Элективный курс Методы решения неравенств с одной переменной (10-11 классы)

Элективный курс
по математике для 10 класса
«Методы решения неравенств с одной переменной»
Составила Яновская Светлана Ивановна
Пояснительная записка
Математическое образование в системе основного общего образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.
Актуальным остается вопрос дифференциации обучения математике, позволяющей, с одной стороны, обеспечить базовую математическую подготовку, а с другой – удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к предмету.
На уроках в общеобразовательных десятых классах учащиеся только знакомятся с основными простейшими методами решения неравенств. Для решения сложных задач, накопления нестандартных методов и приемов решения не хватает времени. А того объема упражнений, которые обычно предлагаются в учебниках по алгебре и началам анализа для 10-11 классов, и вовсе недостаточно для формирования умения решать неравенства. С этой точки зрения тема элективного курса «Методы решения неравенств с одной переменной» весьма актуальна. Ее рассмотрение обобщает опыт изучения в школьном курсе разнообразных способов решения неравенств, а также компенсирует достаточно ограниченные возможности базового курса.
Предметом настоящего элективного курса является чёткое изложение теории вопроса и практика решения более сложных неравенств. На спецкурсе добавляются новые, интересные способы и приемы решения (использование свойств функции, метод оценок, метод ОДЗ, обобщённый метод интервалов, рационализация неравенств, метод замены, применение свойств модуля, метод расщепления). Изучение этих новых методов на занятиях должны помочь ученику впоследствии увидеть «идеи» при поиске способа решения конкурсных задач.Решение таких задач будет способствовать развитию логического мышления, формированию математической культуры учащихся.
Также на занятиях у учащихся есть возможность получить навыки самостоятельной работы в плане отбора, поиска и решения нестандартных заданий. Таким образом, делая выборку нестандартных неравенств, ребята получают навыки работы с математической литературой.
Цели курса:
создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной
деятельности;
развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся,
обобщенных умственных умений.
изучить различные методы и приемы решения данного класса неравенств;
применять уже обозначенные методы и приемы на практике;
выработать навыки решения более сложных неравенств, содержащих одновременно логарифмы, модули, радикалы и т. п.
развитие таких качеств личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, алгоритмическая культура, интуиция, критичность и самокритичность.
Задачи курса:
систематизация, углубление и расширение знаний, полученных учащимися на уроках алгебры при изучении тем, связанных с неравенствами различных видов;
обучение методам и приёмам решения неравенств, рассматриваемых в данном элективном курсе, развивающих научно – теоретическое и алгоритмическое мышление;
развитие у школьников коммуникативных умений и навыков, навыков самостоятельной работы, самооценки и взаимооценки;
формирование навыков и интереса к научной и исследовательской деятельности и воспитание устойчивого интереса к математике;
оказание помощи ученику в оценке своего потенциала с точки зрения образовательной перспективы.
приобщить учащихся к работе с математической литературой;
Для реализации целей и задач данного элективного курса предлагается использовать следующие формы занятий: лекции, беседы с элементами обсуждения, коллективное исследование поставленной проблемы и практикумы по решению основных типов задач, а также домашние контрольные работы учащихся с последующей совместной проверкой и самооценкой.
Тематический план
№ Разделы Кол-во
часов Виды деятельности
1 Рациональные неравенства 5 лекция, практикум, семинар
2 Неравенства, содержащие
выражения с модулем 5 лекция, практикум, семинар
3 Неравенства с радикалами 5 лекция, практикум, семинар
4 Показательные неравенства 6 лекция, практикум, семинар
5 Логарифмические неравенства 8 лекция, практикум, семинар
6 Смешанные неравенства 5 лекция, практикум, семинар
7 Итоговый урок 1 урок-беседа
Всего 35 Содержание программы.
Рациональныенеравенства (5).
Деление «уголком» многочлена на многочлен. Дробно – рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем. Метод интервалов. Первое обобщение метода интервалов. Метод замены при решении неравенств.
Неравенства, содержащие выражения с модулем (5).
Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности. Разбиение области определения неравенства на подмножества. Метод интервалов при раскрытии модулей. Применение свойств модуля. Геометрический метод (расстояние на координатной прямой).
Неравенства с радикалами (5).
Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем. Возведение в натуральную степень обеих частей неравенства. Метод замены (введение новой переменной) при решении иррациональных неравенств. Использование области определения функции.
Показательные неравенства (6).
Свойства показательных функций. Основные свойства степеней. Методы решения показательных неравенств: функционально – графический метод; метод уравнивания показателей; метод введения новой переменной. Метод интервалов при решении показательных неравенств. Метод рационализации.
Логарифмические неравенства (8).
Основное логарифмическое тождество. Формулы преобразования логарифмов. Эквивалентные переходы, позволяющие избавится от логарифмов. Основные методы решения логарифмических неравенств: функционально – графический метод; метод потенцирования; метод введения новой переменной, обобщённый метод интервалов, метод рационализации, метод расщепления.
Смешанные неравенства(6).
Неравенства, содержащие одновременно логарифмы, модули, радикалы и т.п. Применение всех пройденных ранее методов при решении конкретной задачи (метод интервалов, метод замены, метод расщепления и т.п.). Итоговый урок.
В результате курса учащиеся должны:
знать основные способы решения неравенств;
уметь быстро определить метод решения данного неравенства; а в случаях, если способов решения несколько, найти альтернативный вариант;
иметь представление о роли математики в познании действительности;
уметь анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать, самостоятельно работать с математической литературой и использовать информационные технологии;
знать и уметь применять различные способы решений неравенств разных видов;
уметь ставить цели и планировать действия для их достижения;
уметь объективно оценивать свои индивидуальные возможности в соответствии с избираемой деятельностью;
уметь проводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата.
Для достижения целей курса предлагается следующие способы
организации деятельности учащихся на различных уроках:
на уроках-лекциях учащиеся учатся конспектировать, анализировать возникновение новых методов решения задач;
на уроках-беседах совместными усилиями учителя и учащихся решаются ключевые задачи;
на уроках-практикумах учащиеся самостоятельно решают задачи, добиваясь тех или иных навыков, анализируют ошибки и пути их исправления;
на уроках-семинарах учащиеся рассказывают о проделанной работе, скажем, о решении каких-то задач из домашней работы, оценивают решения, оценивают свою деятельность.
Литература
Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Решение неравенств с одной переменной (типовые задания С3). Москва & Брянск 2013.
ЕГЭ 2014. Математика. 30 вариантов типовых текстовых заданий и 800 заданий части 2(С) / И. Р. Высоцкий, П. И. Захаров и др. под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко – М.: Издательство «Экзамен», 2014. (Серия «ЕГЭ.Типовые тестовые задания»).
ЕГЭ 2015. Математика. 50 вариантов. Под редакцией И. В. Ященко.– М.: Издательство «Экзамен», 2015. (Серия «ЕГЭ.Типовые тестовые задания»).
В. В. Ткачук. Математика абитуриенту. Москва, МЦНМО.
Денищева Л. О., Глазков Ю. А. и др. Единый государственный экзамен. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ – М.: Интеллект-Центр.
Егерев В. К. и др. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / под ред. М. И. Сканави. – М.: “Оникс – 21 век” 2003.
www.mathege.ru – Математика ЕГЭ 2013 (открытый банк заданий).
www.alexlarin.net – сайт по оказанию информационной поддержки студентам и абитуриентам при подготовке к ЕГЭ и изучении различных разделов высшей математики.
http://reshuege.ru – Образовательный портал для подготовки к экзаменам «Решу ЕГЭ. Математика».
Календарно – тематическое планирование
№ Наименование разделов и тем Кол-во часов Дата план факт
1 Рациональные неравенства 5 1.1 Деление «уголком» многочлена на многочлен. Метод интервалов. 1 1.2 Обобщённый метод интервалов 1 1.3 Урок тренаж: обобщённый метод интервалов. 1 1.4 Метод замены 1 1.5 Семинар: рациональные неравенства 1 2 Неравенства, содержащие выражения с модулем. 5 2.1 Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем. 1 2.2 Квадратный трёхчлен, стоящий под модулем и модуль в модуле. 1 2.3 Метод интервалов 1 2.4 Применение свойств модуля. Введение новой переменной. 1 2.5 Семинар: неравенства с модулем 1 3 Неравенства с радикалами 5 3.1 Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем. 1 3.2 Метод расщепления 1 3.3 Замена иррациональных выражений. 1 3.4 Рационализация неравенств 1 3.5 Семинар: неравенства с радикалами 1 4 Показательные неравенства 6 4.1 Преобразование показательных неравенств к простейшим, при помощи основных свойств степени и свойства возрастания или убывания показательной функции (в основание-число). 1 4.2 Урок тренаж: преобразование показательных неравенств к простейшим 1 4.3 Введение новой переменной (сведение к квадратному неравенству) 1 4.4 Преобразование показательных неравенств к простейшим, при помощи основных свойств степени и свойства возрастания или убывания показательной функции (в основание-переменная). 1 4.5 Метод рационализации 1 4.6 Семинар: показательные неравенства 1 5 Логарифмические неравенства 8 5.1 Преобразование логарифмических неравенств к простейшим с помощью основных логарифмических тождеств (в основание-число) 1 5.2 Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем. 1 5.3 Метод расщепления 1 5.4 Введение новой переменной 1 5.5 Метод потенцирования 1 5.6 Преобразование показательных неравенств к простейшим, при помощи основных свойств степени и свойства возрастания или убывания показательной функции (в основание-переменная). 1 5.7 Метод рационализации 1 5.8 Семинар: логарифмические неравенства 1 6 Смешанные неравенства 6 6.1 Показательные неравенства с радикалом 1 6.2 Показательные неравенства с модулем 1 6.3 Показательные неравенства с модулем, радикалом (в основание-переменная) 1 6.4 Логарифмические неравенства с радикалом 1 6.5 Логарифмические неравенства с модулем 1 6.6 Итоговый урок 1 Всего 35