Практическая работа Частные производные и полный дифференциал

Практическая работа
Тема: Частные производные и полный дифференциал
1. Цель занятия: овладеть навыками вычисления частных производных и полного дифференциала функций
2. Теоретическая часть:
Частной производной функции z=f(x;y) по переменной y называется производная по y при постоянном значении переменной x
(или zx' )Частной производной функции z=f(x;y) по переменной x называется производная по x при постоянном значении переменной y
(или zy' )Полным дифференциалом функции z=f(x;y)в некоторой точке М(x;y) называется выражение
,
где и вычисляются в точке М(x;y), а ,
Примеры
№1. Найти частные производные функции z=x3–3x2y+4x3y2–y3
Решение:
= zx'=3x2–3y·2x+4y2·3x2–0=3x2–6xy+12 x2y2
= zy'=0–3x2+4x3·2y–3y2=–3x2+8x3y–3y2
№2. Вычислите полный дифференциал функции z=x3–2x2y2+y3 в точке М(1;2)
Решение:
Полный дифференциал находится по формуле
Найдем частные производные и в точке М(1;2)
= zx'=3x2–2y2·2x+0=3x2–4xy2
=3·12–4·1·22=3–16=–13
= zy'=0–2x2·2y+3y2=–4x2y+3y2
=–4·12·2+3·22=–8+12=4
Итак dz=–13dx+4dy
Ответ: dz=–13dx+4dy
3. Задания
Вариант 1 Вариант 2
1. Найти частные производные функций
а) z=x3+3xy2–y3
б) z= а) z=x3–5x2y+y2
б) z=
2. Найти значения частных производных функций в заданных точках
z= в точке М(1;2) z= в точке М(2;1)
3. Вычислите полные дифференциалы функций в заданных точках
z= при x=1, y=2,
dz=0,2; dy=0,1 z= при x=1, y=2,
dz=; dy=–
4. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
– решение данных задач.