Урок по математике Решение систем линейных уравнений с параметрами

Открытый урок по теме:
« Решение систем двух линейных уравнений
с двумя неизвестными и с параметрами»
(Урок подходит для учащихся 7-х -11-х классов)
подготовила: учитель математики
МОУ СОШ г. Мамоново Калининградской области
Васильева Наталья Николаевна
Цель урока: рассмотреть новые способы решения систем линейных уравнений без параметров и с параметрами с помощью определителей.
Рассмотрим вид системы линейных уравнений . а 1х+в1у=с1 (1)
а2х+в 2у=с2,
где а1,а2,в1,в2,с1,с2-некоторые числа и а12+ в 12≠0; а22+ в 22≠0;
называется системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Одним из основных методов решения данной системы является метод Крамера или метод определителей. По коэффициентам системы (1) составляем три определителя.
а 1 в1
∆ = а 2 в2 =а 1в 2- а 2в 1,
с 1 в1∆ х = с 2 в2 =с 1в 2- с 2в 1,
а 1 с1∆у = а 2 с2 =а 1с 2- а 2с 1,
где ∆-называется главным определителем системы (1), ∆ х -определителем неизвестного Х, а ∆ у -определителем неизвестного у .
Выражения для определителя системы ∆ получается из коэффициентов при неизвестных Х и У;
для ∆ х из определителя ∆ системы (1), если в нем столбец, составленный из коэффициентов при Х, заменить столбцом из свободных членов. Аналогично получается ∆ у из ∆ заменой столбца коэффициентов при У на столбец свободных членов.
1)Если главный определит системы отличен от нуля, т. е.
а 1 в1
∆ = а 2 в2 ≠0, то система (1) имеет единственное решение, которое находится по формулам:
Х=∆ х /∆ , У= ∆ у /∆ .
Эти формулы носят название формул КРАМЕРА . 2) Если определитель системы равен нулю, а хотя бы один из определителей неизвестных отличен от нуля, т. е. ∆ =0, ∆ х ≠0 или (∆ =0, ∆ у ≠0), то система не имеет решений.
3) Если же равны нулю и главный определитель системы и определители неизвестных, т.е.
∆ =0, ∆ х =0, ∆ у =0, то система имеет бесконечное множество решений.
Примечание. Если на систему (1) не наложить условий : а12+ в 12≠0; а22+ в 22≠0, то из условия
∆ =0, ∆ х =0, ∆ у =0 может и не следовать, что данная система имеет бесконечное множество решений. Например система
0∙х+0∙у=4
0∙х+0∙у=-1, все три определителя которой равны нулю не имеет решений.
Рассмотрим примеры на решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными и параметром.
Пример 1. Найти все значения параметра а, при котором система
4Х+5У=8
аХ- 6У=2 имеет единственное решение.
Решение: Данная система имеет единственное решение, при условии, что ∆ ≠0. Так как
∆ = 4 5 =-24-5а, то система имеет единственное решение, если а≠-24/5, или а≠-4,8
а -6
Ответ: при а≠-4,8 система имеет единственное решение.
Пример 2. Найти все значения параметра р, при котором система
рХ-2У=10
3Х+4У=15 не имеет решений.
Решение: Поскольку ∆ х≠0, т.е.
10 -2 =40+30=70≠0, то данная система не имеет решений, если ∆=0, р -2 =4р+6=0, р=-1,5
15 4 3 4
Ответ: при р=-1,5 система не имеет решений.
Пример3. Найти все значения параметра а, при котором система
8Х - 3аУ =6
(2-3а)Х-4ау=1 не имеет решений.
Решение:
8 -3а
∆ = (2-3а) -4а =-32а+ 3а(2-3а)= -9а2 -26а,
6 -3а
∆х = 1 -4а = -21а,
8 6
∆у = (2-3а) 1 = 8-6(2-3а)=18а-4.
Чтобы данная система не имела решений, необходимо, чтобы ∆ =0, а ∆ х ≠0 или ∆ у ≠0.
-9а2 -26а=0 при а=0 или а=-26/9 .
При а=≠0 и ∆х=0, а ∆у=-4 ≠0.
При а=-26/9 ∆ =0, а ∆х ≠0, значит система не имеет решений.

Ответ: при а=0 и а=-26/9 система не имеет решений.
Пример 4. Найти все значения параметра В, при которых система
6Х+ ВУ=-6
Х+2У =-1 имеет бесконечное множество решений.
Решение: Поскольку 62+В2 ≠0 и 12+22 ≠0 и
∆у= 6 -6 =-6+6=0, то данная система имеет бесконечное множество решений при условии
1 -1
6 В -6 В
∆ = 1 2 = 12-В=0, ∆х= -1 2 =-12+В=0, т.е. при В=12.
Ответ: при В=12 система имеет бесконечное множество решений.
Пример 5. Решить систему.
аХ+ У=а2Х+ аУ=1. а 1 а2 1 а а2
Решение: Найдем ∆ = 1 а =а2-1, ∆х= 1 а =а2-1 , ∆у= 1 1 =а-а2.
При а ≠±1 имеем ∆ ≠0. В этом случае система имеет единственное решение
Х=∆ х/∆= (а3 -1)/( а2-1)=(а2+а+1)/(а+1)
У= ∆у/∆=(а-а2)/( а2-1)=- а/(а+1). (2)
При а=1 имеем ∆ = ∆ х= ∆у =0 и получаем систему х+у=1не имеет решений
Х+у=1, т.е. ее решение можно записать в виде х=t
У=1- t, где tЄR.
При а=-1 имеем ∆ = 0, ∆ х=-2≠0, и значит данная система не имеет решений.
В итоге получаем: при а Є (-; -1) (-1;1) u(1; +∞) система имеет единственное решение (2);
При а=1 система имеет бесконечное множество решений.
При а =-1 система решений не имеет.
Ответ: при а ≠±1 Х=(а2+а+1)/(а+1), У=- а/(а+1).
При а =1 решений бесконечно много
х=t
У=1- t, где tЄR.
При а =-1 решений нет.
Пример 6. Решите систему.
(2а+4 )Х-(5а+3)У =2а-4
(а+2)Х-3аУ=а-2 .
Решение:
2а+4 -(5а+3)
∆= а+2 -3а =--3а(2а+4)+(а+2)( 5а+3)=-а2+а+6.

∆ х= 2а+4 -(5а+3)
а-2 -3а =-3а(2а+4)+(а-2)(5а+3)=-а2 +5а-6.

∆ у= 2а+4 2а-4
а+2 а-2 = (2а+4)(а-2)-(а+2)(2а-4)=2а2 -8-2а2+8=0
∆=0 -а2+а+6=0, а1=3, а2=-2.
∆ х= 0 -а2 +5а-6=0, а1=3, а2=2
Х= ∆ х/∆=(-а2 +5а-6)/( -а2+а+6)=(а-3)(а-2)/(а-3)(а+2)
У=∆ у/∆=0/( -а2+а+6)=0.
Значит, при а≠-2,а≠3 имеем Х=(а-2)/(а+2)
У=0;
При а=3 Х=t
У=(5t-1)/9, где tЄR;
При а=-2 ∆=0, ∆х= 20≠0, т.е. система не имеет решений.
Ответ: при а≠-2,а≠3 имеем Х=(а-2)/(а+2)
У=0;
При а=3 Х=t
У=(5t-1)/9, где tЄR;
При а=-2 решений нет.
Пример 7.Найдите числа а,в,с , если система

5Х+7У=15
аХ+вУ=с
решений не имеет, а уравнение аХ+вУ=с имеет решение
Х=4; У=1.
Решение: Имеем
5 7
∆ = а в =5в- 7а
1 5 7
∆х = с в =15в- 7с
5 15
∆у= а с =5с -15а
Система не имеет решений, если ∆=0, а ∆х ≠0 или ∆ у ≠0.
∆=0, 5в- 7а=0, в=1,4а.
Так как уравнения аХ+вУ=с имеет решение Х=4, У=1, то 4а+в=с, поэтому с =5,4а.
Значит , ∆х=-16,8а, ∆ у=12а.
Система не имеет решения, если а≠0, в=1,4а, с=5,4а, т.к. ∆ =0, а ∆х ≠0 , ∆ у ≠0.
Ответ: при а=t, в=1,4t, с=5,4t, где t€ (-∞; 0)U(0; +∞) система не имеет решений.
Пример 8. Найдите все значения параметра а, при которых решение системы
3Х-6У=1,
5Х-аУ=2 удовлетворяет условию Х<0 и У<0.
Решение: Найдем
3 -6-
∆ = 5 -а = -3а+30,
1 -6
∆х = 2 -а = -а +12,
3 1
∆у = 5 2 = 6-5 =1.
Так как ∆у = 1≠0, то система имеет единственное решение при ∆≠0, т.е. а ≠10.
Х=∆х/∆=(-а+12)/(-3а+30), У=∆у/∆=1/(-3а+30).
Найдем значения а, при которых Х<0, и У<0.
(а-12)/(3а-30)<0,
1/(-3а+30).
Найдем значения а, при которых Х<0, и У<0.
(а-12)/(3а-30)<0, 10<а<12,
1/(30-3а)<0 <=> а>10 <=> 10<а<12, значит, при аЄ(10;12)
система имеет единственное решение, удовлетворяющее условию Х<0 и У<0.
Ответ: аЄ(10;12).
Пример 9.Найдите все значения а , при которых система
2Х+(9а2- 2)У=3а,
Х+У=1 не имеет решений.
Решение:

∆ = 1 1 =2-9а2+2=4-9а2,
2 9а2-2
3а 9а2-2
∆х = 1 1 = 3а-9а2+2,
2 3а
∆у = 1 1 = 2-3а.
∆=0 при а=±- 2/3.
а =2/3 ; ∆х=3∙(2/3)-9∙(4/9)+2=0, ∆у=2-3∙2/3=0.
Система имеет бесконечно много решений при а=2/3.
а=-2/3; ∆х=3∙(-2/3)-9∙(4/9)+2 ≠0
Система не имеет решений при а=-2/3.
Ответ: при а =-2/3 система не имеет решений.
Пример 10. При всех значениях параметра а решите систему
аХ+У= |а|,
Х+аУ= а2.
Решение: Имеем
а 1
∆ = 1 а =а2-1,
|а| 1
∆х = а2 а =а∙ |а| - а2,
а |а|
∆у = 1 а2 = а2- |а|.
при а=1 ∆=∆х=∆у=0 система имеет бесконечно много решений
Х=t,
У=1-t, где t € R.
При а =-1 ∆=0, ∆х=-2≠0 система не имеет решений.
При а≠±1 ∆≠0.
а) при аЄ [0;1)U(1;+∞)Х= ∆х/∆=(а ∙|а|- а2)/(а2- 1)=0, У=∆у/∆=( а3- |а|)/(а2-1)=а;
б) при а Є (-∞;-1)U(-1;0)
Х= ∆х/∆=( а ∙|а|- а2)/(а2- 1)=2а2/(1-а2), , У=∆у/∆=( а3- |а|)/(а2-1)=а(а2+1)/(а2-1).
Ответ: при а =-1 система не имеет решений;
при а =1 система имеет бесконечно много решений: Х=t,
У=1-t, где t € R;
при а Є [0;1)U(1;+∞) система имеет решение Х=0, У=а;
При а Є (-∞;-1)U(-1;0) система имеет решение Х=2а2/(1-а2)
У=а(а2+1)/(а2-1).
Пример 11. Решите систему
аХ=ав Ув=в2 при всех значениях параметров а и в.
Решение: Перепишем систему в виде
аХ + 0∙У=ав 0∙Х + вУ=в2.
а 0
∆ = 0 в =ав,
ав 0
∆х = в2 в = ав2,

а ав∆у = 0 в2 = ав2
1) При а≠0, в ≠0 и ∆≠0 имеем: Х= ∆х/∆=ав2/ав=в; У=∆у/∆= ав2/ав=в.
2) При а=о, в≠0
∆=∆х=∆у=0 Х=t,
У=в, где t Є R;
3)При а≠0, в=0 Х=0,
∆=∆х=∆у=0 У=t, где t Є R;
При а=0 и в=0
∆=∆х=∆у=0 Х=t,
У=m, где t, m Є R.
Ответ: при а≠0, в≠0 (в;в);
при а=0, в≠0 (t;в), где t Є R;
при а≠0 и в=0 (0;t),где tЄR;
при а=о и в=0 (t; m), где t,m Є R.
Пример 12. Решите систему
Х+У=1,
а|Х|-У=1, при всех значениях параметра а.
Решение: 1) При Х≥0 Х+У=1
аХ-У=1.
1 1
∆ = а -1 =-1-а,
1 1
∆х = 1 -1 = -1-1=-2≠0,
1 1
∆у = а 1 = 1-а.
а) при а≠-1 ∆≠0 и Х=∆х/∆=2/(1+а), 2/(1+а)≥0;
а>-1 У=∆у/∆=(а-1)/(а+1).
б) при а=-1 ∆=0, ∆х =-2≠0. Система решений не имеет.
2) при Х<0 Х+У=1 1 1
-аХ-У=1. ∆ = -а -1 =-1+а,
1 1
∆х = 1 -1 = -1-1=-2≠0,
1 1
∆у = - а 1 = 1+а.
а) При а≠-1, ∆≠0, Х=∆х/∆=2/(1-а), где 2/(1-а), где
2/(1-а)<0, а>1; У=∆у/∆=(а-1)/(а+1).
б) При а =1 ∆=0, ∆х=-2≠0. Система не имеет решений;
Ответ: при а Є (-∞;-1] нет решений; при а Є (-1;1] (2/(а+1); (а-1)/ (а+1)); при а Є (1;+∞) (2/(а+1); (а-1)/(а+1)) и (2/(1-а); (1+а)/(а-1)).