Старинный способ решения задач на процентное содержание

Старинный способ решения задач на процентное содержание
(Н.Г.Зинина г.Арзамас)
На первом этапе основной школы на изучение темы «Проценты» отводится непродолжительное время. В это время учащиеся в силу возрастных особенностей ещё не могут получить полноценные представления о процентах, об их роли в повседневной жизни. На последующих этапах обучения повторного обращения к этой теме не предусматривается. В учебниках встречаются задачи на проценты, но в них отсутствует компактное и чёткое изложение вопроса. Текстовые задачи включены в материал итоговой аттестации за курс основной и полной средней школы. Однако задачи на проценты вызывают затруднения у учащихся, многие из них не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни. Понимание процентов и умение производить процентные расчёты в настоящее время необходимо каждому человеку: прикладное значение велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социальную и другие стороны нашей жизни. В данной работе я покажу применение математического аппарата к решению задач на процентное содержание старинным способом.
Существуют различные способы решения задач на процентное содержание или концентрацию. Сейчас я покажу арифметический способ решения таких задач, которым пользовались ещё в древности, поэтому его часто называют старинным.
Для решения задачи исследуем процесс изменения концентрации. Возьмём по 100 г каждого раствора и в соответствии с процентным составом разделим их содержимое на кислоту и воду:
5 95 40 60
Затем сравним исходные составы с тем, что должно получится после смешивания:
30 70 30 70
В результате сравнения приходим к выводу, что необходимо 25 г воды в первом растворе заменить кислотой, а 10 г кислоты во втором – водой. Так как мы можем оперировать растворами только с данными составами, напрашивается мысль об обмене 10 г кислоты из второго раствора на воду из первого.
5 10 30 10
вода
кислота

Результат взаимообмена:
5 15 10 70 30 70
Получили необходимый состав для 100 г второго раствора. Но в первом осталось ещё 15 г воды, которую нужно заменить кислотой. Где её взять? Возникает следующая идея: нужно взять ещё 100 г второго раствора, а за тем 50 г и выполнить те же действия. Окончательный результат выглядит так:
5 5 10 10 70 100г 30 10 30 5
30 10000
100 г
50 г

Таким образом, следует, что на каждые 100 г первого раствора необходимо взять 250 г второго, т. е. в отношение 10 : 25, обратном соотношению между недостатком и избытком кислот в исходных растворах.
После рассмотрения принципа взаимообмена весь процесс можно представить в таком виде:
5 5 10 10 70 30 10
Недостаток избыток
Рассмотренный способ является арифметическим. Его ценность определяется тем, что он рассчитан на образное мышление, а так же позволяет легче запомнить последовательность действий при решении задач на смешивание и добиться автоматизма при выполнении самих действий. Этот способ экономит время, по этому им часто пользовались купцы.[7]
Задача №1.
При смешивании 5% раствора кислоты с 40% раствором кислоты получили 140 г. 30% раствора. Сколько грамм каждого раствора было для этого взято?
Решение:
Теперь выведем схему для решения задач.
Пусть смешали х(г), а %-ного раствора кислоты (г), у(г) –
в %-ного раствора кислоты (г).
Получили х+у(г), с %-ного раствора , где a<c<в, если c>в или c<a, то задача неразрешима.
Уравнение:

ах + ву = сх + су
ву – су = сх – ах
у(в – с) = х(с – а)

Это отношение составляет старинный способ решения задач.

а в - с
с Общий вид схемы
в с - а
5 10
30
40 25
Значит надо взять:
10 частей – 5 %-ного раствора
25 частей – 40 %-ного раствора
140 : (10 + 25) = 4(г) – 1 часть
4 × 10 = 40(г) – 5%
4 × 25 = 100(г) – 40%
Ответ: 40 г; 100 г.