Методическое пособие по математике на тему Первообразная и определенный интеграл
Министерство образования, науки и молодежи Республики Крым
Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Республики Крым
«Симферопольский торгово-экономический колледж»
УТВЕРЖДАЮ:
Зам. директора по УР
_________О.Н. Сухановская «____» _______ 20__ г.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
по выполнению самостоятельной работы в форме рабочей тетради студентами дневной формы обучения по диСциплине«МАТЕМАТИКА»
по специальностям среднего профессионального образования базовой подготовки
38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)
38.02.06 Финансы
На тему: «Первообразная. Определенный интеграл»
Симферополь 2015.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ В ФОРМЕ РАБОЧЕЙ ТЕТРАДИ СТУДЕНТАМИ ДНЕВНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»
Методические рекомендации разработаны на основе требований ФГОС среднего общего образования, предъявляемых к структуре, содержанию и результатам освоения учебной дисциплины «Математика», в соответствии с Рекомендациями по организации получения среднего общего образования в пределах освоения образовательных программ среднего профессионального образования на базе основного общего образования с учетом требований федеральных государственных образовательных стандартов и получаемой профессии или специальности среднего профессионального образования (письмо Департамента государственной политики в сфере подготовки рабочих кадров и ДПО Минобрнауки России от 17.03.2015 № 06-259).
Организация-разработчик: Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Республики Крым «Симферопольский торгово-экономический колледж»
Разработчик:
Казимова З. А. – преподаватель
Методические рекомендации учебной дисциплины «Математика» рассмотрены на заседании цикловой комиссии общеобразовательных дисциплин
ГАПОУ РК «Симферопольский торгово-экономический колледж»,
протокол № ___ от «___» _______2015 г.
Председатель цикловой комиссии общеобразовательных дисциплин
_________ Л.Н. Юзвак«___» _______2015 г.
Утверждена методическим советом ГАПОУ РК «Симферопольский торгово-экономический колледж», протокол № ___ от «___» _______ 2015 г.
Председатель __________________ О.Н. Сухановская
Содержание
TOC \o "1-3" \h \z \u 1 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ PAGEREF _Toc444113032 \h 42 пояснительная записка PAGEREF _Toc444113033 \h 73. СОДЕРЖАНИЕ РАБОЧЕЙ ТЕТРАДИ PAGEREF _Toc444113034 \h 104. Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы PAGEREF _Toc444113035 \h 27
1 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ1.1 Настоящие методические рекомендации разработаны с целью организации выполнения студентами требований самостоятельной работы.
В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен уметь:
У-7 находить производные элементарных функций;
У-8 использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;
У-9 применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения;
У-10 вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;
В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен знать:
З-1 значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
З-2 значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки;
З-3 историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики.
З-4 универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;
З-5 вероятностный характер различных процессов окружающего мира.
1.2. Цели:
В предметном направлении.
Овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования. Формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов. Совершенствование интеллектуальных и речевых умений путем обогащения математического языка, развития логического мышления. Знакомство с основными идеями и методами математического анализа.
В метапредметном направлении.
Воспитание культуры личности, отношения к геометрии как к части общечеловеческой культуры, формирование понимания значимости геометрии для научно-технического прогресса.
В направлении личностного развития.
Формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственных математической деятельности: ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, пространственных представлений, элементов алгоритмической культуры, способности к преодолению трудностей.
1.3. Задачи:
В предметном направлении.
- Рассмотреть задачи, приводящие к понятию первообразной.- Ввести определение первообразной и определенного интеграла.
- Рассмотреть первообразные элементарных функций.
В метапредметном направлении.
Сформировать представления обучающихся о понятии первообразной функции как о неотъемлемой части окружающего нас мира, об использовании приобретённых знаний и умений в практической деятельности. Показать учащимся способы описания практической жизненной задачи на математическом языке, интерпретировать результаты решения задач с учетом ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов и явлений. Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур.
В направлении личностного развития.
Воспитывать у обучающихся интерес к математике. Формировать умение слушать и вступать в диалог, понимать партнера, уметь договариваться; интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество со сверстниками и учителем; правильно выражать свои мысли в речи; смыслообразование; самоопределение; установление связи между целью учебной деятельности и определением того, «какое значение, смысл имеет данная тема для меня»; участие в коллективном обсуждении проблем; планировать и согласованно выполнять совместную деятельность, формировать адекватную самооценку.
2 пояснительная записка
Учебная дисциплина «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» (далее — «Математика») предназначена для изучения математики в профессиональных образовательных организациях СПО, реализующих образовательную программу среднего общего образования в пределах освоения основной профессиональной образовательной программы СПО (ОПОП СПО) на базе основного общего образования при подготовке квалифицированных рабочих, служащих и специалистов среднего звена.
Математика является фундаментальной общеобразовательной дисциплиной со сложившимся устойчивым содержанием и общими требованиями к подготовке обучающихся. Реализация общих целей изучения математики традиционно формируется в четырех направлениях – методическое (общее представление об идеях и методах математики), интеллектуальное развитие, утилитарно-прагматическое направление (овладение необходимыми конкретными знаниями и умениями) и воспитательное воздействие.
В образовательных учреждениях технического профиля выбор целей смещается в практическом направлении, предусматривающем усиление и расширение прикладного характера изучения математики; преимущественной ориентации на алгоритмический стиль познавательной деятельности.
Изучение математики как профильного учебного предмета обеспечивается:
выбором различных подходов к введению основных понятий;
формированием системы учебных заданий, обеспечивающих эффективное осуществление выбранных целевых установок;
обогащением спектра стилей учебной деятельности за счет согласования с ведущими деятельностными характеристиками выбранной профессии.
Профильная составляющая отражается в требованиях к подготовке обучающихся в части:
общей системы знаний: содержательные примеры использования математических идей и методов в профессиональной деятельности;
умений: различие в уровне требований к сложности применяемых алгоритмов;
практического использования приобретенных знаний и умений: индивидуального учебного опыта в построении математических моделей, выполнении исследовательских и проектных работ.
В конце семнадцатого века великий английский ученый Исаак Ньютон открыл общий способ описания связи между путем и скоростью движения. Основными математическими понятиями, выражающими эту связь, являются производная и скорость. Честь открытия основных законов математического анализа также принадлежит великому немецкому математику Готфриду Лейбницу. Тема «Производная» относится к разделу «Начала математического анализа» и в него входят следующие темы: производная, понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл, уравнение касательной к графику функции, производные суммы, разности, произведения, частного, производные основных элементарных функций, применение производной к исследованию функций и построению графиков. Обучающиеся должны уметь:
находить производные элементарных функций;
использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;
применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения.
вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;
Методические рекомендации предусматривают формирование у обучающихся общих умений и навыков, развитию ключевых компетенций, приоритетными из которых являются:
готовность к разрешению проблемы – способность анализировать конкретную ситуацию, оценивать результаты своей деятельности;
технологическая - готовность к пониманию инструкции и алгоритма деятельности;
информационная – способность использовать компьютерные технологии для обработки и передачи информации;
коммуникативные – совместная деятельность при решении задач с учетом индивидуальных черт партнеров.
Данная методическая разработка составлена для повторения и систематизации знаний и умений по теме «Первообразная функции. Определенный интеграл».
3. СОДЕРЖАНИЕ РАБОЧЕЙ ТЕТРАДИПервообразная. Таблица первообразных.
Правила нахождения первообразных.
Упражнения на закрепление изученных понятий
Геометрический смысл определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница. Площадь криволинейной трапеции.
Проверочная работа
Задачи на нахождение площади криволинейной трапеции.
Проверочная работа
Основные свойства определенного интеграла
Проверочная работа
Задания для самостоятельной работы.
Первообразная
Первообразная
-22036025401. Под дифференцированием функции f(x) мы понимаем нахождение производной f'(x).2. Операция интегрирования обратна операции дифференцирования. Следовательно, операция интегрирования состоит в том, что по заданной производной f'(x) находят (восстанавливают ) функцию f(x).
001. Под дифференцированием функции f(x) мы понимаем нахождение производной f'(x).2. Операция интегрирования обратна операции дифференцирования. Следовательно, операция интегрирования состоит в том, что по заданной производной f'(x) находят (восстанавливают ) функцию f(x).
-2203601726903. Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка F'x=fx.4. Множество всех первообразных для функции f(x) можно представить в виде Fx+C, где C∈R003. Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка F'x=fx.4. Множество всех первообразных для функции f(x) можно представить в виде Fx+C, где C∈R
Таблица первообразных
43503856604000
1203960119675 Замечание: Первообразная от 0 равна константе С00 Замечание: Первообразная от 0 равна константе С
-188462116958Правило1. Если F есть первообразная для f , а G- первообразная для g , то F+Gесть первообразная для f+g.
(f+g)dx=F+G+CПравило2. Если F есть первообразная для f , а k – постоянная, то функция kF-первообразная для kf.
kfdx=kfdx=kF+CПравило3. Если F(x) есть первообразная для f(x) , а k и b -постоянные, причем k≠0, то 1kF(kx+b) есть первообразная для f(kx+b) .
fkx+bdx=1kFkx+b+C00Правило1. Если F есть первообразная для f , а G- первообразная для g , то F+Gесть первообразная для f+g.
(f+g)dx=F+G+CПравило2. Если F есть первообразная для f , а k – постоянная, то функция kF-первообразная для kf.
kfdx=kfdx=kF+CПравило3. Если F(x) есть первообразная для f(x) , а k и b -постоянные, причем k≠0, то 1kF(kx+b) есть первообразная для f(kx+b) .
fkx+bdx=1kFkx+b+C Правила нахождения первообразных 1. a′=0. Производная от числа равна нулю.
7′=0; (1⁄3)′=0; (-2,5)′=0; (√11)′=0
4′ =_____;
(-15)′ =______;
(7,81)′ = ______;
(√2)′=_______
(5/7)′ =______.
43218104889500
4399635-63080600
1) x3dx=x3+13+1=x44+C ;
2) x14dx=x14+114+1=4x545+C 3) 2xdx=2xln2+C;
4) exdx=ex+C 5) e2xdx=12e2x+C 6) 17-3xdx=-13ln7-3x+C;
7)cos2x=12sinx+C 8) 6dxsin2x=6dxsin2x=-6ctg x+C;
9) 122+x2dx=14ln2+x2-x+C.
Задание 1: Вычислить неопределенный интеграл (найти первообразную)
1)x7dx= __________3)2dxcos2x = _________
2) x25dx= __________4) 182+x2dx=5) sin5xdx = __________ 6) 7xdx = _________
4345969-21399500
Задание: Вычислить неопределенные интегралы:
1) x2-cosxdx=x2dx-cosxdx=x33-sinx+C;
2) 5x4-4x3+3x2-2x+1dx=5x4dx-4x3dx+3x2dx++dx=5x4dx-4x3dx+3x2dx+dx=5x55-4x44+3x33+x+C;
3) 6x+1xdx=6xdx+1xdx=6xln6+lnx+C Задание 2: Вычислить неопределенные интегралы, используя правила нахождения первообразных.
1) x+cosxdx = _________________________________________________
2) x2-sinxdx= ________________________________________________
3) (x-1cos2x)dx=__________________________________________________
4) (x34+1sin2x)dx=__________________________________________________
5) ex-1xdx= _________________________________________________
6) dx1-x2= _________________________________________________
Задание 3: Вычислить неопределенные интегралы, используя правила нахождения первообразных.
1) 5x7-4x6+3x3-2x+3dx=
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
2) 11x4-5x3+3x2-4x+8dx=
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
3) 4sinx+5cosx-3x-6xdx=_______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
4) 5x+1-e5x-1dx=_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
5) 37x-92dx=_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
6) 11-2x2dx=______________________________________________________________________
Установи соответствие
444533972500312864533972500
3687445348615lnx-ctg xtg x23x328xln8sinx-sinxx535300lnx-ctg xtg x23x328xln8sinx-sinxx5353563245348615cosx8xx23dxsin2xxdxx((tgx)/3)'
(√3 cosx-х5+0,3х)'
(3 cosx+15х)'
(sinx/ cosx)'
00cosx8xx23dxsin2xxdxx((tgx)/3)'
(√3 cosx-х5+0,3х)'
(3 cosx+15х)'
(sinx/ cosx)'
5334015875000
-304919135373Определение. Криволинейной трапецией называют фигуру, ограниченную графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке a,bфункции f, ОХ и прямыми х=а и х =b.
Теорема. Пусть f -непрерывная и неотрицательная на отрезке a,b функция, а S - площадь соответствующей криволинейной трапеции . Tогда, если F есть первообразная для f на интервале , содержащем отрезок, то S=F(b)-F(a).
00Определение. Криволинейной трапецией называют фигуру, ограниченную графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке a,bфункции f, ОХ и прямыми х=а и х =b.
Теорема. Пусть f -непрерывная и неотрицательная на отрезке a,b функция, а S - площадь соответствующей криволинейной трапеции . Tогда, если F есть первообразная для f на интервале , содержащем отрезок, то S=F(b)-F(a).
Геометрический смысл определенного интеграла
4234918-18824100
Формула Ньютона-Лейбница
-152400969645Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале a,b. Если F(x)-первообразная функции fx на a,b, то
abfxdx=Fb-F(a)00Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале a,b. Если F(x)-первообразная функции fx на a,b, то
abfxdx=Fb-F(a)
0656221Формулу для вычисления площади криволинейной трапеции с помощью интеграла можно записать таким образом:
S=abfxdx=Fb-F(a)Формула верна для любой функции f , непрерывной на отрезке a,b.
00Формулу для вычисления площади криволинейной трапеции с помощью интеграла можно записать таким образом:
S=abfxdx=Fb-F(a)Формула верна для любой функции f , непрерывной на отрезке a,b.
4659984-26289000
Задание: Вычислить определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница
1) 34xdx Решение
1) 34xdx=x22= 1242-32=722) -11x2dx Решение
2) -11x2dx=x33=1313--13=233) -π2π2sinxdx Решение
3) -π2π2sinxdx=-cosx=-cosπ2-cos-π2=-0-0=0
Проверочная работа:
Вычислить определенные интегралы:
1) 23xdx=
______________________________________________________________________
2) -24xdx=______________________________________________________________________
3) -21x2dx=
______________________________________________________________________
4) 34x2dx=______________________________________________________________________
5) 0π2sinxdx=______________________________________________________________________
6) -π2π2cosxdx=______________________________________________________________________
7) -π20cosxdx=______________________________________________________________________
8) 011xdx=______________________________________________________________________
4387215-3556000
Задачи на нахождение площади криволинейной
трапеции:
Задание: Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
y=4x-x2, y=0, x=0, x=4
Решение
Строим графики данных линий. (рис. 1).1) y=4x-x² — парабола (вида y=ax²+bx+c).
Запишем данное уравнение в общем виде: y=-x²+4x. Ветви этой параболы направлены вниз, так как первый коэффициент а=-1<0.
Вершина параболы находится в точке O′(m; n), где
О′(2; 4). Нули функции (точки пересечения графика с осью Ох) найдем из уравнения: 4х-х²=0.
Выносим х за скобки, получаем: х(4-х)=0. Отсюда, х=0 или х=4. Абсциссы точек найдены, ордината равна нулю — искомые точки: (0; 0) и (4; 0).
2) y=0 — это ось Ох;
3) х=0 — это ось Оy;
4) х=4 — прямая, параллельная оси Оy и отстоящая от нее на 4 единичных отрезка вправо.
Площадь построенной криволинейной трапеции находим по ф. Н-Л. У нас
f (x)=4x-x²,a=0, b=4.
416687019431000
Задание: Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
Решение.
Строим графики данных линий. (рис. 2).
Площадь данной криволинейной трапеции:
43192702095500
Задание: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
, ,
Решение:
Вычислим абсциссы точек пересечения графиков этих функции
, , ,.
, , ,
,
..
(кв.ед).
Ответ:(кв.ед).
447167012382500
Задание: Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции
и касательными к этому графику, проходящими через начало координат.
Решение.
Уравнение касательной к графику проходящей через его точку Так как то уравнение касательной имеет вид или
По условию, начало координат принадлежит касательной, поэтому откуда .
Значение соответствует касательной точка касания . Значение соответствует касательной
точка касания . Площадь искомой фигуры равна сумме площадей криволинейных треугольников
Искомая площадь равна
454914012573000
Задание: Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции
, осью и прямыми
Решение.
Данная функция состоит из двух криволинейных трапеций, расположенных в разных полуплоскостях относительно оси .
Таким образом
Проверочная работа:
Задание 4: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y=x3, y=0, x=1, x=2 Решение
Задание 5: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y=cosx, y=0, x=π2, x=3π2 Решение
Задание 6: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y=cosx, y=0, x=-π3, x=π6 Решение
4255135310200
Задание: Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x2 и y=x Решение.
Сначала определим точки пересечения двух кривых (рис. 3).
x2=x⇒x2-x=0⇒xx32-1=0⇒x1=1, x2=0
Таким образом, данные кривые пересекаются в точках (0,0) и (1,1). Следовательно, площадь фигуры равна
S=01x-x2dx=23x32-x33=132x3-x3=13
Задание 7: Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=2x-x2 и x+y=0 Решение.
Задание 8: Найти площадь фигуры, ограниченной осью ОХ и параболой
4404360-4000500
2924195964Основные свойства определенного интеграла:
1) abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx2) abcf(x)dx=cabf(x)dx3) abfx±g(x)dx=abf(x)dx±abg(x)dx
00Основные свойства определенного интеграла:
1) abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx2) abcf(x)dx=cabf(x)dx3) abfx±g(x)dx=abf(x)dx±abg(x)dx
Задание: Вычислить определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница и применяя свойства:
1) 02x2+x3dx Решение
02x2+x3dx=02x2dx+02x3dx=1323-03+1424-04=83+4=2032)0πcosx-2xdx Решение
0πcosx-2 xdx=0πcosxdx-20πxdx=cosπ-cos0-π2-02=-1-1-π2=-2-π2.3) 12x2+x3-10x4+20x-8dx Решение
12x2+x3-10x4+20x-8dx=12x2dx+12x3dx-1012x4dx+2012xdx--812dx=x33+x44-10x55+20x22-8x=1323-13+1424-14-10525-15++20222-12-82-1=73+164-62+30-8=-1013
4) 02x2-3x+5dx-02x2-5x+4dx Решение
02x2-3x+5dx-02x2-5x+4dx=02x2-3x+5-x2+5x-4dx=022x+1dx=202xdx+02dx=22-0+2-0=6
Проверочная работа:
Задание 9: Вычислить определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница и применяя свойства:
1) 0π22cosx+3sinxdx=2) -22x+x3+8x4+20dx=3) -10x2-4x+1dx--102x2-5x+3dx=
4) 03x3-x2-3x+4dx+03x2-8x-4dx=
5) 032x3-x2-3x+4dx-03 x3-x2-8x+4dx=
6) -21-x+8dx=7) 0πx+sinxdx=
Сделай сам!
Вычислите:
1. (отв. 8)
2. ( отв. )
3. ( отв. )
4. ( отв.)
5. (6. (отв.7. (отв. 0)
8. (9. ( от)
10. (отв.9)
Вычислите площади фигур, ограниченной линиями
4.
5.
6.
7.
8.
9. .
Критерий оценки: «3» - выполнить 10заданий
«4» - выполнить 13 задания
«5» - выполнить более 19 заданий
Место для выполнения:
4. Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературыОсновные источники:
Алгебра и начала мат. анализа. 10кл. Учебник. Никольский С.М. и др 9-е изд. - М.: Просвещение, 2014. - 430 с.
Алгебра и начала мат. анализа. 11кл. Учебник. Никольский С.М. и др 9-е изд. - М.: Просвещение, 2014. - 430 с.
Колмогоров А.Н. Алгебра и начала математического анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.
Богомолов Н.В. Математика: учебник для ссузов / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 7-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2010.
Богомолов Н.В. Сборник задач по математике: учебное пособие для ссузов / Н. В. Богомолов.- 5-е изд., стереотип. – М. : Дрофа, 2009.
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учебное пособие для средних профессиональных учебных заведений / Н.В. Богомолов. – 10-е изд. – М.: Высшая школа, 2008.
Дополнительные источники:
Рурукин А.Н. Поурочные разработки по алгебре и началам анализа: 10 класс / А.Н. Рурукин. – М.: ВАКО, 2011.
Рурукин А.Н. Поурочные разработки по алгебре и началам анализа: 11 класс / А.Н. Рурукин, Е.В. Бровкова, Г.В. Лупенко и др. – М.: ВАКО, 2011.
Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. для общеобразовательных учреждений. – 6-е изд. – М.: Мнемозина, 2005.
Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч. 2: Задачник для общеобразовательных учреждений. – 6-е изд. – М.: Мнемозина, 2005.
Интернет-ресурсы:
www.fcior.edu.ru (Информационные, тренировочные и контрольные материалы).
Коллекция видеоуроков по предметам [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://interneturok.ru/Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://school-collection.edu.ru/