Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики
Министерство образования Нижегородской области
Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«Перевозский строительный колледж»
Методические указания
по выполнению внеаудиторнойсамостоятельной работы
по дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики
Для специальности 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы
Составитель: Панькова Наталья Викторовна
г. Перевоз
2014
Составитель: Панькова Н.В.
Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики. Для студентов специальности 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы / Перевоз, 2014. – 38 с.
Данные методические указания составлены в помощь преподавателям и обучающимся.
В методических указаниях представлены задания для внеаудиторной самостоятельной работы.
Предназначены для студентов второго курса, специальности 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы, изучающих дисциплину ЕН.01 Элементы высшей математики.
Рецензент: Кузьмина Т.А. – зав. кафедрой информационных технологий ГБОУ СПО «Перевозский строительный колледж».
© Перевозский строительный
колледж, 2014
Рассмотрено на заседании кафедры
____информационных технологий________
Протокол № ____ «____» _______ 20____ г.
Заведующий кафедрой
_________________ Кузьмина Т.А. Утверждено на заседании
Методического совета
Протокол № ____ «____» _______ 20____ г.
Оглавление
TOC \o "1-3" \h \z \u Введение PAGEREF _Toc432939060 \h 4Цель и задачи освоения дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математики PAGEREF _Toc432939061 \h 5Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математики PAGEREF _Toc432939062 \h 6Раздел 1. Элементы линейной алгебры PAGEREF _Toc432939063 \h 7Тема 1.1 Матрицы и определители PAGEREF _Toc432939064 \h 7Тема 1.2 Системы линейных алгебраических уравнений PAGEREF _Toc432939065 \h 10Раздел 2. Элементы аналитической геометрии. PAGEREF _Toc432939066 \h 12Тема 2.1. Векторы. Операции над векторами. PAGEREF _Toc432939067 \h 12Тема 2.2. Прямые на плоскости. Кривые второго порядка. PAGEREF _Toc432939068 \h 14Раздел 3. Основы математического анализа. PAGEREF _Toc432939069 \h 17Тема 3.1 Теория пределов. Непрерывность функций. PAGEREF _Toc432939070 \h 17Тема 3.2 Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной. PAGEREF _Toc432939071 \h 21Тема 3.3 Интегральное исчисление функции одной действительной переменной PAGEREF _Toc432939072 \h 25Тема 3.4 Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных PAGEREF _Toc432939073 \h 30Тема 3.5 Интегральное исчисление функции нескольких действительных переменных PAGEREF _Toc432939074 \h 32Тема 3.6 Обыкновенные дифференциальные уравнения PAGEREF _Toc432939075 \h 33Раздел 4. Основы теории комплексных чисел PAGEREF _Toc432939076 \h 36Список рекомендуемых источников PAGEREF _Toc432939077 \h 38
ВведениеДанные методические указания по организации внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики имеют своей целью:
систематизацию и закрепление полученных теоретических знаний и практических умений студентов;
углубление и расширение теоретических знаний;
формирование умения использовать справочную и дополнительную литературу;
формирование самостоятельности мышления, способности к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации.
Данный курс составлен в соответствии с требованиями ППССЗ по дисциплине математического и общего естественнонаучного учебного цикла ЕН.01 Элементы высшей математики по специальности 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы.
Цель и задачи освоения дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математикиВ результате изучения данной дисциплины Вы должны
уметь:
выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений;
применять методы дифференциального и интегрального исчисления;
решать дифференциальные уравнения.
знать:
основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии;
основы дифференциального и интегрального исчисления.
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математикиПроцесс изучения дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математики направлен на формирование следующих компетенций в соответствии с программой ФГОС СПО по специальности 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы:
ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.
ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.
ПК 1.2. Разрабатывать схемы цифровых устройств на основе интегральных схем разной степени интеграции.
ПК 1.4. Проводить измерения параметров проектируемых устройств и определять показатели надежности.
ПК 2.2. Производить тестирование, определение параметров и отладку микропроцессорных систем.
Раздел 1. Элементы линейной алгебрыТема 1.1 Матрицы и определителиЦель работы: отработка навыков по выполнению операций над матрицами, вычислению определителей, вычислению обратной матрицы.
Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера.
Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.
cij = aij bijС = А + В = В + А.
Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.
Произведением матриц А и В называется матрица С, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:
.
Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.
Транспонирование матрицы – замена строк матрицы её столбцами (или наоборот).
Задания:
1. Даны матрицы А и В. Найти 2А+В2-5Е.
2. Даны матрицы А и В. Найти А∙В и В∙А и сравнить.
Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a11a22 – a12a21.
Определитель обозначается символом .
Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:
.
Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a11, a12, a13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.
Вообще говоря, определитель может вычисляться разложением по любой строке или столбцу матрицы.
Минор произвольного элемента квадратной матрицы aij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы aij называется его минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы,т.е. Аij=-1i+jМij.
Таким образом, определитель равен сумме произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е. A=aij∙AijДругой способ вычисления определителя называется правилом треугольника.
Таким образом, определитель равен:
Задания:
1. Найти определители матриц А и В.
2. Вычислить определитель матрицы.
Если для матрицы А существует матрица А-1, такая что выпоняется условие: А-1∙A = A∙ А-1 = E, то матрица А-1 называется обратной к матрице А.
Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.
Рассмотрим алгоритм нахождения обратной матрицы:
1. Находим определитель матрицы Δ.
2. Находим транспонированную матрицу АТ
3. Для элементов матрицы АТ находим алгебраические дополнения АijТ4. Элементы обратной матрицы можно вычислить по формуле:
аij=AijT∆Задания:
1. Найти матрицы, обратные к матрицам А и В.
Вид контроля: оценка решенных задач
Тема 1.2 Системы линейных алгебраических уравненийЦель занятия: отработка навыков решения систем линейных уравнений.
Пусть дана система уравнений:
,
Это система линейных алгебраических уравнений.
Составим матрицы: A = ; B = ; X = .
А- матрица системы, состоящая из коэффициентов при неизвестных,
В- матрица-столбец, состоящий из свободных членов,
Х- матрица-столбец неизвестных.
Метод Крамера.
Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными.
A = ; 1= ; 2= ; 3= ;
x1 = 1/detA; x2 = 2/detA; x3 = 3/detA;
Метод Гаусса.
Сущность метода заключается в следующем: составляем расширенную матрицу системы. С помощью элементарных преобразований приводим её к ступечатому виду. Составляем новую систему и находим решение системы.
Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:
1) умножение строки на число, отличное от нуля;
2) прибавление к элемнтам одной строки элементов другой строки;
3) перестановка строк;
4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);
5) транспонирование;
Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.
С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).
Матричный метод.
Систему уравнений можно записать в виде произведения матриц А∙Х=В. Тогда Х=А-1∙В, т.е. находим обратную матрицу А-1 и умножаем её на столбец свободных членов.
Задания.
Решить системы уравнений тремя способами:
Вид контроля: оценка решенных задач
Раздел 2. Элементы аналитической геометрии.Тема 2.1. Векторы. Операции над векторами.Цель занятия: отработка навыков по выполнению основных действий над векторами.
Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.
Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.
Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то .
Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.
Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.
Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.
Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.
Суммой векторов является вектор -
Произведеним вектора на число α - , при этом коллинеарен .
Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат тогда линейные операции над ними в координатах имеют вид:
Вектор сонаправлен с вектором ( ), если > 0.
Вектор противоположно направлен с вектором (), если < 0.
Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении /, считая от А, то координаты этой точки определяются как:
В частном случае координаты середины отрезка находятся как:
x = (x1 + x2)/2; y = (y1 + y2)/2; z = (z1 + z2)/2.
Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.
= cos
Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:
;
Задания.
Векторы а и b взаимно перпендикулярны, причём |а| = 5 и |b| = 12. Определить |a + b| и |а — b |.
Векторы а и b образуют угол φ = 60°, причём |а| = 5 и |b| = 8. Определить |а + b| и |а — b|.
Векторы а и b образуют угол φ=120°, причём |а| = 3 и |b| = 5. Определить |а + b| и |а — b|.
Какому условию должны удовлетворять векторы а и b, чтобы имели место следующие соотношения: 1) |а + b| = |а — b|, 2) |а + b| >|а — b|, 3) |а + b| <|а — b|.
Какому условию должны удовлетворять векторы а и b, чтобы вектор а + b делил пополам угол между векторами а и b.
По данным векторам а и b построить каждый из следующих векторов: 1) 3а; 2) —b; 3) 2а + b; 4) а — 3b.
Векторы а и b образуют угол ; зная, что |а| = 3, |b| = 4, вычислить: 1) аb; 2) а2; 3) b2; 4) (а + b)2; 5) (3а — 2b) (а + 2b); 6) (а —b)2; 7) (3а + 2b)2.
Векторы а и b взаимно перпендикулярны; вектор с образует с ними углы, равные , зная, что |а| = 3, |b | = 5, |c| = 8, вычислить: 1) (3а — 2b) (b + 3с); 2) (а + b + c)2; 3) (а + 2b— 3с)2.
Даны точки . Используя свойства векторного произведения, найти площадь треугольника АВС и внутренний угол при вершине В.
Будут ли его диагонали АС и ВД взаимно перпендикулярны
Вид контроля: оценка решенных задач
Тема 2.2. Прямые на плоскости. Кривые второго порядка.Цель занятия: закрепление навыков по составлению уравнений прямых на плоскости и уравнений кривых второго порядка.
Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть в пространстве заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду: и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Каждый ненулевой вектор (1, 2), компоненты которого удовлетворяют условию А1 + В2 = 0 называется направляющим вектором прямой Ах + Ву + С = 0.
Уравнение прямой в отрезках.
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С 0, то, разделив на –С, получим: или , где
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Нормальное уравнение прямой.
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим xcos + ysin - p = 0 –
нормальное уравнение прямой.
Знак нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы С < 0.
р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Угол между прямыми на плоскости.
Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как
.
Две прямые параллельны, если k1 = k2.
Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку
перпендикулярно данной прямой.
Прямая, проходящая через точку М1(х1, у1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:
Задания.
Вычислить угловой коэффициент k прямой, проходящей через две данные точки:
а) M1,(2; —5), М2(3; 2); б) P(— 3; 1), Q(7; 8);
в) A(5; —3), В(— 1; 6).
Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника A (5; —4), В(—1; 3), С(—3; —2) параллельно противоположным сторонам.
Даны середины сторон треугольника: М1(2; 1), М2(5; 3) и М3(3; —4). Составить уравнения его сторон.
Даны две точки: Р(2; 3) и Q(—1; 0). Составить уравнение прямой, проходящей через точку Q перпендикулярно к отрезку PQ.
Составить уравнение прямой, если точка Р(2; 3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.
Даны вершины треугольника М1(2; 1), M2(—1; —1) и M 3(3; 2). Составить уравнения его высот.
Кривая второго порядка может быть задана уравнением
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.
Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.
- уравнение эллипса.
- уравнение “мнимого” эллипса.
- уравнение гиперболы.
a2x2 – c2y2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.
y2 = 2px – уравнение параболы.
y2 – a2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.
y2 + a2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.
y2 = 0 – пара совпадающих прямых.
(x – a)2 + (y – b)2 = R2 – уравнение окружности.
Задания: Привести уравнение второго порядка к каноническому виду, определпить вид кривой второго порядка и найти основные характеристики.
х2 - у2 - 16=0
9х2 - 16у2 - 54х - 64у - 127=0
9х2 + 4у2 - 18х - 8у - 23=0
4х2 + 9у2 - 18у - 27=0
9х2 - 4у2 + 8у - 40=0
х2 + у2 + 2х - 2у - 2=0
4х2 + у2 - 8х + 2у + 1=0
х2 + у2 - 4х + 2у + 4=0
х2 - у2 - 25=0
4х2 – у - 4=0
х2 - у2 - 4=0
25х2 – 100 + 4у2=0
х2 + у2 + 10у=0
4х2 - у2 - 64=0
х2 + 4у2 + 2х - 3=0
-2х2 - 16х + 2у - 10=0
Вид контроля: оценка решенных задач
Раздел 3. Основы математического анализа.Тема 3.1 Теория пределов. Непрерывность функций.Цель занятия: закрепление навыков по вычислению пределов и классификации точек разрыва.
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)
y f(x)
A +
A
A -
0 a - a a + x
Число А называется пределом функции f(x) при ха, если для любого >0 существует такое число >0, что для всех х таких, что 0 < x - a < верно неравенство f(x) - A< .
То же определение может быть записано в другом виде: Если а - < x < a + , x a, то верно неравенство А - < f(x) < A + .
Запись предела функции в точке:
Если f(x) A1 при х а только при x < a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) A2 при х а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.
у
f(x)
А2
А1
0 a x
Задания: Вычислить пределы функций
Вариант № 1
;
;
;
Вариант № 2
;
;
;
;
Вариант № 3
;
Вариант № 4
;
;
;
Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
Тот же факт можно записать иначе:
Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.
Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.
Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.
Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.
Первый замечательный предел.
Второй замечательный предел.
Задания:
Задана функция и два значения аргумента y=f(x). Установить: является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных аргументов; в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва справа и слева и определить тип точки разрыва.
Вид контроля: оценка решенных задач
Тема 3.2 Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной.Цель занятия: отработка навыков нахождения производной, дифференциала и алгоритма исследования функции.
Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.
Основные правила дифференцирования.
1) (u v) = u v
2) (uv) = uv + uv
3), если v 0
4) производная сложной функции
Производные основных элементарных функций.
1)С = 0;9)
2)(xm) = mxm-1; 10)
3) 11)
4) 12)
5) 13)
6) 14)
7)15)
8) 16)
Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции. Обозначается dy или df(x). Из определения следует, что dy = f(x)x или dy = f(x)dx. Можно также записать:
Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную
Если найти производную функции f(x), получим вторую производную функции f(x).
т.е. y = (y) или .
Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.
Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:
Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при ха равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.
Неопределенности вида можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)>0 вблизи точки а при ха. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).
Схема исследования функций
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:
Область существования функции.Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.
Точки разрыва. (Если они имеются).
Интервалы возрастания и убывания.
Точки максимума и минимума.
Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.
Области выпуклости и вогнутости.
Точки перегиба.(Если они имеются).
Асимптоты.(Если они имеются).
Построение графика.
Задания.
1. Найти производную сложной функции:
2. Найти вторую производную.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
3. Найти :
,
,
4. Найти :
5. Вычислить предел, используя правило Лопиталя
.
46579087630
6. Найти асимптоты графика функции
.
7. Исследовать на экстремумы функции:
lefttop
8. Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:
б) в)
Вид контроля: оценка решенных задач
Тема 3.3 Интегральное исчисление функции одной действительной переменнойЦель занятия: отработка навыков нахождения неопределенных и определенных интегралов.
Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:
F(x) + C.
Записывают:
Свойства:
1.
2.
3.
4. где u, v, w – некоторые функции от х.
5.
Таблица неопределнных интгералов
Интеграл Значение Интеграл Значение
1 -lncosx+C 9 ex + C
2 lnsinx+ C 10 sinx + C
3 11 -cosx + C
4 12 tgx + C
5 13 -ctgx + C
6 ln 14 arcsin + C
7 15
8 16
Методы интегрирования.
1. Непосредственное интегрирование.
Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.
2. Способ подстановки (замены переменных).
Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:
3. Интегрирование по частям.
Способ основан на формуле ;
4. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование рациональных дробей.
Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.
Элементарными называются дроби следующих четырех типов:
I. III.
II. IV.
m, n – натуральные числа (m 2, n 2) и b2 – 4ac <0.
Теорема: Если - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x - a)…(x - b)(x2 + px + q)…(x2 + rx + s) ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:
где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины.
При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.
Определенный интеграл.
Обозначение :
а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.
Свойства определенного интеграла.
Вычисление определенного интеграла.
Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)
Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то
это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.
Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x).
Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.
Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.
Геометрические приложения определенного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур.
Вычисление объемов тел.
Объем тел вращения.
Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a, ).
Обозначение:
Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.
Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.
Задания.
1. Вычислить неопределенные интегралы:
1. 21.
2. 22.
3. 23.
4. 24.
5. 25.
6. 26.
7. 27.
8. 28.
9. 29.
10. 30.
11. 31.
12. 32.
13. 33.
14. 34.
15. 35.
16. 36.
17. 37.
18. 38.
19. 39.
20. 40.
2. Вычислить интегралы от дробно-рациональных функций
3. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
;
;
;
;
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) .
5. Найдите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:
1) вокруг оси ОХ;
2) вокруг оси ОХ;
3) вокруг оси ОХ;
4) вокруг оси ОY;
Вид контроля: оценка решенных задач
Тема 3.4 Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменныхЦель занятия: отработка навыков нахождения области определения, частных производных функции нескольких пременных.
Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.
z = f(x, y)
Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.
Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М0(х0, у0), если для каждого числа > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие также верно и условие .
Записывают:
Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение х к переменной х. Тогда величина xz = f( x + x, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.
Можно записать
.
Тогда называется частной производной функции z = f(x, y) по х.
Обозначение:
Аналогично определяется частная производная функции по у.
Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно х и у приращения функции z в точке (х, у).
Для функции произвольного числа переменных:
Частные производные вида и т.д. называются смешанными производными.
Задания.
1. Найти область определения функции двух переменных (дать геометрическое истолкование).
1.1. . 1.2. .
1.3. . 1.4. .
1.5. . 1.6. .
1.7. . 1.8. .
2. Найти частные производные , от функции .
2.1. . 2.2. .
2.3. . 2.4. .
2.5. . 2.6. .
2.7. . 2.8. .
2.9. . 2.10. .
Вид контроля: оценка решенных задач
Тема 3.5 Интегральное исчисление функции нескольких действительных переменныхЦель занятия: отработка навыков нахождения области определения, частных производных функции нескольких пременных.
Если при стремлении к нулю шага разбиения области интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области .
С учетом того, что Si = xi yi получаем:
В приведенной выше записи имеются два знака , т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.
Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Рi, то, считая все площади Si одинаковыми, получаем формулу:
Задания.
1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и сделать чертеж области интегрирования
2. Вычислить двойной интеграл по области D
3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат к полярным:
4. Вычислить площадь плоских фигур, ограниченных данными линиями
Вид контроля: оценка решенных задач
Тема 3.6 Обыкновенные дифференциальные уравненияЦель занятия: отработка навыков решения дифференциальных уравнений.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.
Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.
Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = (x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.
Решение вида у = (х, С0) называется частным решением дифференциального уравнения.
Задания.
1. Найти общее решение дифференциального уравнения
2. Найти решение задачи Коши
3. Найти общее решение уравнения .
4. Найти общее решение уравнения
5. Найти общее решение уравнения
6. Найти общее решение дифференциального уравнения.
ex+2y dy=x dx. sin2ycosx dy=cos2ysinx dx. 1+exyy'=ex. (cosx-2y+cos(x+2y))y'=sinx. y'ctg x+y=2. cosydx=21+x2dy+cosy1+x2dy.3y2-x2=yy'x. xy+x3yy'=1+y2. x2+xydx+y2+1dy=0. 2xyy'=1-x2. y2+1dx=xydy. y+1y'=y1+x2+xy. 1-y2dx+y1-x2dy=0. y-xy'=xsec(y/x). y2-2xydx+x2dy=0. xy'=ycosln(y/x). y'x+x+y=0. xy+y2=2x2+xyy'. (y2-2xy)dx-x2dy=0. y'=x/y+y/x. 7. Найти частное решение дифференциального уравнения.
x2+1y'+4xy=3, y0=0 y'=2xx2+y, y0=0 yx'+x=4y3+3y2, y2=1 y=xy'-xcosx, yπ/2=0 (sin2y+x ctg y)y'=1, y0=π/2 1-x2y'+xy=1, y0=1 xy'+y=lnx+1, y1=0 8. Найти общее решение дифференциального уравнения.
y'+y=xy. xy dy=y2+xdx. xy'-2xy=4y. xy'-2x3y=y. 2x3yy'+3x2y2+1=0. y'+2xy=2x3y3. y'=xy+xy/(x2-1). 9. Найти частное решение дифференциального уравнения.
y'''=sinx, x0=π2, y0=1, y'0=0, y''0=0y''=4cos2x, x0=π4, y0=1, y'0=3.y''=1/1-x2, x0=1, y0=2, y'0=3. y'''=ex/2+1, x0=2, y0=8, y'0=5, y''0=2.y''=cosx +ex, x0=π, y0=-e-π, y'0=-1. y''=2sin2x ∙cosx, x0=π, y0=1/9, y'0=1, y'''=cos4x, x0=π, y0=2, y'0=15/16, y''0=010. Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающее понижение порядка.
(1-x2)y''-xy'=2. y''x lnx=y'. xy''=y'. y''-2y'ctg x=sin3x. y''+y'=sinx. 11. Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающее понижение порядка, которое удовлетворяет заданным условиям.
y''=y'ey, y0=0, y'(0)=1 y''tg y=2y'2, y1=π/2, y'(1)=2 y''2=y', y0=2/3, y'(0)=1 y''=y'+y'2, y0=0, y'(0)=1 2y'2=y-1y''. y0=2, y'(0)=2 y(1-lny)y''+(1+lny)y'2=0. y0=1, y'(0)=1 y''=1/y, y0=0, y'(0)=0 Вид контроля: оценка решенных задач
Раздел 4. Основы теории комплексных чиселЦель занятия: отработка навыков работы с комплексными числами.
Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:
При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).
Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.
Данная форма представления комплексного числа называется алгебраической формой записи комплексного числа.
Числа и называются комплексно – сопряженными.
Следующая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа:
При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона - аргументом комплексного числа.
.
Из геометрических соображений видно:
Задания.
1. Найдите сумму и произведение комплексных чисел и если:
2. Найдите разность и частное комплексных чисел и , если:
3. Выполните действия
4. Записать комплексное число Z в алгебраической форме:
1) ,
2) ,
5. Записать число Z в тригонометрической форме:
1) ,
2) ,
3) ,
4) .
Вид контроля: оценка решенных задач
Список рекомендуемых источниковОсновная литература
Богомолов Н.В. Математика: Учебник. – М.: Дрофа, 2010. – 395 с.
Григорьев С.Г. Математика: Учебник. – М.: Академия, 2014. – 416 с.
Лисичкин В.Т. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. – СПб.: Лань, 2011. – 464 с.
Пехлецкий И.Д. . Математика: Учебник. – М.: Академия, 2012. – 304 с.
Интернет-ресурсы
Портал Math.ru: библиотека, медиатека, олимпиады, задачи, научные школы, учительская, история математики
http://www.math.ruМатематика в Открытом колледже
http://www.mathematics.ruМатериалы по математике в Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов
http://school_collection.edu.ru/collection/matematika/Образовательный математический сайт Exponenta.ru
http://www.exponenta.ruОбщероссийский математический портал Math_Net.Ru
http://www.mathnet.ruПортал Allmath.ru – вся математика в одном месте
http://www.allmath.ruИнтернет-библиотека физико-математической литературы
http://ilib.mccme.ruМатематика онлайн: справочная информация в помощь студенту
http://www.mathem.h1.ru