Методическое пособие: Производная. Интеграл.

















Математика.
Производная. Интеграл.

Учебное пособие



Автор-составитель: М.В.Лапин



для студентов всех специальностей



















Содержание

Введение. 3
Производная и её приложения
Формулы дифференцирования...
Геометрический смысл производной
Физический смысл производной..
Приложения производной к исследованию функции
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке..
Решение задач геометрического содержания на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции
Применение дифференциала для приближенных вычислений
Вопросы для самопроверки
Неопределённый интеграл..
Таблица основных интегралов...
Методы интегрирования.
Определённый интеграл..
Вычисление площади фигуры с помощью определённого интеграла..
Вопросы для самопроверки
Задания для самоконтроля..
Литература










6
8
10
11
11

15

16
18
19
20
21
21
27

29
31
31
36

Введение
Современное образование сопровождается бурным развитием IT-технологий, что обуславливает рост интереса молодежи к техническим и физико-математическим дисциплинам. Понятия производной и интеграла являются фундаментальными в курсе математики.
Основной целью изучения этих тем в Рыбинском полиграфическом колледже является вооружение учащихся математическими знаниями и навыками, необходимыми для будущей профессиональной деятельности.
В результате изучения темы «Производная. Интеграл» студент должен
знать:
определение производной, ее геометрический и механический смысл;
правила и формулы дифференцирования функций; определение дифференциала функции и его геометрический смысл;
общую схему построения графиков функций с помощью производной;
определение первообразной, неопределенного и определённого интеграла и их свойства; формулы интегрирования;
способы вычисления определенного интеграла; понятие криволинейной трапеции, способы вычисления площадей криволинейных трапеций с помощью определенного интеграла; способы вычисления объемов тел вращения с помощью определенного интеграла;
уметь:
дифференцировать функции, используя таблицу производных и правила дифференцирования, находить производные сложных функций; вычислять значение производной функции в указанной точке;
находить производные второго порядка, применять вторую производную для решения физических задач;
применять производную для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции;
находить с помощью производной промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;
находить неопределенные интегралы, сводящиеся к табличным с помощью основных свойств и простейших преобразований;
выделять первообразную, удовлетворяющую заданным начальным условиям;
восстанавливать закон движения по заданной скорости, скорость по ускорению, количество электричества по силе тока и т.д.
вычислять определенный интеграл с помощью основных свойств и формулы Ньютона-Лейбница;
находить площади криволинейных трапеций; объемы тел вращения;
решать простейшие прикладные задачи, сводящиеся к нахождению интеграла.
Программой предусмотрено проведение лекционных, практических занятий, цель которых состоит в том, чтобы закрепить у студентов теоретические знания, полученные в процессе изучения дисциплины, способствовать выработке умений решения прикладных задач.
Программа изучения дисциплины предусматривает самостоятельную внеаудиторную работу студентов. В процессе самостоятельной работы студент изучает программу, рекомендованную литературу, периодические и специальные издания.


Пояснительная записка

Учебное пособие адресовано студентам всех специальностей для самостоятельного изучения темы «Производная. Интеграл» дисциплины «Математика». Оно составлено в соответствии с ГОСТ СПО, рабочей программной дисциплины «Математика».
Предлагаемое пособие состоит из 5 разделов:
Производная и её приложения
Неопределённый интеграл
Определённый интеграл
Задания для самоконтроля
Литература
Студент должен ознакомиться с содержанием дисциплины, каждой ее темой, для контроля знаний следует ответить на вопросы для самопроверки, приведенные после каждой темы.
Учебный материал следует изучать систематически, в той последовательности, которая дана в учебном пособии.

Производная и её приложения
Студент должен:
знать:
определение производной, ее геометрический и механический смысл;
правила и формулы дифференцирования функций; определение дифференциала функции и его геометрический смысл;
определение второй производной, ее физический смысл;
необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции, существования экстремума;
необходимые и достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции;
определение точки перегиба;
общую схему построения графиков функций с помощью производной; правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке;
уметь:
дифференцировать функции, используя таблицу производных и правила дифференцирования, находить производные сложных функций; вычислять значение производной функции в указанной точке;
находить угловой коэффициент и угол наклона касательной, составлять уравнение касательной и нормали к графику функции в данной точке; находить скорость изменения функции в точке;
применять производную для исследования реальных физических процессов (нахождения скорости неравномерного движения, угловой скорости, силы переменного тока, линейной плотности неоднородного стержня и т.д.);
находить производные второго порядка, применять вторую производную для решения физических задач;
находить дифференциал функции, с помощью дифференциала приближенно вычислять значение и приращение функции в указанной точке.
применять производную для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции;
находить с помощью производной промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;
проводить исследования и строить графики многочленов; находить наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на промежутке;
решать несложные прикладные задачи на нахождение наибольших и наименьших значений реальных величин.
Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.
Скорость прямолинейного движения
Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется неравномерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние ОМ=S до некоторой фиксированной точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т. е. S=S(t).

Это равенство называют законом движения точки. Требуется найти скорость движения точки.
Если в некоторый момент времени t точка занимает положение М, то в момент времени t+
·t (
·t приращение времени) точка займет положение M1, где OM1=S+
·S (
·S приращение расстояния). Таким образом, перемещение точки М за время
·t будет
·S=S(t+
·t)-S(t).
Отношение
·S/
·t  - выражает среднюю скорость движения точки за время
·t:

Средняя скорость зависит от значения
·t: чем меньше
·t, тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени t.
Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени
·t называется скоростью движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью). Обозначив эту скорость через V, получим

Производной функции y = f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции 13 EMBED Equation.3 1415у к приращению аргумента 13 EMBED Equation.3 1415х при условии, что 13 EMBED Equation.3 1415х13 EMBED Equation.3 14150, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Производная сложной функции находится на основании следующей теоремы: если y=f(u) и и=
·(х) дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции y=f(
·(x)) существует, и равна произведению производной функции у по промежуточному аргументу и на производную промежуточного аргумента и по независимой переменной х:
y’(x)=y’(u)u’(x)

Формулы дифференцирования.
Для простых функций
Для сложных функций

1.
13 EMBED Equation.3 1415



2.
13 EMBED Equation.3 1415



3.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

4.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

5.
13 E
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Правила дифференцирования:
1.13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2:
13 EMBED Equation.3 1415

Пример 3:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Пример 4: Найти производную функции
13 EMBED Equation.3 1415 и вычислить её значение при t = 2.
13 EMBED Equation.3 1415


Пусть t=2 13 EMBED Equation.3 1415

Геометрический смысл производной.
Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции y = f(x) в точке 13 EMBED Equation.3 1415, равен значению производной функции в точке 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение этой касательной имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Прямая,   перпендикулярная   касательной   в точке касания, называется нормалью к кривой.
Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффициент

Поэтому уравнение нормали имеет вид
уу0=
Пример 5: Составить уравнение касательной к графику функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке с абсциссой 13 EMBED Equation.3 1415= 3.
Найдём 13 EMBED Equation.3 1415- значение данной функции при 13 EMBED Equation.3 1415= 3 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - угловой коэффициент касательной в точке 13 EMBED Equation.3 1415= 3.
Уравнение касательной будет иметь вид:
13 EMBED Equation.3 1415

Физический смысл производной.
Если тело движется прямолинейно по закону s=s(t) , то скоростью движения тела в данный момент времени t называется предел отношения приращения пути ( s к приращению времени ( t , когда приращение времени стремится к 0. Вторая производная пути s по времени t равна ускорению движения тела в данный момент времени.
Производная функции y = f(x) равна скорости изменения этой функции при данном значении аргумента х.
V(x) = f `(x)
Пусть S(t) – функция задающая движение тела
Тогда: V(t) = S`(t), а(t) = V`(t)
Пример 6: Закон движения точки по прямой задан формулой 13 EMBED Equation.3 1415.
Найти скорость и ускорение движения точки в конце первой секунды.
Решение: Т.к. V(t) = S`(t), то
13 EMBED Equation.3 1415
Т.к. а(t) = V`(t), то 13 EMBED Equation.3 1415


Приложения производной к исследованию функции.
Условие постоянства функции. Дифференцируемая функция y=f(x) постоянна на промежутке X тогда и только тогда, когда f'(x) =0 внутри X.


Условие возрастания функции. Дифференцируемая функция y=f(x) монотонно возрастает на промежутке X тогда и только тогда, когда ее производная не отрицательна внутри этого промежутка: f'(x)
·0, причем производная f'(x) обращается в нуль в конечном числе точек, лежащих внутри промежутка X.
Это условие геометрически означает, что касательная к графику монотонно возрастающей функции образует c положительным направлением оси Ох острый угол или параллельна ей.
Условие убывания функции. Дифференцируемая функция y=f(x) монотонно убывает на промежутке X тогда и только тогда, когда ее производная не положительна внутри этого промежутка: f'(x)
·0, причем производная f'(x) обращается в нуль в конечном числе точек, лежащих внутри X.
Это условие геометрически означает, что касательная к графику монотонно убывающей функции образует с положительным направлением оси Ох тупой угол или параллельна ей.
Экстремумы функции. Говорят, что функция y=f(x) имеет максимум в точке Х1, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к Х1. Таким образом, Х= Х1 точка максимума, a ymax=f(x1) максимум функции.
Говорят, что функция y=f(x) имеет минимум в точке Х2, если значение функции в этой точке меньше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к Х2, Таким образом, Х= Х2 точка минимума, a ymin=f(x2)-минимум функции.

Если в некоторой точке функция имеет максимум или минимум, то говорят, что в этой точке имеет место экстремум. Значение функции в этой точке называется экстремальным.
Необходимое условие экстремума. Если функция y=f(x) имеет экстремум при х=х0, то ее производная в этой точке равна нулю или бесконечности либо вовсе не существует, при этом сама функция в точке определена.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - критическая точка на [а;в]

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

f `(x)
+
0
-

f (x)

max




13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

f `(x)
-
0
+

f (x)

min



13 EMBED Equation.3 1415- точка max 13 EMBED Equation.3 1415- точка min
13 EMBED Equation.3 1415- max функции 13 EMBED Equation.3 1415- min функции
Задание:
Найти промежутки возрастания и убывания функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
1) Вычисляем производную функции13 EMBED Equation.3 1415
2) Для определения знака производной на промежутке используем метод интервалов
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
Наносим корни на ось и определяем знак производной на каждом промежутке. Для этого подставляем число из промежутка в формулу производной



Значит: у возрастает на [-1;1]
у убывает на (- 13 EMBED Equation.3 1415;1]13 EMBED Equation.3 1415[1;+ 13 EMBED Equation.3 1415)

Задание: Найти точки экстремума и экстремумы функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
1) Находим производную функции13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2) Находим критические точки
13 EMBED Equation.3 1415 существует для любого 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415= 0, если 13 EMBED Equation.3 1415
3)Определяем промежутки возрастания и убывания функции:



-1 1

Значит 13 EMBED Equation.3 1415 - точка минимума
f min = f(-1) = 3(-1)-(-1)13 EMBED Equation.3 1415= - 3+1 = - 2
13 EMBED Equation.3 1415 - точка максимума
f max = f(1) = 313 EMBED Equation.3 1415
ответ: f min = - 2 ; f max = 2.


Исследование функции с помощью производной и построение их графиков.

Задание: исследовать функцию13 EMBED Equation.3 1415 и построить её график.

Алгоритм исследования
Образец записи исследования и построения графика

1. Найти область определения функции
f (x)(ответить на вопрос: каким может быть х?)
D(f) = R

2.Найти производную функции
f `(x) = 13 EMBED Equation.3 1415

3.Найти критические точки функции. Для этого: а) определить, в каких точках производная не существует; б) решить уравнение
f `(x) = 0
а) f `(x) сущ. при 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

4. Начертить координатную прямую и отметить на ней критические точки. Определить знак производной на каждом интервале.


-1 1

5. На координатной прямой найти промежутки возрастания и убывания функции f `(x)


-1 1


6. Найти точки экстремума функции
13 EMBED Equation.3 1415 - точка минимума
13 EMBED Equation.3 1415 - точка максимума

7.Найти экстремумы функции
f(-1) = 3(-1)-(-1)13 EMBED Equation.3 1415= - 2= f min
f(1) = 313 EMBED Equation.3 1415= f max

8.Найти точки пересечения с осями:
с ох: у = 0
с оу: х =0
С ох: 13 EMBED Equation.3 1415
или 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 А(0;0) В(13 EMBED Equation.3 1415;0) и
С(-13 EMBED Equation.3 1415;0)
С оу:13 EMBED Equation.3 1415 А(0;0)

9. Строим график



2


-1 1

-2






Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Задание: найдите наибольшее и наименьшее
значение функции 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415
Алгоритм решения
Образец записи решения

1. Найти производную функции:
13 EMBED Equation.3 1415

2. Найти критические точки функции
13 EMBED Equation.3 1415 сущ. при 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415=013 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415=013 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

3.Выбрать крит. точки внутри данного отрезка
Х = 1

4.Найти значение функции в крит. точках, принадлежащим данному отрезку и на концах отрезка.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

5. Из значений, найденных в п.4 выбрать наибольшее и наименьшее.
У наимен. = - 4 при х = 113 EMBED Equation.3 1415
У наибол. = 5 при х = 2


Решение задач геометрического содержания на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.
Задача:
Найти наибольший обьём правильной треугольной пирамиды, у которой длина апофемы равна 13 EMBED Equation.3 1415дм.
Алгоритм решения
Образец записи решения

1. Построить рабочий чертёж. Обозначить за х любую неизвестную величину.





2. Записать общую формулу объема пирамиды.
13 EMBED Equation.3 1415

3.Найти выражения длин отрезков, входящих в формулу(*) :
а) обозначить длину любого отрезка за х;
б) рассматривая «подходящий» треугольник, выразить через х длины отрезков из (*)
а) Пусть 13 EMBED Equation.3 1415= х
б) Из13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Из13 EMBED Equation.3 1415:13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415:

4.Подставить найденные выражения в формулу(*)
13 EMBED Equation.3 1415

5.Упростить полученное выражение и записать его как функцию от х
13 EMBED Equation.3 1415

6. Найти (по смыслу задачи область) определения функции.
х – длина отрезка 13 EMBED Equation.3 1415
Из13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415
D(V) = (0; 13 EMBED Equation.3 1415)

7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415сущ. при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


0 2 213 EMBED Equation.3 1415

Значит: 13 EMBED Equation.3 1415наибол. =13 EMBED Equation.3 1415(2) = =1213 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415наибол. = 1613 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415



Дифференциал функции y = f(x) в точке х – это dy = f `(x)13 EMBED Equation.3 1415х, если f(x) = х, то
dх = 113 EMBED Equation.3 1415х.
Тогда: dy = f `(x) 13 EMBED Equation.3 1415 Пример 1:13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2: Вычислить значения дифференциала функции 13 EMBED Equation.3 1415при 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Вычислим дифференциал13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Применение дифференциала для приближенных вычислений.

Пример 2: Вычислить приближенное значение приращения функции 13 EMBED Equation.3 1415
При изменении аргумента от х = 1 до х = 1,001
Решение: Находим дифференциал аргумента:
13 EMBED Equation.3 1415

Пример 3: Найти приближенное значение
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4: Найти приближенное значение ln 0,97
13 EMBED Equation.3 1415

Пример 5: Найти приближенное значение 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Вопросы для самопроверки:
Что называется производной функции в точке?
Какая функция называется дифференцируемой?
Какие правила для вычисления производной Вы знаете?
Какую функцию называют сложной?
Чему равна производная сложной функции?
Формулы дифференцирования.
Что называется дифференциалом функции?
Механический и геометрический смысл производной.
Какая точка называется критической?
Что такое экстремумы функции?
Признаки возрастания и убывания функции.
План исследования функции.
Как найти наибольшее и наименьшее значения функции?

Неопределённый интеграл.
Студент должен:
знать:
определение первообразной;
определение неопределенного интеграла и его свойства; формулы интегрирования;
способы вычисления неопределенного интеграла;
уметь:
находить неопределенные интегралы, сводящиеся к табличным с помощью основных свойств и простейших преобразований;
выделять первообразную, удовлетворяющую заданным начальным условиям;
восстанавливать закон движения по заданной скорости, скорость по ускорению, количество электричества по силе тока и т.д.
Нахождение производной имеет большое практическое значение. Однако, часто приходится решать обратную задачу: по известной производной отыскивать функцию, от которой найдена эта производная, т.е. выполнять действия, обратные дифференцированию. Это действие называется интегрированием.

Определение: Дифференцируемая функция F(х) называется первообразной для функции f(x) на (а; в), если F `(x) = f(x) для 13 EMBED Equation.3 1415

Теорема: Если F(х) является первообразной для f(x), то F(х)+С – тоже является первообразной для f(x), где С – любая постоянная.
Определение: Совокупность F(х)+С всех первообразных функций f(x) на (а; в) называют неопределённым интегралом. Обозначают 13 EMBED Equation.3 1415
Свойства неопределённого интеграла:

1) Неопределённый интеграл суммы двух функций равен сумме неопределённых интегралов слагаемых, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415
2) Интеграл разности двух функций равен разности неопределённых интегралов, компонентов т.е.
13 EMBED Equation.3 1415
3)Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
13 EMBED Equation.3 1415
4) Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415

Таблица основных интегралов
1. 13 EMBED Equation.3 1415
8. 13 EMBED Equation.3 1415

2. 13 EMBED Equation.3 1415
9. 13 EMBED Equation.3 1415

3. 13 EMBED Equation.3 1415
10. 13 EMBED Equation.3 1415

4. 13 EMBED Equation.3 1415
11. 13 EMBED Equation.3 1415

5. 13 EMBED Equation.3 1415
12. 13 EMBED Equation.3 1415

6. 13 EMBED Equation.3 1415
13. 13 EMBED Equation.3 1415

7. 13 EMBED Equation.3 1415
14. 13 EMBED Equation.3 1415


Методы интегрирования.

I.Непосредственное интегрирование( с помощью таблицы интегралов).
Пример 1:
13 EMBED Equation.3 1415



Пример 2:
13 EMBED Equation.3 1415

Пример 3:13 EMBED Equation.3 1415

Пример 4: 13 EMBED Equation.3 1415
II.Интегрирование методом подстановки
Если интеграл не привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то пользуются методом подстановки.
Сущность этого метода заключается в том, что путём введения новой переменной удаётся свести данный интеграл к новому, который берётся непосредственно.

Для интегрирования методом постановки можно использовать следующий алгоритм:
Часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной.
Найти дифференциал от обеих частей замены.
Всю подынтегральную функция выразить через новую переменную.
Найти полученный табличный интеграл.
Сделать обратную замену.


Пример 1:
13 EMBED Equation.3 1415



Пример 2:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 5:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 6:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 7:
13 EMBED Equation.3 1415

III. Интегрирование по частям.

Формула интегрирования по частям:
13 EMBED Equation.3 1415
Она применяется, если подынтегральную функцию удаётся представить в вид произведения двух множителей u и dV. Общего правила для определения того, какой множитель обозначить за u, нет.
Пример 8:
13 EMBED Equation.3 1415

Пример 9:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 10:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 11:
13 EMBED Equation.3 1415

Получили:
13 EMBED Equation.3 1415

IV. Интегрирование дробно – рациональных функций.
Функция вида13 EMBED Equation.3 1415 называется дробно – рациональной, где Р(х) и Q(x) – многочлены.
Дробь может быть правильной (если степень Р(х) меньше степени Q(x)) и неправильной.
Могут быть четыре случая:
1) f(x) – правильная дробь и Q(x) имеет разные корни
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Найдём коэффициенты А и В
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть: х = 3. Тогда: 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть: х = 2. Тогда: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
2) f(x) – правильная дробь и Q(x) имеет кратные (повторяющиеся корни)
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Пусть: х = 3. Тогда: 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть: х =0. Тогда: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3) f(x) – правильная дробь и Q(x) не имеет корней
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415уравнение корней не имеет
13 EMBED Equation.3 1415ё
13 EMBED Equation.3 1415
4) f(x) – неправильная дробь
13 EMBED Equation.3 1415
Дробь – неправильная. Выделим целую часть.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Приведем, таким образом, дробь к 1, 2 или 3 случаю.

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


Определённый интеграл
Студент должен:
знать:
определение определенного интеграла, его геометрический смысл и свойства;
способы вычисления определенного интеграла; понятие криволинейной трапеции, способы вычисления площадей криволинейных трапеций с помощью определенного интеграла; способы вычисления объемов тел вращения с помощью определенного интеграла;
уметь:
вычислять определенный интеграл с помощью основных свойств и формулы Ньютона-Лейбница;
находить площади криволинейных трапеций; находить объемы тел вращения;
решать простейшие прикладные задачи, сводящиеся к нахождению интеграла.

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке от а до в называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к 0 длины наибольшего частичного интервала. Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит Формула Ньютона – Лейбница.

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

Пример 1:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2:

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


Вычисление площади фигуры с помощью определённого интеграла.


1.Заштрихованная фигура является
криволинейной трапецией. Её площадь S
вычисляется по формуле:
S = 13 EMBED Equation.3 1415


Пример:
13 EMBED Equation.3 1415

2.
S = 13 EMBED Equation.3 1415

Пример:

13 EMBED Equation.3 1415


3.Абсциссу точки пересечения графиков «С»
найдём из уравнения f(x) = g(x).
13 EMBED Equation.3 1415
Пример:
13 EMBED Equation.3 1415
Найдём из уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

4.а и b находим из уравнения f(x) = g(x).
13 EMBED Equation.3 1415
Пример:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вопросы для самопроверки.
Дайте определение неопределённого интеграла.
Какие методы интегрирования известны.
Запишите формулу интегрирования по частям.
Дайте определение определённого интеграла.
Запишите формулу Ньютона – Лейбница.
Как вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.



Задания для самоконтроля
Тема: «Производная и её приложения»
I.Найти производную функции y = f(x) и вычислить её значение в точке Х0.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

II. Задачи на применение производной.
Резервуар ёмкостью 108 13 EMBED Equation.3 1415 с квадратным основанием, открытый сверху, нужно покрыть эмалью. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы израсходовать для этого минимальное количество эмали?
Число 25 запишите в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая.
Тело движется прямолинейно по закону 13 EMBED Equation.3 1415. Найти максимальную скорость движения тела
Какие размеры должен иметь цилиндр, площадь полной поверхности которого равна 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, чтобы его объём был наибольшим?
Докажите, что из всех прямоугольников, имеющих периметр 32 см, наибольшую площадь имеет квадрат.
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке [1;2].
Число 50 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.
Какой из цилиндров с объёмом13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 имеет наименьшую полную поверхность?
Около стены нужно сделать забор, чтобы огородить прямоугольный участок земли наибольшей площади. Общая длина забора 60 м. Найти длину части забора, параллельной стене.
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке [-2;2].
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см. Найдите длину каждого катета, если площадь треугольника должна быть наибольшей
Докажите, что из всех прямоугольников с площадью 40013 EMBED Equation.3 1415, квадрат имеет наименьший периметр.
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке13 EMBED Equation.3 1415.
Из всех прямоугольных параллелепипедов, у которых в основании лежит квадрат, а площадь полной поверхности равна 600 13 EMBED Equation.3 1415.Найдите параллелепипед наибольшего объёма и определите его размеры.
Какое число, будучи сложенным с обратным ему числом, дают наименьшую сумму?
Каковы должны быть размеры цилиндрического сосуда ёмкостью13 EMBED Equation.3 1415л., открытого сверху, чтобы на его изготовление потребовалось наименьшее количество материала?
Резервуар ёмкостью 108 13 EMBED Equation.3 1415 с квадратным основанием, открытый сверху, нужно покрыть эмалью. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы израсходовать для этого минимальное количество эмали?
Число 25 запишите в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая.
Какие размеры должен иметь цилиндр, площадь полной поверхности которого равна 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, чтобы его объём был наибольшим?
Докажите, что из всех прямоугольников, имеющих периметр 32 см, наибольшую площадь имеет квадрат.
Число 50 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.
Какой из цилиндров с объёмом13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 имеет наименьшую полную поверхность?
Требуется изготовить ящик с крышкой, объём которого равен 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, а стороны основания относятся как 1:3? Какие размеры должен иметь ящик, чтобы площадь его полной поверхности была наименьшей?
Около стены нужно сделать забор, чтобы огородить прямоугольный участок земли наибольшей площади. Общая длина забора 60 м. Найти длину части забора, параллельной стене.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см. Найдите длину каждого катета, если площадь треугольника должна быть наибольшей
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке [-2;2].
Тело движется прямолинейно по закону 13 EMBED Equation.3 1415. Найти максимальную скорость движения тела
Докажите, что из всех прямоугольников, имеющих периметр 32 см, наибольшую площадь имеет квадрат.
Около стены нужно сделать забор, чтобы огородить прямоугольный участок земли наибольшей площади. Общая длина забора 60 м. Найти длину части забора, параллельной стене.
Число 50 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.





Тема: «Интегралы и их приложения»

1 Задание:
Вычислить интегралы.
2 задание:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

1.13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 и осью ох

2.13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

3. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 и осью ох

4. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

5. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 и осью ох

6. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

7. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 и осью ох

8. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

9. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 и осью ох

10. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 и осью ох

11. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

12. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 и осью ох

14. 13 EMBED Equation.3 1415dx
13 EMBED Equation.3 1415

15. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 и ось ох

16. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

17. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

18. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

19. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

20. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

21. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

22. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

23. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

24. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

25. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

26. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

27. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

28. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

29. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

30. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415



Литература
И.Д. Пехлецкий. Математика. Учебное пособие для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования. Издательский центр «Академия», Москва, 2002.
Н.В. Богомолов. Сборник задач по математике. Москва.Дрофа. 2009.
А.А.Дадаян. Математика. Москва. Форум. 2008.
А.А.Дадаян. Сборник задач по математике. Москва. Форум. 2008.



Заключение
В приложениях математики к различным отраслям науки понятие производной и интеграла занимает дно из важнейших мест. Использование производных и интегралов – наиболее эффективное и распространённое средство решения многих прикладных задач естествознания и техники.
Данное учебное пособие способствует формированию ключевых компетенций студентов по вопросам изучения математики, имеют практическую направленность.
Предлагаемое издание может быть использовано студентами любой формы обучения.









13PAGE 15


13PAGE \* MERGEFORMAT143615




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native+Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native Заголовок 215