Презентация по математике на тему: Содержание «задач с параметрами» в программе математики средней школы на примере учебника А.Г. Мордковича

Содержание «задач с параметрами» в программе математики средней школы на примере учебника А.Г. МордковичаУчитель математикиМБОУ СОШ №95Г. КазаниЗиннурова Л.Д.2014г. Нельзя утверждать, что вопрос о решении задач с параметрами не затрагивается в рамках школьного курса математики. Достаточно вспомнить школьные уравнения: ax2+bx+c=0, y=kx, y=kx+b, tgx=a, в которых a, b, c, k не что иное, что такое параметр, в чем его отличие от неизвестного.Рассмотрим понятие параметра. Параметр (от греческого слова parametron - отмеривающий) - величина, значение которой служат для различения некоторого множества между собой. Под задачами с параметрами понимают задачи, в которых технический и логический ход решения и форма результата зависят от входящих в условие величин, численные значения которых не заданы конкретно, но должны считаться известными. В математике параметры вводятся для обозначения некоторого класса объектов, обладающих общими свойствами. Если параметру, содержащемуся в уравнении (неравенстве) придать некоторое числовое значение, то возможен один из двух случаев: 1) получится уравнение (неравенство), содержащее лишь данные числа и неизвестные, и не содержащие параметров;2)получится условие, лишенное смысла. В первом случае значение параметра называют допустимым, во втором - недопустимым. При решении задач допустимые значения параметров определяются из конкретного смысла. Например, для a < 0 значение выражения logax для любого x не определено. Противоречивые характеристики параметра могут в самом начале изучения вызвать у учащихся определенные психологические трудности. В связи с этим на начальном пути знакомства с параметром очень полезно как можно чаще прибегать к наглядно-графической интерпретации полученных результатов. Это не только позволяет преодолеть естественную неуверенность ученика перед параметром, но и дает учителю возможность параллельно, в качестве пропедевтики, приучать учеников при решении задач с параметрами использовать графические приемы доказательства. Развивающий характер уравнений и неравенств с параметрами определяется их способностью реализовывать многие виды мыслительной деятельности учащихся:1. Выработка определенных алгоритмов мышления.2. Умение определить наличие и количество корней в уравнении.3. Решение семейств уравнений, являющихся следствием данного.4. Выражение одной переменной через другую.5. Нахождение области определения уравнения.6. Повторение большого объема формул при решении.7. Значение соответствующих методов решения.8. Широкое применение словесной и графической аргументации.9. Развитие графической культуры учащихся. Тематический анализ учебников А.Г. Мордковича «Алгебра.» 2007г7 класс Учебник для 7 класса начинается с темы «Числовые и алгебраические выражения», которая содержит следующие задания №33-№35:При каких значениях переменной имеют смысл выражения Следующим заданием с параметрами можно называть упражнения из главы «Линейные уравнения с двумя переменными» (№827 - 831), например,№ 828. Найдите значение коэффициента а в уравненииax + 5y - 40 = 0, если известно, что решением уравнения является пара чисел:а) (3;2);б) (9;-1);в) (1/3; 0);г) (-2; 2,4). В этой же главе присутствуют задания, в которых требуется выразить одну переменную через другую (№825, №826), эти задания, как уже говорилось выше, являются своего рода задачами с параметрами. № 825. Дано линейное уравнение с двумя переменными. Используя его, выразите каждую из переменных через другую:а) 3a + 8b = 24;б) 12m - 3n = 48 Параграф «Линейная функция и ее график» также содержит задания с параметрами, например,№ 902. Найдите значение m, если известно, что график линейной функции y = -5x + m проходит через точку: а) N(1;2); б) K(0,5; 4); в) M(-7;8); г)P(1,2;-3).№907. Как расположен в координатной плоскости xOy график линейной функцииy = kx + m, если известно, что:а) k > 0, m = 0; б) k < 0, m = 0? В данном случае приведены несколько заданий с параметрами в главе «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными», например задания:№ 1075. Найдите значение коэффициента а в уравнении ax + 8y = 20, если известно, что решением этого уравнения является пара чисел:а) (2;1); б) (-3;-2).№ 1076. Дана система уравнений. Известно, что пара чисел (5;6) является ее решением. Найдите значения a и b. 8 класс В учебнике для 8 класса по теме «квадратичная функция», помещены сравнительно простые задания № 483 - № 488, связанные с графиком квадратичной функции. Например:№ 483. Найдите значение коэффициента с, если известно, что график функции y=x2+4x+c пересекает ось ординат в точке А(0;2).Далее следует более сложные задания с похожим содержанием (№ 498 - № 503). Например:№ 500. При каких значениях коэффициента b и c точка А(1;-2) является вершиной параболы y=x2+bx+c? После данной темы рассматривается графическое решение квадратного уравнения, и даются упражнения, где параметр является правой частью уравнения (№ 518 - № 522). Например:№ 518. При каком значении p уравнение x2-2x+1=p имеет один корень?№ 522. При каких значениях p уравнение x2+6x+8=p:а) не имеет корней;б) имеет один корень;в) имеет два корня? В главе 4 «Квадратные уравнения» понятие параметра впервые появляется в условии заданий №792-795. Например:№ 793. При каких значениях параметра p уравнение (2p - 3)x2 + (3p - 6)x +p2 - 9 = 0 является:а) приведенным квадратным уравнением;б) неполным неприведенным квадратным уравнением;в) неполным приведенным квадратным уравнением;г) линейным уравнением? Затем в §20 «Формулы корней квадратного уравнения» в теоретической части дается определение параметра и уравнения с параметром на примере следующего уравнения: x2 - (2p + 1)x + (p2 + p - 2) =0. Это уравнение отличается от всех рассмотренных до этих пор квадратных уравнений тем, что в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения и считаются уравнениями с параметрами. В данном случае параметр (буква) p входит в состав второго коэффициента и свободного члена уравнения. Когда учащиеся решают квадратные уравнения с вычислением дискриминанта, им предлагаются упражнения 820, 821, 838 - 841. Например:№ 838. ИЗ данных уравнений укажите те, которые имеют два различных корня при любом значении параметра p:а) x2 + px = 0; в) x2 + px + 5 = 0; б) x2 - px - 5 = 0; г) px2 - 2 = 0. Эти задания сопровождаются заданиями на доказательство (№ 821, 842), например:№ 842. Докажите, что не существует такого значения параметра p, при котором уравнение x2 - px + p - 2 = 0 имело бы только один корень. При прохождении квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом решается упражнение: № 953. Решите уравнение:а) x2 - 2(a - 1)x + a2 - 2a - 3 = 0; б) x2 + 2(a + 1)x + a2 + 2a - 8 Когда учащиеся знакомятся с теоремой Виета, выполняются упражнения № 971 и № 972.№ 971. При каких значениях параметра p сумма корней квадратного уравнения x2 + (p2 + 4p - 5)x - p = 0 равно нулю? В §35. «Решение квадратных неравенств» помещены упражнения № 1360 - 1365 с заданием решить квадратное уравнение, которое сводится к решению неравенств.№ 1360. При каких значениях параметра p квадратное уравнение 3x2 - 2px - p + 6 = 0:а) имеет два различных корня;б) имеет один корень;в) не имеет корней?№ 1366. При каких целочисленных значениях параметра p неравенство (x2 - 2)(x - p) < 0 имеет три целочисленных решения?9 класс В учебнике для 9 класса упражнения с параметрами приводятся сначала в § 1 «Линейные и квадратные неравенства», в № 11, 17 - 19.№ 11. При каких значениях параметра p квадратное уравнение 3x2 - 2px - p + 6 = 0:а) имеет два различных корня;б) имеет один корень;в) не имеет корней? В § 2 «Рациональные неравенства» заданием с параметром является задание № 50: Найдите такое целое значение параметра p, при котором множество решений неравенства x(x + 2)(p - x) ≥ 0 содержит: а) два целых числа; в) три целых числа;б) четыре целых числа;г) пять целых чисел. В § 2 «системы рациональных неравенств» задачами с параметрами являются задачи № 85 - 87.№ 86. Укажите все значения параметра p, при которых решением системы неравенств является промежуток: а) (5; +∞); б) [3; +∞). Последний раз задания с параметрами встречаются в главе «Системы уравнений» (№ 117 - 119). В данном комплекте учебников и задачников достаточно хорошо подобраны задачи с параметрами в каждом классе основной школы. В учебнике 7 класса большое внимание уделяется пропедевтике уравнений с параметрами. В учебнике для 8 класса при прохождении темы квадратные уравнения» дается достаточно ясное определение параметра и уравнения с параметром. Но этого не достаточно для полного представления о методах решения задач с параметрами