Презентация на тему Частные случаи нахождения корней квадратного трёхчлена

Частные случаи нахождения корней квадратного трёхчлена ax2 + bx + c 1. Если: a + b + c = 0, то х1 = 1, х2 = с𝑎Пример 1: 2х2 + 3х – 5; х1 = 1 , х2 = −52Пример 2: 3х2 - 7х + 4; х1 = 1 , х2 = 113 


2. Если: a - b + c = 0, то х1 = - 1, х2 = −с𝑎 Пример 1: 2х2 + 3х + 1; х1 = - 1 , х2 = - 12 Пример 2: 25х2 + 125х + 100; х1 = - 1 , х2 = - 4 


3. Если: a = c = n, b = n2 + 1, т.е. nx2 + ( n2 + 1 )x + n, то х1 = - n, х2 = −1𝑛 Пример 1: 2х2 + 5х + 2; х1 = - 2 х2 = - 12Пример 2: 7х2 + 50х + 7; х1 = - 7 х2 = - 17 


4. Если: a = c = n, b = -(n2 + 1), т.е. nx2 - ( n2 + 1 )x + n, то х1 = n, х2 = 1𝑛 Пример 1: 3х2 - 10х + 3; х1 = 3 х2 = 13Пример 2: 10х2 - 101х +10; х1 = 10 х2 = 110 


5. Если в приведённом квадратном трёхчлене второй коэффициент чётный, то можно использовать следующую формулу x2 + px + q, где p – чётное. X1,2 = - 𝑝2 ± 𝑝24−𝑞 Пример 1: х2 - 10х +21; x1,2 = 5± 25−21 х1 = 5+2 = 7 х2 = 5 – 2 = 3 Пример 2: х2 - 25x + 5; x1,2 = 5± 5−5 х1,2 = 5  



Найдите все значения параметра 𝑎, при которых решением  неравенства 𝑥2−5𝑥−6𝑥2−𝑎−1𝑥−𝑎<0 является объединение двух непересекающихся интервалов. Разложим на множители квадратные трёхчлены (числителя и знаменателя) с помощью формул𝑥2−5𝑥−6=0; 𝐷= 𝑏2−4𝑎𝑐=49𝑥1,2=−𝑏±𝐷2𝑎 ;   𝑥1=5−72=−1;   𝑥2=5+72=6𝑥2−𝑎−1𝑥−𝑎=0;𝐷=(𝑎−1)2−4∙1∙−𝑎=𝑎2−2𝑎+1+4𝑎=𝑎2+2𝑎+1=(𝑎+1)2𝑥1=𝑎−1−(𝑎+1)2=𝑎−1−𝑎−12=−1𝑥2=𝑎−1+(𝑎+1)2=𝑎−1+𝑎+12=2𝑎2=𝑎 имеем:(𝑥+1)(𝑥−6)(𝑥−𝑎)(𝑥+1)<0  т. е. при x≠−1  (𝑥−6)(𝑥−𝑎)<0_________________________________При 𝑎 <−1 решением неравенства 𝑥2−5𝑥−6𝑥2−𝑎−1𝑥−𝑎<0Есть объединение двух непересекающихся интервалов (𝑎;−1)∪(−1;6) Разложим на множители квадратные трёхчлены (числителя и знаменателя) решая квадратные трёхчлены устно𝑥2−5𝑥−6=0; 𝑎−𝑏+𝑐=0  ⟹ 𝑥1=−1; 𝑥2=6𝑥2−𝑎−1𝑥−𝑎=0;𝑎−𝑏+𝑐=0;  1+𝑎−1+−𝑎=0      ⟹ 𝑥1=−1;  𝑥2=𝑎1=𝑎   отсюда имеем : (𝑥+1)(𝑥−6)(𝑥−𝑎)(𝑥+1)<0  т. е. при x≠−1  (𝑥−6)(𝑥−𝑎)<0____________________________________________При 𝑎 <−1 решением неравенства 𝑥2−5𝑥−6𝑥2−𝑎−1𝑥−𝑎<0Есть объединение двух непересекающихся интервалов (𝑎;−1)∪(−1;6) 








При каких значениях параметра   𝑎 уравнение 𝑐𝑜𝑠42x−2𝑎+2𝑐𝑜𝑠22𝑥−2𝑎+5=0 имеет хотя бы одно решение?  РешениеПусть 𝑐𝑜𝑠22x = t, t ∈0;1 , тогда уравнение примет вид: 𝑡2−2𝑎+2𝑡−(2𝑎+5) = 0 𝑎−𝑏+𝑐=1+2𝑎+4−2𝑎−5=0 значит 𝑡1=−1;    𝑡2=2𝑎+5 делаем обратную замену:𝑐𝑜𝑠22𝑥=−1                        𝑐𝑜𝑠22𝑥=2𝑎+5 0≪2𝑎+5≪1 ∅ - 5 ≪2𝑎≪−4 −2,5≪𝑎≪−2Ответ: при 𝑎∈−2,5;−2 существует хотя бы один корень уравнения𝑐𝑜𝑠42𝑥−2𝑎+2𝑐𝑜𝑠22𝑥−2𝑎+5=0.  Спасибо за внимание. Успехов в новом учебном году…