Сценарий занятия элективных курсов в 11 классе по теме «Методы решения алгебраических уравнений с модулем»

Сценарий занятия элективных курсов в 11 классе по теме
«Методы решения алгебраических уравнений с модулем»
В программе средней школы знакомство с модулем начинается с 6 класса при изучении темы «Рациональные числа». Даётся определение: модулем или абсолютным значением числа называют расстояние от начала отсчёта до точки, изображающей число.
Предлагается решить уравнения такого типа:
│x│= 10, │x│ = - 5, │x + 5│ = 8,
│x│ = 0, │x│ + 5 = 0.
В 7 классе модуль встречается при изучении тем: «Решение линейных уравнений», « Построение графиков вида y = kx».
Предлагается построить график функции y = │x│; y = 3│x│.
В 8 классе модуль встречается при изучении темы «Квадратный корень из степени», доказывается теорема: при любом значении x верно равенство = │x│.
Таким образом, в курсе алгебры 7 – 9 классов задачи с модулем встречаются редко, уравнения с модулями решаются самые простые, методы решения таких уравнений не рассматриваются. На ЕГЭ есть задание, содержащее модули, это С5.
Поэтому, Сегодня на занятиях мы рассмотрим тему «Методы решения алгебраических уравнений с модулем» для того, чтобы вы имели возможность лучше подготовиться к ЕГЭ.
Определение: │x│ =
1. Решение простейших уравнений.
│ ƒ (x)│ = a
Если a > 0, то ƒ (x) = a,
ƒ (x) = - a.
Если а = 0, то ƒ (x) = 0.
Если а < 0, то корней нет.
Пример:
│2x – 3│ = 11
2x – 3 = 11, x = 7,
2x – 3 = - 11; x = - 4.
Ответ: - 4; 7.
Практикум:
1) │x│ = 3,3) │x² + x│ = 0,
2) │x² - 4│ = 0,4) │x² - 4x│ = 5.
2. Решение уравнений сведением к простейшему.
Пример:
│x² + x – 1│ = 2x - 1

2x – 1 ≥ 0,x ≥ 1
2
x² + x – 1 = 2x – 1, x² – x = 0,
x² + x – 1 = - 2x +1, x² +3x -2 =0.
x ≥ 1,
2
x = 0,
x = 1,
x = ,x = 1,

x =, x = .
Ответ: 1; .
Практикум:
1) │x + 4│ = 2x3) │x² + 16│ = -8x
2) │x + 4│ = -3x4) │x² – x +3│ = x + 2
3. Решение «красивейших» уравнений.
ƒ (x) ≥ 0 и ƒ (x) ≤ 0.
Пример:
│x² – x – 2│ = x² – x – 2, │x² – 9│ = 9 - x²,
x² – x – 2 ≥ 0 x² – 9 ≤ 0.
2857500138430-45720088900
Ответ: Ответ:

Практикум:
1) 7 – 4x = │4x - 7│3) │25x² - 1│ – 1+ 25x² = 0
2) 3x – 5 = │3x - 5│

4. Решение уравнений раскрытием модулей по определению.
Пример:
x² - 5x – │x – 6│ +9 = 0
x – 6 ≥ 0, x ≥ 6,
x² - 5x – (x – 6) + 9 = 0; x² - 6x +15 = 0; x = 3,
x – 6 < 0, x < 6,x = 1.
x² - 5x + (x – 6) + 9; x² - 4x + 3 =0
Ответ: 1; 3.
Практикум:
1) x² - │3x – 5│ = 5, 3) x² - 6x + │x – 4│ + 8 = 0,
2) x² - x – │x + 5│ – 3 = 0, 4) │x + 3│ = x² + x – 6.
5. Решение уравнений вида │ƒ (x)│ = │φ (x)│
ƒ (x) = φ (x)
ƒ (x) = - φ (x)
Пример:
│x + 3│ = │2x – 1│ x + 3 = 2x - 1 x = 4
x + 3 = - 2x + 1 x =
Ответ: ; 4
Практикум:
1) │x│ = 5 – 2x3) │x – 2│ = │2x² – 4x│
2) │x + 5│ = │10 + 4x│ 4) │x – 3│ = │3 x + 3│
6. Решение уравнений вида │ƒ (x)│ = - │φ (x)│ ƒ (x) = 0
φ (x) = 0
Пример:
│x² - 4│ = - │x ² - x – 2│ x² - 4 = 0, x = 2, x = 2
x²+ x – 2 = 0; x = - 2,
x = 2,
x = - 1;
Ответ: 2.
Практикум:
1) │x² – 9│ + │x² – 4x + 3│ = 0
2) │x² – 1│ + │x² + 6x - 7│ = 0
3) │x² + 2x - 3│ + │x² + 7x +12│ = 0
4) │x + x -2│ + │x² + 4x - 5│ = 0
7. Решение уравнений методом интервалов.
Пример:
│x + 2│ + │x – 3│ = 5
Найдём значение переменных x, при которых каждый из модулей равен нулю:
x = - 2, x = 3.
Отметим эти точки на числовой прямой. Выделим интервалы.
Определим, с каким знаком раскрывается каждый из модулей на каждом из интервалов.
342900117475
Получаем для решения этого уравнения совокупность трёх систем (так как получилось три интервала):
x < - 2,x < - 2,
- x -2 – x + 3 = 5;x = - 2;
- 2 ≤ x < 3, - 2 ≤ x < 3, x € [- 2; 3]
x + 2 – x + 3 = 5;5 = 5;
x ≥ 3, x ≥ 3,
x + 2 + x – 3 = 5;x = 3;
Практикум:
1) │x – 3│ + 2 │x + 1│ = 4,
2) │5 – x│ + │x – 1│ = 10,
3) │x – 2│ – │5 + x│ = 3.