Развитие логического мышления младших школьников через решение нестандартных задач

Развитие логического мышления младших школьников через решение нестандартных задач
Доклад (обобщение педагогического опыта) 1 – 4 класс
Выполнила: Прозорова Татьяна Васильевна, учитель начальных классов Муниципального казенного общеобразовательного учреждения средней общеобразовательной школы с углубленным изучением отдельных предметов № 7 г. Кирово – Чепецка Кировской области
Каждый учитель начальных классов хочет, чтобы его дети учились увлеченно, с интересом, на уроках математики научились не только считать, но и думать, чтобы по окончанию начальной школы у них было развито логическое мышление. Актуальна ли эта проблема на современном этапе? Несомненно. Без достаточно высокого уровня развития мышления невозможно дальнейшее качественное образование. Решение задач в начальной школе имеет центральное эначение для развития логического мышления учащихся. Через решение задач дети знакомятся с различными сторонами жизни, с зависимостями между изменяющимися величинами, решение задач связано с рассуждениями, с построением цели. Но решение одних лишь типовых задач обедняет личность ребенка, поскольку в этом случае высокая самооценка учащихся и оценка их способностей учителем зависит главным образом от прилежания и старательности и не учитывает появления ряда индивидуальных качеств, таких, как выдумка, сообразительность, способность к творческому поиску, анализу, синтезу. Я считаю, что активное введение в учебный процесс нестандартных задач, специфически направленных на развитие мышления, памяти, внимания, воображения и других важных психических функций является одной из важных задач учителя. Привыкая к выполнению стандартных типовых заданий, направленных на закрепление базовых навыков, которые имеют, как правило, единственный ответ, который заранее предопределен на основе некоторого алгоритма, дети практически не имеют возможности действовать самостоятельно, эффективно использовать собственный интеллектуальный потенциал. Но возникла проблема: лишь немногие дети хотят решать трудные задачи. Одной из причин нежелания решать такие задачи, я считаю неумение их решать. Необходимо вооружить младших школьников « инструментом «, с помощью которого они справятся с задачей, развить их логическое мышление. Понимая значимость этих проблем, я стала искать ответы на следующие вопросы: как помочь ребенку научиться решать задачи, как увлечь его математикой, как создать ситуацию успеха, как развить его логическое мышление.
Для достижения этих задач были использованы следующие приемы:
Создание ситуации занимательности (задачи в стихах, дидактические игры, задачи на смекалку)
Создание ситуации успеха в обучении
Создание ситуации выбора
Использование элементов личностно-развивающего обучения (проблемно-поисковый подход )Активное включение в урок и внеклассные занятия нестандартных задач.
Эффективность обучения младших школьников решению нестандартных задач зависит от нескольких условий. Во-первых, задачи следует вводить в процесс обучения в определенной системе с постепенным нарастанием сложности, так как непосильная задача мало повлияет на развитие учащихся. Во-вторых, необходимо предоставлять ученикам максимальную самостоятельность в поиске решения задачи, давать возможность пройти до конца по неверному пути, убедиться в ошибке, вернуться к началу и искать другой , верный путь решения. В-третьих, нужно помочь учащимся осознать некоторые способы, приемы, общие подходы к решению нестандартных задач.
Обучение младших школьников решению нестандартных задач можно разделить на два этапа. На первом этапе проводится специальная работа по выводу и осмыслению общих подходов к решению таких задач. При этом важно, чтобы ученики уже освоили процесс решения любой задачи ( читаю, выделяю, что известно и что надо узнать, и т.д.), познакомились с приемами работы на каждом этапе решения задачи. На втором этапе учащиеся применяют ранее сформулированные общие приемы в ходе самостоятельного поиска решения конкретных задач.
Представляю систему работы на первом этапе. Первая задача определенного вида решается под руководством учителя ( чаще она более сложная, чем другие задачи серии ), она служит для выведения приема или способа, который помогает решить задачу. На следующих задачах дети упражняются в применении приема, который они сформулировали.
Вид 1.
Задачи первого вида позволяют сформулировать первую рекомендацию для учащихся при решении нестандартных задач: для того, чтобы решить задачу, бывает полезно построить к ней рисунок или чертеж.
.Задача 1. Бревно длиной 12 метров распилили на 6 равных частей. Сколько распилов сделали?
После чтения задачи ученикам предлагается ответить на вопрос: Решали они задачи такого вида и известен ли им способ решения таких задач? Возможно некоторые ученики ошибочно будут считать, что знают, как решить задачу: «Надо 12 метров разделить на 6 равных частей.» Учитель должен дать возможность найти результат, оценить его и убедиться в ошибке. ( Разделив 12 на 6 , мы узнали, что длина одной части равна 2 метрам. Но в задаче спрашивается не какова длина одной части, а сколько сделали распилов? Следовательно, задача решена неправильно.) Затем ученики могут вновь прийти к ошибочному заключению: « Сколько частей, столько и распилов». Учитель предлагает проверить найденный ответ, сделав условный чертеж. Ученики обозначают бревно отрезком длиной 12 клеточек, делят его вертикальными засечками на 6 равных частей. Подсчитав число полученных засечек (распилов ), они убеждаются , что их 5. а не 6, как они считали раньше. Эту задачу решили, не выполняя арифметических действий. Ответ получили, построив чертеж ( рисунок ). Под ним ученики записывают ответ задачи. Таким образом, учащиеся приходят к следующему выводу: при поиске решения незнакомой задачи полезно сделать чертеж или рисунок, так как работа с чертежом или рисунком может являться способом решения задачи. Решение задач этого вида будет способствовать подтверждению вывода, сделанного при решении первой задачи. (см. Приложение 1)
Вид 2.
Решая следующие задачи, можно подвести учащихся к мысли о том, что в некоторых случаях часть данных целесообразно найти с помощью графических изображений (рисунков, чертежей), а часть – с помощью арифметических действий.
Задача 2. Ширина занавески для окна равна 1м 20см. Надо пришить 6 колец на одинаковом расстоянии друг от друга ( первое и последнее кольца должны располагаться по краям занавески). Сколько см надо оставлять между кольцами?
Следуя ранее выведенной рекомендации, ученики начинают делать схематический чертеж к данной задаче. Они показывают засечкой первое кольцо, откладывают отрезок любой выбранной длины, ставят вторую засечку, откладывают отрезок такой же длины, как первый, ставят третью засечку и так действуют до тех пор, пока не поставят 6 засечек. По полученному схематическому чертежу подсчитывают число равных частей, на которые 6 колец разделят занавеску. Для того, чтобы ответить на вопрос задачи, остается разделить всю ширину занавески на 5 равных частей: 120/ 5 = 24 (см). Такая же идея используется учениками при самостоятельном решении следующих задач этого вида. ( см. Приложение 2.)
Вид 3.
Следует показать учащимся, что иногда в процессе решения задачи нужно делать дополнительные построения или перестраивать чертежи с учетом найденных чисел. Это можно сделать при решении следующей задачи.
Задача 3. Муравей находится на дне колодца глубиной 30м. За день он поднимается на 18 м, а за ночь сползает вниз на 12 м. Сколько дней нужно муравью, чтобы выбраться из колодца?
Самостоятельно решая эту задачу, учащиеся могут сделать следующий чертеж (рис. 1) и неверно решить задачу:
1). 18 – 12 = 6 ( м ) – поднимается муравей за сутки.
2). 30 / 6 = 5 ( сут. ) – потребуется муравью, чтобы выбраться из колодца.
Рис. 1
Учитель предлагает: а) проверить решение, показав на отдельных чертежах положение муравья каждый день; б) в ходе решения подсчитывать, сколько метров остается муравью, чтобы выбраться из колодца? ( рис. 2)
Рис. 2
Таким образом, ученики видят, что в третий день муравей поднимется на 18 м и выберется из колодца. Значит, сначала ученики решили задачу неправильно. А найти верный ответ им помогло последовательное построение нескольких чертежей, отражающих те изменения, которые происходят в реальной ситуации, описываемой в задаче. В следующих задачах закрепляется выведенный прием решения. (см. Приложение 3)
Вид 4.
Задачи четвертого вида позволяют вывести следующую рекомендацию для учащихся при решении нестандартных задач: для того, чтобы решить задачу, бывает нужно ввести вспомогательный элемент ( часть ).
Задача 4. Разложи 45 шариков в 4 коробки так, что если число шариков в третьей коробке увеличить в 2 раза, а в четвертой уменьшить в 2 раза, а в первой и второй оставить без изменения, то в каждой коробке будет одинаковое число шариков.
Сначала учащиеся выполняют первый схематический чертеж (рис.3). Анализируя чертеж, ученики замечают, что в нем есть отрезки одинаковой длины, но не все. Учитель предлагает дорисовать чертеж, чтобы все отрезки состояли из одинаковых частей (рис.4).

Рис. 3

Рис. 4
Затем сообщает, что в таких случаях можно ввести вспомогательный элемент - часть. Примем число шариков в третьей коробке за 1 часть, тогда число шариков в четвертой коробке составляет 4 части, в первой – 2 части, во второй – 2 части. Затем выполняется арифметическое решение:
1).2+2+1+4=9(ч) – составляют 45 шариков.
2).45 : 9 = 5( ш.) – содержится в 1 части или в третьей коробке.
3). 5 х 2 = 10( ш. ) – число шариков в первой или второй коробке.
4). 5х 4 = 20(ш.) – число шариков в четвертой коробке.
В процессе поиска решения данной задачи использовали несколько приемов: строили и достраивали чертеж, вводили вспомогательный элемент. Его удобно ввести, когда на чертеже получены отрезки одинаковой длины. В следующих задачах ученики будут упражняться в решении задач с помощью вспомогательного элемента. (см. Приложение 4)
Вид 5.
В задачах 5 вида еще одна рекомендация для учащихся при решении нестандартных задач: в поиске ответа на вопрос задачи можно использовать способ подбора.
Задача 5. Сумма четырех одинаковых чисел равна 13. Наименьшее из этих чисел на 5 меньше наибольшего. Найди эти числа.
Сначала ученики выполняют чертеж (рис. 5).

Рис. 5
Затем учащиеся пытаются преобразовать чертеж, чтобы получить одинаковые числа, как они это делали в предыдущих задачах. Ученики приходят к выводу, что этого сделать нельзя, так как в условии ничего не говорится о числовых отношениях между вторым и третьим числом. Встает проблема: можно ли решить эту задачу? Может быть, в ней не хватает данных?
Учитель предлагает использовать для решения этой задачи способ подбора. Рассуждения удобнее начать с наименьшего из чисел.
-Пробуем число 0. Тогда получаем: 0+++5=13. Подберем пропущенные числа. Их сумма равна 13 - 5 -0=8. Эти числа должны быть разными и быть больше 0, но меньше 5. Между 0 и 5 идут числа 1, 2, 3, 4. Среди них нельзя выбрать два разных числа, дающих в сумме 8. Значит, число 0 не подходит.
-Пробуем число 1. Тогда получаем: 1 +++ 6=13. Подбираем пропущенные числа. Их сумма равна: 13 – 1 – 6 = 6.Между числами 1 и 6 стоят числа 2, 3, 4, 5. Среди них выбираем два, дающих в сумме 6. Это числа 2 и 4. Проверяем, правильно ли мы нашли четыре числа. Для этого складываем их: 1 + 2 + 4 + 6 = 13. Получили сумму, данную в задаче. Другие условия тоже соблюдены: числа различные, наименьшее из этих чисел 1, оно на 5 меньше наибольшего числа 6.
-Получив один ответ, нужно проверить, нет ли других вариантов ответа. Для этого пробуем число 2. Тогда получаем: 2+++7=13 Подбираем пропущенные числа. Их сумма равна 4. Среди чисел 3, 4, 5, 6 нельзя выбрать два числа, дающих в сумме 4.Можно проверить число 3 таким же образом. Числа, начиная с 4, проверять не нужно, так как сумма двух чисел получается равной или больше. Получаем ответ задачи: числа 1, 2, 4, 6.
В итоге важно подчеркнуть, что задачу решили, подбирая нужные числа. Делали это так: последовательно рассматривали различные возможные варианты и выбрали те, которые соответствуют всем условиям задачи. Чертеж помогал выделить эти условия из текста задачи. В некоторых случаях перебор удобно начинать не с наименьшего, а с наибольшего возможного числа. Иногда, оценив полученный результат, можно пропустить некоторые числа. Этот способ удобно использовать, когда число возможных вариантов небольшое. При решении следующих задач ученики упражняются в применении способа подбора.
(см. Приложение 5)
Вид 6.
В задачах 6 вида выводится следующая рекомендация при решении нестандартных задач: полезно переформулировать задачу, т. е. сказать ее другими словами, чтобы она стала знакомой и понятной.
Задача 6 Число яблок в корзине двузначное. Эти яблоки можно раздать поровну 2, 3 или 5 детям, но нельзя раздать поровну 4 детям. Сколько яблок в корзине? ( Укажите наименьшее двузначное число )
Сначала ученики пытаются сделать рисунок или чертеж к задаче, но испытывают затруднения, так как на чертеже трудно показать, что нельзя раздать яблоки поровну 4 детям, следовательно, непонятно, как использовать чертеж для решения задачи. Тогда ученики начинают применять способ подбора. Учитель предлагает сначала изменить формулировку задачи, чтобы легче было выполнить перебор. Выясняется, что если яблоки можно раздать поровну 4, 3 и 5 детям, значит, число яблок делится на 2, 3 и 5 . Если яблоки нельзя раздать 4 детям поровну, значит, число яблок не делится на 4. Задачу переформулируют следующим образом: « Найди наименьшее двузначное число, которое делится на 2, 3, 5 и не делится на 4».
Далее выполняется перебор. Ученики проверяют наименьшее двузначное число 10. Оно делится на 2 и 5, но не делится на 3, значит, число 10 не подходит. Перебор можно сократить, не рассматривать все числа подряд, а проверять только те числа, которые делятся на 5.Число 15 не подходит, так как не делится на 2. Так ученики доходят до числа 30, которое делится на 2, 3, 5, но не делится на 4. Значит, в корзине 30 яблок.
В следующих задачах используется прием переформулирования задачи, а затем ученики решают задачу известными способами.
(см. Приложение 6)
Вид 7.
В задачах 7 вида выводится следующая рекомендация при решении нестандартных задач: условие или вопрос задачи можно разделить на части и решить задачу по частям.
Задача 7. В два автобуса сели 123 экскурсанта. Затем из одного автобуса вышли 8 человек. Трое из них сели в другой автобус, а остальные поехали на машине. После этого в автобусах стало пассажиров поровну. Сколько пассажиров было в каждом автобусе сначала?
Учитель предлагает решить эту задачу, разбив ее на части, чтобы облегчить решение. Ученики читают первые три предложения из текста задачи и думают, что по этим данным можно узнать.
1). 8 – 5 = 3 ( чел. ) – поехали на машине.
2). 123 – 5 = 118 ( чел. ) – остались в каждом автобусе.
3).118 : 2 = 59 ( чел. ) – стало в каждом автобусе.
Чтобы легче было решить задачу, ученики формулируют вторую часть: « Из одного автобуса вышли 8 человек, и в нем осталось 59 человек. В другой автобус сели 3 человека, и в нем стало 59 человек. Сколько человек было в каждом автобусе сначала? « - и заканчивают решение:
4). 59 + 8 = 67 (чел. ) – было в первом автобусе.
5). 59 – 3 = 56 ( чел.) – было во втором автобусе.
В следующих задачах также можно использовать прием разбиения задачи на части. (см. Приложение 7 )
Вид 8 .
С помощью задач восьмого вида можно вывести следующую рекомендацию при решении нестандартных задач: решать задачу можно, начиная с конца.
Задача 8. Мать троих сыновей оставила утром тарелку слив. Первым проснулся старший сын, съел третью часть слив и ушел. Вторым проснулся средний сын, он съел третью часть того, что было на тарелке, и ушел. Позже всех встал младший сын. Он съел также третью часть слив. После этого на тарелке осталось 8 слив. Сколько слив мать утром положила на тарелку?
Учитель предлагает начать решение задачи с конца, так как известно, сколько слив осталось в конце, когда три брата съели сливы. Из чертежа видно, что 8 слив – это 2\3 всех слив, которые были в тарелке, когда встал младший сын. Найдем их: 8/2*3=12(сл.) Подпишем это число на втором отрезке . Из чертежа видно, что 12 слив – это 2\3 всех слив, которые были в тарелке, когда встал средний сын. Найдем их: 12:2*3=27(сл.). Делается вывод о том, что, решая задачи с конца, последовательно пришли к тому, что было в самом начале. В следующих задачах ученики упражняются в решении задач с конца. ( Приложение 8 )Сформулированные рекомендации по решению нестандартных задач объединяются в следующей памятке.
Памятка.
Если тебе трудно решить задачу, то попробуй:
сделать к задаче рисунок или чертеж; подумай, может быть, нужно сделать на них дополнительные построения или изменить чертеж в процессе решения задачи;
ввести вспомогательный злемент (часть);
использовать для решения задачи способ подбора;
переформулировать задачу другими словами, чтобы она была более понятной и знакомой;
разделить условие или вопрос задачи на части и решить ее по частям;
начать решение задачи с конца.
Важно объяснить детям, что данная памятка носит рекомендательный характер. Необязательно применять их в той последовательности, как они записаны в памятке, необязательно выполнять все рекомендации при решении одной задачи, можно комбинировать их в разных сочетаниях. В этом суть творческого процесса решения нестандартных задач. Можно показать это учащимся при совместном решении нескольких задач. После работы, проведенной на первом этапе, можно перейти ко второму этапу, на котором учащиеся самостоятельно решают нестандартные задачи. ( см Приложение 9 )
Организация различных форм работы с нестандартными задачами
Наибольший эффект развития логического мышления может быть достигнут в результате применения различных форм работы над задачей:
Работа над решенной задачей. ( Многие учащиеся только после повторного анализа осознают план решения задачи. Это путь к выработке прочных знаний по математике. Конечно, повторение анализа требует времени, но оно окупается.
Решение задач различными способами. Мало уделяется внимания решению задач разными способами в основном из – за нехватки времени. А ведь это свидетельствует о достаточно высоком математическом развитии. Кроме того, привычка нахождения другого способа решения сыграет большую роль в будущем. Но я считаю, что это доступно не всем учащимся, а лишь тем, кто любит математику, имеет особые математические способности.
Самостоятельное составление задач учащимися: по данному ее плану, действиям и ответу; решаемую в 1, 2, 3 действия; по выражению и т. д. Изменение вопроса задачи.
Составление различных выражений по данным задачам и объяснение, что обозначает то или иное выражение. Выбрать те выражения, которые являются ответом на вопрос задачи.
Объяснение готового решения задачи.
Использование приема сравнения задач и их решений.
Выбор верного решения из нескольких предложенных.
Составление аналогичной задачи с измененными данными.
Решение обратных задач
Закончить решение задачи.
Решение задач с недостающими или лишними данными.
Использование различных видов задач.
С целью повышения интереса к математике использовала различные виды задач. Это логические задачи, комбинаторные, с геометрическим содержанием, задачи – шутки, рассказы – головоломки, сказки – загадки, игры. Для их решения, как правило, не требуется большого запаса математических знаний, но они почти всегда носят занимательный характер и этим привлекают даже тех, кто не любит математики. И, главное, их решение развивает логическое мышление, что способствует не только лучшему усвоению математики, но и успешному изучению основ любой другой науки.
Комбинаторные задачи – задачи, в которых одно расположение элементов необходимо преобразовать в другое за требуемое количество действий при соблюдении определенных правил преобразования.
-У Васи на куртке три кармана. Каким числом способов он может положить в эти карманы 2 одинаковые монеты?
Задачи с геометрическим содержанием.
Из всего разнообразия головоломок наиболее приемлемы в младшем школьном возрасте головоломки с палочками. Их называют задачами на смекалку геометрического характера, так как в ходе решения , как правило, идет трансфигурация, преобразование одних фигур в другие, а не только изменение их количества. Задачи на смекалку различны по степени сложности, характеру преобразования. Их нельзя решать каким-либо усвоенным ранее способом. В ходе решения каждой новой задачи ребенок включается в активную умственную деятельность, стремясь достичь конечной цели – видоизменить или построить пространственную фигуру.
Задачи на составление заданной фигуры из определенного количества палочек.
-Составить 2 равных квадрата из 7 палочек.
-Составить 2 равных треугольника из 5 палочек
В начальный период обучения детей решению простых задач на смекалку они самостоятельно, в основном практически действуя с палочками, ищут путь решения. Для развития у детей умения планировать ход мысли предлагаю им высказывать предварительные суждения или действовать и рассуждать одновременно, объясняя способ и путь решения.
Задачи на изменение фигур, для решения которых надо убрать указанное количество палочек.
-В фигуре, состоящей из 6 квадратов, убрать 2 палочки, чтобы осталось 4 равных квадрата.
Процесс решения задач второй группы гораздо сложнее, нежели первой группы. Нужно запомнить и осмыслить характер преобразования и результат ( какие фигуры должны получиться и сколько ) и постоянно в ходе поисков решения соотносить его с предполагаемыми или уже осуществленными изменениями. Необходим зрительный и мыслительный анализ задачи , умение представить изменения в фигуре.
Задачи на смекалку, решение которых состоит в перекладывании палочек с целью видоизменения, преобразования данной фигуры.
-Переложить одну палочку, чтобы домик был повернут в другую сторону.
Особое место среди головоломок занимают игры на составление плоскостных изображений предметов: животных, птиц, домов, кораблей из специальных наборов геометрических фигур.
Игра – головоломка Танграм.
Последовательные этапы освоения игры:
Первый этап – ознакомление с набором фигур к игре, преобразование их с целью составления из двух – трех имеющихся новой.
Второй этап – составление фигур – силуэтов по расчлененным образцам.
Третий этап – воссоздание фигур по образцам контурного характера.
Четвертый этап – составление фигур - силуэтов из 2- 3 одинаковых наборов фигур по образцам и по собственному замыслу.
Для повышения интереса к предмету использовала задачи – шутки. Их очень любят дети.
-Пара лошадей пробежала 20 км. Сколько километров пробежала каждая лошадь?
-Одно яйцо можно сварить за 5 минут. За какое время можно сварить 3 яйца?
Нравятся детям рассказы – головоломки.
Сколько лет моей бабушке?
Петя пришел к своему приятелю Коле.
-Что же ты не был у нас вчера? – спросил Коля. –Ведь вчера моя бабушка праздновала день своего рождения.
-Я не знал, - сказал Петя. – А, кстати, сколько лет твоей бабушке?
Коля ответил замысловато:
-Моя бабушка говорит, что в ее жизни не было такого случая, чтобы не справляли ее день рождения. Вчера она праздновала этот день в 15 раз Вот и сообрази, сколько лет моей бабушке?
Попробуйте и вы ответить на этот вопрос, да скажите, кстати, какого числа и в каком месяце происходил разговор между приятелями.
Часто использую сказки – загадки.
, Пять лепешек.
Один человек ежедневно покупал 5 лепешек. Как-то приятель спросил его , что он с ними делает. И вот что он ему ответил: -Одну лепешку съедаю сам, двумя долг отдаю, а две в долг даю.
Систематическая и целенаправленная работа по формированию у учащихся рассмотренных умений будет содействовать развитию их мышления. Главная цель задач – развить творческое и математическое мышление учащихся, заинтересовать их математикой, привести к «открытию» математических фактов.
Таким образом, готовность школьников к решению нестандартных задач предполагает сформированность:
основных мыслительных операций: анализ, синтез, сравнение, обобщение, аналогия;
умения устанавливать причинно-следственные связи и раскрывать функциональную зависимость между величинами, входящими в условия задачи;
умения абстрагироваться от несущественного в задаче;
умения переводить текстовые ситуации в схематические модели; умения применять найденные средства , методы и способы решения.
Список используемой литературы
Выготский Л. С. Педагогическая психология.- М., 1990.
Сухомлинский В. А. Избранные педагогические сочинения.- Педагогика 1981.
Зак А. З. Развитие умственных способностей младших школьников.- М..1999.
Пойа Ж. Как решать задачу.- М.. 1965.
Фридман Л. Н., Турецкий Л. Н. Как научиться решать задачи.- М.,1989.
Липина И Н. Развитие логического мышления на уроках математики.- Начальная школа.- 1999.- № 8. С.37 – 39
Салмина Н.Г., Сохина В.П. Обучение математике в начальных классах.- М 1975.
Останина Е.Е. Обучение младших школьников решению нестандартных арифметических задач. Начальная школа. 2004. № 7.
Левитас Г.Г. Нестандартные задачи в курсе математики начальной школы Начальная школа.-2001. № 5
Керова Г. В. Нестандартные задачи по математике. Вако.2006.
Холодова О.А. Юным умникам и умницам. Рабочие тетради 1. 2, 3, 4 класс.
Кордемский Б. А. Математическая смекалка.- М. 1965.
Приложение 1

Лестница состоит из 9 ступенек. На какую ступеньку надо встать, чтобы оказаться на середине лестницы? ( На пятую ступеньку )Маша и Петя встретились в вагоне электропоезда. Маша всегда садится в пятый вагон от начала поезда, а Петя в пятый вагон от конца поезда. Сколько вагонов в поезде?
( 9 вагонов )-Вдоль одной стороны огорода надо поставить изгородь. Длина огорода 10 метров. Сколько потребуется столбов на расстоянии 2 метра друг от друга? ( 6 столбов )
-3 одинаковые ватрушки надо разделить поровну между 4 детьми. Как это сделать, выполнив наименьшее число разрезов? ( 2 ватрушки разрезать пополам, а третью - на 4 части )
-Два путешественника подошли к реке. У берега стояла лодка. Лодка вмещала только одного человека .И тем не менее путешественники смогли переправиться на этой лодке через реку и продолжить свой путь. Как это могло произойти? ( Это могло произойти в том случае, если путешественники подошли к разным берегам реки )-Вдоль дороги поставили 4 новых столба. Расстояние между двумя соседними столбами 5 метров. На каком расстоянии один от другого находятся крайние столбы? ( 15 метров )
-Врач прописал Буратино три таблетки и велел принимать их по одной через каждые 20 минут. На какое время Буратино хватит этих таблеток? ( на 40 минут )
-Вдоль дороги расположены 5 домов. Расстояние между каждыми двумя соседними домами равно 10 метров. Возле какого дома надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от колодца до домов была как можно меньшею. Чему равно это расстояние? ( возле 3 дома, 20 метров )
Приложение 2
-Вдоль беговой дорожки через одинаковое расстояние вкопаны столбы. Старт дан у 1 столба. Через 12 минут бегун был у 4 столба. Через сколько минут от начала старта бегун будет у7 столба, если он бежит с одинаковой скоростью? ( Через 24 минуты )-Имеются бревна длиной 4 метра и 5 метров одинаковой толщины. Бревно перепиливается за 1 минуту. Надо напилить 60 бревен длиной 1 метр. Можно пилить только 4-метровые или 5-метровые бревна. Какие бревна надо пилить, чтобы работу закончить раньше? Сколько времени тогда можно сэкономить? ( Надо пилить 4-метровые бревна, можно сэкономить 3 минуты)
-После пятого урока мы отправились на экскурсию в парк и вернулись обратно через 55 минут. На дорогу от школы до парка ушло 7 минут, а на обратную дорогу на 5 минут больше. На сколько минут время, проведенное в парке, больше, чем время на дорогу туда и обратно? ( На 17 минут )Приложение 3
Дети едут на экскурсию в трех автобусах. Во второй автобус село на 5 человек больше, чем в первый, а в третий – на 7 человек меньше, чем во второй. Сколько детей из второго автобуса должно пересесть, чтобы в каждом автобусе стало детей поровну? ( В первый автобус – 1 человек, в третий – 3 человека )10 слив имеют такую же массу, как 3 яблока и 1 груша, а 2 сливы и1 яблоко – как 1 груша. Сколько слив нужно взять, чтобы их масса была равна массе 1 груши? ( 4 сливы )
Гусеница взбиралась на дерево высотой 14 метров. За день она поднималась на 5 метров, а за ночь сползала на 2 метра. За сколько дней гусеница доползла до вершины дерева ( За 5 дней )
Валя, Толя и папа отправились в поход. К вечеру они вышли к реке, тихой и неглубокой. У берега был плот, выдерживающий груз менее 100кг. Масса папы 80 кг, Вали – 50 кг, Толи – 40 кг, рюкзака – 15 кг. Толя на противоположном берегу прежде всего должен набрать хворосту и приготовить место для костра. Затем Валя – почистить картошку и рыбу для ухи, папа – поставить палатку для ночлега.
Для выполнения каждого из дел требуется 20 минут. Через реку можно переправиться за 10 минут. Как менее чем за 1 час всем троим переправиться через реку и заодно выполнить все свои обязанности? Ведь через 1 час будет темно, надо будет разжечь костер.
Миша был на рыбалке. До реки он шел пешком, а обратно ехал на велосипеде. На весь путь он затратил 40 минут. В следующий раз он до реки и обратно ехал на велосипеде и затратил всего 20 минут. Сколько времени понадобится Мише, чтобы пройти весь путь в оба конца пешком? ( 1 час )
Приложение 4.
Веревку разрезали на 2 куска так, что один кусок оказался в 4 раза длиннее другого. Чему равна длина веревки, если один кусок длиннее другого на 18 см? ( 30 см )
Одного крестьянина спросили, сколько у него денег? Он ответил: Мой брат втрое богаче меня, отец втрое богаче брата, дед втрое богаче отца, а у всех у нас ровно 100 000 рублей. Узнайте, сколько у меня денег. ( 2500 рублей )
На складе имеются конфеты трех видов: ириски, карамель и шоколадные. Все ириски можно уложить в три пакета по 4 кг в каждый. Ирисок и карамели вместе на 14 кг больше, чем шоколадных и ирисок. А шоколадных больше, чем ирисок, на 23 кг. Сколько всего конфет на складе? (96 кг )В коробке лежит 12 карандашей. Цветных карандашей в ней в 5 раз больше, чем простых. Сколько простых и сколько цветных карандашей лежит в коробке? (2 простых и 10 цветных карандашей )Один мальчик беседовал в парке со старушкой:
-Бабушка, сколько лет вашему внуку?
-Ему, милый, столько месяцев, сколько мне лет.
-Сколько же вам лет?
-Мне с внуком вместе 91 год. А уж сколько внуку, сосчитай сам.
Сколько внуку лет? ( 7 лет внуку, 84 года бабушке )
Приложение 5.
Сумма трех разных двузначных чисел равна 34. Какие это числа? (10, 11, 13 )Трое ребят были на рыбалке. Вместе они поймали 14 рыб. Андрей поймал меньше всего рыб. Дима поймал в 3 раза больше рыб, чем Вова. Сколько рыб поймал каждый мальчик? ( Вова поймал 3 рыбы, Дима поймал 9 рыб, Андрей поймал 2 рыбы )Внучке, маме и бабушке вместе 114 лет. Сколько лет в отдельности внучке, маме и бабушке, если возраст каждой выражается двузначным числом, оканчивающимся одной и той же цифрой? ( Внучке 18 лет, маме 38 лет, бабушке 58 лет )Антон, Сидор, Алена и Валя поймали всего 10 рыбок, причем каждый из них поймал разное количество рыбок. Алена поймала больше всех, а Валя поймала меньше всех. Кто поймал больше рыбок: мальчики или девочки? ( поровну: девочки – 4 и 1, а мальчики – 3 и 2 )
У котенка на лапе 5 когтей, а у цыпленка – 4.В нашем дворе гуляют 10 котят и цыплят, а всего у них когтей 104. Сколько во дворе котят? Сколько во дворе цыплят ? ( 2 котенка, 8 цыплят )
Приложение 6.
Если конфеты раскладывать по 2, 3. 4., то всегда остается 1 лишняя конфета. А если их раскладывать по 5, то лишних конфет нет. Сколько конфет, если их меньше 50? ( 25 конфет)
В детском саду 100 детей. Для каждого ребенка купили альбом , краски, кисточку. Продавец выписал чек на сумму 3 750 рублей. Докажи, что при подсчете общей стоимости покупки допущена ошибка, если цены предметов выражались целым числом рублей. (Для нахождения общей стоимости цену набора надо умножить на 100, поэтому в результате должно получиться число, оканчивающееся двумя нулями, а число 3 750 рублей оканчивается одним нулем. )Сколько досок по три метра каждая потребуется для того, чтобы построить песочницу квадратной формы, если длина одной стороны песочницы 15 дм? ( 2 доски )
Масса батона и одной пачки сахара больше, чем масса батона и конфет. Что по массе больше: сахар или конфеты? ( сахар )
Кот Матроскин наловил рыбок трех видов: ершей, пескарей и окуней. Всего он поймал 14 рыбок, ершей оказалось на 10 больше, чем пескарей. Сколько рыбок каждого вида поймал Матроскин? ( 11 ершей, 1 пескаря, 2 окуня. )
Приложение 7.
На двух кустах сидели 16 воробьев. Со второго куста улетели 2 воробья, а затем с первого куста на второй перелетели 5 воробьев. После этого на каждом кусте оказалось одно и тоже число воробьев. Сколько воробьев было вначале на каждом кусте? ( 12 и 4 воробья )
Три подружки договорились купить к праздничному столу 12 пирожных. Первая купила 5 штук, вторая – 7, а третья вместо своей доли пирожных внесла 12 рублей. Как подружки должны разделить между собой эти деньги, если все пирожные были по одинаковой цене? ( Первая - 3 рубля, вторая – 9 рублей )На трех деревьях уселись 36 галок. Когда с первого дерева перелетели на второе 6 галок, а со второго перелетели на третье 4 галки, то на всех трех деревьях галок оказалось поровну. Сколько галок первоначально сидело на каждом дереве? (18, 10, 8 галок )Витя решил маме на день рождения подарить цветы. Если бы он купил 3 тюльпана, то у него осталось бы 6 рублей, а если бы он захотел купить 5 тюльпанов, то ему не хватило бы 18 рублей. Сколько денег было у Вити? (42 рубля)
На двух полках стояло 49 книг. Когда с верхней полки сняли 7 книг, то на обеих полках стало книг поровну. Сколько книг стояло на полках первоначально? ( 21 книга на нижней полке и 28 книг на верхней полке )
Приложение 8.
Мальчик задумал число. Умножил его на 3, из полученного произведения вычел 10, затем к полученному результату прибавил 16. У него получилось 21. Какое число задумал мальчик? ( 5 )
Девочка начертила четыре отрезка. Каждый следующий отрезок она делала на 2 см длиннее предыдущего. Найди длину первого отрезка, если длина четвертого отрезка равна 12 см. (6 см )У моста через реку встретились лодырь и волшебник. Лодырь стал жаловаться на свою бедность. В ответ волшебник предложил: Каждый раз, как ты перейдешь этот мост, деньги у тебя удвоятся. Но каждый раз, перейдя мост, ты должен будешь отдать мне 24 копейки. Согласен?» Три раза переходил лодырь по мосту. А когда посмотрел в кошелек, там ничего не осталось. Сколько денег было у лодыря? (21 копейка )Торговка, сидя на рынке, соображала:» Если бы к моим яблокам прибавить половину их да еще десяток. То у меня была бы целая сотня!» Сколько яблок у нее было? (60 яблок )Если из утроенного неизвестного числа вычесть 8,полученное число уменьшить в 2 раза, затем прибавить 5. разделить на 10, то получится единица. Найдите неизвестное число. ( 6 )
Приложение 9.
В магазине расфасовали картофель в 16 пакетов по 5 кг и по 3 кг. Масса всех пакетов по 5 кг оказалась равной массе всех пакетов по3 кг. Сколько было пакетов по 5 кг и сколько было пакетов по 3 кг? ( 6 пакетов по5 кг и 10 пакетов по 3 кг )
Мама испекла пирожки. Утром она съела один пирожок, а половину всех остальных пирожков положила в корзинку Красной Шапочке, чтобы она их отнесла бабушке. По дороге Красная Шапочка съела 2 пирожка и третью часть оставшихся пирожков отдала Волку. Бабушке Красная Шапочка принесла 8 пирожков. Сколько пирожков испекла мама? ( 29 пирожков )
Периметр треугольника равен 18 см. первая сторона на 4 см короче второй, а вторая на 1 см короче третьей. Найди длину каждой стороны треугольника, если длины выражаются целым числом сантиметров. ( 3 см, 7 см, 8см )
У двоих мальчиков было вместе 8 груш. Когда один мальчик съел 1 грушу, а другой – 3 груши, груш стало поровну. Сколько груш было у каждого мальчика? ( 3 и 5 груш )
Имеется 6 шаров трех цветов. Желтых шаров больше, чем красных, и зеленых шаров больше, чем красных. Сколько шаров каждого цвета? (1 красный, 2 зеленых и3 желтых )Мальчик считал камушки, но потом забыл, сколько их было. Помнил только, что, когда считал парами, один камушек был лишним, когда считал по четыре – тоже один камушек был лишним. Когда считал по 5 – ни одного камушка лишнего не было. Сколько было камушков, если их было больше 10, но меньше 40? ( 25 камушков )
В трех клетках 8 кроликов. В первой столько , сколько во второй, а в третьей столько, сколько в первой и второй вместе. Сколько кроликов в каждой клетке? (2, 2 и 4 кролика)
За несколько одинаковых тетрадей заплатили 51 рубль. Сколько стоит одна тетрадь, если их купили больше 10, но меньше 50 ? ( 3 рубля )
В токарном цехе завода вытачивают детали из металлических заготовок. Из одной заготовки получается одна деталь. При изготовлении деталей получаются металлические стружки, которые переплавляются в новые заготовки. Из стружек, полученных при изготовлении четырех деталей, выплавляется одна заготовка. Сколько деталей можно сделать таким образом из 16 металлических заготовок? ( 21 деталь )
После того, как 3 человека съели по одинаковому кусочку торта прямоугольной формы, длина и ширина торта уменьшилась в 2 раза. На сколько еще человек хватит оставшегося торта, если все будут есть такие же кусочки, как и первые 3 человека? (На 1 человека )На площадке играли 7 девочек и 2 мальчика. Сумма возрастов всех играющих составила 80 лет. Все девочки были одногодки. Одинакового возраста были и мальчики. Когда в одну группу объединились 5 девочек, а в другую все остальные, то оказалось, что суммы числа лет играющих в одной группе и в другой группе стали равными. Какого возраста были играющие? ( Девочки – 8 лет, мальчики – 12 лет )