Конспект по математике на тему Частные случаи квадратных уравнений

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное
здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.
В школьном курсе математики изучают формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Разберѐм некоторые из них.
Уравнение вида 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 ,
где x -переменная, a, b, c - некоторые числа,
𝑎≠0 , называется квадратным уравнением.
Примеры: 5𝑥2 −14𝑥+17=0; 3𝑥2+5𝑥=0; 3𝑥2−5𝑥=0.
Из школьного курса нам известны формулы:
𝐼.
𝐼𝐼.
И теорема обратная теореме Виета, которая позволяет устно подбирать корни приведенного квадратного уравнения:
𝑥2+𝑝𝑥+𝑞=0,
Если числа m и n таковы,
что m+n=-p,
а mn=q, то: 𝑥1=𝑚, 𝑥2=𝑛.
Часто можно обойтись без них. Рассмотрим некоторые приемы устного решения квадратных уравнений.
Мы заметили, что
1) Еслиа+в+с=0, то 𝒙1=𝟏; 𝒙2=
Доказательство:
Так как а+в+с=0 , то в = -(а + с) .
В уравнение ах2+вх+с=0 подставим
в = -(а + с), получим
а 𝑥 2-(а+с)𝑥 +с=0,преобразуем:
(а 𝑥 2-а 𝑥) - (с 𝑥 -с)=0 ,
а𝑥 (𝑥 -1)-с(𝑥 -1)=0,
(𝑥 -1)(а𝑥 -с)=0,
𝑥 -1=0 или а 𝑥 -с=0,
откуда 𝑥 =1 или 𝑥 =
2) Если а + с = в, то 𝒙𝟏 = −𝟏; 𝒙𝟐 = −
Доказательство.
В уравнение аx2+в𝑥 +с=0 подставим
в = а + с, получим
а 𝑥 2+(а + с) 𝑥 +с=0 , преобразуем:
(а 𝑥 2+а𝑥) + (с𝑥 +с)=0 ,
а𝑥 (𝑥 +1)+с(𝑥 +1)=0,
(𝑥+1)(а𝑥 +с)=0,
𝑥 +1=0 или а 𝑥 +с=0,
откуда 𝑥 =-1 или 𝑥 =-
Назвали это:
Приѐмом «Коэффициентов»:
Например: 1999x2 - 1997x - 2 = 0, x1 = 1; x2= ;319𝑥2 + 1988𝑥 + 1669 = 0, 𝑥1 = −1; 𝑥2 =;
319𝑥2 − 4𝑥 − 315 = 0, 𝑥1 = 1; 𝑥2 = −.
Уравнение вида
𝒂𝒙2 + (𝒂2 + 𝟏) 𝒙 + 𝒂 = 𝟎
имеет корни : 𝒙𝟏 = −𝒂 ; 𝒙𝟐 = Доказательство:
По формуле I найдем:
;
𝑥 1= -a; 𝑥 2=
Например:
Уравнение вида
𝒂𝒙2 -(𝒂2+1) 𝒙 + 𝒂 = 𝟎, имеет корни: 𝒙𝟏 = 𝒂; 𝒙𝟐 = Доказательство:
По формуле I найдем: ;; 𝑥1 = a; 𝑥 2=
Например:
Уравнение вида
ах2 +( а2 – 1 )х – а = 0
Доказательство:
По формуле I найдём :

; 𝑥 1= -а; 𝑥 2=
Например:
Уравнение вида
𝒂𝒙2 – (𝒂2 – 𝟏) 𝒙 − 𝒂 = 𝟎, имеет корни: 𝒙𝟏 = 𝒂; 𝒙𝟐 = −. Доказательство:
По формуле I найдем:
; ; 𝑥 1= а; 𝑥 2=
Например:
Но это еще не все открытия , связанные с коэффициентами квадратного уравнения.
Пусть в уравнении ах2+вх+с=0
свободный член c = m·n.
Тогда его можно записать в виде:
ах2+вх+mn = 0 (1)
Сравним корни уравнения (1) с корнями уравнения аmх2+вх+n=0 (2)
Замечаем, что при переброске одного из множителей свободного члена к старшему коэффициенту дискриминант не изменяется, то есть D=b2-4mn= b2-4ac.
Корни уравнения (1) вычисляются по формуле:
, а уравнения (2) по формуле:
.
Делаем вывод, что корни уравнения (2) получаются делением корней уравнения (1) на переброшенный множитель.
Например, уравнение имеет корни х1=1 , х2=12 ,так как а+в+с=0, значит, уравнение имеет корни: х1=; х2= 2
Уравнение имеет корни х1=; х2=4
Используя рассмотренные приемы, можно придумывать уравнения с рациональными корнями.
Например, возьмем уравнение: , корни которого мы уже
нашли: 1 и 12.
Свободный член 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Отсюда уравнения:
x2-13x +12=0, 𝑥 1=12; 𝑥 2=1,
12х2-13х+1=0, 𝑥 1=1/12; 𝑥 2=1,
2x2-13x+6=0, x1=1/2; 𝑥 2=6,
6x2 -13x +2 =0, 𝑥 1=1/6; 𝑥 2=2,
3x2-13x+4=0, 𝑥 1=1/3; 𝑥 2=4,
4x2 -13x +3=0, 𝑥 1=1/4; 𝑥 2=3,

переброска
Решим уравнение: 4x2-21x+5 =0 (1)
Получим уравнение:х2-21х+20=0, корнями которого будут числа 1 и 20.
Разделим найденные корни на старший коэффициент число 4, получим корни исходного уравнения (1) : 𝑥 1=1/4; 𝑥 2=5.
Проверь себя!








Вывод:
данные приемы заслуживают внимания, поскольку они не отражены в школьных учебниках;
овладение данными приемами поможет учащимся экономить время и эффективно решать уравнения;
потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы вступительных экзаменов.

Приложение.1) Если а+в+с=0, то 𝒙𝟏 = 𝟏; 𝒙𝟐 =
2) Если а + с = в, то 𝒙𝟏 = −𝟏; 𝒙𝟐 = −
3)Уравнение вида
𝒂𝒙2 + (𝒂2 + 𝟏)2 𝒙 + 𝒂 = 𝟎
имеет корни: 𝒙𝟏 = −𝒂; 𝒙𝟐 = 4)Уравнение вида
𝒂𝒙2 -( 𝒂2+1)x + 𝒂 = 𝟎
имеет корни: 𝒙𝟏 = 𝒂; 𝒙𝟐 = 5)Уравнение вида
𝒂𝒙2 – (𝒂2 – 𝟏) 𝒙 − 𝒂 = 𝟎
имеет корни: 𝒙𝟏 = 𝒂; 𝒙𝟐 = −. 6)Уравнение вида
𝒂𝒙𝟐 +( 𝒂𝟐 – 𝟏) 𝒙 − 𝒂 = 0
имеет корни: 𝒙𝟏 = −𝒂; 𝒙𝟐 =