Презентация по математике на тему производная и ее применение
Производная
Происхождение производной.В конце 17 века в Европе образовались две крупные математические школы. Главой одной из них был Готфрид Вильгельм фон Лейбниц. Его ученики и сотрудники – Лопиталь, братья Бернулли, Эйлер жили и творили на континенте. Вторая школа, возглавляемая Исааком Ньютоном, состояла из английских и шотландских ученых. Обе школы создали новые мощные алгоритмы, приведшие по сути к одним и тем же результатам – к созданию дифференциального и интегрального исчисления.
Исаак Ньютон (1643 – 1727)Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716)
Происхождение производной.Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности. Такие задачи можно найти у Евклида и у Архимеда, однако основное понятие – понятие производной функции – возникло только в17 веке в связи с необходимостью решить ряд задач из физики, механики и математики, в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного неравномерного движения и построения касательной к произвольной плоской кривой.Первую задачу: о связи скорости и пути прямолинейно и неравномерно движущейся точки впервые решил Ньютон. Он пришел к формуле :
Памятник Ньютону в Кэмбридже.
Ньютон пришел к понятию производной, исходя из вопросов механики. Свои результаты в этой области он изложил в трактате «Метод флюксий и бесконечных рядов». Написана работа была в 60-е годы 17 века, однако опубликована после смерти Ньютона. Ньютон не заботился о том, чтобы своевременно знакомить математическую общественность со своими работами. Флюксией называлась производная функции – флюэнты.Флюэнтой таже в дальнейшем называлась первообразная функция.
В подходе Лейбница к математическому анализу были некоторые особенности. Лейбниц мыслил высший анализ не кинематически, как Ньютон, а алгебраически. Он шел к своему открытию от анализа бесконечно малых величин и теории бесконечных рядов.В 1675 году Лейбниц завершает свой вариант математического анализа, тщательно продумывает его символику и терминологию, отражающую существо дела. Почти все его нововведения укоренились в науке и только термин «интеграл» ввёл Якоб Бернулли (1690), сам Лейбниц вначале называл его просто суммой.
Памятник Лейбницу в Лейпциге.
По мере развития анализа выяснилось, что символика Лейбница, в отличие от ньютоновской, отлично подходит для обозначения многократного дифференцирования, частных производных и т. д. На пользу школе Лейбница шла и его открытость, массовая популяризация новых идей, что Ньютон делал крайне неохотно.
Работы Лейбница по математике многочисленны и разнообразны.В 1666 году он написал первое сочинение: «О комбинаторном искусстве». Сейчас комбинаторика и теория вероятности одна из обязательных тем математики в школе.
В1672 году Лейбниц изобретает собственную конструкцию арифмометра, гораздо лучше паскалевской — он умел выполнять умножение, деление и извлечение корней. Предложенные им ступенчатый валик и подвижная каретка легли в основу всех последующих арифмометров.Лейбниц также описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1, на которой основана современная компьютерная техника.
Производной функции у = f(x), заданной на некотором интервале (a; b), в некоторой точке х этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. f ′(x) = lim∆f ∆x ∆x→0
Нахождение производной называют дифференцированием
Таблица производных{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}f (x)f ′(x)f (x)f ′(x)C0√x1/(2√x)kx + bkexexx22xaxax lnaxnnxn–1tg x1/cos2x1/x– 1/x2ctg x– 1/sin2xsin xcos xln x1/xcos x– sin xloga x1/(x lna)
Правила нахождения производной1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в этой точке производную, причем (u + v)′ = u′ + v′2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С – данное число, то функция С∙u(x) также имеет в этой точке производную, причем (Сu)′ = С∙u′
Правила нахождения производной3. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их произведение u(x) ∙ v(x) также имеет в этой точке производную, причем (u ∙ v)′ = u′∙v + u∙v′4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и v(x) ≠ 0, то функция также имеет в этой точке производную, причем v(x)1v 2v′= –v1( )′
Правила нахождения производной5. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные и v(x) ≠ 0, то функция также имеет в этой точке производную, причем v(x)u(x)v 2u′v – uv′= ( )vu′6.Производная сложной функции(f(g(x)))′ = f′(g(x))∙g′(x)
Примеры
Примеры
подсказкаТело, подброшенное вверх движется по закону s(t) = 4+ 8t – 5t 2 . Найдите:1) Скорость тела в начальный момент времени;2) Наибольшую высоту подъёма тела.РЕШЕНИЕ.2) t= 0, v(0) = s`(0) = 8 м/с – скорость тела в начальный момент времени 1) v (t) = s` (t) = 8 – 10t - скорость тела;3) s (0,8)= 4+ 8·0,8 – 5· 0,64 =7,2 м – максимальная высота броска тела.Ответ: 8 м/с ; 7,2 м . ЗАДАЧА №1
ЗАДАЧА №2 При каких значениях х значение производной функции равно 0
“При изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила” “Примеры учат больше, чем теория”.И. НьютонМ. Ломоносов
Примеры
Производнаяи ее применение
style.rotationppt_wppt_y
Правильный ответПравильный ответПравильный ответПравильный ответПравильный ответНайдите производные функций:
Найдите производную функции(устно):а) у = 6х5 – 7х3 + 2х2 – 5, у/ = 30 х4 – 21х2 + 4х ,б) у = (4 – 5х)7, у/ = 7·(– 5)·(4 – 5х)6 = – 35·(4 – 5х)6 в) у = 8 + 3cosх, у/ = 8 – 3sinхг) у = 4sinх – 6 lnx, у/ = 4 cos х – 6/хПравильный ответПравильный ответПравильный ответПравильный ответ
Найдите производную функции(устно): Правильный ответПравильный ответПравильный ответПравильный ответ
3.4.5.
k = f ′(xo) = tg α – это угловой коэффициент касательной.f(xo)Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции f – это прямая, проходящая через точку (хо; f(xо)) и имеющая угловой коэффициент f ′(хо).хухоy = kx + bαy = f(x)0
Общий вид уравнения касательнойy = f ′(xo)(x – xo) + f(xo)Алгоритм составления уравнения касательной1о Находим значение функции в точке хо: f(xo).2о Дифференцируем функцию: f′(x). 3о Находим значение производной в точке хо: f′(xo).4о Подставляем эти данные в общее уравнения касательной: y = f′(xo)(x – xo) + f(xo).
Одна из основных задач исследования функции – это нахождение промежутков её возрастания и убывания.Признак возрастания функции:Если f´(x)>0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.Признак убывания функции:Если f´(x)<0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
Алгоритм решения неравенств методом интервалов:Выделить функцию y=f(x).Найти область определения функции D(f). Указать промежутки непрерывности.Найти нули функции, решив уравнение f(x)=0.Определить знак функции между её нулями в области определения.
Решите неравенство:1. 2x+5≠0, х ≠-2,52. f(x)=0, если x1= 8, x2= -23.Ответ: X8-2-2,5
Алгоритм нахождения промежутков возрастания (убывания) функции y=f(x):Найти производную функции f´(x). Решить уравнение f´ (x) =0.Найти знак производной на каждом интервале.Согласно признаку возрастания (убывания) функции, найти промежутки возрастания и убывания.
Найдите промежутки возрастания и убывания функции:1. 2. f´(x)=0, если 3.Ответ: X10f´(x)f (x)
f′(x)xoМинимум функцииТочка хо называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки хо, что для всех х ≠ хо из этой окрестности выполняется неравенство f(x)> f(xo). Если в точке хо производная функции f(x) меняет знак с «–» на «+», то хо – точка локального минимума функции f(x). f(x)–+xminf(xо) – минимум функции
xoМаксимум функцииТочка хо называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки хо, что для всех х ≠ хо из этой окрестности выполняется неравенство f(x)< f(xo). Если в точке хо производная функции f(x) меняет знак с «+» на «–», то хо – точка локального максимума функции f(x). f′(x)f(x)+–xmaxf(xо) – максимум функции
Алгоритм исследованияфункции на монотонность1о Дифференцируем функцию: f′(x). 2о Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0.3о Решаем неравенства: f′(x) > 0 и f′(x) < 0. 4о Полученные данные изображаем на схеме:5o a) Промежутки возрастания: (– ∞; х1]; [x2; x3]. б) Промежутки убывания: [x1; x2]; [x3; + ∞).f′(x)x2f(x)–+x+–x1x3
Алгоритм исследованияфункции на экстремумы1о Дифференцируем функцию: f′(x). 2о Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0.3о Решаем неравенства: f′(x) > 0 и f′(x) < 0. 4о Полученные данные изображаем на схеме:5o a) х1; x3 – точки максимума; x2 – точка минимума. б) f(x1); f(x3) – максимумы функции; f(x2) – минимум функции.f′(x)x2f(x)–+x+–x1x3
ПримерыПример 1. Найти точку максимума функции у = х3 +3х2 -24х+5Решение: Требуется найти критическую точку, в которой знак производной меняется с плюса на минус.Область определения функции: Найдем критические точки функции: у/ = 3х2 +6х -24 = 0х2 + 2х -8= 0, D = 4 - 4 ∙1 ∙ (-8) = 4+32=36, х1= (- 2 + 6) / 2= 2, х2= (-2- 6) / 2=-4 , -Критические точки.Исследуем знак производной на интервалах, разделенных критическими точками: + − + х - 4 2 max minОтвет: x = - 4.
Пример 2. Найдите точки экстремума функции и определите их характер.y= x 4 −8x2.Решение: y = x 4 −8x2 , D(y) = R , y = (x 4 − 8x2) = 4x 3 – 16x, y = 0, 4x 3 – 16x = 0, 4x(x2 − 4) = 0, 4x(x− 2) (x + 2) = 0, x1= 0 или х−2=0 или х + 2=0 х2 = 2 х3 = − 2х1= 0, х2 = 2, х3 = − 2 – это стационарные точки. − + − + -2 0 2 хФункция убывает на (-;−2, на 0; 2. Функция возрастает на -2; 0, на 2; +).х3 = −2, х2 = 2 – это точки минимума. х1= 0 – это точка максимума.Ответ: х3 = −2, х2 = 2– это точки минимума, х1= 0 – это точка максимума.
Пример 3. Найдите точки экстремума функции и определите их характер.y= 2x5 + 5x4 − 10x3 + 3.Решение: y = 2x5 + 5x4 −10x3 + 3, D(y) = R,y = (2x5 + 5x4 − 10x3 + 3) = 10x4 +20x3 −30x2 = 10х2 (х −1)(х +3), y = 0 ,10x4 +20x3 −30x2 = 0, 10x2 (x2 + 2x − 3) = 0,x 2 = 0 или х2 + 2х − 3=0,х1= 0 х2 = 1, х3 = − 3.х1 = 0, х2 = 1, х3 = − 3 – это стационарные точки. -3 0 1 хФункция возрастает на (− ; −3, на 1; + ). Функция убывает на − 3; 1.х3 = − 3 – это точка максимума. х2 = 1 – это точка минимума.Ответ: х3 = − 3 – это точка максимума, х2 = 1 – это точка минимума. +++––
Спасибо за внимание!