Урок по теме: АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. в 7 классе по учебнику «Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс» под ред. Г. В. Дорофеева
Урок по теме: АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
в 7 классе по учебнику «Математика. Арифметика. Алгебра.
Анализ данных. 7 класс» под ред. Г. В. Дорофеева
ЦЕЛИ УРОКА: повторить алгоритм решения задач с помощью уравнений,
научить составлять уравнения с помощью текстовых задач,
закрепить навык решения линейного уравнения с одним
неизвестным.
ХОД УРОКА:
Орг. момент.
Проверка домашнего задания.
Актуализация знаний
Составьте выражение по условию задачи (устно):
Для класса купили х тетрадей по 2 руб. за тетрадь и у тетрадей по 3 руб. за
тетрадь. Сколько рублей заплатили за покупку?
От куска материи длиной с(м) три раза отрезали по а(м). Сколько метров
материи осталось в куске?
За 3 часа одна машинистка напечатала n страниц, а другая за 5 часов
Напечатала m страниц. Оказалось, что первая машинистка печатает
быстрее, чем вторая. На сколько страниц в час больше печатает первая
машинистка? (вычислите при n=24, m=45)
Изучение нового материала.
Мы уже решали текстовые задачи с помощью рассуждений и, конечно,
поняли, что к каждой задаче надо подбирать свой особый «ключик».
Алгебра предлагает нам новые возможности решения задач. С помощью
одного и того же общего приема можно решать самые разные задачи.
Решая задачу алгебраическим способом, надо сначала условие задачи,
написанное на русском языке, перевести его на математический язык.
Самое важное в таком переводе – введение переменной. В результате
перевода обычно получается равенство, с которым удобно работать дальше.
Эта работа составляет следующий этап решения – различными математичес-
кими приемами из полученного равенства находят ответ.
ПРИМЕР. В семье две пары детей-близнецов, родившихся с разницей в
три года. В 2010 г. всем вместе исполнится 50 лет. Сколько лет
каждому из них будет в 2008 году?
Арифметический способ:
В 2010 году сумма возрастов четверых детей – 50 лет. В 2008 году возраст
каждого на 2 года меньше, значит, их суммарный возраст меньше на:
2 · 4 = 8 (лет). Таким образом, в 2008 г. близнецам вместе 50 – 8 = 42 (года).
Если бы все они были в возрасте младших, то в 2008 г. им было бы вместе:
42 – 3 · 2 = 36 (лет). Значит, младшим в 2008 г. по: 36 : 4 = 9 (лет), а
старшим – по: 9 + 3 = 12 (лет).
Алгебраический способ:
Пусть младшим детям в 2008 г. будет по х лет, тогда старшим в этом году
будет по (х + 3) года. В 2010 году, т. е. через 2 года младшим будет по (х + 2)г.
а старшим – по (х + 5) лет.
По условию задачи их суммарный возраст в 2010 году составляет 50 лет.
Значит, выполняется равенство:
(х + 2) + (х + 2) + (х + 5) + (х + 5) = 50;
4х + 14 = 50;
4х = 50 – 14;
4х = 36;
х = 36 : 4;
х = 9.
Мы нашли неизвестное число, которое обозначили буквой х. Однако это еще не
ответ задачи. через х мы обозначили возраст младшей пары близнецов,
значит, им по 9 лет. Но еще требуется найти возраст старшей пары. Так как
им на 3 года больше, то им по 12 лет.
Ответ: 9 лет, 12 лет.
Также буквой х можно было бы обозначить и возраст старших близнецов.
Тогда получилось бы такое равенство: (х – 1) + (х – 1) + (х + 2) + (х + 2) = 50.
Ответ задачи в этом случае будет тот же. (проверьте это самостоятельно).
Как вы уже знаете, равенство, которое получается при переводе условия текстовой задачи на язык математики, называют уравнением. А сам перевод условия задачи на математический язык обычно называют составлением
уравнения по условию задачи.
Закрепление изученного материала.
На трех полках 50 книг. На средней полке на 4 книги меньше, чем на верхней,
и на 2 книги больше, чем на нижней полке. Сколько книг на каждой полке?
Составьте 3 уравнения, обозначив последовательно буквой х число книг на каждой из полок. Какое уравнение легче было составить?
Решение:
а) Пусть на верхней полке было х книг, тогда на средней полке было
(х - 4) книг, а на нижней полке (х - 4 – 2 = х-6) книг. Так как всего
на трех полках 50 книг, получим уравнение:
х + (х – 4) + (х – 6) = 50.
б) Пусть на средней полке было х книг, тогда на верхней полке было
(х + 4) книг, а на нижней полке (х – 2) книг. Так как всего на трех
полках 50 книг, получим уравнение:
х + (х + 4) + (х – 2) = 50.
в) Пусть на нижней полке было х книг, тогда на средней полке было
(х + 2) книг, а на верхней полке (х + 2 + 4 = х + 6) книг.
2) Брат старше сестры на 4 года. Отец сказал сыну: «Мне 30 лет. Если
через два года я сложу твой возраст и возраст твоей сестры, то результат
будет меньше моего возраста в два раза». Определите, сколько лет брату и
сестре сейчас, и сколько будет каждому из них через два года?
Решение:
Пусть сестре сейчас х лет, тогда брату сейчас (х + 4) года. Через 2 года
сестре будет (х + 2) года, а брату (х + 6) лет. Так как через 2 года вместе
им будет (30 + 2) : 2 = 16 (лет), то составим и решим уравнение:
(х + 2) + (х + 6) = 16;
2х + 8 = 16;
2х = 16 – 8;
2х = 8;
х = 8 : 2;
х = 4.
Значит, сейчас сестре 4 года, тогда брату – 4 + 4 = 8(лет). А через 2 года
сестре будет 6 лет, тогда брату 10 лет.
Ответ: 4 года и 8 лет; 6 лет и 10 лет.
3) (Старинная задача) Некто сказал другу: «Дай мне 100 рублей, и я буду вдвое
богаче тебя». Друг ответил: «Дай ты мне только 10 рублей, и я стану
в 6 раз богаче тебя». Сколько денег было у каждого?
Решение:
Пусть Некто имел х рублей. Тогда у него стало бы (х + 100) рублей,
значит, у друга было ((х + 100):2 + 100) рублей. Если бы Некто отдал
другу 10 рублей, то у него осталось бы (х – 10) руб., а у друга стало бы
((х + 100) : 2 + 100 + 10) рублей. Так как тогда бы друг стал богаче
в 6 раз, имеем уравнение:
(х + 100) : 2 + 100 + 10 = 6(х – 10);
(х + 100) : 2 + 110 = 6(х – 10); (·2)
х + 100 + 220 = 12(х – 10);
х + 320 = 12х – 120;
12х – х = 320 + 120;
11х = 440;
х = 440 : 11;
х = 40.
Значит, у Некто было 40 рублей, тогда у его друга было 170 рублей.
Ответ: 40 рублей, 170 рублей.
Итог урока.
Сегодня на уроке мы вспомнили, как решать задачи арифметическим
способом и научились решать те же задачи с помощью алгебраического
способа. Узнали, что для решения одной задачи можно составить несколько уравнений.
13PAGE 15
13PAGE 14115