КУРСОВАЯ РАБОТА по курсу: «Математический анализ» на тему: «Частные производные и дифференциалы высших порядков»

МаннобоваМИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН
ТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НИЗАМИ
Кафедра
Математический анализ
КУРСОВАЯ РАБОТА
по курсу: «Математический анализ»
на тему: «Частные производные и дифференциалы высших порядков»
Работу выполнила: студентка группы 305
физико-математического факультета
направления образования «5110100- Методика преподавания математики»
Маннобова Ойгул
Проверила: старший преподаватель кафедры «Математический анализ»
Латыпова А.Р.
Ташкент - 2015 год
Содержание:
Введение
Частные производные.
Частные производные. Полный дифференциал.
Производные и дифференциал сложной функции.
Неявные функции и их дифференцирование.
Частные производные и дифференциалы высших порядков.
Частные производные высших порядков.
Признак полного дифференцирования.
Дифференциалы высших порядков.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА.
Формула Тейлора.
Заключение
Литература
Введение
Частные производные.
1.1 Частные производные.
Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных в точке частные производные определяются так:
,
,
если эти пределы существуют. Величина называется частным приращением функции z в точке по аргументу . Используются и другие обозначения частных производных:
, , , ,
, , , .
Символы , , , как дроби трактовать нельзя (в этом отличие от случая одной переменной).
Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная - угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности и плоскости в соответствующей точке.
Пользуясь понятием скорости изменения переменной, можно сказать, что частная производная есть скорость изменения функции относительно при постоянном .
Из определения частных производных следует, что правила вычисления их остаются теми же, что для функций одной переменной, и только требуется помнить, по какой переменной ищется производная.
Пример 1. Если , то , .
Пример 2. Если , то , . Величина называется изотермическим коэффициентом упругости идеального газа.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные функции трех и большего числа независимых переменных.

Полный дифференциал.
. (1)
Если приращение (1) можно представить в виде , (2)
Где Аи В не зависят от и , а и стремятся к нулю при стремлении к нулю и , то функция называется дифференцируемой в точке , а линейная часть приращения функции (т.е. та часть , которая зависит от и линейно) называется полным дифференциалом (или просто дифференциалом) этой функции в точке и обозначается символом :
. (3)
Из определения дифференцируемости функции следует, что если данная функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.
Действительно, если в точке функция дифференцируема, то для этой точки представимо в форме (2), откуда следует, что
,
а это и означает, что в точке функция непрерывна.
Из дифференцируемости функции в данной точке следует существование ее частных производных в этой точке (необходимое условие дифференцируемости).
В самом деле, пусть функция в точке дифференцируема. Тогда имеет место соотношение (2). Полагая в нем , имеем:
.
Деля на и переходя к пределу при , получаем:
.
Это означает, что в точке существует частная производная функции по и . (4)
Аналогично доказывается, что в точке существует частная производная
. (5)
Используя формулы (4) и (5), можно переписать выражение (3) в виде
.
Если положить , то , т.е. . Аналогично, полагая , получим . Значит, дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных, и можно записать дифференциал (3) в следующем виде: . Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки и эти производные непрерывны в самой точке , то эта функция дифференцируема в точке .
Доказательство. Дадим переменным и столь малые приращения и , чтобы точка не вышла за пределы указанной окрестности точки . Полное приращение можно записать в виде .
Каждая из этих разностей представляет частное приращение функции. Преобразует каждую из этих разностей по формуле Лагранжа. Получим:
(6)
Так как производные и непрерывны в точке , то
,
Отсюда
, , где и - бесконечно малые при , . Подставляя эти значения в равенство (6), находим:
,
а это и означает, что функция дифференцируема в точке .
1.3 Производные и дифференциал сложной функции.
Пусть , где , . Тогда в конечном итоге z будет функцией одной переменной t. Предположим, что , непрерывны и , существуют. Найдем . Дадим переменной t приращение . Тогда x, y, а следовательно, и z получат свои приращения , и . В силу достаточного условия дифференцируемости
,
откуда
.
Устремим теперь к нулю. Тогда и будут стремиться к нулю, так как функции x и y непрерывны (мы предположили существование производных и ), а потому и будут стремиться к нулю. В пределе получим:
,
или, короче,
. (7)
Формула (7) называется формулой производной сложной функции.

Пример 1. Пусть , , . По формуле (7) имеем:

.

Предположим, в частности, что роль независимой переменной играет, т.е. рассмотрим функцию , где . Согласно формуле (7) будем иметь:, (8)
так как . В формуле (8) - частная производная по первому аргументу функции двух переменных , а - обычная производная сложной функции одной переменной x: . Последнюю производную будем называть полной производной функции. В случае, когда , где , аналогично получает:

( - частная производная по второму аргументу функции , - полная производная функции одной переменной y: ).
Пусть теперь , ( здесь предполагается существование первых производных функций , по и ). В этом случае z будет функцией двух независимых переменных и . Следовательно, для этого случая формулу (7) нужно переписать в виде
. (9)
Аналогично
. (10)

Пример 2. Если , где , от , .

Из формул (9) и (10) видно, что символ частной производной, как уже отмечалось выше, нельзя трактовать как дробь. В самом деле, если бы можно было сократить на и , то из формул (9) и (10) получили бы, что
и .
Неявные функции и их дифференцирование.
Если уравнение, с помощью которого задается функция одной переменной x, не разрешено относительно y, то эта функция называется неявной. Разрешая это уравнение относительно y, мы получаем ту же функцию, но уже заданную в явной форме. Однако часто бывает, что разрешить такое уравнение относительно y невозможно (например, ) или нецелесообразно; в этом случае уравнение так и оставляют неразрешенным, в общем виде (когда все его члены перенесены в левую часть):
. (11)
В связи с этим встает вопрос о том, как найти производную неявной функции, не разрешая уравнения (11) относительно у.
Если в уравнении (11), определяющем неявную функцию , задавать значения независимой переменной х, то для нахождения соответствующего значения у надо решать уравнение. Теперь, если в это уравнение подставить его решение, то получится тождество. Поэтому можно сказать также, что неявная функция , определенная уравнением (11), - это такая функция, которая, будучи подставлена в уравнение (11), обращает его в тождество. Дифференцируя это тождество по x согласно правилу дифференцирования сложной функции, получим:.
Отсюда при вытекает формула для производной неявной функции
. (12)
Пример 1. Пусть y как функция от x задана соотношением . Найти .
Для имеем: , и согласно формуле (12)
. (13)
Пусть уравнение , Определяет z как неявную функцию независимых переменных xи y.
Пользуясь формулой (12), из равенства (13) имеем:
, . (14)

Пример 2. Найти частные производные неявной функции z, заданной уравнением .
Согласно формулам (14)
,
Частные производные и дифференциалы высших порядков.
Частные производные высших порядков.
Частные производные функции нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные. Для исходной функции эти последние производные будут частными производными второго порядка. Так, для функции двух независимых переменных можно определить (предполагается, что все производные существуют) четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются символами
, ,
, .
Частные производные и , отличающиеся порядком дифференцирования, называются смешанными частными производными второго порядка.
Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и старших порядков.

Пример. Найти частные производные второго порядка функции .
Имеем:
, ,,
, , , .
Здесь =. Оказывается, имеет место следующая теорема.
Теорема. Смешанные производные второго порядка равны, если они непрерывны:
=.
Следствие. Смешанные производные высших порядков равны, если они непрерывны и получены в результате дифференцирования по одним и тем же переменным одинаковое число раз, но может быть в разной последовательность. Покажем это на примере:
,
т.е.
.
Здесь мы дважды пользовались только что отмеченной теоремой: первый раз применительно к функции (мы изменили порядок ее дифференцирования), второй раз использовали равенство =. В общем случае схема рассуждений аналогична.
Признак полного дифференцирования.
Выясним, при каких условиях выражение , (1)
где и непрерывны и вместе со своими частными производными первого порядка, является полным дифференциалом некоторой функции , или, кратко, полным дифференциалом.
Теорема. Выражение (1) есть полный дифференциал тогда и только тогда, когда выполнено равенство
.
2.3. Дифференциалы высших порядков.
Заметим прежде всего, что для функции нескольких переменных справедливы те же общие правила дифференцирования, что и для функции одной переменной:
I. ,.II. .
III. .
IV. . Пусть имеется функция независимых переменных xи y, обладающая непрерывными частными производными второго порядка. Рассмотрим ее полный дифференциал


(dx и dy – произвольные приращения), который назовем полным дифференциалом первого порядка (или, кратко, первым дифференциалом).
Так как и по предложению имеют непрерывные частные производные первого порядка, то от функции , в свою очередь, можно взять полный дифференциал . Так получим полный дифференциал второго порядка (или, кратко, второй дифференциал), который обозначается .
Аналогично, потребовав существование непрерывных частных производных третьего, четвертого, п-го порядков, можно получить полные дифференциалы соответственно третьего, четвертого, п-ого порядков.
Найдем выражения для второго дифференциала через частные производные. Пользуясь правилами I, III (dx и dy не зависят от x и y, т.е. рассматриваются как постоянные) и приведенной в п. 3.1 теоремой, можно записать:
(2)
(здесь , ).
Формула (2) обобщается на случай дифференциала п-го порядка.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
3.1. Формула Тейлора
Если функция многих переменных имеет достаточное число непрерывных производных в окрестности некоторой точки, то эту функцию в указанной окрестности можно (подобно тому, как это было сделано для функций одного переменного) представить в виде суммы некоторого многочлена и остатка, который «мал» в определенном смысле.
ТЕОРЕМА1. Пусть функция определена и непрерывна вместе со всеми своими частными производными до порядка т включительно в некоторой ∆ - окрестности точки. Тогда для всех, удовлетворяющих
условию существует такое что справедлива формула

или, короче,
(3.1)
где
(3.2)
Формула (3.1) называется формулой Тейлора (порядка m-1) для функции f
Пусть . Многочлен
называется многочленом Тейлора степени п функции f в точке (х0, у0), разность - остаточным членом
формулы Тейлора. Таким образом, формула Тейлора (3.1) имеет вид

Запись в виде (3.2) называется остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа.
При m = 1 в (3.1) требует разъяснения смысл первого члена правой части, поскольку в этом случае верхний индекс суммирования равен нулю. В этом случае, по определению, полагается, что этот член равен нулю, т. е. что формула (3.1) имеет вид
В дальнейшем всегда, когда встретится выражение, записанное с помощью символа , у которого значение верхнего индекса суммирования меньше значения нижнего индекса, будем также считать, что это выражение равно нулю.
Доказательство. Пусть зафиксированы так, что тогда все точки вида, где, лежат на отрезке, соединяющем точки и , и поэтому все они принадлежат ∆ - окрестности точки (х0, у0). Вследствие этого имеет смысл композиция функций сложная функция
(3.3)
Очевидно, что
(3.4)
Поскольку функция / имеет в d-окрестности точки (х0, у0) т непрерывных частных производных, согласно теореме о производных сложной функции , функция F также имеет на отрезке [0, 1] т непрерывных производных и поэтому для нее справедлива формула Тейлора порядка т - 1 с остаточным членом в форме Лагранжа

(3.5)
и в рассматриваемой окрестности точки (х0, у0) функцию (3.3) можно т раз продифференцировать по правилу дифференцирования сложной функции, причем значения получающихся смешанных частных производных независят от порядка дифференцирования.
Выразив производные через производные функции f(x, у) и положив в формуле (3.5) t = 1 (см. (3.4)), получим требуемую формулу Тейлора для функции . Действительно, из(3.3) следует, что
Отсюда для F"(t), опустив для краткости обозначения аргументов, получим

Вообще по индукции легко установить, что
(3.6)
Положив в формулах (3.6) t = 0 при k = 1, 2, ... , т - 1, будем иметь


и вообще
(3.7)
При k = т, заменив t на получим
(3.8)
Подставим теперь (3.7) и (3.8) в (3.5) и положим t = 1; тогда, в силу соотношения (3.4), получим

СЛЕДСТВИЕ. В предположениях теоремы 1 справедлива формула
(3.9)
причем остаточный член может быть записан как в виде
(3.10)
где

так и в виде
(3.11)
где т.е.
(3.12)
Представление остаточного члена формулы Тейлора в форме (3.12) называется его записью в форме Пеано.
Доказательство. Положим
(3 13)
В силу непрерывности всех частных производных порядка т, имеем
Преобразуем остаток (см. (3.2)), использовав выражение (3.13), следующим образом:
(3.14)
где поэтому
(3.15)
Подставляя (3.14) в (3.1), получим формулу Тейлора (3.9) с остаточным членом в виде (3.10).
Покажем, что остаточный член (3.10) можно записать в виде (3.11). Для этого положим
(3,16)
Тогда
и так как и , то из (3.15) следует, что

Используя понятие дифференциалов высших порядков, формуле Тейлора для функций двух переменных можно придать более компактную форму, внешне идентичную формуле Тейлора для функций одной переменной, записанной также с помощью дифференциалов. В самом деле, так как
то, полагая для краткости формулу (3.9) можно записать в виде
(3.17)
Эта форма записи формулы Тейлора наиболее проста и поэтому удобна для запоминания.
Сделаем несколько замечаний к доказательствам теоремы 1 и ее следствия. Прежде всего в условиях этой теоремы было потребовано, чтобы функция f имела непрерывные производные до порядка т включительно в некоторой ∆ - окрестности точки (х0, у0). Можно было бы потребовать непрерывность в указанной окрестности только производных порядка т, поскольку из их непрерывности вытекает и непрерывность в этой окрестности всех младших производных данной функции, т. е. производных порядков k = 0, 1,2, ... , т - 1
Подчеркнем, что непрерывность частных производных в δ-окрестности точки (х0, у0) была использована, во-первых, для того чтобы встречающиеся частные производные не зависели от порядка дифференцирования (это было использовано как при доказательстве формулы Тейлора (3.1), так и в самой форме записи этой формулы), и, во-вторых, для того чтобы функцию (3.3) можно было т раз дифференцировать по правилу дифференцирования сложной функции. Обратим внимание на то, что при т = 1 смешанные производные отсутствуют; для возможности же один раз дифференцировать функцию (3.3) по правилу сложной функции, следовательно, и для справедливости теоремы 1 достаточно более слабого предположения о рассматриваемой функции f. Именно, вместо предположения о непрерывной дифференцируемости в вышее указанной δ - окрестности точки (х0, у0) функции f, достаточно ее дифференцируемости в этой окрестности.
Непрерывность частных производных порядка т (в точке (х0, у0)) использована также при доказательстве следствия теоремы 1: она нужна для того, чтобы функции определенные формулами (3.13), стремились к нулю при
Подчеркнем еще, что при сделанных предположениях в формуле (3.9) доказано, что не в смысле предела по любому фиксированному направлению, как может показаться на первый взгляд из приведенного доказательства, а в более сильном смысле - в смысле предела в точке (х0, у0) (почему?).
Формулу (3.1) можно несколько обобщить, если не стремиться к тому, чтобы она была справедливой для всех точек δ - окрестности точки (х0, у0), а рассматривать эту формулу лишь при фиксированных . Именно, если функция f, определена и имеет непрерывные частные производные порядка т на открытом множестве, содержащем отрезок с концами (х0, у0) и , то формула (3.1) также остается справедливой вместе с ее доказательством. Из этого следует, что если функция f. определена в выпуклой области G и имеет в G непрерывные частные производные порядка т, то для любых двух точек справедлива формула Тейлора (3.1).
Все сказанное переносится и на случай функции любого числа переменных.
ТЕОРЕМА 1'. Если функция п переменных определена и непрерывна вместе со всеми своими частными производными до порядка т ,т≥ 1, включительно в некоторой δ - окрестности точки то справедлива формула
(3.18)
где
(3.19)

а также формула
(3.20)
где можно записать как в виде
(3.21)
где так и в виде
(3.22)
т.е.

Наконец, через дифференциалы формулу (3.20) можно записать в виде
(3.23)
Раскроем теперь скобки в формулах (3.18) и (3.19), воспользовавшись алгебраической формулой

Для того чтобы короче записать результат, введем новые обозначения. Положим

- называется мультииндексом.
В этих обозначениях формула Тейлора (3.18) с остаточным членом в виде (3.19) перепишется в виде

Здесь, как всегда и

В этом виде формула Тейлора для функций любого числа переменных выглядит так же, как и для функций одной переменной.
Иногда, особенно в случае функций многих переменных, для производных используют обозначение

- мультииндекс. Если пользоваться этой символикой, то формула Тейлора принимает вид
Покажем единственность представления функции , f в виде

(3.24)
где
(3.25)
- многочлен степени не выше m от я переменных
ЛЕММА. Если многочлен

тождественно равен нулю:
(3.26)
в некоторой окрестности нуля, то все его коэффициенты равны нулю.
Доказательство. Из (3.26) следует, что для любого имеет место равенство
Но если то Из двух последних равенств следует, что для всех k таких, что выполняются равенства ak=0.
Т Е О Р Е М А 2. Если функция f задана в окрестности точки х, то ее представление в виде (3.24) единственно.
Доказательство. Пусть число δ > 0 выбрано таким образом, что для всех у функции f наряду с представлением (3.24) имеет место представление
(3.27)
Тогда, положив
(3.28)
и вычтя из равенства (3.27) равенство (3.24), получим, что
(3.29)
Зафиксируем произвольно тогда если, то и в (3.29) можно вместо подставить. Выполнив эту подстановку, будем иметь

(так как ∆х фиксировано, то и ρ также фиксировано), т. е. при имеем

В силу теоремы 2 отсюда следует, что
причем это верно для всех таких ∆x т.е. стоящий в левой части этого равенства многочлен относительно переменных равен нулю в некоторой окрестности нуля. Согласно лемме, отсюда следует, что все ck = 0. Поэтому, в силу (3.28), для всех k таких, что выполняется равенство
Заключение
ЛИТЕРАТУРА.
C. Я. Хавилсон. Р. Я. Глаголева. Л. Е. Россовский. – «Курс: Математического анализа (Юнита 4) ».
А. Г. Свешникова. А.Н.Тихонов. «Курс высшей математики и Математической физики».
И. И. Ляшко. А. К. Боярчук. Я. Г. Гай. Г. П. Головач. – «Математический анализ. Часть 3».
А.П. Аксёнов. «Математиматическ анализа».
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 3.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т. 2