Конспект урока по элементам высшей математики Решение СЛАУ методом Крамера

Министерство образования Республики Башкортостан
Государственное профессиональное образовательное учреждение
Стерлитамакский многопрофильный профессиональный колледж
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УРОКА
«Решение системы линейных уравнений методом Крамера»
Преподаватель: Козлицкая М.А.
Стерлитамак, 2015
Дисциплина: Элементы высшей математики
Тема: Решение системы линейных уравнений методом КрамераЦель: Познакомить учащихся с условием параллельности прямой и плоскости.
Задачи:
Обучающие:
Применение условий параллельности прямой и плоскости на практике.
Развивающие:
Активировать мыслительную деятельность студентов;
Развивать интерес к математике.
Воспитательные:
Продолжить формировать у студентов внимательности, аккуратности, дисциплинированности, усидчивости, самостоятельности.
Тип урока: комбинированный
Форма урока: фронтальный, индивидуальный.
Техническо-материальная база:
Интерактивная доска (проецирующий экран);
Проектор;
Компьютер, входящий в локальную сеть с выходом в интернет;
Магнитно-маркерная доска;
Меловая доска.
Используемая литература:
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс/ Д.Т. письменный, – М.: Айрис-пресс, 2012.
Рябушко А.П. Индивидуальные задания по математике ч. 1 / А.П. Рябушко, – Минск: Выш.шк., 2013. [Электронная библиотечная система] http://znanium.com/bookread2.php?book=508859

Ход урока.
Организационный момент.
предварительная организация группы (проверка отсутствующих, организация внимания).
Актуализация знаний учащихся.
объявление темы и цели урока.
Формирование новых знаний.
Пусть нам требуется решить систему линейных уравнений видагде:
x1, x2, …, xn  чем являются? (неизвестные переменные)
 А ai j чем является в нашей системе линейных уравнений? (числовые коэффициенты)
 b1, b2, …, bn – это? (свободные члены.)
Мы говорим с вами о том. Что нам требуется решить СЛАУ, а что является решением? (Решением СЛАУ называется такой набор значений x1, x2, …, xn при которых все уравнения системы обращаются в тождества).
Мы можем данную систему записать матричным способом A∙X=B, где А – матрица числовых коэффициентов, X – вектор-столбец неизвестных, В – вектор-столбец свободных членов.

Будем считать, что матрица А – невырожденная, то есть, ее определитель отличен от нуля. В этом случае система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.
Умножив обе части уравнения A∙X=B слева на матрицу A-1, получим A-1∙A∙X=A-1∙B. Поскольку A-1∙A=E и E∙X=X, то X=A-1∙B.Отыскания решения системы по формуле X=A-1∙B называют матричным способом решения системы.
Матричное равенство X=A-1∙B запишем в виде:

то есть

Отсюда следует, что

Но A11b1+A21b2+…+An1bn есть разложение определителя

по элементам первого столбца. Определитель Δ1 получается из определителя Δ путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
Итак, x1=∆1∆.
Аналогично: x2=∆2∆, где Δ2 получен из Δ путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; x3=∆3∆,…, xn=∆n∆.
Формулы xi=∆i∆, i=1,n называют формулами Крамера.
Итак, невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестнвми имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом либо по формулам Крамера.
Запишем алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
Вычисляем определитель основной матрицы системы ∆=a12⋯a1na21⋯a2n……⋯a1n…ann и убеждаемся, что он отличен от нуля.
Находим определители
∆x1=b1a12b2a22……bnan2…a1n…a2n………ann ∆x1=a11b1a21b2……an1bn…a1n…a2n………ann ∆x1=a11a12a12a22……a1nan2…b1…b2………bn которые являются определителями матриц, полученных из матрицы А заменой k-ого столбца (k = 1, 2, …, n) на столбец свободных членов.
Вычисляем искомые неизвестные переменные x1, x2, …, xn по формулам  x1=∆1∆, x2=∆2∆, x3=∆3∆,…, xn=∆n∆Выполняем проверку результатов, подставляя x1, x2, …, xn в исходную СЛАУ. Все уравнения системы должны обратиться в тождества. Можно также вычислить произведение матриц A ⋅ X, если в результате получилась матрица, равная B, то решение системы найдено верно. В противном случае в ходе решения была допущена ошибка.
Теперь рассмотрим пример, который демонстрирует решение системы линейных уравнений по алгоритму, записанному выше:
Пример 1. Решить систему 2x-y=0x+3y=7 .
Вычислим определитель основной матрицы: ∆=2-113=2∙3--1∙1=7≠0.
Найдем определители, являются определителями матриц, полученных из основной матрицы заменой 1 и 2 столбца на столбец свободных членов:
∆1=0-173=0∙3--1∙7=7∆2=2017=2∙7-0∙1=14Вычислим искомые переменные:
x=∆1∆=77=1y=∆2∆=147=2Выполним проверку, подставляя найденные x и y в исходную СЛАУ:
2∙1-2=01+3∙2=7Решение было найдено верно.
Применение полученных знаний на практике.
Решить систему уравнений по формулам Крамера:
Подведение итогов.
Ответы, на интересующие вопросы учащихся по пройденной теме. Выставление оценок за работу на уроке.
Домашнее задание.
Рябушко А.П. Индивидуальные задания по математике ч. 1 / А.П. Рябушко, – Минск: Выш.шк., 2013. Стр. 43, пп 1.5-1.7