Рабочая тетрадь к элективному курсу «Метод геометрических мест точек»
Рабочая тетрадь
Что означают слова «рабочая тетрадь», входящие в название этого приложения? Данная тетрадь специально написана под элективный курс.
Задания, задачи и другие материалы, содержащиеся в рабочей тетради, следует выполнять все подряд. Можно сказать, что рабочая тетрадь – это учебник одноразового использования, задачник для одного ученика. В ней отведены места для самостоятельной работы, они заполняются учеником. Так что окончательный вид рабочая тетрадь примет лишь после того, как её «хозяин» - ученик и заполнит от первой до последней страницы.
Содержащиеся в этой рабочей тетради задания предполагают разную степень участия ученика в их выполнении. В одних случаях нужно внимательно изучить предложенное решение, разобраться в нём, заполнить имеющиеся пробелы. В других – самостоятельно решить задачу и записать краткое решение в тетради. Почти все задания предполагают активную работу с чертежом, - не научившись делать хорошие чертежи, нельзя освоить геометрию. При этом некоторые задачи уже имеют готовые чертежи, и ученик должен лишь дополнить их необходимыми деталями.
В заключении дадим один совет ученику: постарайтесь быть как можно внимательнее и аккуратнее при заполнении тетради. Все записи, рисунки делайте только после тщательного обдумывания, детальной отработки. Умение аккуратно и грамотно записывать решения, делать красивые чертежи – залог успешного овладения такой необычайно важной и увлекательной темой в геометрии, какой является тема «Метод геометрических мест точек».
1.Построить биссектрису угла А
2.Построить прямую проходящую через точку А и перпендикулярную прямой а
3.Построить прямую b параллельную прямой а
4.Построить касательную к окружности проходящую через точку А не принадлежащую этой окружности
5.Геометрическим местом точек называется _________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6.Геометрическое место точек, отстоящих на расстояние а, от данной точки М, есть____________________________________________________
__________________________________________________________(ГМТ1)
7. Геометрическое место точек, равноотстоящих от двух данных точек М и N есть _________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________(ГМТ2)
8.Геометрическое место точек, отстоящих на данном расстоянии а от прямой АВ, составляют ___________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________________(ГМТ3)
9.Геометрическое место точек, делящих в данном отношении парал лельные отрезки прямых, проведенных в данном угле, есть _____________
_________________________________________________________(ГМТ4)
10.Геометрическое место середин отрезков, проведенных параллельно основанию треугольника, есть______________________________(ГМТ5).
Для равнобедренного тре угольника такое геометрическое место есть высота.
11.Прямая, делящая угол пополам, есть геометрическое место центров окружностей, ______________________________________________
__________________________________________________________(ГМТ6)
12.Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом, составляют _________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(ГМТ7)
Следствие. Вершину прямого угла прямо угольного треугольника всегда надо искать на полуокружности, диаметр которой есть гипоте нуза; вершину всякого треугольника, если извес тен угол при ней, должно искать на дуге, опи санной на основании и вмещающей известный угол.
13.Геометрическое место середин равных хорд, проведенных в данной окружности О, есть ______________________________________________
_________________________________________________________(ГМТ8)
14.Точки, из которых данная окружность О видна под данным углом (т. е. точки, из которых две касательные к окружности О образуют между со бой данный угол ), составляют ____________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________(ГМТ9)
15.Все точки, касательные из которых к данной окружности радиуса г рав ны данному отрезку а, составляют__________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________(ГМТ10).
Это геометрическое место можно рассматривать, как след ствие предыдущего геометрического места.
16.Геометрическое место вершин треугольников, равновеликих данно му
· АВС и имеющих общее с ним основание АС, составляют ____________ ________________________________________________________(ГМТ11).
17. Геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний которых до двух данных точек А и В равна а2, есть _____________________________
________________________________________________________(ГМТ12)
18.______________________________________________________________ ________________________________________________________________ есть перпендикуляр к МN в точке Е, определяемой равенством ЕМ2-EN2=а2.(ГМТ13)
19. Геометрическое место точек, расстояния которых до двух данных точек А и В находятся в данном отношении m:n, есть ______________________
_______________________________________________________(ГМТ14)
20. Геометрическое место точек, из которых касательные к данным двум окружностям равны, есть _________________________________________
________________________________________________________(ГМТ15)
21. Геометрическое место центров окружностей, имеющих данный радиус и пересекающих данную окружность под определенным углом, есть _____
_________________________________________________________(ГМТ16)
Если две окружности данных радиусов пересекаются под данным углом, то хорда пересечения будет иметь определенную длину, и обратно. Поэтому, эту теорему можно выразить в такой форме:
Геометрическое место центров окружностей, имеющих данный радиус R и пересекающих данную окружность по хорде данной длины а, есть концен трическая окружность.
22.Суть метода геометрических мест точек заключается в следующем: ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
23. Выполните анализ в задаче:
Построить треугольник по основанию и двум медианам, проведенным к боковым сторонам.
Пусть треугольник АВС -______
тогда ______________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
24. Выполните анализ в задаче:
Постройте треугольник, зная биссектрису, медиану и высоту, проведённые из одной его вершины.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·25.Выполните анализ и построение в задаче:
Даны точка А и окружность S. Проведите через точку А прямую так, чтобы хорда, высекаемая окружностью S на этой прямой, имела данную длину d.
Анализ: ________________________________________________________________
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Построение:
ОД;
ГМТ1;
ГМТ2;
ГМТ1
·ГМТ2=Д;
АД
· S={М, К};
М13 EMBED Equation.3 1415l; К13 EMBED Equation.3 1415l;
l- искомая.
26. Выполните анализ и построение в задаче :
Построить параллелограмм, по его диагоналям m и n отрезку d, удовлетворяющему условию d2 =а2- b2, где а и b неизвестные стороны параллелограмма.
Анализ:
Пусть АВСД – искомый , тогда ________
_______________________________________________________________________. Из 1 и 2 => если О середина ВД , то ОС= n/2 => С 13 EMBED Equation.3 1415 ГМТ1, __________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________где ЕВ2-ЕД2= d2. Задача сводится к построению ________________________
___________________________________.
Построение:
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
27. Выполните анализ, построение и доказательство в задаче :
Построить треугольник по основанию а, медиане mв на неизвестную сторону и радиуса описанного круга R.
Анализ:
Пусть
·АВС – искомый => ___________
____________________________________________________________________________________________________________
Тогда
·ОВС строим по ____________________________________________________________________________________________________________Рассмотрим
·АОС – равнобедренный и ОМ – медиана, так как ВМ - медиана=>ОМ13 EMBED Equation.3 1415АС=>М13 EMBED Equation.3 1415ГМТ1_________
________________________________________________________________________________________________________________________________ -W1(О1, R/2), где О1- середина ОС Далее , так как МВ=mв, то М13 EMBED Equation.3 1415ГМТ2, ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Построение:
·ВОС: ВС=а,ОВ=ОС=R;
__________
__________
___
·_____=М;
_______________________________________________________________;
·АВС – искомый.
Доказательство: _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Задача :
Построить равнобедренный треугольник у которого основанием служит данный отрезок ВС=а, а вершина А находиться на данном расстоянии h от данной точки М.
Анализ:
Пусть
·АВС – искомый, т.е. __________
___________________________________________________________________________________________________________. =>А 13 EMBED Equation.3 1415ГМТ1 _________________________
________________________________________________________________________ А 13 EMBED Equation.3 1415ГМТ2, __________________________
_______________________________________________________________________. Итак, ___________________________________________________________________________________________________________.
Построение:
____________;
___________;
___________;
_______
·_____=____;
·АВС- искомый
Доказательство: __________________________________________________
________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Исследование: задача _______ типа
Существование и количество решений _______________________________
________________________________________________________________1.Нет решений 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415_______________________________________________.
2.Единственное решение13 EMBED Equation.3 1415 ________________________________________
3.Два решения 13 EMBED Equation.3 1415 _______________________________________________.
29. Задача :
Даны прямая и окружность, не имеющие общих точек. Постройте окружность данного радиуса касающуюся их.
Анализ:
Пусть W(Х,r) - искомая = > 1) W(Х,r) ___________________________________; 2. W(Х,r) _________________________ Если W(Х,r) касается прямой l, то ХН=r, где Н – точка касания => Х 13 EMBED Equation.3 1415 ГМТ, равноудаленных от прямой l на расстояние r- это _____________________
____________________________________ Если W(Х,r) касается W0 (О;R), то ОХ= R+r; Х 13 EMBED Equation.3 1415 ГМТ, удаленных от О на расстоянии (R + r) – это ___________ Таким образом Х= __________________
_______________________________________________________________________.
Построение:
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Доказательство: r – радиус окружности – по построению; х 13 EMBED Equation.3 1415ГМТ 1 => ХН= r, ХН13 EMBED Equation.3 1415 l ( по свойству касательной)=> l –касательная к W (х,r), Х 13 EMBED Equation.3 1415 ГМТ2 =>ОХ= r+R, => W (х,r) – касательная к W0 (О,R).
Исследование: Задача _____ типа
количество решений зависит _______________________________________
Пусть ОН 13 EMBED Equation.3 1415 L, тогда:
Если ГМТ1не пересекает ГМТ2 , то______________________________, так как 2r + R < ОН из треугольника ОНХ,
Если ГМТ1
· ГМТ2 в одной точке , то___________________________, так как 2r + R = ОН
Если ГМТ1
· ГМТ2 в двух точках , то____________________________, так как 2r + R >ОН,
30. Задача :
Построить треугольник по стороне ВС=а, <А=13 EMBED Equation.3 1415 и условию АВ2+СА2=к2, где к – данный отрезок.
Анализ:
Пусть
·АВС – искомый, т.е. ___________
________________________________________________________________________Из _____________ вытекает А13 EMBED Equation.3 1415ГМТ, из которых отрезок ВС= а виден под углом 13 EMBED Equation.3 1415- это ______________________________
Из ______________________________________________ вытекает А13 EMBED Equation.3 1415ГМТ, _______________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________ - это есть W2, окружность с центром О2- середина ВС и r2=Ѕ 13 EMBED Equation.3 1415.
Построение:
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Доказательство: ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Исследование: задача _____________типа
Шаги построения выполнимы и при том однозначно при 2к2- а2>0=> а>13 EMBED Equation.3 1415к и 0<13 EMBED Equation.3 1415<1800. Количество решений зависит от __________________
_______________________________________________________________________________________________________________________________
Возможны случаи: 1) W1
·W2={А1,А2,А3,А4}, но тогда
·ВСА1=
·ВСА2=
·ВСА3=
·ВСА4=>__________________________________.2) W1
·W2=А1 и А213 EMBED Equation.3 1415W1 и W2 касаются, тогда
·ВА1С=
·ВА2С –__________
________________________________________________________________. 3) W1=W213 EMBED Equation.3 1415 r2=а/2 и 13 EMBED Equation.3 1415А=900=>____________________________________
________________________________________________________________, так как за А можно выбрать любую точкуW1=W2 кроме В и С.
4) ______________________________________________ 13 EMBED Equation.3 1415решений нет.
31. Задача :
Построить окружность данного радиуса, касающуюся двух данных окружностей.
Анализ:
Пусть W(О, r)–искомая, тогда__________ ____________________________________________________________________________________________________________. Из _____________ вытекает ОО1= r1+ r =>О 13 EMBED Equation.3 1415ГМТ, _________________________
___________________________________________________________ W4(О2, r2+ r). Итак, О= W3
· W4.
Построение:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Доказательство: ________________________________________________________________=>ОО1= r1+ r => W1 и W __________________________________________, ________________________________________________________________=>ОО2= r2+ r => W2 и W – _________________________________________, ________________________________________________________________=>радиус W равен r.
Исследование: задача ____________ типа
задача может иметь: 1) _____________________________13 EMBED Equation.3 1415О1О2< r1+ r2+ r;
2) ______________________________________________13 EMBED Equation.3 1415О1О2= r1+ r2+ r;
3) _________________________________________13 EMBED Equation.3 1415О1О2> r1+ r2+ r.
32. Задача :
Построить ромб по стороне и радиусу вписанного круга.
Анализ:
Пусть АВСД – искомый ромб =>________
_______________________________________________________________________, то радиус круга = r, центр вписанного в ромб круга лежит ___________________
______________________________________________________________________=> О=АС
·ДВ => 13 EMBED Equation.3 1415ДОС = 900 =>О 13 EMBED Equation.3 1415ГМТ1, ________________________________________________________________________________________________________________________________________________-W1, построенная на ДС как на диаметре.
Так как W- вписанный в АВСД круг, то ДС – касательная к W => расстояние от О до ДС равно радиусу r =>О 13 EMBED Equation.3 1415 ГМТ2,__________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________. Итак, О= l
· W1.
Построение:
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Доказательство: ________________________________________________
=>АВСД – параллелограмм и
·ДОС=
·ДОА =>ДС=ДА =>АВСД- ромб; ________________________________________________________________________________________________________________________________=>АВ=ВС=СД=ДА=а; ___________________________________________
_________________________________________________________________________________=> 13 EMBED Equation.3 1415ДОС=900 =>О – центр вписанного в АВСД круга, шаг 3 =>расстояние от О до ДС= r =>радиус вписанного в ромб круга = r.
Исследование: задача ____________ типа
Существование решений зависит от _________________________________
_______________________________________________________________
1) W1
· l1(l2)= {О,О1,О2,О3} =>____________________________________, так как ромбы равны; 2) l1 и l2 касательные к W1 =>___________________
________________________________________________________________. 3) l1(l2)
· W1= 13 EMBED Equation.3 1415 =>______________________________________________
________________________________________________________________.
Литература.
Александров А.Д. и др. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. Учреждений. – М.: Просвещение, 1995.
Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости: пособие для студентов педагогических институтов. – М.; Просвещение, 1957.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия.В 2-х ч. Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. пед. ин-тов.-М.: Просвещение, 1986.
Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений. –М.: Просвещение, 2002.
Бевз Г. П., Бевз В.Г., Владимирова Н.Г. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. ср. шк.-М.: Просвещение, 1992.
Бычкова О.И. Исследование функций элементарными средствами. Программа элективного курса по математике. –Иркутск: Изд-во Иркут. Гос. пед. ун-та, 2005.
Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. Ч. 1. Учебное пособие для физ. мат. фак. пед. ин-тов.- СПб.: Специальная литература, 1997.
Кисилев А.П. Геометрия.: Учеб. для 7-8 кл.-М.: Просвещение, 1972
Киселёв А.П. Элементарная геометрия. Книга для учителя.-М: Просвещение, 1972.
Мисюркеев И.В. Геометрические построения: пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1950.
Назаретский В.Е., Федин Н.Г. Задачник – практикум по элементарной геометрии. – М.: Просвещение 1965.
Погорелов А.В. Геометрия 7-11: учеб. для общеобразоват. учреждений. –М.: Просвещение, 1996.
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native