Модуль: общие сведения. Преобразование выражений, содержащих модуль.

Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
Разработка уроков по теме Модуль: общие сведения. Преобразование выражений, содержащих модуль . Пояснительная записка Понятие модуля активно используется в школьном курсе, в заданиях единого г о- сударственного экзамена, а также в высшей математике, в темах, связанных с опред е- лением предела последовательности и предела функции, непрерывности функции, при работе с приближенными вычислениям и. Поэтому изучение этой темы поможет уч а- щимся боле е эффективно подготовиться к экзаменам в школе, вступительным экзам е- нам в ВУЗ и в продолжении образования в высшей школе. Тип урока: урок объяснения и закрепления нового материала. Тема: © Модуль: общие сведе ния. Преобразование выражений, содержащих модульª Данный урок (2 ч.) рассчитан на учеников 10 класса. Место урока в общей структуре учебной темы: д анный урок – первый урок в учебном году в элективном курсе ©Модульª . На этапе открытия новых знаний выбран под водя щий диалог, в ходе которого предлагается система посильных ученикам вопро сов и заданий, подводящих учащих ся к открытию мысли. Одним словом, необходима мотивация, побуждающая ученика к вступлению в деятельность. Дети самостоятельно указывают, где и почему возникло за труднение. У чащие ся определяют цель урока - устранение возникшего затруднения, предполагают и согласовывают тему урока, а затем строят проект будущих учебных действий, направленных на реализацию поставленной цели. Для этого определяется, какие действия, в какой последовате льности и с помощью чего надо осуществить. Задания на уроке способствуют развитию логического мышления. Первичное закрепление осуществляется через комментирование каждой искомой ситуации, пр о- говаривается вслух установленный алгоритм действи я . Самоконтроль побуждает учащихся ответственно относиться к выполняемой работе, учит аде кватно оцени вать результаты своих действий. Важно, чтобы на этом этапе для каждого ученика была создана ситуация успеха и у него возникло желание закрепить удачный рез ультат. Также активизируются мыслительные операции: анализ, сравнение, классификация, обобще ние. Х очу отметить, что, в качестве системы оценивания на уроке применяются карточки с дифференцированными заданиями. Смысл уровневой дифференциации з а- ключается в то м, что, обучаясь в школе по единой программе в одном коллективе, д е- ти могут усваивать материал на различных уровнях. Определяющим при этом являе т- ся уровень обяза тельной подготовки. Его дости жение свидетельствует о выполнении учеником необходимых требований к усвоению содержания преподаваемых дисци п- лин. На его основе формируется более высокое овладение учебным материалом. Пр е- доставление учащимся возможности выбора, у же само по себе стимулирует воз никн о- вение интереса к предмету , способствует развитию индивидуальных склонностей. Т а- кой подход позволяет активизировать учащихся на более углубленное изучение уче б- ного материала и в этом смысле уровневая дифференциация отвечает задачам личн о- стно ориентированного образования. На последнем этапе урока организуется рефлексия и самооценка учениками собственной учебной деятельности на уроке. Основой проведения урока служит технология деятельностного подхода, кот о- рая обеспечивает системное вк лючение учащихся в процесс са мо стоятельного п о- строения ими нового знания и позволяет проводить разно - уровневое обучение. На уроке применяется метод мотивации и стимулирования - использование ИКТ . Н е заменяя учебники или другие пособия, презентационное сопровождение урока создает в то же время принципиально новые возможности для усвоения нового материала. Мультимедийная презентация дает возможность учителю оперативно с о- четать разнообразные средства , способствующие более глубокому и осознанному у с- воению изучаемого материал а, экономит время урока, насыщает его информацией, п о- вышает интерес к предмету. Необходимое оборудование: ком пьютер, проектор, экран . Дополнительные материалы: презентац ия по теме урока , индивидуальный раздато ч- ный материал для учащихся: карточки с дифферен цированными заданиями; анкета для каждого учащегося. « Модуль : общие сведения. Преобразование выражений, содержащих модуль» (10 класс,2ч.). Цель занятия: выработка навыков в упрощении выражений, содержащих модуль; формирование личностных, регулятивных, познавательных и коммуникативных ун и- версальных учебных действий . Задачи: 1. Обобщить свойства модуля, его геометрический смысл модуля с использован и- ем знако - символических средств. 2. Развить умения сравнивать, обобщать, строить логиче с кую цепь рассуждений; с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли; развитие самосто я- тельного создания алгоритмов деятельности . 3. воспитать волевую саморегуляцию в ситуации затруднения; научиться сл у- шать других. Тип урока: урок объяснения и закрепления нового материала. Необходимое оборудование : ком пьютер, проектор, экран . Дополнительные материалы : презентац ия по теме урока , индивидуальный разд а- точный материал для учащихся: карточки с дифференцированными заданиями; анкета для каждого учащегося. Структура урока: 1. Мотивационная беседа (2 мин) . Актуализация опорных знаний (15 мин) . 2. Лекция (15 мин) . Решение упражнений у доски (20 мин) . Самостоятельное решение упражнений (15 мин) . 3. Подведение итогов. Рефлексия (13 мин) . Ход урока УУД 1 . Вводная беседа(слайд 1) С понятием ©модульª вы познакомились в 6 классе при изучении темы ©Положительные и отрицательные числаª. На последующих этапах обучения мы лишь н е- - смыслообразование͖ - мотивация͖ - выделение в ажной много касались этой темы. Поэтому представляется нео б- ходимым возвращение к ©модулюª на старшей ступени. Понятие модуля активно используется в 10 - 11 классах, в заданиях единого государственного экзамена, а также в высшей математике, в темах, связанных с определением предела последовательности и предела функции, непр е- рывности функ ции, при работе с приближенными вычи с- лениями. Поэтому изучение этой темы поможет вам более эффективно подготовиться к экзаменам в школе, вступ и- тельным экзаменам в ВУЗ и в продолжении образования в высшей школе. информации. - владение диалогич е- ской формой речи. Актуализация опорных знаний учащихся: Что называется модулем числа? (ответ учащихся) Как обозначают модуль числа? (ответ учащихся) Как найти модуль положительного числа и нуля? (о т- вет учащихся) Как найти модуль отрицательного числа? (ответ уч а- щихся) Может ли модуль какого - нибудь числа быть отриц а- тельным числом? (ответ учащихся) Устная работа (фронтальный опрос по слайдам презе н- тации) : А). Найдите соответствие между модулем и чи с- лом (слайд 2) : а) │ 5,09 │; б) │ 5,2 │; в) │ - 5,04 │; г) │ – 5 │; 1 д) │ - 5 — │ 2 1 1) 5 ,5 ; 2) 5,09 ; 3) 5 ; 4) 5 — ; 1 25 5) 5 — . 5 Б). Найдите числа, модуль которых равен (слайд 3) : 2 а) — ; б) 6,7; в) 0; г) - 2. 3 В). Сравните (слайд 4) : а) │ - 2│ и │2│; б) │ - 99│ и │10│; в) │ - 1,5│ и │0│; 2 1 1 7 1 г) │7,8│и│ - — │; д) │ - — │и │ - — │; е) │ — │и│ — │. 3 5 6 9 5 - поиск и выделение необходимой инфо р- мации͖ - структурирование знаний͖ - смысловое чтение͖ - анализ͖ - построение речевого высказывания в ус т- ной речи ; - владение диалогич е- ской формой речи. Г). Назовите из двух данных чисел то, у которого м о- дуль больше (слайд 5) : а) 3,1 и 3,8; б) 4 и 0; в) 0 и - 0,75; г) - 10,2 и 3,2; д) 5 и - 3; е) - 8 и - 9,6. Д). Расположите числа в порядке возрастания их мод у- лей (слайд 6) : - 7; - 3,3; - 2; 0; 1,6; 5; 9,32. Выполним письменно в тетрадях следующее задание на нахождение модуля (слайд 7 ): а) │ 5 │ ͖ б) │ - 7 │ ͖ в) │ 2 - 4 │ ͖ г) │ 16 - 18 │ ; д) │ 12 ∙ 8 – 306 : 2 │ ; 1 5 е) │ 13,2 – 5,75 │ ͖ ж) │ 19 — - 5 — │ ͖ з) │ √10 - 3 │ ; 5 6 и) │ 3а │ ; к) │ а - 8 │ ͖ л) │ а - 3 │ + │ 7 - а │ . Проверяем͙ В каких заданиях вы ошиблись? ( ответ учащихся ) Как вы думаете, по какой причине сделали ошибк и? ( ответ учащихся ) Какие теоретические знания использовались при в ы- полнении этих заданий? ( ответ учащихся ) Какие задания из этого номера вы не смогли сделать? Почему? ( ответ учащихся ) Сформулируйте тему и цели сегодняшнего урока. ( о т- ве т учащихся ) Записываем тему урока в тетрадь: «Модуль: общие сведения. Преобразование выражений, содержащих м о- дуль». - выполнение пробн о- го учебного действия͖ - фиксирование инд и- видуального затру д- нения в пробном де й- ствии͖ - целеполагание͖ - постановка и форм у- лирование проблемы͖ - планирование уче б- ного сотрудничества с учителем͖ - умение с достато ч- ной полнотой и точн о- стью выражать свои мысли͖ - владение диалогич е- ской формой речи. 2 . Лекция (конспект лекции учащиеся записывают в те т- радь). Беседа: подведение учащихся под понятие модуль . Определение : Абсолютной величиной (модулем) дейс т- вительного числа а называется само число а , если оно н е- отрицательное, и число, противоположное числу а , если а отрицательное (слайд 8) . а, если а >0; (1) │а│= 0, если а=0; (2) - а, если а<0. (3) Часто строчку (2) объединяют со строчкой (1) или с о строчкой (3). - подведение под п о- нятие͖ - структурирование знания ; - выдвижение гипотез и их обоснование ; - построение логич е- ской цепи рассужд е- ний͖ - доказательство͖ Чаще всего применяют следующую запись: а, если а ≥0; │а│= - а, если а<0. Раскрыть модуль – значит записать выражение, с о- держащее модуль, не используя знак модуля. Примеры (слайд 9) : а)│8│=8; б) │ - 6│=6; в) │2 - √2│= 2 - √2; 3х, если х ≥0; г)│√2 - √ 3│= - ( √2 - √3)= √3 - √2; д) │3х│= - 3х, если х<0; е) │а² +4│= а² +4 ( Комментарии: а² +4 >0 при всех де й- ствительных значениях а ). Отметим некоторые свойства модуля (слайд 10) : 1) │а│≥0 для любого значения а; 2) │ - а│=│а│; 3) │а ∙ b │= │а │ ∙ │ b │; Докажем это свойство, рассмотрев все случаи: а) если а=0, b=0, или а=0, b≠0, или а≠0, b=0, то оч е- видно, что │а ∙ b │= │а │ ∙ │ b │=0; б) если а >0, b >0, тогда а=│а│, b=│b│ и аb >0. Значит, │а ∙ b │= а∙ b = │а │ ∙ │ b │; в) если а<0, b<0, тогда - а=│а│, - b=│b│ и аb >0. Значит, │а ∙ b │= - а∙ ( - b) = │а │ ∙ │ b │; г) если а >0, b <0, тогда а=│а│, - b=│b│ и аb <0. Значит, │а ∙ b │= - а∙ b = а ∙ ( - b) = │а │ ∙ │ b │. Свойство (3) доказано. а │а │ 4) │ │= , где b ≠0; b │ b │ 5) √а ² = │а │; 6) │а │ ² = а ². Геометрическое толкование : каждому действител ь- ному числу можно поставить в соответствие точку числ о- вой прямой, тогда эта точка будет геометрическим из о- бражением данного числа. моделирование͖ - использование зн а- ково - символических средств. Каждой точке числовой прямой соответствует ее ра с- стояние от начала отсчета или длина отрезка, начало кот о- рого в точке начала отсчета, а конец – в данной точке. Это расстояние или длина отрезка рассматривается всегда как величина неотрицательная. Та ким образом, геометрич е- ская интерпретация модуля действительного числа а будет рассматриваться от начала отсчета до точки, изобража ю- щей число (слайд 11) . │ - а │ │а │ - а 0 а х Решение упражнений у доски. Мы вспомнили определение модуля, его свойства, геометрический смысл. Выполним следующие упражн е- ния у доски с проговаривани ем (задания №1 - 3 решают трое учащихся по очереди на доске, остальные в тетрадях ). №1 . Раскройте модуль: а) │7│; б) │ - 4│ ; в) │√3 – 1,5│; г) │3 - π│; д) │2³ - √65│; π 1 π е) │ cos — - — │; ж) │ tg — - π │. 6 2 3 Ответы: а) 7; б) 4; в) √3 – 1,5; г) π – 3; д) √65 – 8; √3 - 1 - √3. 2 №2. Представьте выражение в виде выражения с модулем: а) √у ²; б) √(х – 1) ²; в) √х ² - 6х+9. Ответы: а) │у │; б) │х - 1 │; в) │х - 3 │. №3. Раскройте модуль и , если это возможно, упростите выражение: а) │х ² + 1 │; б) │х ² - 4х + 4 │; в) 2 │х │ - 1; г) │х │+ 3х; х + 3│х│ х 2х – 1, если х≥0, - умение с достато ч- ной полнотой и точн о- стью выражать свои мысли͖ - построение логич е- ской цепи рассужд е- ний͖ построение речевого высказывания в ус т- ной и письменной р е- чи͖ - контроль͖ - коррекция͖ - оценка. Ответы : а) х² + 1; б) х ² - 4х + 4; в) - 2х – 1, если х <0; 4х, если х≥0, х²+3х+2, если х≥0, г) д) 2х, если х<0; х ² - 3х+2, если х≥0; 4, если х≥0, е) - 2, если х<0. №4. Раскройте модуль: │х│ + │х - 1│ - │2 - х│. ( Решает учитель на доске , учащиеся записывают р е- шение в тетрадь ) Решение : В этом примере имеем три выражения, стоящие под знаком модуля: │х│, │х - 1│, │2 - х│. Для преобразов а- ния выражения применим прием ©разбиения на промежу т- киª, осуществляемый по схеме: 1) Н айдем те значения х , при которых хотя бы одно из выражений, стоящих под знаками модулей, обращается в нуль (иначе говоря, найдем нули функций, стоящих под знаками модулей). Найдем такие значения х из условий: х=0, х – 1=0, 2 – х=0, откуда х 1 =0, х 2 =1, х 3 =2. 2) Разобьем числовую ось найденными точками на пр о- межутки: I II III IV 0 1 2 х I . х < 0, II . 0 ≤ х < 1, III . 1 ≤ х < 2, IV . х ≥ 2. 3) Преобразуем исходное выражение на каждом из п о- лученных промежутков. Для этого на каждом промежутке определим знаки выражений, стоящих под знаками мод у- лей. Далее раскроем модули и упростим выражение: - постановка и форм у- лирование проблемы͖ - выдвижение гипот е- зы͖ - построение логич е- ской цепи рассужд е- ний͖ - моделирование͖ - преобразование м о- делей͖ - извлечение необх о- димой информации͖ - использование зн а- ково - символических средств. I . если х < 0, то │х│ + │х - 1│ - │2 - х│= - х – (х - 1) – ( 2 – х)= - х – 1; II . если 0 ≤ х < 1, то │х│ + │х - 1│ - │2 - х│= х – (х - 1) – ( 2 – х)= х – 1; III . если 1 ≤ х < 2, то │х│ + │х - 1│ - │2 - х│= х + (х - 1) – ( 2 – х)= 3х – 3; IV . если х ≥ 2, то │х│ + │х - 1│ - │2 - х│= х + (х - 1) + ( 2 – х)= х +1. Собрав воедино полученные на каждом промежутке результаты, запишем ответ : - х – 1, если х < 0, х – 1, если 0 ≤ х < 1, │х│ + │х - 1│ - │2 - х│= 3х – 3, если 1 ≤ х < 2, х + 1, если х ≥ 2. Назовите этапы решения данного задания. (ответ учащихся) Следующее задание 2 ученика выполняют на скрытой доске, а остальные – в своих тетрадях. Затем всем классом проверяем решения. №5. Упростите выражения (слайд 12) : а² - 4 а² - │а│ + 1 - а │а│ + 2 │а - 1│ Ответы : а) а – 2, если а≥0, - а – 2, если а<0. а² + 1 б) 1 - а 1 – а, если 0 ≤ а < 1, а – 1, если а �1. Проверяем… Верно ли выполнены задания на доске? ( ответ учащихся) В каких заданиях вы ошиблись? (ответ учащихся) - самостоятельное создание способов решения проблем͖ волевая саморегул я- ция в ситуации з а- труднения͖ - построение логич е- ской цепи рассужд е- ний͖ - моделирование͖ - преобразование м о- делей͖ - использование зн а- ково - символических средств͖ - построение речевого высказывания в ус т- ной и письменной р е- чи͖ - контроль в форме сличения͖ коррекци я͖ оцека͖ Как вы думаете, по какой причине сделали ошибки? (ответ учащихся) Самостоятельное решение упражнений. Предлагаю д ифференцированные задания, которые вы выполняете на листочках и сдаете на проверку ( Прилож е- ние 1) Упростите выражения: Уровень А Уровень В Уровень С а) ( | а | +5) ∙а а² - 9 а) ________ | а | +3 m ∙ | m - 3 | a) ___________ ( m ² - m – 6) ∙ | m | б) | 5х - 7 | - 5х б) | х - 1 | - | х - 2 | б) | 7 - х | + | х²+5х+6 | в) | х ² - 6х+9 | в) | х ²+х+2 | в) √3 - 2√2 - √2 Ответы к заданиям на карточках: Уровень А а) а ²+5а, если а ≥0, - а ²+5а, если а <0; - 7, если х ≥ 1,4, б) 7 – 10х, если х<1,4 в) х² - 6х+9. Уровень В а) а – 3, если а > - 3, 3 – а, если а< - 3; - 1, если х < 1, б) 2х – 3, если 1 ≤ х < 2, 1, если х ≥ 2; в) х ²+х+2. - самостоятельное создание способов решения проблем͖ волевая саморегул я- ция в ситуации з а- труднения͖ - построение логич е- ской цепи рассужд е- ний͖ - моделирование͖ - преобразование м о- делей͖ - использование зн а- ково - символических средств. построение речевого высказывания в письменной речи͖ Уровень С 1 m C ( - ∞; - 2) U ( - 2; 0) F (3; +∞), а) m +2 1 - m 3; m +2 х ² + 4х + 13, если х ≤ - 3 или – 2 ≤ х < 7, б) - х ² - 6х+1, если - 3 ≤ х < - 2, х ² + 6х – 1, если х > 7; в) - 1. ( Указание : Преобразовать выражение под знаком корня 3 - 2√2 = 1 - 2√2 +( √2 ) ² = (1 - √2 ) ² ). 3 . Итог занятия. 1. Организуется самооценка учениками своей де я- тельности; 2. Фиксируется степень соответствия поставленной цели и результатов деятельности; 3. Намечаются цели следующего урока; 4. Домашнее задание (слайд13) : Упростите выражения (учащиеся перепис ы- вают задания в тетрадь) : х ² + 4 х ² - 16 №2. а) √5 - 2 √6 - √5 + 2 √6 ; б) √7 + 4√3 + √7 - 4 √3 . №3. │х - 3 │+│х - 4 │ - │х +5 │. │х │ ∙ │х - 1 │ х ² - х + 1 - │ х │ Рефлексия . 1. Учащиеся проговаривают, что нового узнали на уроке. Намечаются перспективы последующей работы. 2. Учитель оценивает р езультаты деятельности учащихся с помощью проведенной уже самостоятельной работы и анкеты. - Анализ деятельн о- сти͖ - выделение и осозн а- ние учащимися того, что уже усвоено и что ещё подлежит усво е- нию͖ - осмысление пол у- ченных знаний. АНКЕТА (Приложение 2) 10класс ____Ф.И._____________________________________ Ответьте на вопросы, выбрав ответ из предложенных или д о- бавьте свой. 1. Работа с понятием модуль : а) понравилась; б) не очень понравилась; в) не понрав и- лась; г)_______________________________________ 2. Работа оказалась: а) простой; б) не очень сложной; в) сложной; г)______________________________________ 3. Самым сложным оказалось: а) ориентироваться в понятии модуль ; б) выполнять з а- дания; в) постро ить логическую цепочку рассуждений; г)______________________________________ 4. В дальнейшем работать с модулем хочется: а) часто; б) не очень часто; в) редко; г)______________________________________ 6. Какие эмоции сопровождали при работе с модулем: а) радость; б) раздражение; в) досада; г) обида; д) гнев; е)______________________________________ Приложение 1 Уровень А Уровень В Уровень С а) (│а │+5) ∙а а² - 9 а) │а│+3 m ∙│ m - 3│ a ( m ² - m – 6) ∙│ m │ б) │5х - 7│ - 5х б) │х - 1│ - │х - 2│ б) │7 - х│+│х²+5х+6│ в) │ х ² - 6х+9 │ в) │ х ²+х+2 │ в) √3 - 2√2 - √2 Уровень А Уровень В Уровень С а) (│а │+5) ∙а а² - 9 а) │а│+3 m ∙│ m - 3│ a ( m ² - m – 6) ∙│ m │ б) │5х - 7│ - 5х б) │х - 1│ - │х - 2│ б) │7 - х│+│х²+5х+6│ в) │ х ² - 6х+9 │ в) │ х ²+х+2 │ в) √3 - 2√2 - √2 Уровень А Уровень В Уровень С а) (│а │+5) ∙а а² - 9 а) │а│+3 m ∙│ m - 3│ a ( m ² - m – 6) ∙│ m │ б) │5х - 7│ - 5х б) │х - 1│ - │х - 2│ б) │7 - х│+│х²+5х+6│ в) │ х ² - 6х+9 │ в) │ х ²+х+2 │ в) √3 - 2√2 - √2 Приложение 2 АНКЕТА 10класс ____Ф.И._____________________________________ Ответьте на вопросы, выбрав ответ из предложенных или добавьте свой. 1. Работа с понятием модуль : а) понравилась; б) не очень понравилась; в) не понравилась; г)_______________________________________ 2. Работа оказалась: а) простой; б) не очень сложной; в) сложной; г)___________________________ ___________ 3. Самым сложным оказалось: а) ориентироваться в понятии модуль ; б) выполнять задания; в) построить логич е- скую цепочку рассуждений; г)______________________________________ 4. В дальнейшем работать с модул ем хочется: а) часто; б) не очень часто; в) редко; г)______________________________________ 6. Какие эмоции сопровождали при работе с модулем: а) радость; б) раздражение; в) досада; г) обида; д) гнев; е)______________________________________