны уметь:
Формулировать и доказывать теорему о свойстве касательной к окружности и ее признак;
Развивающая:
развивать логическое мышление;
умения применять знания в нестандартных ситуациях.
Воспитательная:
воспитывать аккуратность, культуру геометрической речи.
Метод обучения:
Объяснительно-иллюстративный
Средства обучения:
Доска, мел, рисунки, текст теста.
Форма работы:
Беседа.
Структура урока:
Повторение изученного ранее – 5 мин.
Актуализация знаний учащихся – 3 мин.
Мотивация учебной деятельности – 2 мин.
Постановка целей и учебных задач – 3 мин.
Сообщение темы урока – 2 мин.
Ознакомление с новым материалом – 25 мин.
Подведение итога урока и постановка домашнего задания –5 мин.
Ход урока
I. Мотивационно-ориентировочная часть
Актуализация знаний учащихся
Два ученика готовят решение домашних задач на доске, пока ос тальные учащиеся решают тест. Задания теста в распечатанном виде раздать на каждую парту.
Проверка домашнего задания
Проверить домашние задачи № 632, 633.
Задача № 632
Расстояние от точки А до центра окружности мень ше радиуса окружности. Докажите, что любая пря мая, проходящая через точку А, является секущей по отношению к данной окружности.
Краткое решение (см. рис.):
Пусть р произвольная прямая и на ней отложим два отрезка AB и АС такие, что AB=AC=13 EMBED Equation.3 1415. По теореме Пифагора ОВ = ОС =13 EMBED Equation.3 1415 обе точки В и С лежат на окружности, значит, прямая р является секущей по отношению к данной окружности.
Задача № 633
Даны квадрат ОАВС, сторона которого равна 6 см, и окружность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из прямых ОА, АВ, ВС и АС являются секущими по отношению к этой окружности?
Краткое решение (см. рис.):
·АСО - прямоугольный, так как ОАВС- квадрат. По теореме Пифагора АС2 = АО2 + ОС2 = 62 + 62 = 72 => АС = 613 EMBED Equation.3 1415см.
ОН - высота равнобедренного треугольника АСО, проведен ная к его основанию => ОН- медиана этого треугольника, то есть AH=HC=313 EMBED Equation.3 1415см.
В
·АОH по теореме Пифагора ОН2 = ОА2 - АН2 = 62 –(313 EMBED Equation.3 1415)2 = 18 =>OH = 313 EMBED Equation.3 1415 см 13 EMBED Equation.3 1415 4,2 см.
Радиус окружности равен 5 см => OH < r =>AC и окружность пересекается в двух точках. Итак, секущими по отношению к этой окружности, являются АС и ОА. АВ и ВС не являются секу щими, так как d=ОА = ОС = 6 см > r = 5 см. Ответ: АС и О А.
Мотивация.
Тест с целью проверки теории
1. Среди следующих утверждений укажите истинные. Окружность и прямая имеют две общие точки, если:
а) расстояние от центра окружности до прямой не превосхо дит радиуса окружности;
б) расстояние от центра окружности до прямой меньше ра диуса окружности;
в) расстояние от окружности до прямой меньше радиуса.
Верный ответ: 2.
2. Среди следующих утверждений укажите истинные:
а) Прямая а является секущей по отношению к окружности, если она имеет с окружностью общие точки.
б) Прямая а является секущей по отношению к окружности, если она пересекает окружность в двух точках.
в) Прямая а является секущей по отношению к окружности, если расстояние от центра окружности до данной прямой не больше радиуса.
Верный ответ: б – истинно.
3. Закончите фразу, чтобы получилось верное высказывание. Окружность и прямая не имеют общих точек, если...
Верный ответ: если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности
4. Закончите фразу, чтобы получилось верное высказывание. Окружность и прямая имеют одну общую точку, если...
Верный ответ: если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности
5. Вставьте пропущенные слова.
Окружность и прямая имеют одну общую точку, ес ли расстояние от ... до прямой ...
Верный ответ: .центра окружности . равно радиусу окружности
Постановка учебной задачи:
Мы познакомились с тремя видами взаимного расположения прямой и окружности и знаем как называется прямая, имеющая с окружностью две общие точки – это секущая.
А сегодня мы познакомимся с определением прямой, имеющей с окружностью одну общую точку, узнаем ее свойства и признаки.
II. Содержательная часть.
1 . Введение определения касательной и точки касания.
Определение: Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Рисунок и записи на доске и в тетрадях учащихся (см. рис.): р - касательная к окружности; А - точка касания.
2. Доказательство теоремы о свойстве касательной к окружности лучше провести в ходе беседы учителя с учащими ся по рис., приготовленному на доске.
Теорема: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
- Предположим, что прямая р не перпендикулярна радиусу ОА. Сравните расстояние от центра окружности до прямой р с ра диусом окружности.
(Расстояние от точки О центра окружности - до прямой р меньше радиуса, так как радиус ОА в данном случае является наклонной по отношению к прямой р, а расстояние от точки О до прямой р - перпендикуляром к прямой р, а как известно, любая наклонная больше перпендикуляра, проведенного из той же точки к той же прямой что и наклонная.)
- Каково взаимное расположение прямой р и окружности? По чему?
- Может ли прямая р быть касательной к окружности? Объясни.
(Прямая р не может быть касательной к окружности, так как она имеет с ней две общие точки.)
- Верно ли предположение, что прямая р не перпендикулярна радиусу ОА? О чем это говорит?
(Предположение о том, что прямая р не перпендикулярна радиусу неверное, следовательно прямая р перпендикулярна радиусу.)
3. Ввести понятие отрезков касательных, проведенных из одной точки.
Определение: Отрезки АВ и АС называются отрезками каса тельных, проведенных из точки А, если прямые АВ и АС являются касательными к окружности, точки В и С - точками касания.
Рисунок и записи на доске и в тетрадях учащихся (см. рис.):
АВ и АС отрезки касательных, про веденных из точки А.
В и С- точки касания.
4. Доказательство свойства отрезков ка сательных, проведенных из одной точки.
Творческое задание:
Докажите, что отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, прохо дящей через эту точку и центр окружности.
Для выполнения творческого задания дать учащимся 3-5 минут, а затем обсудить различные варианты решений. Если учащиеся не смогли самостоятельно справится с заданием, выполнить задание, используя наводящие вопросы.
Решение (см. рис.):
По теореме о свойствах касательной к окружности АВ 13 EMBED Equation.3 1415 ОВ и АС 13 EMBED Equation.3 1415 ОС =>
·АОВ и
·АОС - прямоугольные, они равны по кате ту (ОВ = ОС) и гипотенузе (ОА) =>АВ = АС и 13 EMBED Equation.3 14151 = 13 EMBED Equation.3 14152.
Наводящие вопросы:
- Соединим точки А и О отрезком. Что вы можете сказать о тре угольниках АОВ и АОС?
- Чем является луч АО для угла ВАС? О чем это говорит?
5. Знакомство с признаком касательной и его доказательство.
- Сформулируйте теорему, обратную свойству касательной к окружности.
Теорема: Если прямая проходит через конец радиуса, лежа щий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
- Верна ли теорема, обратная свойству касательной к окружности?
- Докажите ее справедливость.
(По условию теоремы радиус яв ляется перпендикуляром к прямой, значит, расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу. Это говорит о том, что прямая и окружность имеют одну общую точку, т.е. прямая является касательной к окружности.)
6. Решение задачи на построение.
Дана окружность с центром в точке О и точка М на ней. Построить касательную к окружности, проходящую через точку М (см. рис.).
Вопросы для обсуждения:
- Предположим, а касательная к окружности, проходящая че рез точку М. Каково взаимное расположение прямой а и ра диуса ОМ?
- Как построить касательную к окружности, проходящую через М?
IV. Закрепление изученного материала
Разобрать решение задачи № 638.
Прямая АВ касается окружности с центром О радиу са r в точке В. Найдите АВ, если ОА=2см, а r = 1,5 см.
Решение (см. рис.):
·АОВ - прямоугольный, по теореме Пифагора
АВ = 13 EMBED Equation.3 1415(см).
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415см.
Наводящие вопросы:
- Как построить касательную к окружности?
(Сначала провести радиус ОВ, где В - точка касания, затем провести прямую АВ так, что АВ 13 EMBED Equation.3 1415 ОВ.)
- Докажите, что прямая АВ является касательной к окружности.
(По признаку касательной к окружности.)
2. Решить самостоятельно задачи № 640, 635, 637.
Задача № 640
Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А. Через точку А проведены две касательные к ок ружности. Найдите угол между ними, если ОА = 9 см
Краткое решение (см. рис.):
·АОВ прямоугольный, ОА = 9 см, ОВ = 4,5 см => 13 EMBED Equation.3 1415ВАО = 30°.
·ОАС =
·АОВ => 13 EMBED Equation.3 1415ОАС = 30° => 13 EMBED Equation.3 1415ВАС = 60°.
Ответ: 60°.
Задача № 635
Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.
Краткое решение (см. рис.):
В
·АОВ ОА = АВ по условию задачи, ОВ = ОА как радиусы одной окружности =>
·АОВ - равносторонний, 13 EMBED Equation.3 1415ОАВ = 60°.
ОА 13 EMBED Equation.3 1415 АС => 13 EMBED Equation.3 1415САВ = 90° - 60° = 30°. Ответ: 30°.
Задача №637
Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке В. Докажите, что треугольник АСО равнобедренный.
Краткое решение (см.рис.):
·АОС - равнобедренный (ОА = ОС как радиусы) => 13 EMBED Equation.3 14151 = 30°, ОС13 EMBED Equation.3 1415СD (радиус окружности перпендикулярен касательной) => 13 EMBED Equation.3 1415ОСD = 90°.
13 EMBED Equation.3 1415АСD = 13 EMBED Equation.3 14151 + 13 EMBED Equation.3 1415ОСD = 180° - (13 EMBED Equation.3 1415А + 13 EMBED Equation.3 1415АСD) = 180° - (30° + 120°) = 30° =>
·АСD - равнобедренный с основанием АD.
Дополнительная задача
АВ и ВС - отрезки касательных, проведенных из точки В к ок ружности с центром О. Найдите АВ и ВС, если ОА = 16 см, а радиу сы, проведенные к точкам касания, взаимно перпендикулярны.
Решение (см. рис.):
Т. к. ВА и ВС - отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, то ОА13 EMBED Equation.3 1415АВ, ОС13 EMBED Equation.3 1415СВ, АВ = ВС и 13 EMBED Equation.3 14151= 13 EMBED Equation.3 14152 =>13 EMBED Equation.3 1415AОВ =13 EMBED Equation.3 1415СОВ.
Т. к. ОА 13 EMBED Equation.3 1415 ОС и 13 EMBED Equation.3 1415AОВ =13 EMBED Equation.3 1415СОВ = 45° => 13 EMBED Equation.3 14151=45°, 13 EMBED Equation.3 14152 = 45°.
·АОВ - равнобедренный с основанием ОВ, значит, ОА = АВ.
По теореме Пифагора ОА2 + АВ2 = ОВ2 => так как ОА = АВ, то 2 ОА2=162=>ОA = 813 EMBED Equation.3 1415 см => АВ = BС= 813 EMBED Equation.3 1415 см.
Ответ: 813 EMBED Equation.3 1415см, 8813 EMBED Equation.3 1415 см.
V. Подведение итогов урока
Домашнее задание
П. 69, вопросы 3-7;
Решить задачи № 634, 636, 639 учебника.
Рассмотреть свойство отрезков касательных, проведенных из од ной точки и показать его применение в процессе решения задач.
Урок: Касательная к окружности. Решение задач
Цели урока:
Закрепить теоретический материал п. 69.
Совершенствовать навыки решения задач по теме.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Актуализация знаний учащихся
Теоретический опрос
(Три ученика готовятся у доски.)
- Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной.
- Сформулируйте и докажите теорему о свойстве отрезков каса тельных к окружности, проведенных из одной точки.
- Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о свойстве касательной.
Проверка домашнего задания
Проверить домашнюю задачу № 639 через графопроектор.
Задачам 639
Прямая АВ касается окружности с центром О радиу са r в точке В. Найдите АВ, если 13 EMBED Equation.3 1415АОВ = 60°, а r = 12 см.
Решение (см. рис.):
·АОВ- прямоугольный, 13 EMBED Equation.3 1415А = 90° - 13 EMBED Equation.3 1415О = 30° =>ОВ = 13 EMBED Equation.3 1415 ОА => ОА = 24 см.
По теореме Пифагора АВ = 13 EMBED Equation.3 1415(см).
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415 (см).
Наводящие вопросы
- Каково взаимное расположение касательной АВ и радиуса ОВ.
- Как найти катет АВ треугольника АОВ?
Далее можно заслушать учащихся, подготовивших у доски дока зательства теорем.
Решение задач на готовых чертежах
(Самостоятельно с последующей проверкой по готовым ответам.)
Рис. Дано: К = 5, АВ- касательная.
Найти: ОВ.
ОТВЕТ: OB=13 EMBED Equation.3 1415
Рис. Дано: АВ - касательная; АВ = 12, ОВ = 13.
Найти: R окружности.
ОТВЕТ: R = 5.
Рис. Дано: АВ, ВС - касательные, ОВ = 2, АО = 4.
Найти: 13 EMBED Equation.3 1415ВОС.
ОТВЕТ: 13 EMBED Equation.3 1415ВОС=12013 EMBED Equation.3 1415
Рис. Дано: АВ - касательная, R = 6, АО = ОВ.
Найти: АО.
ОТВЕТ: АО=10.
5. Рис. Дано: М, М, К -точка касания.
Найти: PABC.
ОТВЕТ: PABC= 34.
6. Рис. Дано: АВ = 10 см, О - центр окружности, СD - каса тельная, АЕ || СD. Найти: ОС.
ОТВЕТ: ОС = 13 EMBED Equation.3 1415.
III. Решение задач
1. Самостоятельно решить задачи № 641, 644, 647, записав крат кое решение (учитель в это время оказывает индивидуальную по мощь менее подготовленным учащимся).
Задача № 641
Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными из точки А. Найдите угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности.
Краткое решение (см. рис.):
В
·ОАС 13 EMBED Equation.3 1415С = 90°, ОС = 13 EMBED Equation.3 1415 ОА => 13 EMBED Equation.3 1415ОАС = 30° => 13 EMBED Equation.3 1415ВАС= 60°.
Задача № 644
Прямые МА и МВ касаются окружности с цент ром О в точках А и В. Точка С симметрична точ ке О относительно точки В. Докажите, что 13 EMBED Equation.3 1415АМС =313 EMBED Equation.3 1415ВМС.
Краткое решение (см. рис.):
МА и МВ - отрезки касательных, проведенных из точки М => 13 EMBED Equation.3 14151=13 EMBED Equation.3 14152. Точки О и С симметричны относительно точки В => ОВ = ВС и О, В, С лежат на одной прямой =>
·OMB =
·СМВ по двум катетам => 13 EMBED Equation.3 14152 =13 EMBED Equation.3 14153 =>13 EMBED Equation.3 1415АМС = 313 EMBED Equation.3 1415ВМС.
Задача № 647
Отрезок АН перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой, проходящей через центр О ок ружности радиуса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если: а) ОА= 5 см, АН = 4 см; б) 13 EMBED Equation.3 1415НАО = 45°, ОА= 4 см; в) 13 EMBED Equation.3 1415НАО= 30°, ОА= 6 см?
Краткое решение (см. рис.):
а) ОА = 5 см, АН = 4 см => ОН = 13 EMBED Equation.3 1415 = 3 см = r=> АН - касательная к окружности.
б) 13 EMBED Equation.3 1415HОA = 45°, ОА = 4 см => ОН = НА, ОН2 + НА2 = ОА2=>2 ОН2 = 16 => ОН = 13 EMBED Equation.3 1415 см 13 EMBED Equation.3 1415 3 см => АН явля ется касательной к окружности.
в) 13 EMBED Equation.3 1415HОA = 30°, ОА = 6 см =>OH = 13 EMBED Equation.3 1415OA = 3 см = r=> АН - каса тельная к окружности.
Ответ: а) да; б) нет; в) да.
IV. Самостоятельная работа
К первой задаче из самостоятельной работы записать краткое ре шение (можно на рисунке); ко второй задаче - полное решение.
1уровень
I вариант
1. Прямая КЕ касается окружности с центром в точке О, К точка касания. Найдите ОЕ, если КЕ = 8 см, а радиус окружности равен 6 см.
2. В треугольнике АВС АВ = 4 см, ВС = 3 см, АС = 5 см. Докажи те, что АВ - отрезок касательной, проведенной из точки А к окруж ности с центром в точке С и радиусом, равным 3 см.
II вариант
1. Прямая МN касается окружности с центром в точке О, М- точ ка касания, 13 EMBED Equation.3 1415МNО = 30°, а радиус окружности равен 5 см. Найдите N0.
2. В треугольнике МNК МN = 6 см, МК = 8 см, NК = 10 см. Дока жите, что МК - отрезок касательной, проведенной из точки К к ок ружности с центром в точке N и радиусом, равным 6 см.
II уровень
I вариант
1. АВ и ВС - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О и радиусом, равным 10 см. Найдите ВО, если 13 EMBED Equation.3 1415АОС = 60°.
2. Докажите, что основание АС равнобедренного треугольника АВС является касательной окружности с центром в точке В и радиу сом, равным медиане треугольника, проведенной к его основанию.
II вариант
1. МN и NК - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О, 13 EMBED Equation.3 1415MNК = 90°. Найдите радиус окружности, если ОN= 2 13 EMBED Equation.3 1415см.
2. Докажите, что стороны равностороннего треугольника касают ся окружностей, проведенных с центрами в его вершинах и радиу сами, равными любой из его биссектрис.
III уровень
I вариант
1. ЕК и ЕF - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О и радиусом, равным 6 см, 13 EMBED Equation.3 1415КОF = 120°, А - точка пере сечения КF и ОЕ. Найдите ОА и АЕ.
2. Даны угол и отрезок. Постройте окружность радиусом, равным данному отрезку, касающуюся сторон данного угла.
II вариант
1. РМ и РN - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О и радиусом, равным 10 см, 13 EMBED Equation.3 1415МОN= 120°, Е - точка пере сечения МN и ОР. Найдите ОЕ и РЕ.
2. Даны угол и отрезок. Постройте окружность, касающуюся сто рон данного угла, с центром, удаленным от вершины угла на рас стояние, равное длине данного отрезка.
V. Подведение итогов урока
Домашнее задание
Решить задачи № 641, 643, 645, 648.
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native