Решение уравнений и неравенств с модулем ( из опыта работы).
Решение уравнений и неравенств с модулем
(Из опыта работы Кирьяновой Т.Ф. учителя математики
МБОУ СОШ № 9 г. Пушкино.).
В средней общеобразовательной школе (6 – 9 кл) тема «Решение уравнений и неравенств с модулем» не выделена отдельно. Поэтому на протяжении всех четырёх лет надо отводить уроки для последовательного рассмотрения основных способов решений таких уравнений и неравенств. Тогда в 10 – 11 классах освободиться время для нестандартных методов решений многих задач содержащих модуль.
Определение модуля даётся в 6 классе и поэтому уже в шестом классе можно вывести первые свойства.
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415
И выделить время для решений простейших уравнений:
1. 13 EMBED Equation.3 1415 3. 13 EMBED Equation.3 1415
2.13 EMBED Equation.3 1415 4. при каких значениях p уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
В 8 классе, после прохождения тем: «квадратные и дробные рациональные уравнения», увеличивается разнообразие уравнений, решение которых основывается на правилах которые конечно же обосновываются)
1.13 EMBED Equation.3 1415
2.13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
Например. а) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 Следовательно 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ:1;8.
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
После изучения темы: «Неравенство с одной переменной и их системы» следует вывести следующие соотношения:
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415
6. 13 EMBED Equation.3 1415
7. 13 EMBED Equation.3 1415
8. 13 EMBED Equation.3 1415
9. 13 EMBED Equation.3 1415
Доказательство этих соотношений очень хорошо приведены у В. П. Моденова «Математика»
Далее надо рассмотреть схемы решений следующих уравнений и неравенств:
1) 13 EMBED Equation.3 1415
1 способ 2 способ
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Второй способ хорош тем, что не надо сравнивать f(x) с нулём
Например, 13 EMBED Equation.3 1415
(3) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
Все эти схемы надо отрабатывать на занятиях, которые не являются сложными. Так как, на первых уроках, самое главное это – теория.
а) 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
В девятом классе, после изучения квадратных неравенств, все предыдущие схемы просто надо разнообразить. А вот после «Метода интервалов» остаётся рассмотреть решение уравнений и неравенств содержащих более одного модуля
13 EMBED Equation.3 1415
Находят О.Д.З. исходного уравнения
Определяют точки разрыва и нули функции 13 EMBED Equation.3 1415
На каждом из промежутков, на которые найденные точки разбивают О.Д.З, исходное уравнение заменяется равносильным, не содержащим знаков абсолютной величины (это возможно в силу того, что функции на этих промежутках знакопостоянны).
1. 13 EMBED Equation.3 1415
1) О.Д.З. 13 EMBED Equation.3 1415
2) Нули модуля: x=0
3)
x
х + 0 - 1 +
х-1
x - + +
x-1 - - +
Тогда исходное уравнение равносильно совокупности систем:
13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
1. О.Д.З. 13 EMBED E
·quation.3 1415
2. Нули модуля: 13 EMBED Equation.3 1415
3.
-1 4 x
x-4 - - +
x+1 - + +
Тогда данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
В конце 9 класса следует оставить время для разбора некоторых способов решения уравнений и неравенств с параметром. Учащиеся уже знакомы с графиком функции 13 EMBED Equation.3 1415 и построением графиков с помощью преобразований. Полезно выполнить построение графиков с модулями, симметрией. Рассмотреть графики неравенств.
1. 13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим все случаи раскрытия модулей. Чтобы долго не выписывать, можно записывать формулы прямо в соответствующих координатных четвертях.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
Строим графики двух парабол и берём у каждой ту часть, где 13 EMBED Equation.3 1415
(1) 13 EMBED Equation.3 1415 (2)13 EMBED Equation.3 1415
Ось симметрии задаётся уравнением 13 EMBED Equation.3 1415 Ось симметрии задаётся уравнением 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415
1. строим границу 13 EMBED Equation.3 1415
2. берём контрольную точку (0; 0) и подставляем в условие.
Если получим верное неравенство, то т.(0; 0) входит в заштрихованную область, если неравенство не будет верным, то точка (0; 0) не входит в заштрихованную область. Данный метод называется Методом областей. С помощью этого метода можно решать неравенства с параметром. В девятом классе такой метод надо рассматривать на простейшем примере.
Решить неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 при всех значениях а
Построим график неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 в системе ХОУ.
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) точка контрольная (100; 0) подходит. Далее следим за знаками скобок и заштриховываем области «через одну»
в) для решения неравенства описываем каждую кривую выразив х через у.
г) Мысленно перемещаем прямую у=а и прослеживаем, какая часть прямой попала в заштрихованную область
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Найти число корней уравнения
13 EMBED Equation.3 1415 в зависимости от параметра а
Построим графики функций 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
(можно было выделить полный квадрат. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ось симметрии задаётся уравнением х=1
х
0
-1
у
-3
0
Ответ:
13 EMBED Equation.3 1415
7. Уже в 9 классе можно познакомить с координатно – параметрическим методом.
Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 для каждого действительного а.
Решение: На плоскости аОУ с параметрической осью Оа и координатной плоскостью ОУ построим прямые х=а и х=-а-1
Прямые пересекаются в точке С (13 EMBED Equation.3 1415)
Образовались 4 области
в 1 области 13 EMBED Equation.3 1415
во 2 области 13 EMBED Equation.3 1415
в 3 области 13 EMBED Equation.3 1415
в 4 области 13 EMBED Equation.3 1415
3. в каждой области раскроем модуль
4. Значит на плоскости аОХ все точки границы дают
решение уравнения
Ответ:
Ответ при 13 EMBED Equation.3 1415
Литература, которую очень полезно использовать для проведения уроков.
учебники: В.П. Моденов «Математика»
Родионов Е.М., Синакова С.А. «Математика»
Б.Г.Зив; В.А.Гольдиг «Дидактические материалы».
x= -1, y=3 Данные прямые задают новую систему координат
в каждой четверти новой системы координат раскроем модули
относительно старой системы координат строим прямые, затем выделим отрезки каждой четверти новой системы координат
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native