Урок по математике для студентов 1 курса «Определенный интеграл и его приложения»

ПЛАН УРОКА
Тема урока: «Определенный интеграл и его приложения»
Тип урока: повторительно-обобщающий
Цель урока:
а) обучающая: закрепление навыков в решении задач с приложением определенного интеграла;
б) воспитывающая: сознательное усвоение материала;
в) развивающая: обучение учащихся умозаключениям.
Организационный момент.
а) отметить в журнале отсутствующих учащихся;
б) проверить готовность учащихся к уроку (наличие у учащихся тетрадей, учебников, чертежных
инструментов);
в) проверить подготовленность классного помещения к уроку (чистота, классная доска, мел,
таблицы).
Провести фронтальный письменный опрос всех учащихся по вопросам:
1) записать формулы интегрирования;
2) сформулировать свойства определенного интеграла;
3) записать формулы для вычисления площадей, объемов тел вращения, давления жидкости и работы силы с помощью определенного интеграла.
Устный опрос:
1) Вычисление определенного интеграла с помощью неопределенного.
Формула Ньютона-Лейбница;
2) Способы интегрирования.
Решить примеры на вычисление определенного интеграла способами:
а) Непосредственное интегрирование:
0π22cos x-3sinxdx= 0π2cos x dx- 0π23sin x dx=[2sinx+ 3cos x]0π2= 2sinπ2+ 3 cosπ2- 2sin0+3cos0=2-3= -1б) Способ подстановки:
Вычислить π18π125sin6xdxПусть 6x=t, тогда 6dx=dt, dx= dt6Вычислим новые пределы интегрирования:
tdn=6x=6*π12=π2, tnn=6x=6*π18= π3Получим новый интеграл:
5π18π12sin6xdx=5π3π2sintdt6= -56costπ3π2= -56 cosπ2- cosπ3= -56 0- 12= 512в) Способом интегрирования по частям:
Формула интегрирования по частям имеет вид: abudv= uvab-abvduПример. Вычислить 12lnxdxПолагая u=lnx, dv = dx, находим du=dxx и v=x.
Применяя формулу интегрирования по частям:
12lndx= xlnx12-12xdxx= xlnx12-x12=2ln2-1=ln4-13) Вопрос.
Какие площади вычисляем с помощью определенного интеграла?
Показать геометрическое их изображение.
у у у м

S
S1 S2 S
а о в c х о а х о а в х
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=13x2-3 и осью абсцисс.
Решение. Парабола лежит под осью абсцисс, потому площадь искомой фигуры будет со знаком минус. Приравнивая данную функцию к нулю, найдем пределы интегрирования: а = - 3, в=3.
Затем интегрируем:
S= -3313x2-3dx=[13*x33-3x]-33=19*33-3*3-19-33-3-3=3-9+3-9=12 (кв.ед) у
Вопрос к группе:
Назвать более рациональный способ решения.

Ответ: S=203(13x2-3)dx -3 0 3 х
4) Задача.
Вычислить объем шара, образованного вращением полуокружности х2+у2=16 вокруг оси ОХ.
Решение. Находим пределы интегрирования:
х2 = 16, х = + 4
у2=16-х2
Применяем формулу: Vmdp=πaby2dxVm=π-4416-x2dx=[16x-x33]-44=π(16*4-433+16*4+-433=2563π (куб.ед.).
Вопрос. Назвать рациональный способ вычисления.
5) Задача. Найти силу давления, испытываемого плотиной, имеющей форму трапеции, параллельные основания которого равны 40 м.и 15 м.и высота 8 м. Верхнее основание плотины лежит на поверхности воды.
A Z E B CD=CF+FD=CF+15 Из подобия треугольников AQE и CQFполучаем:
C K F h
8 D CFAE=QKQZ илиCE25=8-h8 CF=25(8-h)8 следовательно:
СD=25(8-h)8+15=40-258h Q
P=980008(40-258h)hdh=7325*103Давление вычислено по формуле:
P=σh0h1h*CD*dh6) Задача. Из цистерны цилиндрической формы с радиусом основания 2 м и высотой 3 м нужно выкачать воду. Вычислить работу которую необходимо совершить, чтобы выкачать воду из цистерны.
Решение. Работу вычисляем по формуле: A= abfxdxОбъем высоты слоя dx равен ΔV=πx2dx и изменение веса Р на величину ΔР=9810 πr2dx, а совершаемая работа А измененная на величину dA=9810 πr2dx.
Тогда A=039810 πr2dx=4905π*1*32=44145π Дж.
Сделать вывод.
Для того, чтобы применить определенный интеграл к решению практических задач, надо знать пределы интегрирования и подинтегральную функцию.
6) Задание на дом.
Повторить тему «Определенный интеграл и его приложение»:
Решить задачи.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. y=14x2, y=0, x=-2, x=4.Найти объем тела, полученный от вращения эллипса x225+y216=1 вокруг малой оси.
Рессора прогибается под нагрузкой 3 т на 2 см.Какую работу нужно затратить для деформации рессоры на 3 см.
Подготовиться к контрольной работе.
Наглядные пособия к уроку:
Таблицы: а) формулы интегрирования;
б) примеры вычисления площадей с помощью определенного интеграла;
в) примеры вычисления объемов тел вращения с помощью определенного интеграла.