Практикум по элементам высшей математике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ
Государственное бюджетное профессиональное образовательное
учреждение Московской области «Ногинский колледж»
подразделение «Балашиха»







И.А. Каверина


Практикум по элементам высшей математики

















Балашиха
2016

Содержание

13 TOC \o "1-3" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc457297285" 14Глава 1. Теоретические сведения 13 PAGEREF _Toc457297285 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc457297286" 14Тема 1. Теория множеств 13 PAGEREF _Toc457297286 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc457297287" 141.1. Множества и операции над ними 13 PAGEREF _Toc457297287 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc457297288" 141.2. Числовые множества 13 PAGEREF _Toc457297288 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc457297289" 14Тема 2. Математический анализ 13 PAGEREF _Toc457297289 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc457297290" 142.1. Функции. Предел функции 13 PAGEREF _Toc457297290 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc457297291" 142.2. Непрерывность функции 13 PAGEREF _Toc457297291 \h 1491515
13 LINK \l "_Toc457297292" 142.3. Дифференциальное исчисление 13 PAGEREF _Toc457297292 \h 14111515
13 LINK \l "_Toc457297293" 142.4. Интегральное исчисление 13 PAGEREF _Toc457297293 \h 14151515
13 LINK \l "_Toc457297294" 14Тема 3. Элементы комбинаторики 13 PAGEREF _Toc457297294 \h 14181515
13 LINK \l "_Toc457297295" 14Тема 4. Элементы теории вероятностей 13 PAGEREF _Toc457297295 \h 14201515
13 LINK \l "_Toc457297296" 144.1. Случайные события 13 PAGEREF _Toc457297296 \h 14201515
13 LINK \l "_Toc457297297" 144.2. Случайные величины 13 PAGEREF _Toc457297297 \h 14211515
13 LINK \l "_Toc457297298" 14Глава 2. Самостоятельная работа 13 PAGEREF _Toc457297298 \h 14251515
13 LINK \l "_Toc457297299" 14Литература 13 PAGEREF _Toc457297299 \h 14341515
15



Глава 1. Теоретические сведения
Тема 1. Теория множеств
Множества и операции над ними
Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые и его можно определить как совокупность объектов объединенных по определенному признаку. Объекты, которые образуют множество, называются элементами этого множества. Множества обозначаются большими буквами А, В, С, а их элементы малыми а, b, с. Если элемент а принадлежит множеству А, то используется запись а(А, в противном случае пишут 13 EMBED Equation.3 1415.
Множество, содержащее конечное число элементов называется конечным, а множество, состоящее из бесконечного числа элементов, - бесконечным.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом (.
Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. А=В.
Если множество А состоит из части элементов множества В или совпадает с ним , то множество А называется подмножеством множества В и обозначается А(В. А(В – множество А не включено в множество В.
Пусть дано множество U. Мы будем рассматривать всевозможные подмножества данного множества U. Исходное множество U в таком случае называют универсальным множеством.
Множество задают либо перечислением его элементов, либо описанием свойств множества, которые четко определяют совокупность его элементов.
Например, множество 13 EMBED Equation.3 1415 равно 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, где N множество натуральных чисел.
Алгебраические операции над множествами и их свойства обычно излагаются с применением кругов Эйлера.
Пусть имеются два множества А и В.

Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.

Пересечением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е. С=13 EMBED Equation.3 1415.

Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, которое не принадлежит множеству В, т.е. С=А\В=13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 1. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.Найти: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Если объединение 13 EMBED Equation.3 1415 включает в себя все элементы, содержащиеся хотя бы в одном из множеств А или В, то 13 EMBED Equation.3 1415. Пересечение включает в себя только те элементы, которые содержатся в обоих множествах, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415. Разность множеств А и В равна А\В =13 EMBED Equation.3 1415, а В\А=13 EMBED Equation.3 1415. Очевидно, что А\В(В\А.

1.2. Числовые множества
Множества, элементами которого являются числа, называются числовыми множествами. Будем рассматривать: 13 EMBED Equation.3 1415 - натуральные числа; 13 EMBED Equation.3 1415 - целые числа; 13 EMBED Equation.3 1415 - рациональные числа; I – иррациональные числа (бесконечные десятичные непериодические дроби).
Множество R всех рациональных и иррациональных чисел называют множеством действительных чисел, т.е. R =Q(I . Таким образом, N(Z(Q(R, и I(R.
Между множеством действительных чисел и точками числовой оси существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой.
Множество точек х прямой, удовлетворяющих условию а ( х ( b называется замкнутым промежутком или отрезком и обозначается [a;b].
Множество точек х прямой, удовлетворяющих условию аМножество точек х прямой, удовлетворяющих неравенству а(хОкрестностью точки х0 называется любой интервал, содержащий эту точку:

Открытый интервал (а;b) служит окрестностью всякой принадлежащей ему точки.
(-окрестностью точки х0 называется интервал с центром в точке х0 длиной 2(, т.е. интервал (х0-(; х0+()=13 EMBED Equation.3 1415, где (>0:


Абсолютной величиной (или модулем ) действительного числа х называется само число х , если х неотрицательно, и противоположное число –х, если х отрицательно:
13 EMBED Equation.3 1415Очевидно, что 13 EMBED Equation.3 1415.Запишем основные свойства абсолютных величин:13 EMBED Equation.3 1415.
Абсолютная величина разности двух чисел 13 EMBED Equation.3 1415 означает расстояние между точками х и х0 числовой прямой, как для случая xx0. Поэтому (-окрестность можно записать в виде неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2. Для множеств 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 найти А(В, А(В, А\В.
Решение: Задачу решим графически и аналитически. Исходя из определения, получим
13 EMBED Equation.3 1415

Для конечных множеств А и В состоящих соответственно из числа элементов k(А) и k(В) имеет место следующее равенство 13 EMBED Equation.3 1415. Если 13 EMBED Equation.3 1415=( не пересекаются, то k(А(В)=0 и k(А(В)=k(А)+k(В).
Пример 3. На первом курсе обучаются 1500 курсантов. Известно, что 1050 курсантов изучают английский язык, 657 – немецкий, а 345 курсантов - оба языка, Сколько курсантов не изучают ни английского, ни немецкого языка.
Решение: А - множество курсантов изучающих английский язык, В – множество курсантов изучающих немецкий язык, а А(В – множество курсантов изучающих оба языка. Из условия задачи следует, что k(А)=1050, k(В)=657, k(А(В)=345. Найдем k(А(В) – число курсантов, изучающих хотя бы один из этих двух языков. 13 EMBED Equation.3 1415=1050+675-345=1380. Следовательно, не изучают ни английского, ни немецкого языка 1500-1380=120 курсантов.

Тема 2. Математический анализ
2.1. Функции. Предел функции
Переменная величина – это такая величина, которая в условиях изучения данного процесса может принимать различные значения. Постоянная величина – это та, которая в условиях изучения данного процесса остается неизменной.
Пусть Х и У –некоторые числовые множества. Если каждому элементу х(Х по некоторому закону (правилу) f поставлен в соответствие один элемент у(У, то говорят, что определена функциональная зависимость у от х по закону у=f(x), при этом х называют независимой переменной или аргументом, а у – зависимой переменной или функцией.
Если для множества значений х( Х определено множество значений у(х)(У , то это множество называют областью определения функции и обозначают D(у). Множество значений, принимаемых переменной у, называют областью изменения функции и обозначают Е(y). Символ f(a) обозначает то значение, которое функция у=f(x) принимает при х=а.
Область определения D(у) находится только по соблюдению законности выполнения математических операций, входящих в формулу (знаменатель дроби не может быть равен нулю, выражение под знаком корня четной степени должно быть неотрицательным, выражение под знаком логарифма должно быть положительным и т.д.). Если множество X специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной х, т.е. множество таких значений х, при которых функция у =f(x) вообще имеет смысл.
Например, область определения функции 13EMBED Equation.31415 есть полуинтервал (-(; 10], так как 10 х( 0; если же переменная х обозначает, предположим, время, то при естественном дополнительном условии х( 0 областью определения функции будет отрезок [0; 10].
Пусть задана прямоугольная система координат ОХУ и функция y=f(x).
Графиком функции f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (х;f(x)), где х(D(у).
Основными элементарными функциями называются: постоянная функция у=с; степенная функция у=х(, ((R; показательная функция у=ах, а>0, а(1; логарифмическая функция 13 EMBED Equation.3 1415, а>0, а(1;тригонометричесчкие функции у=sinx, y=cosx, y=tgx,y=ctgx,y=secx, y=cosecx; обратные тригонометрические функции y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.
Элементарными функциями называются функции, которые получаются из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций (+;-; (; :) и композиций.
Если переменная у зависит от переменной u (у=f(u)), а переменная u=((x) зависит от переменной х, то y=f(((x)). Функцию у= f(((x)) называют сложной функцией.
Пусть для любых значений х1,х2(D(у) и х1(,х2 справедливо, что f(x1)(f(x2). Тогда для любого у(Е(y) найдется только одно значение х=g(y)(D(y), такое, что у=f(x). Функция g(y), определенная на Е(у), называется обратной для функции f(x). График функции и обратной к ней симметричны относительно прямой у=х.
Существует несколько способов задания функции.
а) Аналитический способ, если функция задана формулой вида y=f(x). Этот способ наиболее часто встречается на практике. Так, функция 13EMBED Equation.31415, рассматриваемая выше, задана аналитически.
Не следует смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функция

имеет два аналитических выражения: х2 (при х < 0) и x + 3 (при х(0).
б) Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения функции f(x), например таблица логарифмов.
в) Графический способ состоит в изображении графика функции множества точек (х, у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты соответствующие им значения функции y=f(x).
г) Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления, например, функция Дирихле: f(x)=1, если х рационально; f(x) = 0, если х иррационально.
Рассмотрим основные свойства функций.
1. Функция у=f(x) называется ограниченной на множестве X (D(у), если существует такое число М>0 , что 13 EMBED Equation.3 1415 для всех х(Х.
2. Функция f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на множестве Х(D(f), если для любого значения х1, х2(Х таких, что х1<х2, справедливо неравенство f(x1)(f(x2) (f(x1)(f(x2)).
3. Функция f(x) называется монотонной, если она невозрастающая или неубывающая на Х.
4. Функция называется четной (нечетной) если: а) множество D(у) симметрично относительной нуля; б) для любого х(D(y) справедливо равенство f(-x)=f(x) (f(-x)=-f(x)).
Функция не являющаяся ни четной, и нечетной, называется функцией общего вида.
5. Функция f(x) называется периодической с периодом Т(0, если для любого х(D(y) справедливы условия: а) х-Т( D(у), х+Т( D(у); б) f(х-Т)=f(x+T)=f(x).
Число А называется пределом функции f(x) в точке х=а, если для любого сколь угодно малого числа (>0 найдется такое число13 EMBED Equation.3 1415 (зависящее от (), что для всех х 13 EMBED Equation.3 1415, выполняется неравенство 13 EMBED Equation.3 1415,т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Число А называется пределом функции f(x) при х(+(, если для любого числа (>0 найдется такое число М>0 , что для всех значений x>М выполняется неравенство 13 EMBED Equation.3 1415,т.е.13 EMBED Equation.3 1415. Аналогично определяется предел 13 EMBED Equation.3 1415.
Число А называется левосторонним (правосторонним) пределом функции при х(а слева (справа), если дл любого (>0 существует 13 EMBED Equation.3 1415 такое, что при всех х(а и 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415), выполняется неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 - предел слева (13 EMBED Equation.3 1415 -предел справа).
Для того, чтобы функция f(x) имела предел в конечной точке а, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы слева и справа функции f(x) в этой точке и были равны между собой: 13 EMBED Equation.3 1415.
Предел элементарных функций в точке ее определения равен значению функции в этой точке: 13 EMBED Equation.3 1415.
Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям вида13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415. Элементарными примерами раскрытия неопределенностей являются: 1) сокращение на множитель, создающий неопределенность 13 EMBED Equation.3 1415; 2) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента 13 EMBED Equation.3 1415; 3) применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших величин;
4) использование двух - замечательных пределов: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Функция ( (х) называется бесконечно малой при х(а (или в окрестности точки а); если 13 EMBED Equation.3 1415.
Функция f(x) называется бесконечно большой при х(а, если 13 EMBED Equation.3 1415.
Отметим так же, что 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415; или 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,если 13 EMBED Equation.3 1415; или 13 EMBED Equation.3 1415.При вычислении многих пределов используют следующие эквивалентности, верные при х(0: sinx(x; tgx(x; arcsinx(x; arctgx(x; 1-cosx(13 EMBED Equation.3 1415; ln(1+x)(x; ax-1(xlna, ex-1(x, (1+x)n-1(nx,n>0; loga(1+x)(xlogae.

Основные свойства пределов функции

13 EMBED Equation.3 1415, где С=const. 4. 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415. 5. 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 1: Вычислить пределы.
1. 13 EMBED Equation.3 1415, при а=2; 1; +(. 3. 13 EMBED Equation.3 1415 . 5. 13 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415. 4. 13 EMBED Equation.3 1415. 6. 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: 1.Пусть х=2 ,разложим числитель и знаменатель на множители и сократив их далее на общий множитель х-2,получим
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
При а=1 13 EMBED Equation.3 1415 , а при х=(, 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 из первого замечательного предела.
3. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
4. 13 EMBED Equation.3 1415(ln(1+2x)(2x(=13 EMBED Equation.3 1415.
5. Вычислим предел справа 13 EMBED Equation.3 1415.
6. 13 EMBED Equation.3 1415.

2.2. Непрерывность функции

Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если для любого положительного числа ( найдется отвечающее ему положительное число (, обеспечивающее справедливость неравенства
13 EMBED Equation.3 1415,
для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию 13 EMBED Equation.3 1415.
Функция f(x) называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке. Всякая элементарная функция непрерывна в своей области определения.
Для того, чтобы функция была непрерывна в точке а, необходимо и достаточно, чтобы односторонние пределы функции в точке совпадали со значением функции в этой точке:
13 EMBED Equation.3 1415.
Точка а называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не является непрерывной в этой точке.
Точки разрыва подразделяются на точки разрыва первого рода и второго рода.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 и односторонние пределы конечны, то разрыв в точке а называется устранимым.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, и оба односторонних предела конечны, то говорят о скачке функции в точке.
Устранимый разрыв функции и скачек называются разрывами первого рода.
Если один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует, то разрыв называется разрывом второго рода.
Если функции f(x) и q(x) непрерывны в точке а, то функции f(x)(q(x),f(x)(q(x), f(x)/q(x) (если q(x)(0) непрерывны в точке а.
Если функция u=((x) непрерывна в точке а, а функция y=f(u) непрерывна в точке u0=((x0), то сложная функция у=f(((x)) непрерывна в точке а:
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2: Исследовать на непрерывность функцию 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: Область определения D(у)=13 EMBED Equation.3 1415; т.е. в точке х=0 функция терпит разрыв. Вычислим односторонние пределы в точке х=0.
13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415, таким образом f(0-0)(f(0+0). То есть х=0 является точкой разрыва первого рода, точкой скачка.

2.3. Дифференциальное исчисление

Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции 13 EMBED Equation.3 1415к приращению аргумента 13 EMBED Equation.3 1415 при произвольном стремлении 13 EMBED Equation.3 1415 к нулю, если такой предел существует.
Обозначение: 13 EMBED Equation.3 1415.
Скорость13 EMBED Equation.3 1415 прямолинейного движения материальной точки в момент времени t0 есть производная от пути S(t) по времени
13 EMBED Equation.3 1415.
В этом состоит механический смысл производной.
Пусть функция у=f(x) имеет производную в точке х0. Тогда существует касательная к графику этой функции в точке М0(х0;у0), уравнение которой имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415.При этом 13 EMBED Equation.3 1415, где ( - угол наклона этой касательной к оси ОХ.
Если функция в точке имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.
Функция, дифференцируема в каждой точке промежутка, называется дифференцируемой на этом промежутке. Операция вычисления производной называется дифференцированием.

Основные правила дифференцирования
Пусть С- константа, а u(x) и v(x) имеют производные в некоторой точке х. Тогда
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415, в частности, (cu)'=cu'; 3) 13 EMBED Equation.3 1415, в частности, 13 EMBED Equation.3 1415.
Если функция u=((x) имеет производную в точке х0, а функция у=f(u) – в точке u0=((x0). Тогда сложная функция у=f(((x)) также имеет производную в точке х0, причем 13 EMBED Equation.3 1415.
Производной второго порядка функции у=f(x) называют производную от ее первой производной 13 EMBED Equation.3 1415, аналогично y(n)=f(n)(x) –n-я производная.
Дифференциал функции у=f(x) равен произведению ее производной и дифференциала независимой переменной, т.е.13 EMBED Equation.3 1415. Справедлива формула приближенного вычисления значения функции13 EMBED Equation.3 1415.
Таблица производных
13 EMBED Equation.3 1415. 8. 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415. 9. 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 .
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Здесь u=u(x) – дифференцируемая функция.

Пример 3. 1.Найти производную данных функций
а) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Найти у'' и dy, если у=х2+3х.
3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции у=х3 - 3х2 + 2 на отрезке [1;5].
4. Исследовать функцию 13 EMBED Equation.3 1415 и построить ее график.
Решение: 1.а) Преобразуем функцию к виду 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415
в)13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 14152. Вычислим первую и вторую производную данной функции.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. По определению дифференциал равен
13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
3. 1. Найдем все стационарные точки и точки, в которых производная не существует, и вычислим в них значения функции.13 EMBED Equation.3 1415. Приравняем к нулю у',13 EMBED Equation.3 1415=0 и найдем стационарные точки х1=0, х2=2,тогда у(0)=2:у(2)=-2.
2. Вычислим значения функции на концах отрезка, в точках х=1,х=5. То есть у(1)=0, у(5)=52.
3. Сравним между собой вычисленные значения функции, т. е. у(1)=0; у(2)=-2; у(5)=52, получим унаиб.(5)=52, унаим.(2)=-2. Значение у(0) не участвует в сравнении т.к. х=0 не принадлежит отрезку [1;5].
4. Для исследования функций и построения графика можно использовать следующую последовательность действий:
1. Найти область определения функции.
2. Определить четность, нечетность функции.
3. Исследовать функцию на периодичность.
4. Исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва, асимптоты, точки пересечения графика с координатными осями.
5. Найти первую производную. Определить критические точки первого рода.
6. Определить интервалы монотонности и экстремумы функции.
7. Найти вторую производную, критические точки второго рода.
8. Определить интервалы выпуклости и точки перегиба.
9. Построить график функции.
Решение: 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме значений х=(2, т.к. в этих точках знаменатель равен нулю, т.е. функция не существует. D(у)= R /{(2}.
2. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то f(x) нечетная, т.е. симметрична относительно начала координат.
3. Непериодическая.
4. Функция f(x) непрерывна во всей области ее определения, кроме значений х=(2, являющимися точками разрыва II рода, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415
На основании выше указанных пределов прямые х=(2 – являются вертикальными асимптотами. По формулам: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 -найдем наклонную асимптоту.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
То есть у=х. Для определения точек пересечения графика функции с координатными осями необходимо решить системы уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Обе системы имеют одно и то же решение х=0, у=0. В точке (0,0)функция пересекает систему координат.
5. Вычислим f'(x)=0.13 EMBED Equation.3 1415, отсюда следует, что f'(x)=0 при х2(х2-12)=0, т.е. при х=0 и х=(213 EMBED Equation.3 1415. В то же время f'(x) не существует при х=(2. Следовательно, функция f(x) имеет следующие критические точки первого рода: х1=-213 EMBED Equation.3 1415; х2=-2; х3=0; х4=2; х5=213 EMBED Equation.3 1415
6. Методом пробных точек определим знаки первой производной в интервалах

т.е. данная функция f(x) в интервалах (-(;-213 EMBED Equation.3 1415) и (213 EMBED Equation.3 1415;+() возрастает, а в интервалах
(-213 EMBED Equation.3 1415;-2); (-2;0); (0;2); (2;213 EMBED Equation.3 1415)- убывает. х1=-213 EMBED Equation.3 1415 точка максимума, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с плюса на минус; fmax(x)=fmax(-213 EMBED Equation.3 1415)=-313 EMBED Equation.3 1415, а точка х5=213 EMBED Equation.3 1415 - точка минимума, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с минуса на плюс; fmin(x)=fmin(213 EMBED Equation.3 1415)=313 EMBED Equation.3 1415.
В критической точке х3=0 первая производная не меняет знак, следовательно, в этой точке экстремума нет.
7. Вычислим 13 EMBED Equation.3 1415. f''(х)=0 при х=0, а при х=(2 f''(х) не существует, следовательно, х2=-2; х3=0, х4=2 – есть критические точки второго рода.
8. В интервалах (-(;-2); (-2;0); (0;2); (2;+() определим знак второй производной методом пробных точек.

Таким образом, в промежутках (-(; -2) и (0;2) график функции выпуклый вверх, а в (-2;0) и (2;+() – выпуклый вниз. Вторая производная в каждой из критических точек меняет знак, в то же время в точках х2=-2; х4=2 функция неопределенна, следовательно, только точка х=0 является точкой перегиба.
9. На основании полученных результатов построим график функции


2.4. Интегральное исчисление
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a;b), если для любого х((a;b) функция F(x) дифференцируема и выполняется равенство F'(x)=f(x).
Если F(x) – первообразная функция для функции f(x), то функция F(x)+C, где С – произвольная постоянная, также первообразная для функции f(x).
Совокупность всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом
13 EMBED Equation.3 1415, где F'(x)=f(x).

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования.

Основные свойства неопределенного интеграла
1. 13 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415.
3. 13 EMBED Equation.3 1415, где k=const.
4. 13 EMBED Equation.3 1415.
5. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, где а(0.
Таблица интегралов
1. 13 EMBED Equation.3 1415. 9. 13 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415. 10. 13 EMBED Equation.3 1415.
3. 13 EMBED Equation.3 1415. 11. 13 EMBED Equation.3 1415
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Если ((t) – непрерывная и дифференцируемая функция, то, полагая х= ((t), получим формулу интегрирования замены переменной
13 EMBED Equation.3 1415. (1)
Формула интегрирования по частям: 13 EMBED Equation.3 1415
Определенный интеграл 13 EMBED Equation.3 1415численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=а, х=b, у=0 и частью графика функции у=f(x), взятой со знаком плюс, если f(x)(0(минус, если f(x)(0) (геометрическая интерпретация определенного интеграла).
Формула Ньютона- Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415. (2)
Интеграл с одним или обоими бесконечными пределами интегрирования от непрерывной функции f(x) на всем промежутке интегрирования называется несобственным интегралом первого рода, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть f(x) –функция, имеющая бесконечный разрыв в точке с([a,b], тогда
13 EMBED Equation.3 1415- называется несобственным интегралом второго рода.
Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел в правой части равенств.
Если пределы бесконечны или не существуют, то говорят, что соответствующий несобственный интеграл расходится.
Пример 4. Найти
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 5) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415; 6) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415; 7) 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415; 8) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:1) непосредственным интегрированием получаем:
13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415,
заметим, что здесь и далее произвольные постоянные, входящие по определению, в
каждый из складываемых неопределенных интегралов, объединяются в одну произвольную постоянную;
3) вычислим данный неопределенный интеграл, используя формулу интегрирования заменой переменной (1)
13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415;
5) 13 EMBED Equation.3 1415.
Определенный интеграл вычислили при помощи формулы Ньютона-Лейбница (2).
6) 13 EMBED Equation.3 1415,
следовательно, данный несобственный интеграл I-го рода расходится;
7) 13 EMBED Equation.3 1415,
т.е. несобственный интеграл первого рода расходится, так как при а(( последний предел не существует;
8)13 EMBED Equation.3 1415, таким образом, несобственный интеграл второго рода от разрывной в точке х=0 подынтегральной функции 13 EMBED Equation.3 1415 сходится.

Тема 3. Элементы комбинаторики

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного конечного множества и размещение этих элементов в каком – либо порядке.
Существуют три типа соединений: размещения, перестановки, сочетания.
Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное подмножество из m элементов множества, состоящего из n различных элементов.
Заметим, что размещения отличаются порядком входящих в них элементов и их составом. Число размещений из n элементов по m равно 13 EMBED Equation.3 1415.
Факториалом целого положительного числа n называют произведение 1(2(3(((n-1)(n, т.е. n!= 1(2(3(((n-1)(n. Например: 8!=1(2(3(4(5(6(7(8 или 8!=7!(8 или 8!=6!(7(8. Верно, что 0!=1; 1!=1; (n+1)!=n!(n+1); (n-1)!=13 EMBED Equation.3 1415
Размещения из n элементов по n элементов называется перестановками из n элементов. Число перестановок из n элементов равно Рn=n!.
Сочетаниями из n элементов по m элементов называют подмножества, содержащие m элементов. Число сочетаний из n элементов по m равно 13 EMBED Equation.3 1415.
Размещение с повторениями из данных n элементов по m называются всевозможные комбинации, содержащие m элементов. Число размещений с повторениями из n элементов по m равно 13 EMBED Equation.3 1415.
Правило сложения. Если выбор каждого из объектов аi, i=13 EMBED Equation.3 1415можно выполнить ni способами, то выбор или «а1, или а2 или а3,, или ак» можно произвести n=n1+n2+n3+...+nk способами.
Правило умножения. Если выбор каждого из к объектов аi, i=13 EMBED Equation.3 1415 можно осуществлять ni способами, то выбор « и а1 и а2 и а3, ,и ак» можно произвести n=n1(n2(n3(...(nk способами.
Пример 1. Сколько существует способов отбора из 4 членов правления фирмы двух для замещения вакансий вице-президентов, отвечающих соответственно за производство, финансы.
Решение: Порядок при таком выборе играет существенную роль, тогда число вариантов равно 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2. Сколько существует способов расстановки пяти различных учебников в один ряд?
Решение: Так как порядок учебников по условию – значения не имеет, то получим задачу о числе перестановок пяти различных книг. Следовательно, Р5=5!=1(2(3(4(5=120.
Пример 3: В учебной группе 12 студентов. Сколько можно получить бригад по 5 человек?
Решение. Так как не имеет значение, какой студент будет первым, а какой - вторым, число способов формирования бригад будем вычислять с помощью 13 EMBED Equation.3 1415 по формуле 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 4: Бросаются две игральные кости. Найти общее число всевозможных результатов опыта.
Решение: При подбрасывании двух игральных костей общее число результата опыта вычисляется по формуле размещения с повторением 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 5: В группе 30 курсантов. Сколько существует способов выбора командира и его заместителя?
Решение: По условию задачи каждый курсант может быть выбран командиром, следовательно, существует 30 вариантов. Его заместителем может стать любой из оставшихся 29 курсантов. Таким образом, любой из 30 вариантов осуществляется вместе с любым из 29 вариантов выбора его заместителя. Следовательно, существует 30(29=870 вариантов выбора командира и его заместителя (Правило умножения).
Пример 6: В группе 20 юношей и 10 девушек. Сколько существует способов формирования группы из трех юношей и двух девушек для участия в научной конференции.
Решение: Количество способов избрания трех юношей и двух девушек равно произведению 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - количество способов выбора трех юношей из двадцати, 13 EMBED Equation.3 1415-количество способов выбора двух девушек из десяти. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 - количество способов выбора делегации из трех юношей и дух девушек.

Тема 4. Элементы теории вероятностей
4.1. Случайные события
В результате многократного повторения одних и тех же условий, которые носят название испытаний или опытов, можно наблюдать появление или не появление в них некоторого события. Такое событие, которое может произойти или не произойти в результате опыта, называется случайным.
Количественной мерой возможности появления некоторого случайного события А служит вероятность.
Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных элементарных исходов к числу всех возможных исключающих друг друга исходов
Р(А)=13 EMBED Equation.3 1415.
Здесь А – событие, n- число всех возможных исходов, m число благоприятных исходов событию А; Р(А) – вероятность события А .
Число 13 EMBED Equation.3 1415 называется относительной частотой, где N(A) – число случаев наступления события (частота); N – общее число испытаний (статистическое определение вероятности).
Основные свойства вероятностей
1) 0(Р(А)(1;
2) P(U)=1, где U – достоверное событие;
3) Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – есть правило сложения вероятностей несовместимых событий;
4) Р(А1)+Р(А2)++Р(Аn)=1, если А1,А2,А3,,Аn –образуют полную систему событий;
5) Р(13 EMBED Equation.3 1415)=1-Р(А) – вероятность противоположного события;
6) Р(13 EMBED Equation.3 1415)=13 EMBED Equation.3 1415 - условная вероятность,(Р(А)(0);
7) Общее правило умножения вероятностей Р(А(В)=Р(А)(Р(В)=Р(В)(Р(13 EMBED Equation.3 1415);
8) Умножение вероятностей независимых событий Р(А(В)=Р(А)(Р(В);
9) Общее правило сложения вероятностей Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А(В);
10) Формула полной вероятностей
Р(А)=Р(Н1)(Р(А/Н1)+Р(Н2)(Р(А/Н2)++Р(Нn)(Р(А/Нn)=13 EMBED Equation.3 1415, где Н1,Н2,,Нn – попарно несовместные события, причем событие А может осуществляться только с одним из них;
11) Формула вероятностей гипотез (формула Бейеса) Р(Нi/A)=13 EMBED Equation.3 1415.
4.2. Случайные величины
Действительная функция 13 EMBED Equation.3 1415 определенная на пространстве элементарных исходов ( называется случайной величиной (с.в.).
Функция распределения случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415 определяется равенством F(x)=13 EMBED Equation.3 1415.
Случайная величина множество значений которой конечно или счетно, называется дискретной.
Случайная величина называется непрерывной, если существует неотрицательная функция f(x), такая, что для любого действительного х функция распределения с.в. 13 EMBED Equation.3 1415 может быть представлена в виде F((x)=13 EMBED Equation.3 1415, при этом f(x) называют плотностью распределения вероятностей.
Таблица вида
13 EMBED Equation.3 1415
х1
х2


р
р1
р2




13 EMBED Equation.3 1415, где x1,x2, возможные значения случайной величины, а р1,р2,-вероятности этих значений (т.е. 13 EMBED Equation.3 1415), называется рядом распределения с.в..
Справедливы свойства:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) F(x) не убывает; 3) 13 EMBED Equation.3 1415.
Математическим ожиданием дискретной с.в. 13 EMBED Equation.3 1415, называется число13 EMBED Equation.3 1415. Математическое ожидание непрерывной с.в. 13 EMBED Equation.3 1415 определяется равенством 13 EMBED Equation.3 1415; здесь f(x) плотность распределения вероятности.

Свойства математического ожидания
1. М(С)=С, где С постоянная.
2. М(С()=СМ(().
3. М((+µ)=М(()+М(µ) для любых с.в. ( и µ.
4. М(((µ)=М(()(М(µ) для независимых с.в. ( и µ.

Дисперсия дискретной случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415 равна D(()=М((-а)2=М((2)-а2, (М(()=а),а непрерывной D13 EMBED Equation.3 1415.
((()=13 EMBED Equation.3 1415- среднее квадратическое отклонение.

Свойства дисперсии
1. D(С)=0.
2. D(С()=С2D(().
3. D((+µ)=D(()+D(µ) для независимых с.в. (и µ.
4.Начальный момент к-го порядка 13 EMBED Equation.3 1415.
5.Центральный момент к-го порядка 13 EMBED Equation.3 1415,где М(()=а.
6.Коэффициент вариации 13EMBED Equation.31415.
7.Коэффициент асимметрии 13EMBED Equation.31415.
Дискретная с.в. 13 EMBED Equation.3 1415, принимающая целые неотрицательные значения
к=0, 1, 2,,n, имеет биномиальное распределение с параметрами (n,p) если
Р((=к)=13 EMBED Equation.3 1415, где q=1-p, 13 EMBED Equation.3 1415.М(()=n(p, D(()=n(p(q, ((()=13 EMBED Equation.3 1415.
Дискретная с.в. ( принимающая целые неотрицательные значения к=0,1,2, имеет распределение Пуассона с параметром 13 EMBED Equation.3 1415, если Р((=к)=13 EMBED Equation.3 1415,(к=0,1,2,), где М(()=(, D(()=(,13 EMBED Equation.3 1415.
С.в. ( имеет равномерное распределение на отрезке [а,b], если она
имеет плотность распределения вероятности 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
С.в. ( имеет показательное распределение (экспоненциональное) с параметром (>0, если она имеет плотность распределения вероятности 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда функция распределения с.в. F(x)=13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415.


Показательное распределение часто используется в теории надежности. Обозначим через 13 EMBED Equation.3 1415 – время безотказной работы некоторого устройства, а через ( - интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени), тогда среднее время между соседними отказами равно 13 EMBED Equation.3 1415. Функция распределения 13 EMBED Equation.3 1415 определяет вероятность отказа устройства за время t.
Функцией надежности R(t) называют функцию 13 EMBED Equation.3 1415, определяющую вероятность безотказной работы устройства за время t.
С.в. ( имеет нормальное (гауссовское) распределение c параметрами a,(2( N(a,(2) 13 EMBED Equation.3 1415), если она имеет плотность вероятности 13 EMBED Equation.3 1415.
Плотность нормально распределенной случайной величины можно записать в виде
13 EMBED Equation.3 1415,где ((х) =13 EMBED Equation.3 1415 - четная функция.
Функция распределения нормально распределенной случайной величины имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415, где Ф(х)=13 EMBED Equation.3 1415 - функция Лапласа. М(х)=а, D(x)=(2, ((х)=(, m0=a
Вероятность попадания на промежуток нормально распределенной случайной величины х:13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример1. Студент знает 15 вопросов из 30. Наудачу ему задается вопрос. Найти вероятность того, что он его знает.
Решение: Данная задача на применение классического определения вероятности. Обозначим событием А={студент знает предложенный вопрос . Ясно, что все исходы опыта равновозможны и их конечное число. Тогда m=15 – число исходов благоприятствующих событию А, n=30 – общее число исходов. По классическому определению вероятности Р(А)=13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2. Стрелок произвел 100 выстрелов по мишени, причем поразил мишень в 25 случаях. Найти вероятность того, что стрелок поразил мишень .
Решение: А{стрелок поразил мишень при одном выстреле}. Применим статистическое определение вероятности и вычислим относительную частоту события А.
13 EMBED Equation.3 1415, где N(A)=25 – число опытов в которых А произошло, N=100 – общее число опытов.
Пример 3. Построить функцию распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и другие числовые характеристики для дискретной случайной величины .
Х
-4
0
8

Р
0,2
р
0,6

Решение: р=1-(0,2+0,6)=0,2. Построим график функции распределении рассматривая различные промежутки изменения аргумента Х,
1)если х(-4, то F(x)=P(X<-1)=0;
2) если-4 <х(0, то F(x)=P(X<0)=P(X=-4)=0,2;
3) если0 <х(8, то F(x)=P(X<8)=P(X=-4)+P(X=0)=0,4;
4) если8 <х, то F(x)=P(XМ(х)=-4(0,2+0(0,2+8(0,6=4.
D(х)=M(х2 )-(M(х))2=(-4)2(0,2+02(0,2+82(0,6-(4)2=25,6. Среднее квадратическое отклонение 13EMBED Equation.31415. Коэффициент вариации
13EMBED Equation.31415. Мода(Х)=8, т.к. 8 имеет наибольшую вероятность, равную 0,6. Коэффициент асимметрии
13EMBED Equation.31415.
Пример 4. С.в. Х имеет нормальное распределение с параметрами а=150, (2=36
а) найти числовые характеристики с.в. Х;б) найти границы за которые практически не выходит с.в. Х; в) выпишите плотность с.в. Х и изобразите эскиз графика плотности;
г) вычислить Р(135Решение:
13EMBED Word.Picture.81415
а) найдем числовые характеристики Х.
МХ=мода(13EMBED Equation.31415)=медиана(13EMBED Equation.31415)=а=150,
D(X)=(2=36(((x)=13EMBED Equation.31415=(=6,
коэффициенты асимметрии и эксцесса равны 0, коэффициент вариации 13EMBED Equation.31415;

б) используя правило 3 сигм, можно утверждать, что с.в. Х практически (с вероятностью 0,9973) не выйдет за границы интервала а-3( в) выпишем плотность с.в. Х: 13EMBED Equation.3141513EMBED Equation.31415;
г) Р(13513EMBED Equation.31415.
Здесь Ф(()-функция Лапласа, Отметим свойство функции Ф(х):Ф(-х)=-Ф(х),поэтому Ф(-2,5)=- Ф(2,5)=-0,49379.
Глава 2. Самостоятельная работа
Задание 1. Заданы два множества: А и В. Определить множества 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант
Множество А
Множество В

1
{1,5,7,8,9,10,11}
{2,5,9,1011,15}

2
{1,3,5,7,8,9,11,13}
{3,5,6,7,8,9,10}

3
{2,4,6,9,11,13,15}
{1,2,3,6,9,11}

4
{3,4,6,10,16,17,18}
{6,10,12,18,19,20}

5
{4, 8, 10, 12,14,18,21}
{3, 6, 8, 12, 14,16,18}

6
{1,3,5,9,13,14,15}
{3,5,7,11,13,14,16}

7
{2,3,4,9,11,12,13}
{4,6,9,10,12,14}

8
{1,3,5,7,8,9,11}
{2,3,5,6,7,8,9}

9
{2,4,8,12,23,30}
{3,4,5,8,10,20,30}

10
{10,13,16,18,20,22}
{13,14,15,16,18,20}

11
{5,9,11,13,14,45,46}
{11,45,46,47,50}

12
{13,15,17,18,19}
{11,13,15,17,20,23}

13
{11,12,13,16,20,25,30}
{12,14,16,19,21}

14
{6,10,12,17,28,33}
{4,6,10,12,18,30}

15
{4,8,9,10,11,12,16}
{1,2,4,6,10,12,13}

16
{1,2,3,5,7,11,13}
{1,3,5,9,17,19,23}

17
{1,2,3,4,6,9,17}
{2,4,5,7,9,13}

18
{2,3,5,6,7,8,13,15,19}
{1,3,4,5,6,9,11}

19
{3,4,5,8,10,15,17,19}
{2,4,8,12,17,18,21}

20
{13,14,15,16,24,26,28}
{11,13,16,18,25,26}

21
{1,3,5,6,8,10,15,16,17}
{3,4,5,8,10,12,15,18,19}

22
{2,3,4,6,7,10,13,15,18}
{2,4,5,8,12,15,16,19}

23
{5,6,8,23,25,29,31}
{3,5,10,25,37,39}

24
{12,13,15,16,17,18,38}
{13,14,15,18,30,35}

25
{22,23,25,26,27,28,43}
{23,24,25,28,40,45,47}




























Задание 2. По данным промежуткам А и В на числовой прямой определить
13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант
А
В

1
(1;5]
(2;7)

2
[2;8)
[3;+()

3
(-1;5)
[1;9]

4
[-2;+()
(-1;7]

5
(-2;2]
[-1;1)

6
[4;5)
(-(;-2)

7
(-(;2]
(-2;+ ()

8
[4;10]
(-3;10)

9
(-5;2]
[-1;3]

10
(1;2)
[1;9)

11
[0;4]
(2;4]

12
(-(;3]
(-3;+ ()

13
(-6;-2]
[-6;0)

14
(1;8]
[-1;4)

15
(-(;5]
(-2;5]

16
[-3;9)
(2;9]

17
(5;12]
(-(;11)

18
(-4;2]
(1;+ ()

19
(-3;2]
[-1;4)

20
(-(;5)
(-1;7]

21
(-(;6]
(2;+ ()

22
(-1;3]
(-3;+ ()

23
(-2;3]
(3;8)

24
(-(;1]
(-1;6)

25
(-(;3]
(1;+ ()



Задание 3.Найти предел функции 13 EMBED Equation.3 1415 при различных значениях а.
Вариант
у
а

1
13 EMBED Equation.3 1415
5,1;+ (

2
13 EMBED Equation.3 1415
5,2;+ (

3
13 EMBED Equation.3 1415
3;-3;+ (

4
13 EMBED Equation.3 1415
-3;1;+ (

5
13 EMBED Equation.3 1415
1;3;+ (

6
13 EMBED Equation.3 1415
2;3;+ (

7
13 EMBED Equation.3 1415
1;3;+ (

8
13 EMBED Equation.3 1415
-2;1;+ (

9
13 EMBED Equation.3 1415
2;3;+ (

10
13 EMBED Equation.3 1415
0;2;+ (

11
13 EMBED Equation.3 1415
-3;3;+ (

12
13 EMBED Equation.3 1415
-3;-2;+ (

13
13 EMBED Equation.3 1415
2;4;+ (

14
13 EMBED Equation.3 1415
2;5; (

15
13 EMBED Equation.3 1415
-4;1; (


16
13 EMBED Equation.3 1415
-5;5; (

17
13 EMBED Equation.3 1415
-2;1;13 EMBED Equation.3 1415

18
13 EMBED Equation.3 1415
-2;-1; (

19
13 EMBED Equation.3 1415
4; 3; +(

20
13 EMBED Equation.3 1415
0; 4; +(

21
13 EMBED Equation.3 1415
-12; 6; +(

22
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

23
13 EMBED Equation.3 1415
1; 7; +(

24
13 EMBED Equation.3 1415
-1,5; 1; +(

25
13 EMBED Equation.3 1415
0; 1; +(


Задание 4. Найти наибольшее, наименьшее значение функции на отрезке [а;в].
Вариант
Функция у
Отрезок [а;в]

1
2х3-3х2-х+11
[-1;1]

2
х3-3х2-х+21
[0;3]

3
3х3+2х2-х+10
[1;2]

4
2х3-4х2-3х+9
[0;2]

5
2х3-27х2+108х+1
[-1;1]

6
2х3 +6х2-90х+2
[-2;3]

7
2х3+6х2-48х+6
[0;4]

8
2х3-3х2-36х-1
[-2;3]

9
-5х2+40х+4
[-1;6]

10
4х2-24х+10
[-2;5]

11
4х2+32х+3
[-3;3]

12
х3 +12х2-6х+8
[-2;2]

13
2х3-3х2-36х-3
[-1;5]

14
2х3+6х2-48х+3
[-4;4]

15
2х3+6х2-90х-7
[-4;0]

16
х3+3х2-45х-1
[-1;0]

17
х3+3х2-24х+4
[-5;3]

18
х3-1,5х2-18х-3
[-1;1]

19
х3-13,5х2+54х+2
[2;3]

20
2х3+15х2+24х-3
[3;5]

21
2х3-3х2-36х+3
[-1;0]

22
2х3-18х2+48х+4
[-2;1]

23
2х3+12х2+18х-4
[1;5]

24
2х3-15х2+36х-1
[1;2]

25
2х3+12х2-30х-3
[-1;2]


Задание 5. Исследовать функцию и построить график.
13 EMBED Equation.3 1415. 6. 13 EMBED Equation.3 1415. 11. 13 EMBED Equation.3 1415. 16. 13 EMBED Equation.3 1415. 21.13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415. 7. 13 EMBED Equation.3 1415 . 12. 13 EMBED Equation.3 1415. 17. 13 EMBED Equation.3 1415. 22.13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415. 8. 13 EMBED Equation.3 1415 . 13. 13 EMBED Equation.3 1415. 18. 13 EMBED Equation.3 1415. 23.13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415. 9. 13 EMBED Equation.3 1415. 14. 13 EMBED Equation.3 1415. 19. 13 EMBED Equation.3 1415. 24.13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415. 10. 13 EMBED Equation.3 1415. 15. 13 EMBED Equation.3 1415. 20. 13 EMBED Equation.3 1415 . 25.13 EMBED Equation.3 1415.

Задание 6. Вычислить неопределенный, определенный и несобственный интегралы.

Вариант
неопределенный интеграл
Определенный и несобственный интегралы


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 ,13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


Задание 7. Вычислить вероятность события.

В ящике находится 60 красных и 30 белых шаров. Наудачу извлекается один шар. Какова вероятность, что он а) красный б) белый.
Брошена стандартная игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет а) три; б) меньше трех.
Случайным образом выбирается число из множества (1,2,3,4,5,6,7,8(. Какова вероятность, что а) оно четно; б) четное и делится на 4.
Студент знает 15 вопросов из 25. Какова вероятность того, что предложенный вопрос студент а) знает б) не знает.
Монета подбрасывается дважды. Построить множество элементарных исходов. Рассчитать вероятность того, что хотя бы один раз выпадет "герб".
Из колоды в 36 карт случайным образом достается одна. Какова вероятность того, что а) эта "картинка"; б) дама черви или король черви.
Из слова "математика" наугад выбирается одна буква. Какова вероятность, что это будет а) буква "М"; б) гласная буква
В лотерее 1000 билетов, из них на 1 билет, попадает выигрыш 500 руб., на 10 билетов по 50 руб. и на 60 билетов по 10 руб. Некто покупает 1 билет. Какова вероятность, что он выиграет а) 50 рублей; б) не менее 50 рублей.
Некто, набирая номер телефона, забыл последнюю цифру. Какова вероятность, что набирая ее случайным образом, он правильно наберет номер.
Подбрасывают три монеты. Найти вероятность того, что выпадет не более двух гербов.
Для определения доли бракованных изделий были взяты случайным образом 200 изделий. При проверке оказалось, что среди них 5 бракованных. Какова вероятность, что произведенная деталь является а) бракованной б) стандартной.
Обследование показало, что из 1000 зашедших в магазин потенциальных покупателей, действительно приобрело товар 190. Какова вероятность того, что зашедший в магазин человек а) приобретет товар б) не приобретет товар.
Стрелок произвел 100 выстрелов по мишени, причем поразил мишень 57 раз. Какова вероятность, что стрелок поразит мишень.
Из 500 телевизоров 490 проработало без поломок 10 000 часов и более. Какова вероятность, что произведенный по данной технологии телевизор проработает не менее 10 000 часов без поломок.
За последние 100 дней курс доллара повышался 25 раз. Какова вероятность, что на следующих торгах курс доллара повысится.
Статистика показала, что из последних 1000 новорожденных 560-мальчики. Какова вероятность того, что следующий новорожденный будет мальчик.
Из 1000 случайно отобранных семей у 350 доходы были выше 1000 у.е. Какова вероятность, что отдельная семья имеет доход выше 1000 у.е.
При аттестации 100 сотрудников не аттестованными оказались 8. Какова вероятность пройти аттестацию у данной категории сотрудников.
Относительная частота появления бракованных изделий на автоматической срочной линии составляет 0,02. Сколько проверялось изделий, если известно, что бракованных было 8?
Из 1000 проверенных деталей оказалось, что 110 из них с дефектом. Какова вероятность, что приобретенный товар является с дефектом?
В ящике 15 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.
Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,7 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает хотя бы один сигнализатор.
Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,69, для второго 0,85, а для третьего 0, 7.Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.
Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,85. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.
В ящике 10 деталей, среди которых шесть окрашенных. Сборщик наудачу извлекает четыре детали. Найти вероятность того, что все извлеченные детали окажутся окрашенными.


Задание 8. Построить функцию распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение для дискретной случайной величины .
1)
Х
-1
0
1

14)
Х
-2
0
13 EMBED Equation.3 14152


р
0,5
0,2
0,3


р
2/5
1/5
2/5













2)
Х
10
20
40

15)
Х
30
60
70


р
0,6
0,3
0,1


р
0,2
0,3
0,5













3)
Х
30
40
50

16)
Х
0,1
0,4
0,5


р
0,2
0,1
0,7


р
0,2
0,3
0,5













4)
Х
10
11
12

17)
Х
0,5
3
5


р
0,4
0,5
0,1


р
0,8
0,1
0,1













5)
Х
11
15
20

18)
Х
1
2
4


р
0,4
0,1
0,5


р
0,1
0,3
0,6













6)
Х
21
23
25

19)
Х
2
4
7


р
0,1
0,1
0,8


р
0,5
0,2
0,3













7)
Х
10
20
30

20)
Х
2
4
5


р
0,5
0,4
0,1


р
0,1
0,5
0,4













8)
Х
40
50
60

21)
Х
-4
0
4


р
0,2
0,3
0,5


р
0,1
0,3
0,6


9)
Х
-5
0
5

22)
Х
1
5
10


р
0,4
0,5
0,1


р
0,3
0,3
0,4













10)
Х
2
4
5

23)
Х
1
3
5


р
0,5
0,2
0,3


р
0,2
0,1
0,4













11)
Х
-2
0
2

24)
Х
3
4
10


р
0,7
0,1
0,2


р
0,3
0,3
0,4













12)
Х
-4
0
4

25)
Х
-3
0
3


р
0,2
0,4
0,4


р
0,4
0,2
0,4




13)
Х
1
3
5


р
0,7
0,1
0,2


Задание 9. Число преступлений за неделю можно считать случайной величиной Х, имеющей нормальное распределение с параметрами а, (. Выписать функцию распределения и плотность распределения с.в. Х. Найти вероятность того, что на следующей неделе число преступлений будет в пределах от с до d если:
1. а=200,13EMBED Equation.31415=0,5, с =199, d=20. 14. а=520,13EMBED Equation.31415=6, с =508, d=532.
2. а=50,13EMBED Equation.31415=2, с =46, d=54. 15. а=300,13EMBED Equation.31415=5, с =290, d=310.
3. а=100,13EMBED Equation.31415=2, с =96, d=104. 16. а=730,13EMBED Equation.31415=10, с =710, d=750.
4. а=300,13EMBED Equation.31415=0,5, с =299, d=301. 17. а=800,13EMBED Equation.31415=50, с =700, d=900.
5. а=700,13EMBED Equation.31415=20, с =660, d=740. 18. а=770,13EMBED Equation.31415=30, с =710, d=830.
6. а=300,13EMBED Equation.31415=2, с =294, d=304. 19. а=690,13EMBED Equation.31415=5, с =680, d=700.
7. а=400,13EMBED Equation.31415=0,5, с =399, d=401. 20. а=930,13EMBED Equation.31415=1,5, с =927, d=933.
8. а=630,13EMBED Equation.31415=0,5, с =629, d=631. 21. а=652,13EMBED Equation.31415=5, с =642, d=662.
9. а=330,13EMBED Equation.31415=3, с =324, d=336. 22. а=358,13EMBED Equation.31415=4, с =350, d=366.
10. а=530,13EMBED Equation.31415=5, с =520, d=540. 23. а=850,13EMBED Equation.31415=5, с =840, d=860.
11. а=150,13EMBED Equation.31415=0,5, с =149, d=151. 24. а=780,13EMBED Equation.31415=3, с =774, d=786.
12. а=460,13EMBED Equation.31415=4, с =452, d=468. 25. а=315,13EMBED Equation.31415=15, с =285, d=345.
13. а=456,13EMBED Equation.31415=9, с =438, d=464.


Литература
1. Богатов Д.Ф., Богатов Ф.Г. "Математика для юристов в вопросах и ответах"- М.: ПРИОР, 2001г.
2. Гмурман В.Е.. "Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике".- М.: Высшая школа, 1999г.
3. Грес П.В.. "Математика для гуманитариев". - М.: Юрайт, 2000г.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.. "Высшая математика в упражнениях и задачах" ч. 1. 2. -М.: Высшая школа, 1996г.
5. Турецкий В.Я. . "Математика и информатика"- М.: ИНФРА, 2000г.
6. Высшая математика для экономистов. Под ред. Кремера Р.Ш - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 г.








13PAGE 15


13PAGE 14215



х0-( х0 х0+(

13 EMBED Word.Picture.8 1415



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativexEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativedEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativexEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native15