Подготовка к ЕГЭ. Теория вероятностей и комбинаторные правила решения задач. Задачи В10

Теория вероятностей и комбинаторные правила решения задач * Эпиграф урока: «Число, место и комбинация – три взаимно перекрещивающиеся, но отличные сферы мышления, к которым можно отнести все математические идеи».Дж. Сильвестр * Классическое определение вероятности Стохастическим называют опыт, если заранее нельзя предугадать его результаты. Результаты (исходы) такого опыта называются событиями. Пример: выбрасывается игральный кубик (опыт); выпадает двойка (событие). Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным, а которое не может произойти, - невозможным. Пример: В мешке лежат три картофелины. Опыт – изъятие овоща из мешка. Достоверное событие – изъятие картофелины. Невозможное событие – изъятие кабачка. * Классическое определение вероятности Равновозможными называют события, если в результате опыта ни одно из них не имеет большую возможность появления, чем другие. Примеры: 1) Опыт - выбрасывается монета. Выпадение орла и выпадение решки –равновозможные события. 2) В урне лежат три шара. Два белых и синий. Опыт – извлечение шара. События – извлекли синий шар и извлекли белый шар - неравновозможны. Появление белого шара имеет больше шансов.. * Классическое определение вероятности Несовместимыми (несовместными) называют события, если наступление одного из них исключает наступление других. Пример: 1) В результате одного выбрасывания выпадает орел (событие А) или решка (событие В). События А и В - несовместны. 2) В результате двух выбрасываний выпадает орел (событие А) или решка (событие В). События А и В - совместны. Выпадение орла в первый разне исключает выпадение решки во второй * Классическое определение вероятности Полной группой событий называется множество всех событий рассматриваемого опыта, одно из которых обязательно произойдет, а любые два других несовместны. Пример: 1) Опыт – один раз выбрасывается монета. Элементарные события: выпадение орла и выпадение решки образуют полную группу. События образующие полную группу называют элементарными. * Вероятностью случайного события А называется отношение числа элементарных событий, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех элементарных событий, входящих в данную группу. P(A) = m/n Классическое определение вероятности * Для конечных множеств событий при нахождении m и n широко используют правила комбинаторики. Задача №1: Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 7; 8; 9 (цифры могут повторяться)? В данном случае легко перебрать все комбинации. 77 78 79 88 87 89 99 97 98 9 вариантов * Задача №2: Сколько пятизначных чисел можно составить, используя цифры 7; 8; 9 (цифры могут повторяться)? Как видим, в этой задаче перебор довольно затруднителен. Решим задачу иначе. На первом месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На втором месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На третьем месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На четвертом месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На пятом месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. Комбинаторное правило умножения * Задачи открытого банка * В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады. № 1 № 1В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады. * * Благоприятное событие А: первой выступает спортсменка из Канады К-во благоприятных событий: m=? К-во всех событий группы: n=? Соответствует количествугимнастокиз Канады. m=50-(24+13)=13 Соответствует количеству всех гимнасток.n=50 * № 2В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. № 2В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. * * Благоприятное событие А: выбранный насосне подтекает. К-во благоприятных событий: m=? К-во всех событий группы: n=? Соответствует количествуисправныхнасосов m=1400-14=1386 Соответствует количеству всех насосов.n=1400 * № 3Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. № 3Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. * * Благоприятное событие А: купленная сумкаоказалась качественной. К-во благоприятных событий: m=? К-во всех событий группы: n=? Соответствует количествукачественных сумок.m=190 Соответствует количеству всех сумок.n=190+8=198 Вероятность и правило произведения * Два события называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого.Правило произведения (теорема об умножении вероятностей)Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.Теорема о сложении вероятностейВероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. * № 4 В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 5 рублей.Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман.Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат в разных карманах. Вероятность и правило произведения Решение:Всего 6 монет. Возможны варианты перекладывания:1 карман 2 карман5 1 1 5 1 11 5 1 1 5 11 1 5 1 1 5P1 = 2/6 * 4/5 * 3/4 = 1/5 «5» «1» «1»P2 =4/6 * 2/5 * 3/4 = 1/5 «1» «5» «1» P3 =4/6 * 3/5 * 2/4 = 1/5 «1» «1» «5» P = P1 + P2 + P3 = 3/5 = 0,6 № 4 В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 5 рублей.Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман.Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат вразных карманах. * * № 5В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. № 5В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. * * Опыт: выпадают три игральные кости. Благоприятное событие А: в сумме выпало 7 очков. К-во благоприятных событий m=? 115 124 133 142 151 214 223 232 241 313 322 331 К-во всех событий группы n=? 1-я кость - 6 вариантов2-я кость - 6 вариантов3-я кость - 6 вариантов 412 421 511 * № 6В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. * * № 6В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. Условие можно трактовать так: какова вероятность того, что все четыре раза выпадет решка? К-во благоприятных событий m=? К-во всех событий группы n=? m=1 Четыре раза выпала решка. 1-й раз - 2 варианта2-й раз - 2 варианта3-й раз - 2 варианта4-й раз - 2 варианта Самостоятельная работа 1 вариант 1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.2. В среднем из 1500 садовых насосов, поступивших в продажу, 15 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. 2 вариант 1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых2.В среднем из 1300 садовых насосов, поступивших в продажу, 13 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. * Ответы 1 вариант 1. 0.11 0.99 2 вариант 1. 0.14 2. 0.99 * Домашнее задание 1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлить до сотых. 2. Составить и решить 2 задачи по данной теме. *