Приложение к курсу Наглядная геометрия 6 класс

Формула ПикаПриложение к курсу «НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ»МБОУ СОШ №182 г. НовосибирскаУчитель математики: Небольсина Евгения Александровна Цели работы:Выяснение существования иной, отличной от школьной программы, формулы нахождения площади решетчатого многоугольника.Нахождение области применения искомой формулы.  Георг Александр Пик (1859-1942) австрийский математикГеорга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг окончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику.В Немецком университете в Праге Георг Пик в 1900—1901 годах занимал пост декана философского факультета. Пик и физик Антон Лампа были главными инициаторами назначения Альберта Эйнштейна профессором в университет, и благодаря их усилиям Эйнштейн, с которым Пик впоследствии сдружился, в 1911 году возглавил кафедру теоретической физики в Немецком университете в Праге. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, лемма Шварца — Пика.  В — количество целочисленных точек внутри многоугольника Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.Формула Пика (или теорема Пика) — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел, согласно которому площадь многоугольника с целочисленными вершинами равнаS=В + Г/2 − 1Формула выполняется, если вершины многоугольника находятся в точках целочисленной решётки. Применение формулы ПикаНесмотря на различие форм представленных фигур, все они имеют одинаковую площадь: В = 1, Г = 5, S = В + Г/2 − 1 = 2,5В частности, площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2. Этот факт даёт геометрическое доказательство формулы для разницы подходящих дробей цепной дроби. Применение формулы ПикаДля многоугольника, изображенного на рисунке, В=23, Г=7. Поэтому S= 23+3,5+1=27,5 клетокПонятно, что площади треугольника, параллелограмма или трапеции проще и быстрее находить по соответствующим формулам. А вот когда дан многоугольник с количеством углов 5 и более, формула подсчета площади с вершинами в узлах сетки становится универсальной.Вообще, формула Пика очень удобна, когда сложно догадаться, как разбить фигуру на удобные многоугольники или достроить. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см на 1 см изображены фигуры (см. рисунок). Найдите их площади в квадратных сантиметрах.Применение формулы ПикаВ – 5; Г – 14, то 5+14:2-1=11 кв.смВ-14, Г-10,то 14+10:2-1=18 кв.смВ-9, Г-12, тогда: 9+12:2-1=14 кв.см




По формуле Пика S =В +½Г-1В=36, Г=21 S = 36 + ½·21 -1=36+10,5-1=45,5

По формуле Пика S =В +½Г-11) туловище В=4,Г=11, S=4+½·11-1=3+5,5=8,52)хвост В=0,Г=5, S=0+½·5-1=1,53) S=8,5+1,5=10