Методическое пособие по теме «Производная. Применение производной»

-803217-318011
Департамент среднего профессионального и начального профессионального образования Томской области
областное государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«Асиновский техникум промышленной индустрии и сервиса»
ОГБОУ СПО «АТпромИС»
Учебно-методическое
пособие по теме:
«Производная.
Применение производной»
Автор: преподаватель математики
Журавлёва Л.В.
Асино-2013г

Учебно-методическое пособие по теме: «Производная. Применение производной»,
ОГБОУ СПО «Асиновский техникум промышленной индустрии и сервиса», стр.123, 2013.
Авторы-составители:
Л.В. Журавлёва, преподаватель математики АТпромИС.

Учебно-методическое пособие предназначено для преподавателей и студентов. В пособии приводятся теоретический и дидактический материалы по теме «Производная. Применение производной».
Рассмотрена на заседании методического объединения «Общеобразовательные предметы», Протокол №8 от 29 апреля 2013 года
Рекомендовано к печати Методическим советом ОБГОУ СПО АТпром ИС.
Протокол № 8 от 29 апреля 2013 года

Аннотация
Учебно-методическое пособие по теме: «Производная. Применение производной» содержит краткий теоретический материал по данной теме; образцы решений примеров, алгоритмы к задачам; дидактический: обучающий, диагностический и контролирующий материал с ответами; внеаудиторные самостоятельные работы, в соответствии с ФГОСами СПО; сборник примеров и задач; в приложении – карточки-инструкции.
Пособие предназначено для студентов, изучающих математику, как на базовом, так и на профильном уровне; для преподавателей; а также для студентов, отсутствующих на занятиях по тем или иным причинам. Они могут самостоятельно изучить весь теоретический материал и, с помощью методических рекомендаций выполнить самостоятельные работы различного рода, тесты, тренажёры, индивидуальные, контрольные работы, а также- внеаудиторные самостоятельные работы по данной теме. Данное пособие можно применить при повторении и подготовки к итоговой государственной аттестации.

Содержание стр

I. Введение…………………………………………………………………………………...5
II. Учебно-методическое пособие «Производная. Применение производной».
Теоретический блок……………………………………………………………….8
М.М.1. Определение производной………………………………………….9
Предел функции;………………………………………………………9
Приращение аргумента;………………………………………………10
Определение производной;…………………………………………...10
Алгоритм отыскания производной для функции у=f(x)……………..10
М.М.2. Дифференцирование функций……………………………………...11
Производная элементарных функций;……………………………….11
Правила дифференцирования;………………………………………..12
Производная сложной функции……………………………………...13
М.М.3.Физический (механический) смысл производной…………………14
Скорость;………………………………………………………………14
Ускорение……………………………………………………………...14
М.М.4.Геометрический смысл производной.
Определение касательной;……………………………………………15
Угловой коэффициент прямой;………………………………………16
Геометрический смысл производной;……………………………….16
Условие дифференцируемой функции;……………………………...16
Уравнение касательной……………………………………………….16
М.М.5.Применение производной к исследованию функции……………..17
Исследование функции на монотонность;…………………………..17
Точки экстремума функции;………………………………………….18
Алгоритм исследования функции;…………………………………...19
План исследования функции и построение её графика;……………20
Алгоритм исследования функции и построения графика функции;21
Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений величин на отрезке;………………………………………. 23
Производная в физике и технике;……………………………………24
Алгоритм нахождения производной в физике и технике…………..24
Практический блок.
Дидактический материал……………………………………………………25
Обучающая самостоятельная работа;………………………………..26
Диагностическая самостоятельная работа;………………………….31
Самостоятельные работы;……………………………………………35
Тренажёры;……………………………………………………………43
Тесты;………………………………………………………………….48
Индивидуальная работа;……………………………………………...52
Зачёты;…………………………………………………………………55
Контрольные работы;…………………………………………………57
Внеаудиторные самостоятельные работы…………………………...61
Ответы………………………………………………………………….72
Сборник примеров и задач…………………………………………………..99
III. Приложение. Карточки-инструкции по теме «Применение производной»…………..110
IV. Заключение………………………………………………………………………………..120
V. Список используемой литературы и интернет-ресурсы. ……………………………... 122

.
I. Введение
«Развивающемуся обществу нужны современно образованные, нравственные, предприимчивые люди, которые могут самостоятельно принимать ответственные решения в ситуации выбора, прогнозируя их возможные последствия, способные к сотрудничеству, отличаются мобильностью, динамизмом, конструктивностью, развитым чувством ответственности за судьбу страны»,- это слова, взятые из Концепции модернизации Российского образования
С введением Федеральных государственных образовательных стандартов профессионального образования нового поколения меняется подход к преподаванию дисциплин общеобразовательного цикла, который предусматривает формирование ключевых компетенций (универсальных или общекультурных, учебных, коммуникативных, правовых, социально-политических, семейных), а также новых ключевых компетенций, необходимых для современного специалиста, таких как экономическая (ориентация в современной рыночной экономике, участие в ней не только в качестве объекта – потребителя, но и субъекта – предпринимателя, менеджера, производителя товаров и услуг и т.д.) и профессиональная (ориентированность в выборе профессии, профессиональная подготовка к выполнению в будущем социальных ролей «специалиста», «профессионала»).
Анализируя результаты своей работы в профессиональном техникуме, я пришла к выводу, что решение этой задачи невозможно без применения современных педагогических технологий.
Современная образовательная технология представляет собой комплекс из трех взаимосвязанных составляющих:
1) современные методы обучения – активные методы обучения, предполагающие акцент на взаимодействие обучающихся и их активное вовлечение в учебный процесс;
2) актуальное содержание, которое передается студентами и предлагает не только предметные знания, но и компетенции, адекватные современной жизненной практике;
3) современные технические средства, которые включают информационную и коммуникационную структуру, мультимедийные средства, эффективное использование дистанционных форм обучения.
Модульное обучение - один из элементов образовательной технологии, который я применяю в своей работе, тем самым создавая условия для формирования у студентов совокупности “универсальных учебных действий”, обеспечивающих компетенцию “научить учиться”, а не только освоение конкретных предметных знаний и навыков в рамках дисциплины « Математика».
Считаю, что данная технология даёт возможность решить многие проблемы, с которыми преподаватели сталкиваются на уроках математики, это
организация самостоятельного учения;
дифференциация и индивидуализация обучения;
развитие интеллекта, самостоятельности;
формирование умений и навыков самоуправления;
активизация познавательной деятельности студентов.
При использовании технологии модульного обучения существенно меняется роль преподавателя, который
становится организатором отношений и взаимоотношений в учебном процессе;
осуществляет мотивационное управление учением каждого студента;
оказывает педагогическую помощь и поддержку, создавая ситуацию успеха;
демонстрирует полное доверие студенту, веру в его возможности.
Цель данной работы: реализация требований к результатам освоения программы по теме «Производная. Применение производной», в условиях действия ФГОС СПО, при применении модульной технологии; оказание помощи студентам в организации самостоятельной работы по данной теме.
Отсюда вытекают следующие задачи:
реализовать принципы индивидуализации и дифференцированного подхода в процессе изучения данной темы;
формировать практические умения и навыки самостоятельной, учебной деятельности студентов;
активизировать познавательную деятельность в процессе работы;
способствовать развитию интеллекта студентов и такого качества, как коллективизм.
Содержание учебного материала пособия представлено в теоретическом и практическом блоках. В теоретический блок входят микромодули с краткими конспектами теоретического материала, заданиями для самостоятельной работы и методическими рекомендациями к их выполнению; в практический блок – обучающие, диагностические, самостоятельные работы, карточки для индивидуальной работы, тренажёры, тесты, зачёты, контрольные работы и внеаудиторные самостоятельные работы по данной теме. В пособие также включается решебник к обучающим и диагностическим самостоятельным работам, ответы ко всем дидактическим материалам. Также имеется сборник примеров и задач. В приложении к данному пособию помещены карточки-инструкции к решению задач по теме «Применение производной»
Студенты большую часть учебного времени работают самостоятельно; учатся работать с учебной литературой, деловому общению; учатся планированию, организации, контролю и оценке своей деятельности, а преподаватель общается со студентами посредством микромодулей и индивидуально: оказывает помощь, направляет, подбадривает.
В процессе работы с микромодулями проводится вспомогательный и корректирующий контроль. После завершения работы над каждым микромодулем проводится проверочная самостоятельная работа, индивидуальные работы, тренажёры и по окончанию изучения темы проводится письменная контрольная или тестовая работа.
Пособие соответствует определённой теме учебной программы. Обучающая и диагностическая работы- разноуровневые: задания без значка (уровень обязательной подготовки); задания с одной звёздочкой * (типовые задания, решения которых состоит из нескольких действий); задания с двумя звёздочками **(«нестандартные задачи», требующие логических рассуждений), карточки- инструкции тоже разноуровневые.

II. Учебно-методическое пособие
«Производная и её применение».
Теоретический блок



1.1. М.М.1. Определение производной
Предел функции
Число bназывают пределом последовательности (yn), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Читается так:
: Предел функции y=f(x) при x,
стремящемся к «а», равен «в».


Правила вычисления предела.
1) 2)

3)
4)
5) 6)
Пример 1.
1.1.2 Приращение аргумента. Приращение функции.
60325173990


1.1.3. Определение производной
Пусть функция у =f(х) определена в некоторой точке х и в некоторой ее окрестности. Дадим аргументу х приращение х такое, чтобы не выйти из указанной окрестности.

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, называется производной функции у = f(x) в точке х


- (эф штрих от х) – обозначение производной.
- это новая функция, связанная с функцией y=
Эту функцию называют так: производная функции у =
Если функция у =f(х) имеет производную в точки х, то ее называют дифференцируемой в точке х.
Процедуру нахождения производной функции у =f(х) называют дифференцированием функции у =f(x).
1.1.4. Алгоритм нахождения производной для функции у =f(x)
1. Зафиксировать значение х, найти f(х).
2. Дать аргументу х приращение х, перейти в новую точку х+х, найти f(х+х).
3. Найти приращение функции: y=f(x+x)-f(x).
4. Составить отношение .
5. Вычислить предел .
6. Этот предел и есть .
Пример 2. Найти производную функции f(х)= 3х+5.
Решение:

1.2 М.М.2. Дифференцирование функций
1.2.1 Производные элементарных функций.
Эти формулы нужно запомнить!
1. производная постоянной величины равна нулю.
2. a) в)
где p-любое число. б) г)
3. 7. 11.
4. 8. 12.
5. 9. 13.
6. 10. 14.
Пример 1. Используя формулу найдите производные:
a)
б)
в) ;
г);
д) ;
е) .
1.2.2 Правила дифференцирования
1)
2)
3)
4)
Пример 2. Вычислите производные:
а)
б)
в)
1.2.3 Производная сложной функции.
Сложная функция – это функция от функции: u=f(g(x))
Производная сложной функции u=f(g(x)) находится по формуле:

Правило дифференцирования сложной функции: Производная сложной функции равна произведению производной функции, ее составляющих.
Формулы Примеры
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1.3 М.М.3. Физический (механический) смысл производной.
1.3.1 Скорость.
Пусть по прямой, на которой выбраны начало отсчета, единица измерения и направление, движется точка. Ее движение описывается законом S=S(t), где S(t)- координата точки на прямой в момент времени t.

Под средней скоростью движения за некоторый промежуток времени в физике понимают отношение перемещения к промежутку времени, т.е. средняя скорость за промежуток времени от t1 до t2 выражается равенством
или
Мгновенная скорость-это средняя скорость движения за очень маленький промежуток времени
Мгновенной скоростью в момент времени t называют предел средней скорости движения за промежуток времени при условии


Физический (механический) смысл производной состоит в том, что если S(t)- закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t.
1.3.2 Ускорение
Так как ускорение есть скорость изменения скорости, то,

или
где - производная второго порядка функции S(t).
Производная второго порядка – это производная от производной.
Физический (механический) смысл производной второго порядка состоит в том, что если S(t)-закон линейного движения тела, то производная второго порядка выражает ускорение в момент времени t.
Задача 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону . Найдите скорость точки в момент времени t=2с.
Решение:

Ответ: скорость точки равна 16 м/с.
Задача 2. Материальная точка движется прямолинейно по закону . Найдите ускорение точки в конце второй секунды.
Решение:

Ответ: ускорение равно 96 м/с2.
1.4 М.М.4. Геометрический смысл производной.
1.4.1 Определение касательной.
Касательная – это предельное положение секущей.

-252095170180
1.4.2. Угловой коэффициент прямой.
k - угловой коэффициент прямой.
k=tg
Прямые y=k1 x+b2 и у=k2x+в2.
параллельны, если k1=k2


1.4.3. Геометрический смысл производной.
Если к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой х=х0 можно провести касательную, непараллельную оси Оу, то значение производной в точке х=х0 равно угловому коэффициенту касательной.


у

y=f(x)






0

x0 x

1.4.4. Условие дифференцируемости функции.
Если функция дифференцируема в точке, то она и непрерывна в этой точке.
Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема.
1.4.5.Уравнение касательной.


Алгоритм составления уравнения касательной:
Обозначить абсциссу точки касания .
Вычислить .
Найти .
Вычислить .
Подставить значения в формулу.
Пример 1. Напишите уравнение касательной к графику функции
в точке с абсциссой х = 1.
Решение: 1.
2.
3.
4.
5.
Ответ: у = 3х + 3 – уравнение касательной к графику функции
в точке с абсциссой х = 1.
Пример 2. Найдите угловой коэффициент касательной к графику
функции у = х3 в точке с абсциссой х = 2.
Решение. Ответ: 12.

1.5 М.М.5. Применение производной к исследованию функций.
y
1.5.1 Исследование функций на монотонность.
y=с, с-const

функция возрастает, функция убывает, функция постоянна
-острый угол (I четв.), -тупой угол (II четв.), =0,

Т1 Если во всех точках открытого промежутка выполняется неравенство (уравнение имеет конечное множество корней), то функция возрастает на этом промежутке.
Т2 Если во всех точках открытого промежутка выполняется неравенство (уравнение имеет конечное множество корней), то функция убывает на этом промежутке.

Т3 Если во всех точках открытого промежутка выполняется равенство , то функция постоянна на этом промежутке.


1.5.2 Точки экстремума функции.

х1, х3 – точки максимума,
х2, х4 – точки минимума.
Точки, в которых производная равна нулю называются стационарными.
Точки, в которых функция непрерывна, но производная не существует, называются критическими.
Т4 Если при переходе через стационарную или критическую точку х0 производная меняет знак с «+» на «-», то х0 – точка максимума.
Если при переходе через стационарную или критическую точку х0 производная меняет знак с «-» на «+», то х0 – точка минимума.
Если при переходе через стационарную или критическую точку х0 знак производной не изменяется, то в точке х0 экстремума нет.
1.5.3 Алгоритм исследования функции
на монотонность на экстремумы
Найти область определения. 1. Найти область определения.
Установить дифференцируемость 2. Установить дифференцируемость
функции. функции.
Найти производную 3. Найти производную
Найти стационарные и критические 4. Найти стационарные и критические
точки. точки.
Отметить стационарные и крити- 5. Отметить стационарные и крити-
ческие точки на числовой прямой и ческие точки на числовой прямой и
определить знаки производной на по- определить знаки производной на
лучившихся интервалах. получившихся интервалах.

Сделать вывод о монотонности 6. Сделать вывод об экстремумах
функции. функции.
Присоединить стационарные и кри- 7. Записать ответ.
тические точки к интервалам.
8. Записать ответ.
Пример: Исследовать функцию f (х) = x3 + 6x - 15x – 3 на монотонность и
экстремумы.
Найдём область определения функции: D (f) = R, то есть х ∈ (-∞;+∞).
Найдём производную функции, она равна:
f ' (х) = (x3 + 6x2 - 15x – 3)' = 3x2 + 12x – 15.
Найдём критические точки, решив уравнение f ' (х) = 0, то есть
3x2 + 12x – 15= 0 : 3 x2 + 4x – 5= 0 D = 42 – 4 ∙1(-5) = 36
767715274955х1= -4-62= -5; х2= -4+62 =1.
Ответ: f на х∈ (-∞;-5∪1;+∞); f на х -5;1;
х = -5 – точка max; х = 1 – точка min.
1.5.4 План исследования функции и построения ее графика.
Переменная y = f(x) является функцией от переменной x, если задана такая зависимость между этими переменными, которая позволяет для каждого значения x однозначно определить значение переменной у.
Совокупность всех тех значений, которые принимает аргумент х функции
у =f(x), называется областью определения этой функции. Обозначается D(f).
Совокупность всех тех значений, которые принимает сама функция у, называется областью изменения этой функции. Обозначается E(f).
Нули функции - точки, в которых функция обращается в нуль. Это решения уравнения f(x)=0 (точки пересечения графика с осью Ох).
Промежутки знакопостоянства функции - интервалы, на которых функция положительна (график расположен выше оси Ох) или отрицательна (график расположен ниже оси Ох). Это решения неравенств f(x)> 0 и f(x)< 0.
Функция у = f(x) называется чётной, если при всех значениях аргумента f(-x)=f(x).
Функция у = f(x) называется нечётной, если при всех значениях аргумента f(-x)= -f(x). При этом имеется в виду, что если х входит в область определения, то и - х также входит в область определения.
Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое число Т>0, что выполняется равенство f (x)=f (х±Т), верное при всех х.
Критическими точками функции у = f(x) называются точки, в которых производная обращается в нуль, а также точки, в которых производная не существует.
Точки экстремума функции точки, лежащие внутри области определения, в которых функция принимает или самое большое (max) значение, или самое малое (min) значение по сравнению со значениями в близких точках.
Экстремумом функции называется значение функции в точке экстремума.
Промежутки монотонности - это промежутки возрастания и убывания функции, т. е. интервалы, на которых функция или возрастает или убывает.
Кривая называется выпуклой вверх (выпуклой) на промежутке [a;c), если все точки кривой лежат ниже любой её касательной на [a;c), где а< с < в f"(x)<0).
Кривая называется выпуклой вниз (вогнутой) на промежутке [c;b), если все точки кривой лежат выше любой её касательной на [c;b), (f"(x)> 0).
Точка М кривой, которая отделяет выпуклость от вогнутости, называется точкой перегиба графика функции.
Прямая x=х0 параллельная оси Оу, называется вертикальной асимптотой графика функции у = f(x), если limx→x∘fx=±∞
Асимптота графика функции у = f (x) называется наклонной, если она пересекает ось
Ох под углом φ≠π2 - т.е. не под прямым углом. Частным случаем наклонной асимптоты является горизонтальная асимптота, параллельная оси Ох (φ=0).
Пусть наклонная асимптота имеет вид у = kx + b, тогда:
k = limx→∞f(x)x , b = limx→∞(fx-kx)
Графиком функции у = f (x) называется множество точек плоскости с координатами (х; f (x)), где х пробегает область определения функции f (x).
1.5.5 Алгоритм исследования функции и построения графика функции.
При исследовании функции и изучении её свойств с целью построения графика находят:
область определения функции D(f) и, если возможно, область изменения E(f);
точки разрыва функции и промежутки непрерывности;
точки пересечения графика с осями координат;
промежутки знакопостоянства функции;
чётность, нечётность, периодичность;
критические точки функции, точки экстремума, экстремумы, промежутки монотонности;
промежутки выпуклости, вогнутости графика функции, точки перегиба;
асимптоты графика функции;
дополнительные точки (если это необходимо).
10) строится график функции.
Пример. Исследовать с помощью производной
и построить график функции
Решение:

х=0 – точка разрыва II-го рода (х=0 – уравнение вертикальной асимптоты).
при .
– + – +
0
при
при .
Функция ни чётная, ни нечётная, т.е. общего вида и непериодическая.
Находим производную:
при всех Следовательно, всюду в функция возрастает.
Функция не имеет точек экстремума и экстремумов.

при следовательно, при график вогнутый;
при следовательно, при график выпуклый.
а) прямая (ось Оу) – вертикальная асимптота;
b) пусть наклонная асимптота имеет вид тогда

- уравнение наклонной асимптоты.
Строим график функции:
y
2
-1-2 -2 0 -1+2 x

1.5.6 Применение производной для отыскания наибольших и наименьших
значений величин на отрезке.
Наибольшее и наименьшее значения функции - самое большое или самое малое значение функции по сравнению со всеми возможными (в отличие от экстремумов, где сравнение ведётся только с близкими точками).
Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нём и своего наибольшего, и своего наименьшего значений.
Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.
Если наибольшее(или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке:
Найти производную f1(x);
Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка;
Вычислить значения функции в точках, отобранных на втором шаге, и на концах отрезка;
Выбрать среди этих значений наибольшее (это будет унаиб) и наименьшее (это будет унаим).
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f (x) = x3 - 3x2 + 4 на отрезке [1; 3].
Решение:
Функцияf (x) непрерывна на отрезке [1; 3]. Находим f' (x) =3x2 - 6x.
f/(x) = 0, 3x2 - 6x = 0,
3х(х - 2) = 0,
х = 0, х = 2. Критические точки х = 0, х = 2.
Отрезку [1;3] принадлежит лишь одна из этих критических точек, а именно
х = 2. Вычислим значения функции f (x) в точке х = 2 и на концах отрезка х = 1 и х = 3.
f (2) = 23 - 3. 22 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0;
f (1) = 13 - 3. 12 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2;
f (3) = 33 - 3. 32 + 4 = 27 - 27 + 4 = 4.
Таким образом, наибольшее значение функции равно 4 и оно достигается на правой границе отрезка в точке х = 3; наименьшее значение функции равно 0 и достигается ею во внутренней точке х = 2.
1.5.7. Производная в физике и технике
Производная от координаты по времени есть скорость -
в этом заключается механический смысл производной: x'(t)= ϑ(t).
Производная от скорости по времени есть ускорение: ϑ'(t)=a(t).
1.5.8 Алгоритм нахождения производной в физике и технике:
На ходим производную от координаты по времени (она равна скорости).
Найдём производную скорости от времени (она равна ускорению).
Пример: Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 3t3 + 2t + 1. Найдите её скорость и ускорение в момент времени t = 2 (координата x(t) изменяется в сантиметрах, время t - в секундах).
Найдём скорость точки в произвольный момент времени, она равна:
ϑ(t)= x'(t)= (3t3 + 2t + 1)' = 9 t2 + 2 ( смс ).
Найдём скорость точки через 2 секунды, она равна:
ϑ(2)= = 9 ∙ 22 + 2 = 9 ∙ 4 + 2 = 36 + 2 = 38 ( смс ).
Найдём ускорение точки в произвольный момент времени, оно равно:
a(t) = ϑ'(t) = ( 9 t2 + 2 )= 18t ( смс2 )
Найдём ускорение точки через 2 секунды, оно равно:
a(2) 18 ∙ 2 = 36 ( смс2 )
Ответ: 38 смс; 36 смс2 .


2. Практический блок
2.1 Дидактические материалы


2.1.1 Обучающие самостоятельные работы.

Определение производной.
Учебные элементы Задания обучающей
самостоятельной работы Рекомендации к выполнению заданий
Значение функции в точке.
Приращение функции
Определение производной 1 Найдите значение функции
у = x3-2х + 5 в точке а) х = -1; б) х = b
2* Найдите значение функции
у = x2 + 3х + 2 в точке х = а + 1.
3* Найдите значение функции f(x) = 10
в точке а) х = 5; б) х = 50.
4 ** Найдите значение функции у= x3
в точке х = а + 2.
5 Найдите приращение функции
у = 2х - 3 при переходе от точки х0=3
к точке х=3,2.
6 * Найдите приращение функции
f(x) = 3х + 5 при переходе от точки х к точке
х + х
Используя определение, найдите производные функции:
7 y = c, c – const.
8 y = x.
9* y = x2.
10** y = x3. Подставьте в данное выражение вместо «х» данное число.
Подставьте вместо «х» -
«а +1».
Используйте формулу
(а + b)3.
y = f(3,2) – f(3).
f = f(x + x) – f(x)
Используйте алгоритм отыскания производной.
См. информационный блок, пример 2.

Дифференцирование функций.
Учебные элементы Задания обучающей самостоятельной работы Рекомендации к выполнению заданий
Производная степенной функции.
2.Правила дифференцирования.
3.Производная сложной функции.
4.Значение производной функции в точке.
5.Уравнения и неравенства Найдите производную функции:
1. а) х6; б) х13

2. а) х-3; б) х-7
3. а) х23; б) х-12;
4.* а) 1х5; б) 4х5.** а) 13х; б) x23хНайдите производные функций:
6. а)3х5; б)7х; в)3х13; г)х44.
7. а)5sin x; б)4ex; в)3 ln x; г)7ctg x.
8. а) y = 5х3 - 3x2+ 6x-2;
б) y = -7х-3 + 8x-2- 2x+3.
9.* y = x3 + 1x + 1x3.
10* у = 24x - x.
11** y = 2x3x2 + 4x4x3;
12. a) y = 6x+3x ;
б) у = x- 2x-4x + 3.
13 а) у =x5 ln x; б) у = x2ex.
14 у = x cosx.
15* у = (x2- 1)(x4+ 2).
16* у = x32x + 4.
17 у = sinxx.
18* у = 3x+5x27-4x.
19 а) у = (4x – 9)7; б) y = (3x2 – x + 2)5
20* а) у = 2sinx; б) y = 2-3x2.21* а) у = 14-7x; б) y = 5x2- 1.
22 а) у = sinx2; б) y = cos(π4+ 3x).23* у = ln (5 + 2x – 4x3).
24 у = e3x – 4.
25** у = cos23x.26** у = (log2x)3
Найдите значение производной функции в точке х0:
27 у = x3 – 3x + 2; х0 = -1.
28 у = x +4; х0 = 9.
29 у = 2ctg x; х0 = π3.
30* у = (3x – 2)7; х0 = 3.
31** у = sin(π6 - 2x); х0 = π12.
32* Найдите значения х, при которых значение производной функцииf(x) = 2x3 – x2 равно нулю; положительно; отрицательно.
33* При каких значениях х выполняется равенство f/(x) = 2, если известно, что f(x) = 2x- 5x+3?34** Найдите корни уравнения f/(x) = 0, принадлежащие отрезку 0;2, если известно, что f(x) = cos2x+1+ sinx.
Используйте формулу
(хp)/ = p∙xp-1
1xn = x -n; nxm= xmn .Постоянный множитель можно вынести за знак производной
(с∙f(x))/ = c∙f/(x)
Производная суммы равна сумме производных.
Представьте слагаемые в виде степени.
(x)/ = 12x; (1x)/ = -1x2(f(x)g(x))/=f/(x)g(x)+f(x)g/(x)
f(x)g(x)/ = f/xgx- f(x)g/(x)(g(x))2(up)/ = p ∙ up - 1∙ u/
(u)/ = 12u∙ u/
1u/= -1u2 ∙ u/
sinu/ = cosu∙ u/
lnu/ = 1u ∙ u/
eu/ = eu ∙ u/
u2/ = 2u ∙ u/
u3/ = 3u2 ∙ u/
Алгоритм решения:
1.Найдите производную данной функции.
2. Подставьте в производную значение х0.
Алгоритм решения:
1.Найдите производную.
2.Разложите производную на множители.
3.Методом интервалов определите знаки производной.
Используйте тригонометрическую окружность.
Физический (механический) смысл производной.
Учебные элементы Задания обучающей самостоятельной работы Рекомендации к выполнению заданий
1.Скорость
2.Ускорение
3.Скорость
4.Кинетическая энергия
5.Равнозамедленное движение 1. Тело движется по прямой так, что расстояние от начальной точки изменяется по закону S = 5t – 0,5t2 (м), где – время движения в секундах. Найдите скорость тела через 2с. после начала движения.
2. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S = 12t – 3t2(м), где
t – время движения в секундах. Через сколько секунд после начала движения тело остановится?
3. Тело движется по прямой так, что расстояние до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону S = 0,5t2 + 3t + 2(м), где – время движения в секундах. Через какое время после начала движения скорость тела окажется равной 15 м/с?
4. Тело движется по прямой так, что расстояние S до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону S = 4t3 - 83t+1(м), Найдите ускорение точки в конце первой секунды.
5. ** Найдите силу F, действующую на материальную точку массой m = 5 кг, движущуюся прямолинейно по закону S = 2t2 - 1 в момент времени t = 2c.
6.* Две материальные точки движутся прямолинейно по законам: S1 = 2,5t2 – 6t + 1, S2 = 0,5t2 + 2t -3. В какой момент времени скорости их равны?
7.* Две материальные точки движутся прямолинейно по законам: S1 = t2 – 6t + 2, S2 = 4t + 5. В какой момент времени скорость первой точки в два раза больше скорости второй?
8.** Известно, что тело массой m = 5кг движется прямолинейно по закону S = t2 + 2. Найдите кинетическую энергию тела через 2 с. после начала движения.
9.** Тело брошено с земли вертикально вверх с начальной скоростью V0 = 10 м/с. Определите, через сколько секунд тело достигнет наивысшей точки подъёма и на какую высоту оно поднимется? (g ≈ 10 м/с2).
10. * Изменение силы тока I в зависимости от времени t задано уравнением I = 2t2 - 5t . Найдите скорость изменения силы тока в момент времени t = 10с.
Алгоритм решения:
1). S/(t)
2). S/(2)
3). V =
Скорость тела в момент остановки равна нулю.
V(t) = S/(t)
V(t) = 15
a(t) = V/(t)
Из физики известно, что
F = ….

Составьте уравнение V1(t) = V2(t)
V1 = 2V2
Используйте формулу кинетической энергии тела.
V = I/(t)

Геометрический смысл производной.

Учебные элементы Задания обучающей самостоятельной работы Рекомендации к выполнению заданий
1.Угловой коэффициент касательной
2.Угол между касательной и осью Ох.
3.Уравнение касательной. 1.Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой
х = а, если
а) f(x) = x3 – 2x2 +3 , a = -1.
б) f(x) = 5sin x, a = 0.
в)* f(x) = 2x-1x+1 , a = 1.
г) * f(x) = tg 2x , a = π8.
д) ** f(x) = 4+5x, a = 1.
2. Дана функция f(x) = 5 + 4x – 3x2. Найдите координаты точки её графика, в которой угловой коэффициент касательной к нему равен -5.
3.Найдите тангенс угла между касательной к графику функции y = h(x)
в точке с абсциссой x0 и осью Ох
а) h(x) = x6 – 4x, x0 = 1.
б) h(x) = x-3, x0 = 14.
в) h(x) = 10-cosx, x0 = 3π2.
г)* h(x) = 16x+21, x0 = 14.
д)** h(x) = 184x+1, x0 = 0,5.
4. ** Определите, какой угол образует с осью Ох касательная, проведённая к графику функции f(x) = 3 cosx3 в точке с абсциссой х = 3π2.
5.* Какой угол (тупой или острый) образует с положительным направлением оси Ох касательная к графику функции
а) f(x) = 4 + x2, проведённая в точке с абсциссой х = 2;
б) f(x) = (1 – x)3 в точке с абсциссой x = -3
6. Составьте уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а, если
а) f(x) = x2, a = 3;
б) f(x) = 2 – x – x3, a = 3;
в) f(x) = sin2x, a = π4
7.* В какой точке касательная к графику функции у = х2 -5х параллельна прямой у = -х.
8. ** Составьте уравнение касательной к графику функции у = х + е-2х, параллельной прямой у = -х.
9. * Составьте уравнение касательной, проведённой к графику функции
у = sinх- π+ 1 в точке его пересечения с осью ординат.
k = f/(a)
x0 найдите из уравнения f/(x0) = k.
y0 = f(x0)
( x0; y0) - искомая точка.
tg α = h/(x0)
Если tg α = a,
то α=arctg aЕсли tg α > 0,
то 0° <α< 90°.
Если tg α < 0,
то 90° <α< 180°.
Смотри информационный блок, пример 1.
Используйте условие параллельности двух прямых:
k1 = k2.
Найдите абсциссу точки касания (см.задание 7* ).
По алгоритму составьте уравнение касательной.
Если точка лежит на оси ординат, то её абсцисса равна…



2.1.2 Диагностические самостоятельные работы.
Определение производной.
Учебные элементы Задания диагностической самостоятельной работы
Значение функции в точке.
Приращение функции
Определение производной 1Найдите значение функции
у = 2x-5x+1 в точке а) х = 1; б) х = c
2 *.Найдите значение функции
у = x2 - 5х - 1 в точке х = c - 2.
3 * .Найдите значение функции f(x) = -4
в точке а) х = 0; б) х = -1.
4 **.Найдите значение функции у= x3 + 1
в точке х = b - 1.
5.Найдите приращение функции
у = х2+ 2x при переходе от точки х0 = -2
к точке х = -1,5.
6*.Найдите приращение функции
f(x) = 4 - 2х при переходе от точки х к точке
х + х
Используя определение, найдите производные функции:
7 y = 7.
8 y = 7x.
9 * y = 3x2.
10 ** y = x2 + 3x +1.
Дифференцирование функций.
Учебные элементы Задания диагностической самостоятельной работы
Производная степенной функции.
Правила дифференцирования.
Производная сложной функции.
Значение производной функции в точке.
Уравнения и неравенства Найдите производную функции:
1 а) х7 ; б) х12
2 а) х-5 ; б) х-4
3 а)х25; б) х-23 ;
4* а) 1х9; б) 3x25** а) 14х3; б) х3хНайдите производные функций:
6 а)6х2; б)5х; в)2х12; г)х-33.
7 а)6 cos x; б)3ex; в)4 ln x; г)2 tg x.
8 а) y = 7х4 + 4x3- 8x+6;
б) y = -9х-5 + 4x-2+ 7x-5.
9* y = x2 - 1x2 + 1x4.
10* у = 36x + 714x.
11** y = 6x6x5 - 5x5x4;
12 а) у = 10x+ 5x; б) у = 5x-2x- 4x- 1.
13 а) у =x6 ln x; б) у = x9ex.
14 у = x sinх.
15* у = (x2+ 3)(x6- 1).
16* у = x23- 4х.
17 у = cosчx.
18* у = 3x4- 2х +52х3+ 4x-1.
19 а) у = (5x + 1)9; б) y = (7x2 –2 x + 4)3
20* а) у = 4cosх; б) y = 5+9х3.21* а) у = 13+11x; б) y = 23x2- 4.
22 а) у = cos3х; б) y = sin(5х- π12).23* у = ln (7х4- 5x + 4).
24 у = e-x .
25 ** у = (х3 + 1)cos2х26** у = sin(log3х)Найдите значение производной функции в точке х0:
27 у = x3 – 9x2 + 7; х0 = 2.
28 у = x +5; х0 = 4.
29 у = ctg x - 2; х0 = -π6.
30* у = (4 - 5x)7; х0 = -2.
31** у = cos(π3 - 4x); х0 = π8.
32* Найдите значения х, при которых значение производной функции f(x) = -3x3 + 2x2 + 4 равно нулю; положительно; отрицательно.
33* При каких значениях х выполняется равенство f/(x) = 1, если известно, что f(x) = 3x - x+13?34** Найдите корни уравнения f/(x) = 0, принадлежащие отрезку π2; 3π2, если известно, что f(x) = sin2x- cosx-1.
Физический (механический) смысл производной.
Учебные элементы Задания диагностической самостоятельной работы
Скорость
Ускорение
Скорость
Кинетическая энергия
Равнозамедленное движение 1. Тело движется по прямой так, что расстояние от начальной точки изменяется по закону S = t + 0,5t2 (м), где – время движения в секундах. Найдите скорость тела через 4с. после начала движения.
2. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S = 1 + 4t – t2(м), где t – время движения в секундах. Через какое время после начала движения тело остановится?
3. Тело движется по прямой так, что расстояние до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону S = 3t2 + 2t + 5(м), где – время движения в секундах. Через какое время после начала движения скорость тела окажется равной 20 м/с?
4. Материальная точка движется прямолинейно по закону
S = 16t3 +90t2+5(м), Найдите ускорение точки в момент времени t = 2c.
5. ** Найдите силу F, действующую на материальную точку массой m = 10 кг, движущуюся прямолинейно по закону S = t33 + 5t - 4 в момент времени t = 3c.
6. * Две материальные точки движутся прямолинейно по законам: S1 = t3 – 2t2 – 5t, S2 = t33 + t + 1. В какой момент времени скорости их равны?
7. * Две материальные точки движутся прямолинейно по законам: S1 = t22 - t, S2 = 4t2 – 13t + 7. В какой момент времени скорость первой точки в три раза меньше скорости второй?
8. ** Известно, что тело массой m = 2кг движется прямолинейно по закону S = 5t2 + 3t - 6. Найдите кинетическую энергию тела через
3с. после начала движения.
9.** Тело брошено с земли вертикально вверх с высоты 10м со скоростью 20 м/с. Определите, какой наибольшей высоты достигнет тело (g ≈ 10 м/с2).
10.* Изменение силы тока I в зависимости от времени t задано уравнением I = 4t2 - 7t +3. Найдите скорость изменения силы тока в момент времени t = 5с.


Геометрический смысл производной.

Учебные элементы Задания диагностической самостоятельной работы
Угловой коэффициент касательной


Угол между касательной и осью Ох.
Уравнение касательной. 1.Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой
х = а, если
а) f(x) = х4 - 7x3 + 12x - 45 , a = 0.
б) f(x) = 3 ctg x, a = π3.
в)* f(x) = x-1x+3 , a = 1.
г) * f(x) =cos 3x , a = π2.
д)** f(x) = 3,5-0,5x, a = -1.
2. К графику функции f(x) = 3 + 7x – 4x2 проведена касательная с угловым коэффициентом -9. Найдите координаты точки касания.
3.Найдите тангенс угла между касательной к графику функции
y = h(x) в точке с абсциссой x0 и осью Ох
а) h(x) = -x5 – 2x2 + 2, x0 = -1.
б) h(x) = 25х+2, x0 = 54.
в) h(x) = 4-sinx, x0 = 6π.
г) * h(x) = 6-2x, x0 = 1.
д)** h(x) = (0,5x+3)7, x0 = -4.
4.* Определите, какой угол образует с осью Ох касательная, проведённая к графику функции f(x) = 12sin2x в точке с абсциссой х = π2.
5.* Какой угол (тупой или острый) образует с положительным направлением оси Ох касательная к графику функции
а) f(x) = 2x – x3, проведённая в точке с абсциссой х = 1;
б) f(x) = 1 – 1x в точке с абсциссой x = 3
6. Составьте уравнение касательной к графику функции
у = f(x) в точке с абсциссой х = а, если
а) f(x) = x3, a = 1;
б) f(x) = x2 – 3х + 5, a = -1;
в) f(x) = ctg 2x , a = π4
7. * В какой точке касательная к графику функции
у = x параллельна прямой у = х.
8.** Составьте уравнение касательной к графику функции
у = 2х - lnx, параллельной прямой у = х.
9.* Составьте уравнение касательной, проведённой к графику функции у = tgх- π4+ 1 в точке его пересечения с осью ординат.
Самостоятельные работы
Самостоятельная работа по теме:
« Приращение функции. Понятие о производной и непрерывности функций».

Вариант 1.
1. Выразите приращение функции в точке если
2. Найдите приращение , если:
3. Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции через точки с абсциссой

4. Начертите график функции, непрерывной в каждой точке промежутка
5. Найти производные:
6. Решите уравнение
Выберите верный из предложенных ответов.
7. Определите, при каких значениях х выполняется неравенство если
8. Сравните скорость изменения функций в точке если
Вариант 2.
1. Выразите приращение функции в точке если
2. Найдите приращение , если:
3. Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции через точки с абсциссой

4. Начертите график функции, непрерывной в каждой точке промежутка
5. Найти производные:
6.Решите уравнение
Выберите верный из предложенных ответов.
7. Определите, при каких значениях х выполняется неравенство если
8. Сравните скорость изменения функций в точке если

Самостоятельная работа по теме
« Вычисление пределов»
Вычислить пределы:
1) ;5) ;
2) ;6) ;
3) ;7) ;
4) ;8) ;
9) ; 10) ;
11) ;12) ;
13) ;14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18) ;
19) ; 20) ;

Самостоятельная работа по теме
« Производная тригонометрической функции»
а) y = sin x ; б) y = -0,2sin x; в) y = sin0,2 x;
г) y = sin( x2+3х); д ) у = - cos x; е) у = - cos ;
ж) у = cos х5; з ) у = - cos; и) у = tg(- 1,5 x);
к) у = tg (- 3x); л) у = tg (cos x); м) у = ctg (- x).



Самостоятельная работа по теме:
«Вычисление производной»
Найдите производные:              
Вариант 1 Вариант 2
1. 1.
2. 2.
3. 3.
4. 4.
5. 5.
6. 6.
7. 7.
Вариант 3 Вариант 4
1. 1.
2. 2.
3. 3.
4. 4.
5. 5.
6. 6.
7. 7.
                  


Самостоятельная работа
«Вычисление производной»
Найти соответствие:
№
1 I. f(x) = (4 – 3x)
II. f(x) = 9ln
III. f(x) =
IV. f(x) =
V. f(x) = 3
VI. f(x) = cos2x + sin(x +) 1. f`'(x) = - 2sin2x + cos(x +)
2. f '(x) =
3. f '(x) = - 4sin(4x – )3ln3
4. f '(x) =
5. f '(x) =
6. f '(x) = - 30(4 – 3x)
№
2 I. f(x) =
II. f(x) =
III. f(x) = 5e
IV. f(x) =
V. f(x) = cos6x+sin4x
VI. f(x) = log
1. f`'(x) = - 6sin6x + 4cos4x
2. f '(x) =
3. f '(x) =
4. f '(x) = -15(4 - 1,5x)
5. f '(x) =
6. f '(x) =
№
3
I. f(x) = (20x + 4)
II. f(x) = 4sin
III. f(x) = logcos(4x – 3)
IV. f(x) = sin4xcos6x – cos4xsin6x
V. f(x) =
VI. f(x) = 1. f`'(x) =
2. f '(x) = 420(20x + 4)
3. f '(x) =
4. f '(x) =
5. f '(x) = -
6. f '(x) = - 2cos2x
№
4
I. f(x) = sin5xcosx – cos5xsinx
II. f(x) =
III. f(x) = (9x – 3x + 7)
IV. f(x) =
V. f(x) =
VI. f(x) = cos4xcos5x - sin4xsin5x
1. f`'(x) = -
2. f '(x) =
3. f '(x) = -9sin9x
4. f '(x) = 4cos4x
5. f '(x) =
6. f '(x) = (144x – 24)(9x – 3x +
№
5 I. f(x) =
II. f(x) = cos(6 – 4x)
III. f(x) = (4x + 3)
IV. f(x) = log

V. f(x) = sin7xsin5x + cos7xcos5x
VI. f(x) = (9 -x) +
1. f`'(x) = - 2sin2x
2. f '(x) = -18x(9 -x)+
3. f '(x) = 36(4x + 3)
4. f '(x) =
5. f '(x) =
6. f '(x) = 4sin(6 – 4x)
№
6
I. f(x) = cos4xcos2x - sin4xsin2x
II. f(x) = 34sinx
III. f(x) = 2sincos
IV. f(x) = ctg + 1
V. f(x) =
VI. f(x) = (3x – 4)
1. f`'(x) = -
2. f '(x) =
3. f '(x) = 18(3x – 4)
4. f '(x) = 34sin2x
5. f '(x) = - 6sin6x
6. f '(x) = 5cos5x + 4cos4x





Самостоятельная работа по теме
Касательная к графику функции
На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
1.2.

3.4.

5.6.


Самостоятельная работа по теме:
«Применение производной»
Вариант I
Определить угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой х0 = 2.
Под каким углом пересекает ось абсцисс касательная, проведённая к графику функции у = 2 в точке с абсциссой х = 3
Касательная проведённая к графику функции у = 2х2 – 7х + 6 параллельна прямой у = 3 + х. Найдите координаты точки, в которой проведена касательная.
Дан график производной функции у = f(x) определённой на интервале (-8; 12). Определить
а) точки максимума функции;
б) количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой
у = 5 – 2х;
в) точку, в которой функция принимает наибольшее значение на промежутке [3; 11];
г) наименьшее значение абсциссы точки, в которой касательная к графику функции проведена под углом 45°;
д) абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наибольший угловой коэффициент.


y = f ´ (x)


5. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значением функции у = log 5 (25 – х2) на отрезке [-; 1].
Найти наименьшее значение функции на промежутке [-1; 5)

Вариант II
Определить угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции
y = + 4,875x в точке с абсциссой х0 = 16
Под каким углом пересекает ось абсцисс касательная, проведённая к графику функции
у = 3ln x +15 в точке с абсциссой х =
Касательная проведённая к графику функции у =3х2 – х - 3 параллельна прямой у = 2 + 5х. Найдите координаты точки, в которой проведена касательная.
Дан график производной функции у = f(x) определённой на интервале (-9; 12). Определить
а) точки минимума функции;
б) количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой
у = 2х + 5;
в) точку, в которой функция принимает наименьшее значение на промежутке [1; 11];
г) наибольшее значение абсциссы точки, в которой касательная к графику функции проведена под углом 135°;
д) значение углового коэффициента касательной проведённой к графику функции в точке х = –3


y = f ´ (x)


Найдите разность между наибольшим и наименьшим значением функции у = 4,7на отрезке [-;].
Найти наибольшее значение функции на промежутке (–3; 2]

2.1.4 Тренажёры
Тренажёр №1
Вычисление приращения функции
Дана функция
Вычислите её приращение на отрезке
А Б
а b а b
-1 1 1 1,5
1 1,5 2. 2 2,5
0 0,2 3. -1 -8
2 3 4. 2 7
Вычислите её приращение на промежутке
А Б

0 2 1. 2 5
2. -1 1 2. -2 1
Тренажёр №2
Производная степенной функции
Найдите производную данной функции.
А Б
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

16.
17.
18.
19.
20.
Тренажёр №3
Производная сложной функции
Найдите производную данной функции.
А Б
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

Тренажёр №4
Промежутки монотонности
Найдите промежутки монотонности функции .
А Б
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Тренажёр №5
Экстремумы функции
Найдите точки экстремума функции .
А Б
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Тренажёр №6
Уравнение касательной
Дана функция .
Найдите угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой .
Найдите точки, в которых угловой коэффициент касательной равен числу .
Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .
А Б

1 4 1. -10
-1 -1 2. -1 -3
2 -1 3. 0 0
3 1 4. 1 0
0 6 5. 1 6
6. 1
0 -1 7. 1 2
2 -4 8. 1 0
1 9. 0
1 5 10. 4 2
Тренажёр №7
Исследование функции на отрезке
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанных промежутках.
А Б
промежутки промежутки
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Тренажёр №8
Приложения производной к механике
Задан закон прямолинейного движения точки .
Найдите среднюю скорость движения на указанном отрезке времени.
Найдите скорость и ускорение в момент времени .
Hайдите моменты остановки. Продолжает ли точка после момента остановки двигаться в том же направлении или начинает движение в противоположном направлении?
Найдите наибольшую скорость движения на указанном отрезке времени.
А Б

4 1. 7
3 2. 1
6 3. 2
8 4. 4
1 5. 3
2 6. 4
1 7.
1 8. 1
0,5 9.
2 10. 2
2.1.5 Тесты
Тест№1
по теме «Применение производной к исследованию функции»
Вариант I
Дайте краткие ответы к предложенным заданиям
Определить угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в точке А(16; 96).
Определить угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в точке графика с абсциссой х0, проходящей через точки М (-4; 6) и К (0; 2).
Касательная, проведённая к графику функции в точке (-5; 3) проходит через начало координат. Найти значение производной функции в точке х0 = -5
Определить угол наклона касательной, проведённой к графику функции в точке . Ответ дать в градусах.
Определить сумму координат точки касания касательной, проведённой к графику функции параллельно прямой .
Определить наибольшее значение функции на промежутке .
Указать площадь треугольника между координатными осями и касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой х0 = -1
4525645539750На рисунке изображён график функции . Прямая касается графика функции в точке с абсциссой –2 и проходит через точку А(2; 5). Найдите .
На рисунке изображён график производной некоторой функции , которая задана на промежутке (-3; 6). Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс (если таких точек несколько, то в ответе укажите их сумму).
-174625205740
На рисунке изображён график производной некоторой функции , которая задана на промежутке (–4; 8). Укажите длину промежутка убывания функции.
2744470102235
10. На рисунке изображён график функции . Найдите на каком промежутке производная функции положительна? (В ответе укажите длину промежутка)
44596055651511. На рисунке изображён график функции . Найдите на каком промежутке производная функции положительна? (В ответе укажите длину промежутка)
Вариант II
Дайте краткие ответы к предложенным заданиям
Определить угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в точке М(–2; -22).
Определить угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в точке графика с абсциссой х0, проходящей через точки Е (–7; 15) и К (3; 5).
Касательная, проведённая к графику функции в точке А(-2;9) проходит через начало координат. Найти значение производной функции в точке х0 = -2.
Определить угол наклона касательной, проведённой к графику функции в точке . Ответ дать в градусах
Касательная, проведённая к графику функции , параллельна прямой . Определить произведение координат точки касания.
Определить наименьшее значение функции на промежутке .
4864735179705Определить расстояние от точки касания касательной, проведённой к графику функции параллельно прямой до оси абсцисс.
На рисунке изображён график функции . Прямая касается графика функции в точке с абсциссой 1,5. Найдите
-31242011430На рисунке изображён график производной некоторой функции , которая задана на интервале (–4; 6). Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции параллельна прямой (если таких точек несколько, то в ответе укажите их сумму).
451802571755
На рисунке изображён график производной некоторой функции , которая задана на интервале (–4; 6). Укажите длину промежутка возрастания функции.
428498015938511.На рисунке изображён график функции . Найдите на каком промежутке производная функции отрицательна? (В ответе укажите длину промежутка).
Тест№2
Производная функции.
Найдите значение производной функции fx=x3-27x2+3x+9 в точке х0=2005
Найдите значение производной функции fx=1-4х2х+1 в точке х0= -1
Найдите значение производной функции fx=(x2+1)2-2x2+1+1 в точке х0=2
Найдите значение производной функции fx=2х+16х в точке х0=4
Найдите значение производной функции fx=cosх+tanх в точке х0= -π
Укажите число целых решений неравенства f'х≤0, если fх=х55-163х3Какой угол образует с осью абсцисс касательная к графику функции у = х5-х в начале координат? В ответе укажите градусную меру этого угла.
Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции fх=1-2х4х+1 , проведенной в точке с абсциссой (-0,5).
Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции у=х+1х5-х4+х3-х2+х-1 в его точке с абсциссой (-1).
Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у=cosх +6tgх в его точке с абсциссой π6.
Напишите уравнение касательной к графику функции fх=х2+2х , параллельной прямой у=4х-5. В ответе укажите площадь треугольника, образованного этой касательной и осями координат.
Напишите уравнение касательной к графику функции у=х2-4х, параллельной оси абсцисс. В ответе укажите расстояние от точки (0;0) до этой касательной.
Укажите точку графика функции у=х2+4х , в которой касательная параллельна прямой у-2х+5=0. В ответе запишите сумму координат этой точки.
Укажите точку максимума функции g(х), если g,х=х+6(х-4)Найдите максимум функции f(х)=х2+9хУкажите число точек экстремума функции g(х)=х5-15х3Укажите число точек экстремума функции f(х)=х3(х-1)4Укажите точку минимума функции f(х)= х3+х2-5х+4Найдите минимум функции f(х)=х2+4хНайдите наибольшее значение функции f(х)=х3-3х на отрезке 0;3.Найдите наименьшее значение функции f(х)= х3+3х на отрезке -2;31Найдите наименьшее значение функции f(х)=х4х+23 на отрезке -1;1Найдите наибольшее значение функции g(х)=3cosх+1 на отрезке -2009;2009Найдите наибольшее значение функции g(х)=4sinх+5 на отрезке 1;2006Тело движется по прямой так, что расстояние S( в метрах) от него до точки В этой прямой изменяется по закону S(t)=2t3-12t2+7 (t- время движения в секундах). Через сколько секунд после начала движения ускорение тела будет равно 36 м/с2Тело движется по прямой так, что расстояние от начальной точки изменяется по закону S=5t+0,2t3-6 (м), где t- время движения в секундах. Найдите скорость тела через 5 секунд после начала движения.
Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции у=f(х) в точке (-2;10) Найдите f,-2. 2.1.6 Индивидуальные работы
Индивидуальная работа№1
тема «Дифференцирование функции»
Найдите производные функций 1 - 4.
Вариант 1



Вариант 2



Вариант 3




Вариант 4



Вариант 5



Вариант 6




Вариант 7



Вариант 8



Вариант 9




Вариант 10




Индивидуальная работа№2
Производная показательной функции
Вариант 1

Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6
Вариант 7
Вариант 8

Вариант 9

Вариант 10

Индивидуальная работа №3
Исследование функций
Найдите промежутки монотонности функции
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
Вариант 10
Исследуйте и постройте график функции f(x). Найдите наибольшее и наименьшее этой функции на заданном отрезке.
Вариант 1 ; [-3;0]
Вариант 2 ; [0;2]
Вариант 3 ; [-3,5;1,5]
Вариант 4 ; [1;3]
Вариант 5 ; [0,5;2,5]
Вариант 6 ; [-1;2]
Вариант 7 ; [0;3]
Вариант 8 ; [0,5;1,5]
Вариант 9 ; [-4;0]
Вариант 10 ; [0;2]


2.1.7 Зачёты

Зачёт по теме «Производная»
Вариант 1
1.Найдите производную функций:
1) f(x)=9x8; 2) f(x)= 13 x-9; 3) f(x)=8·1x ;

4) f(x)=-18x; 5) f(x)= -54 ; 6) f(x)=x14 – x12 + 3x9 + x3 – 9x2 +5x;
7) f(x)=2tg x + cos x– sin x; 8) f(x)=ctg x + x5- 5 ; 9) f(x)=sin x + 3x - 4x;
10) f(x)=x10· (7x + 15); 11) f(x)=(13x - 8)(8 + 7x); 12) f(x)=(cos x –x)· 6x;
13) f(x)=1-7x5x+4 ; 14) f(x)=2x4- x3- x tgx ; 15) f(x)=3x5- 1x ;
16) f(x)=(8x + 6)7; 17) f(x)=x15 + 2x2 + 3 ; 18) f(x)=1ctgx ;

19)f(x)= sin5x; 20) f(x)=cosπ3-2x; 21) f(x)=10x2 - 1x3- 2x .
2. Дана функция f(x)=-3x4 + 2x2 + 13.
Hайдите: f´(-4), f´12.

Вариант 2
1. Найдите производную функций:
1) f(x)=-8x7; 2) f(x)= 14 x-10 ; 3) f(x)=7·1x ;
4) f(x)=17x; 5) f(x)= 427 ; 6) f(x)=x13 – 2x11 + 5x8 + x2 – x + 3;
7) f(x)=ctg x + 2cos x + sin x; 8) f(x)=tg x + x6 - x ; 9) f(x)=cos x - 4x - 5x;

10) f(x)=x9· (6x + 14); 11) f(x)=(3x - 18)(5 + 7x); 12) f(x)=( x – tgx)· 2x;

13) f(x)=7x-32- 5x ; 14) f(x)=3x5+ x4- x ctgx 15) f(x)=3x6- 62x ;
16) f(x)=(9x + 5)8; 17) f(x)=2x16 + x3 + 6 ; 18) f(x)=1sinx ;
19) f(x)=cos 6x; 20) f(x)=tg3x-π4; 21) f(x)=(x11 – 2x + 3)6 + 8x2 .
2. Дана функция f(x)= 4x4 - 3x2 + 14.
Hайдите: f´(5), f´-12.

Зачёт по теме «Производная и её применение»
Вариант 1
Найдите производную функции: .
Найдите производную функции: .
Материальная точка движется по закону (м).
В какой момент времени скорость точки будет равна 12,8 м/с?
Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой .
3
y = f (x)
0
x
x
1
2
-1
-3
1
2
3
4
6
7
y
-1
-5
-7
0
-5
На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной в точке .
Найдите промежутки возрастания и убывания функции у = -х4 + 8х2 -16.
Найдите наименьшее значение функции
f(x) =x3 – 3x2 – 9x + 31 на отрезке [-1; 4].

Вариант 2.
Найдите производную функции: .
Найдите производную функции: .
Материальная точка движется по закону (м). Чему равна скорость в момент времени 4с?
Укажите абсциссу точки графика функции , в которой угловой коэффициент касательной, проведённой к этому графику, равен -2.
3
y = f (x)
0
x
x
1
2
-1
-3
1
-3
4
6
7
y
-1
-5
-7
0
-5
На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной в точке .
Найдите промежутки возрастания и убывания функции у = х4 – 2х2 +2.
Найдите наибольшее значение функции
f(x) = -x3 +12x – 14 на отрезке [-2; 3].
Зачёт по теме «Применение производной»
Вариант 1
С помощью производной найдите промежутки возрастания и убывания функции:
f(x) = 2x3 – 3x2 – 36x + 40.
Исследуйте функцию и постройте её график: f(x) = -0,5x2 + 2x + 6.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x4 – 8x2 + 5 на промежутке [-3;2].

Вариант 2
1.С помощью производной найдите промежутки возрастания и убывания функции:
f(x) = x4 – 8x2 + 3.
Исследуйте функцию и постройте её график: f(x) =-x2 - 2x + 8.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 2x3 + 3x2 – 36x на отрезке [-2;1].

2.1.8 Контрольные работы

Контрольная работа по теме:
«Производная».
Знать:
- правила и формулы отыскания производных;
- правила дифференцирования;
- производную сложной функции;
- геометрический и физический смысл производной.
Уметь:
- находить производные, используя формулы и правила дифференцирования;
- находить угол наклона касательной к графику функции в заданной точке;
- находить ускорение в момент времени t по заданной формуле движения точки;
- находить корни уравнения fl(x) = 0 на заданном промежутке.
Вариант 1. Вариант 2.
1. Найти производную функции:
а) а)
б) б)
в) y = x5+9x20+1 в) y = x9+6x21-36
г) г)
д) y = x ctgx д) y = x tgx
е) е)
ж) ж)
з) з)
2. Найдите угол, который образует с положительным лучом оси абсцисс касательная к графику функции:

в точке xo = 1
в точке xo = -1
3. Вычислите производную функции
в точке x = π/6
3. Вычислите производную функции
в точке x = π/3
4. Прямолинейное движение точки описывается законом S = t4-t2 (м). Найдите ее ускорение в момент t = 3 с.
4. Прямолинейное движение точки описывается законом S = t6-4t4 (м). Найдите ее ускорение в момент t = 2 с.
5. Найдите все значения x, при которых выполняется равенство fl(x) = 0
если
x є [0;4π] если
x є [0;4π]
Контрольная работа по теме:
«Применение производной к исследованию функции».
Знать:
- алгоритм исследования непрерывной функции на монотонность и экстремумы;
- алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке;
- уравнение касательной;
- уравнение вертикальной и горизонтальной асимптот;
- применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений величин.
Уметь:
- исследовать функцию на монотонность;
- находить точки экстремума;
- находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке;
- строить график функции;
- составлять уравнение касательной к графику функции;
- находить наибольшие и наименьшие величины при решении задач.
Вариант 1. Вариант 2.
1. Дана функция у = x3+3x2-4.
Найдите:
а) промежутки возрастания и убывания функции;
б) точки экстремума;
в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-4;1].
1. Дана функция у = 0,25x4-2x2.
Найдите:
а) промежутки возрастания и убывания функции;
б) точки экстремума;
в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-3;1].
2. Постройте график функции у = x3+3x2-4. 2. Постройте график функции у = 0,25x4-2x2.
3. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке xо=1.
3. Составьте уравнение касательной к графику функции y = 9/x в точке xо=3.
4. Площадь прямоугольного треугольника равна 8 см2. Какими должны быть длины сторон треугольника, чтобы сумма площадей квадратов, построенных на его сторонах, была наименьшей.
4. Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием составляют в сумме 36 см. Чему равен наибольший объем такого параллелепипеда.
5. Постройте график функции:
5. Постройте график функции:



2.1.9 Внеаудиторные самостоятельные работы
Самостоятельная работа №1
по теме: Геометрический смысл производнойЦель: Иметь понятие о геометрическом смысле производной. Уметь находить тангенс угла наклона касательной к оси ох.
Теоретический материал
Алгоритм написания уравнения касательной к графику функции
1. Записать уравнение касательной в общем виде;
2. Вычислить значение функции в заданной точке. Для этого подставьте в функцию вместо х значение данной точки.
3. Найдите производную функции.
4. Вычислить значение производной функции в заданной точке. Для этого подставьте в производную функции вместо х значение данной точки.
5. Все полученные результаты подставьте в общее уравнение касательной.
Образец решения:
Написать уравнение касательной к графику функциив точке с абсциссой
х0 = .
Решение:
;
;
;
- искомое уравнение касательной.
Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работой, прочитайте ещё раз конспект, учебник и ответьте на следующие вопросы:
Что называется угловым коэффициентом касательной?
Что называется тангенсом угла наклона?
Как записывается уравнение касательной?
Алгоритм написания уравнения касательной к графику функции
Решить самостоятельно:
Вариант 1
Найти угол между касательной к графику функции y=f(x)в точке с абсциссой x0.
fx=3x2, x0=1. fx=12x2, x0=2. fx=4x, x0=4.fx=5cosx, x0=π6.fx=sin3x, x0=π12.Записать уравнение касательной к графику функции y=f(x)в точке с абсциссой x0.fx=x5-x3+3x-1, x0=0.fx=x3-2x, x0=2.
Вариант 2
Найти угол между касательной к графику функции y=f(x)в точке с абсциссой x0.
fx=2x3, x0=1. fx=14x4, x0=2. fx=3x, x0=9.fx=4sinx, x0=π3.fx=cos5x, x0=π20.Записать уравнение касательной к графику функции y=fxв точке с абсциссой x0 2.1fx=x4-x3+5x-2, x0=02.2. fx=x3+3x, x0=2Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы обучающегося являются:
Уровень освоения учебного материала;
Умение использовать теоретические знания и практические умения при выполнении профессиональных задач;
Уровень сформированности общих и профессиональных компетенций.

Самостоятельная работа №2
на тему Вычисление предела функцииЦель: Знать понятие предела функции в точке, уметь вычислять пределы и раскрывать неопределённости 00 и ∞∞.
Теоретический материал
Формулы для повторения
, где С = const
Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха.



при
Образец решения:
1. Найти предел: limх→2(5х2-2х+1)=5∙22-2∙2+1=5∙4-4+1=17.2. Найти предел:
limх→∞2х3-х+5х3+х2-1=∞∞ Имеем неопределенность ∞∞. Чтобы раскрыть ее, разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень числа х, т.е. на х3.
Получим:
limх→∞2х3х3-хх3+5х3х3х3+х2х3-1х3. Применяя теоремы о вычислении предела, получим:
limx→∞2x3x3-limx→∞xx3+limx→∞5x3limx→∞x3x3+limx→∞x2x3-limx→∞1x3=limx→∞2-limx→∞1x2+limx→∞5x3limx→∞1+limx→∞1x-limx→∞1x3=21=23. Найти предел:
1. lim х→-25х2+13х+63х2+2х-8=00Решение:
Имеем неопределенность 00. Чтобы раскрыть ее, разложим на множители числитель и знаменатель.
limх→-25х2+13х+63х2+2х-8=limх→-2х+25х+3х+23х-4=limх→-25х+33х-4=710=0,7Примечание:
limx→∞1x2=0 limx→∞5x3=0;
limx→∞1x=0; limx→∞1x3=0Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работой, прочитайте ещё раз конспект, учебник и ответьте на следующие вопросы:
Что называется пределом?
Свойства пределов.
Вычисление пределов, стремящихся к числу.
Вычисление пределов[∞∞]
Вычисление пределов00 Решить самостоятельно:
Вариант 1
Найти указанные пределы:
1. limх→2(2х2-4х+4)2. limх→4х+5х3. limх→1х2-1х-14. limх→-6х2-36х+65. lim х→2х3-8х-2Вариант 2
Найти указанные пределы:
1. lim х→-1(5-3х-х2)2. lim х→32хх+63. lim х→4х2-4хх2-164. lim х→0х2-2х5х5. limх→-2х3+8х+2Вариант 3
Найти указанные пределы:
1. lim х→3(х2+7х-3)2. lim х→4х+52х3. lim х→2х2-4х-24. lim х→-5х2+5хх+55.limх→3х3-27х-3Вариант 4
Найти указанные пределы:
1. lim х→-2(3-4х-х2) 2. lim х→13х2х+143. lim х→3х2-9х-34. lim х→44-х16-х25. limх→-3х3+27х+3Дополнительное задание:
Найти указанные пределы:
1. lim х→2х2-7х+10х2-4
2. lim х→3х2-9х2+2х-15 3.lim х→∞х3+2х2-42х3-х-14. lim х→∞2х4+7х3-12х5+3Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы обучающегося являются:
Уровень освоения учебного материала;
Умение использовать теоретические знания и практические умения при выполнении профессиональных задач;
Уровень сформированности общих и профессиональных компетенций.
Самостоятельная работа №3
на тему: Применение производной к исследованию функцииЦель: Знать условия возрастания, убывания функции, точек максимума и минимума функции. Знать схему исследования функции и применять её при построении графика.
Теоретический материал
Признак возрастания функции: Если f/(x)>0 в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция f(x) возрастает.
Признак убывания функции: Если f/(x)<0 в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция f(x)убывает.
Признак максимума функции: Если функция fx непрерывна в точке х0, а f/(x)>0 на интервале a;x0 и f/(x)<0 на интервале x0 ;a, то x0 является точкой максимума.
Упрощённая формулировка: Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума.
Признак минимума функции: Если функция fx непрерывна в точке х0, а f/(x)<0 на интервале a;x0 и f/(x)>0 на интервале x0 ;a, то x0 является точкой минимума
Упрощённая формулировка: Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка максимума.
Алгоритм исследования функции и построения графика функции.
При исследовании функции и изучении её свойств с целью построения графика находят:
область определения функции D(f) и, если возможно, область изменения E(f);
точки разрыва функции и промежутки непрерывности;
точки пересечения графика с осями координат;
промежутки знакопостоянства функции;
чётность, нечётность, периодичность;
критические точки функции, точки экстремума, экстремумы, промежутки монотонности;
промежутки выпуклости, вогнутости графика функции, точки перегиба;
асимптоты графика функции;
дополнительные точки (если это необходимо).
10) строится график функции
Пример.
Исследовать с помощью производной и построить график функции
Решение:

х=0 – точка разрыва II-го рода (х=0 – уравнение вертикальной асимптоты).
при .
– + – +
0
при
при .
Функция ни чётная, ни нечётная, т.е. общего вида и непериодическая.
Находим производную:
при всех Следовательно, всюду в функция возрастает.
Функция не имеет точек экстремума и экстремумов.

при следовательно, при график вогнутый;
при следовательно, при график выпуклый.
а) прямая (ось Оу) – вертикальная асимптота;
b) пусть наклонная асимптота имеет вид тогда

- уравнение наклонной асимптоты.
Строим график функции:
У
2


-1-2 -2 0 -1 +2 x


Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работой, прочитайте ещё раз конспект, учебник и ответьте на следующие вопросы:
Алгоритм исследования функции и построения графика функции.

Решить самостоятельно:
Вариант 1
Найти критические точки и промежутки возрастания и убывания
fx=2x2-1fx=-x2+2xfx=x3+2x2fx=x3-6x2+9x-1Найти экстремум функции
fx=3x2-2xfx=cos2xИсследовать функцию и построить график
fx=x3-3x2+2Вариант 2
Найти критические точки и промежутки возрастания и убывания
fx=-x2+1fx=x2-4xfx=x3+3x2fx=2x3-3x2-12x+5Найти экстремум функции
fx=3x-5x2fx=sin3xИсследовать функцию и построить график
fx=x3+3x2-1
Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы обучающегося являются:
Уровень освоения учебного материала;
Умение использовать теоретические знания и практические умения при выполнении профессиональных задач;
Уровень сформированности общих и профессиональных компетенций.

Самостоятельная работа№4
по теме « Наибольшее и наименьшее значения функции».
Цель: научиться вычислять наибольшее и наименьшее значения функции и уметь применять полученные навыки при решении практических задач.
Теоретический материал
Наибольшее и наименьшее значения функции - самое большое или самое малое значение функции по сравнению со всеми возможными (в отличие от экстремумов, где сравнение ведётся только с близкими точками).
Ход работы.
При вычислении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке находят:
Производную f1 (x);
критические точки;
значения функции в критических точках и на концах отрезка;
наибольшее и наименьшее значения функции.
19570-436204Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f (x) = x3 - 3x2 + 4 на отрезке [1; 3].
Решение:
Функцияf (x) непрерывна на отрезке [1; 3].
Находим f '(x) =3x2 - 6x.
f/(x) = 0, 3x2 - 6x = 0, 3х(х - 2) = 0, х = 0, х = 2. Критические точки х = 0, х = 2.
Отрезку [1;3] принадлежит лишь одна из этих критических точек, а именно х = 2. Вычислим значения функции f (x) в точке х = 2 и на концах отрезка х = 1 и х = 3.
f (2) = 23 - 3. 22 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0;
f (1) = 13 - 3. 12 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2;
f (3) = 33 - 3. 32 + 4 = 27 - 27 + 4 = 4.
4) Таким образом, наибольшее значение функции равно 4 и оно достигается на правой границе отрезка в точке х = 3; наименьшее значение функции равно 0 и достигается ею во внутренней точке х = 2.
Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работой, прочитайте ещё раз конспект, учебник и ответьте на следующие вопросы:
Что называется наименьшим и наибольшим значением функции?
Правила нахождения производной.
Что называется критическими точками функции и как они находятся?
Алгоритм нахождения наименьшего и наименьшего значений функции на данном отрезке.
Задания для самостоятельной работы
1. Найти наибольшее и наименьшее значения следующих функций:
1 2 3
1 y = 2x2 - 8x +1 на отрезке [0; 3] y = x5 - 5x3 - 8 на отрезке [0; 2] y = 2x3-3x2 12x+1 на отрезке [4; 5]
2 y = 2x3-15x2+24x+3 на отрезке [2; 3] y=2x3+3x2 -12x -1 на отрезке [-1; 2] y = -x3- 3x2+ 9x -2 на отрезке [-2; 2]
3 y = 2x3 + 3x2 + 2 на отрезке [-2; 1] y = -x3+3x2+4 на отрезке [-3; 3] y = 2x3 - 9x2 - 3 на отрезке [-1; 4]
4 y = x3-3x2 - 9x - 4 на отрезке [-4; 4] y = 2x3 + 3x2
на отрезке [-1; 1] y = x3 - 6x2 + 1 на отрезке [-1; 2]
Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы обучающегося являются:
Уровень освоения учебного материала;
Умение использовать теоретические знания и практические умения при выполнении профессиональных задач;
Уровень сформированности общих и профессиональных компетенции



Ответы.
Решение и ответы
22479057150

Диагностическая самостоятельная работа
Определение производной.
1. Найдите значение функции yx=2 x-5 x+1в точке
а) x = 1; б) x = c.
Решение: а) y1=2 ·1-5 1+1=-3 2; б) yc=2 c-5 c+1.2 * . Найдите значение функции

yx=x2-5 x-1 в точке x=c-2Решение: yc-2=c-22-5 c-2-1 =c2-4c+4-5c+10-1=c2-7c+13.3 * . Найдите значение функции fx=-4 в точке а) x = 0; б) x = -1.
Решение: a) f0=-4; б) f-1=-4.4 **.Найдите значение функции y=x3+1 в точке x=b-1.
Решение: y=b-13+1=b3-3b2+3b-1+1=b3-3b2+3b.
5 . Найдите приращение функции y=x2+2x при переходе от точки x0=-2 к точке x=-1,5.Решение: y-2=-22+2·-2=4-4=0; y-1,5=-1,52+2·-1,5=2,25-3=-0,75; ∆y=y-1,5-y-2=-0,75-0=-0,75.6*. Найдите приращение функции fx=4-2x при переходе от точки x
к точке x + ∆x.
Решение: fx + ∆x=4-2(x + ∆x)=4-2x-2∆x; ∆y=fx + ∆x-fx=4-2x-2∆x-4-2x =4-2x-2∆x-4+2x=-2∆x.7. y=7.
Решение: 1) fx=7; 2) fx+∆x=7; 3) ∆y=fx+∆x-fx=7-7=0; 4) ∆y∆x=0∆x=0; 5) 6) 7'=0.8.. y=7xРешение: 1) fx=7x; 2) fx+∆x=7x+∆x=7x+7∆x; 3) ∆y=fx+∆x-fx=7x+7∆x-7x =7∆x; 4) ∆y∆x=7∆x∆x=7; 5) ; 6) 7x'=7.9* . y=3x2.
Решение 1) fx=3x2; 2) fx+∆x=3x+∆x2=3(x2+2x∆x + +3∆x2)=3x2+6x∆x + 3∆x2; 3) ∆y=fx+∆x-fx=3x2+6x∆x + 3∆x2--3x2= =6x∆x + 3∆x2=∆x6x+3∆x; 4) ∆y∆x=∆x(6x+3∆x)∆x=6x+3∆x; 5) 6) 3x2'=6x.10 * . y=x2+3x+1.
Решение: 1) fx=x2+3x+1; 2) fx+∆x=x+∆x2+3x+∆x+1=x2+2x∆x + ∆x2+3x+3∆x+1; 3) ∆y=fx+∆x-fx=x2+2x∆x + ∆x2+3x+3∆x+1-x2-3x-1=2x∆x + ∆x2+3∆x; 4) ∆y∆x=2x∆x + ∆x2+3∆x∆x=∆x(2x + ∆x+3)∆x=2x + ∆x+3; 5)
6) x2+3x+1'=2x+3.

224790116205
Обучающаяся самостоятельная работа
Дифференцирование функций.
Найдите производную функции:
1. а) х6; б) х13
Решение: а) (x6)`=6x6-1=6x5 б) (x13)`=13x12
2. а) х-3; б) х-7
Решение a) (x-3) = -3x-3-1 = -3x-4 б) (x-7)`= -7x-83. а)х23; б) х-12;
Решение: a) x23' = 23x2-13 = 23x-13 = 23x13 = 233x б) x-12'= - 12x-112 = - 1 2xx4* . а) 1х5; б) 4хРешение: a) 1x5' = x-5' = - 5x-6 = - 5x6 б) 4x'=x14'=14x1-14= 14x-34 = 144x35**. а) 13х; б) x23х a) 13x'=x-13'= -13x-113 = - 13x3x б) x23x' = x2x13'=x213'= 73x113 = 73x3xНайдите производные функций:
6. а)3х5; б)7х; в)3х13; г)х44.
Решение: a) 3x5' = 3∙5x4 = 15x4 в) 3x13'=313x1-13 =x23 = 13x2 б) 7x' = 7∙1 =7 г) x44' = 14x4' = 144x3 =x37. а)5sin x; б)4ex; в)3 ln x; г)7ctg x.
Решение: a) 5sinx' = 5cosx б) 4ex' = 4ex в) 3lnx' = 3∙1x = 3x г) 7ctgx` =- 7sin2x8. а) y = 5х3 - 3x2+ 6x-2; б) y = -7х-3 + 8x-2- 2x+3.
Решение: a)y' = 5x3- 3x2+6x-2' = 5∙ 3x2- 3∙2x+6∙1 – 0=15x2 - 6x +6;
б)y'=(-7x-3 +8x-2 -2x +3)' = - 7 (-3x-4)+8(-2x-3) - 2 ∙1+0=21x4 -16x3-2 9*. y = x3 + 1x + 1x3.
Решение: y' = (x3+ 1x + 1x3)' =(x3 + 1x +x-3) = 3x2 - 1x2 - 3x-4 =3x2- 1x2 - 3x410 *. у = 24x - x.
Решение:y' = (24x - x)' = (2x14 - x)' = 214x-34 - 12x = 1 24x3 - 12x11 **. y = 2x3x2 + 4x4x3;
Решение: y' = (2x3x2 +4x4x3)' = (2xx23 +4xx34)' = (2x123+4x-134)' =253x23 + 4(- 74)x-234 = 1033x2 - 71x234 = 1033x2 - 7x24x312. a) y = 6x+3x ; б) у = x- 2x-4x + 3.
Решение: a) y'=(6x+3x)' =(6x+31x)'=612x +3(- 1x2)=3x - 3x2 б) y= (x- 2x-4x + 3 )' =1 – 2(- 1x2 ) - 412x +0 = 2x2 - 2x13 . а) у =x5 ln x; б) у = x2ex.
Решение: a) у'= (x5 ln x)' =(x5 )'ln x+x5(lnx)' =5x4lnx+x51x =5x4lnx+x4 =x4(5lnx+1)
б) у' = ( x2ex)' = (x2)'ex +x2(ex)'=2xex+x2ex=xex(2+x)
14. у = x cosx.
Решение: у' = (x cosx)'= (x )'cosx.+x(cosx)'= 12xcosx+x(-sin x) = cosx-2xsinx2x15* у = (x2- 1)(x4+ 2).
Решение: у' = (x2- 1)'(x4+ 2)+ (x2- 1)(x4+ 2)'=2x(x4+ 2)+(x2- 1)4x3=2x(x4+2+2x2(x2- 1)=2x(x4+2+2x4- 2x2) =2x(3x4-2x2+2)
16* у = x32x + 4.
Решение: y'=x3'2x+4-(2x+4)'x32x+42 =3x22x+4-2x3(2x+4)2 =x2(6x+12-2x)(2x+4)2 =x2(4x+12)(2x+4)217. у = sinxx.
Решение: y'=(sinx)'x-sin⁡ x (x)'x2 = cosx x-sinxx2 = xcos x-sinxx218*. у = 3x+5x27-4x.
Решение: y'= 3x+5x2'7-4x-7-4x'(3x+5x2)(7-4x)2 = 3x+10x7-4x+4(3x+5x2)(7-4x)2 =
21-12x+70x-40x2+12x+20x2(7-4x)2 = -20x2+70x+21(7-4x)219. а) у = (4x – 9)7; б) y = (3x2 – x + 2)5
Решение: a) y'=74x-96(4x-9)'=74x-96∙4=284x-96 б) y'=5(3x2-x+2)4(3x2-x+2)'=5(3x2-x+2)4(6x -1)
20*. а) у = 2sinx; б) y = 2-3x2.Решение: a) y' =212sinx (sin x)'= cosxsinx б) y'= 122-3x2(2-3x2)'= 122-3x2(-6x)= -6x22-3x2 =-3x2-3x221*. а) у = 14-7x; б) y = 5x2- 1.
Решение: a)y'= - 1(4-7x)2(4-7x)'= - -7(4-7x)2 = 7(4-7x)2 б) y'=5-1(x2-1)2(x2-1)'= -10x(x2-1)222. а) у = sinx2; б) y = cos(π4+ 3x).Решение: a) y'=cos x2 (x2)'=12cosx2 б) y'= -cos(π4+ 3x)(π4+ 3x)'= -3cos(π4+ 3x)23*. у = ln (5 + 2x – 4x3).
Решение: y'= 15 + 2x – 4x3 (5+2x-4x3)'= 2-12x25+2x-4x324. у = e3x – 4.
Решение: y'=e3x-4(3x-4)'=e3x-43=3e3x-425**. у = cos23x.Решение: y'=2cos3x(cos3x)'=2cos3x(-sin3x)(3x)'=-3sin6x
26**. у = (log2x)3
Решение: y'=3log22x(log2x)'=3log22x1xln2 = 3log22xxln2 Найдите значение производной функции в точке х0:
27. у = x3 – 3x + 2; х0 = -1.
Решение: y'=(x3-3x+2)'=3x2-3 y'(-1)=3(-1)-3=3-3=0
28. у = x +4; х0 = 9.
Решение: y'=x +4= 12x y'(9)= 129 = 12∙3 = 1629. у = 2ctg x; х0 = π3.
Решение: y'=(2ctg x)'= - 2sin2x y'(π3) = -2sin2π3 = -2322 = -234 = -8330. у = (3x – 2)7; х0 = 3.
Решение: y'=7(3x-2)6(3x-2)'=7(3x-2)63=21(3x-2)6
y'(3)=21(3∙3-2)6=21∙76
31. у = sin(π6 - 2x); х0 = π12.
Решение: y' = cos(π6 - 2x)(π6 -2x)' = -2 cos(π6 - 2x)
y'(π12) = -2cos(π6 - π 6) = - 2cos0 = - 2
32*. Найдите значения х, при которых значение производной функцииf(x) = 2x3 – x2 равно нулю; положительно; отрицательно.
Решение: f'(x) = (2x3 -x2)' = 6x2 -2x = 2x(3x – 1)
f'(x) = 0 если 2x(3x-1) = 0; x1= 0; x2= 13 f'(2) = 2∙2(2∙3-1) = 4∙5 = 20; f'(2)>0
f'(0,1) = 0.2(0.3- 1)<0
f'(-1) = -2(-6-1) = -2(-7) =14; f'(-1)>0
f'(x)>0 при x Є(-∞;0)U(13;+∞)
f'(x)<0 при x Є (0;13)
33*. При каких значениях х выполняется равенство f/(x) = 2, если известно, что
f(x) = 2x- 5x+3?Решение: f'(x) = (2x - 5x +3)' = 212x - 5 = 1x -5
f'(x) = 2, ecли 1x -5 =2; 1 x =7; x =1 7; x = 14934**. Найдите корни уравнения f/(x) = 0, принадлежащие отрезку 0;2, если известно, что f(x) = cos2x+1+ sinx.
Решение: f'(x) = (cos2x+1+sinx)' = 2cos x(cosx)' = - 2 cosx sinx+cosx =
= cosx(-2sinx+1) = cos x(1-2sinx)
f'(x)=0, если cosx(1 – 2sinx)=0
cosx = 0
1 – 2sinx = 0 - 2sinx = -1 sinx = 12 Найдем на тригонометрической окружности точки, абсциссы которых равна нулю и точки ,ордината которых равна 12 и запишем числа им соответствующие.
x1 = π 2 ; x2= 3π2; x3 = π6; x4 = 5π6 22479057150

Диагностическая самостоятельная работа
Физический (механический) смысл производной.
1. Тело движется по прямой так, что расстояние от начальной точки изменяется по закону S = t + 0,5t2 (м), где t – время движения в секундах. Найдите скорость тела через 4с. после начала движения.
Решение: На основании физического смысла производной V =S´(t)
S(t) = (t +0,5t2)´ = 1+t;
S´(4) = 1+4 = 5; V = 5 м/c.
Ответ: 5 м/c.
2. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S = 1 + 4t – t2(м), где t – время движения в секундах. Через какое время после начала движения тело остановится?
Решение: Скорость тела в момент времени t определяется по формуле V=S´(t)
S´(t) = (1+4t-t2)´ = 4-2t; V = 4-2t.
Так как в момент остановки скорость тела равна нулю, то 4-2t=0; 2t =4; t=2(c).
Ответ: через 2 секунды
3. Тело движется по прямой так, что расстояние до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону
S = 3t2 + 2t + 5(м), где – время движения в секундах. Через какое время после начала движения скорость тела окажется равной
20 м/с?
Решение: На основании физического смысла производной V=S´(t)
S´(t)=(3t2+2t +5)´=6t+2; V=6t+2.
Так как по условию V =20v/c, то 6t+2=20,
6t=18, t=3c.
Ответ: через 3 секунды.
4. Материальная точка движется прямолинейно по закону
S=16t3+90t2+5(м). Найдите ускорение точки в момент времени t = 2c.
Решение: На основании физического смысла производной
A=V´(t) или a=S´´(t)
S(t)=(16t3+90t2+5)´=48t2+180t
S´´(t)=48t2+180t)´=96t+180 ;S´´(2)=96·2+180=372
а =372 м/c2Ответ: 372 м/c25**. Найдите силу F, действующую на материальную точку массой m = 10 кг, движущуюся прямолинейно по закону S = t33 + 5t - 4 в момент времени t = 3c.
Решение: Найдем ускорение материальной точки в момент времени t=3c.
S´(t)=( t33 +5t-4)´=t2+5 ;S´´(t)=(t2+5)=2t
S´´(3)=2·3=6 a=6м/c2
Силу действующую на материальную точку определим по формуле F=ma
F=10кг·6м/с2=60н
Ответ: 60 н.
6. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам: S1 = t3 – 2t2 – 5t, S2 = t33 + t + 1. В какой момент времени скорости их равны?
Решение: Найдем скорости материальных точек в момент времени t
S'1(t)=(t3-2t2-5t)'=3t2- 4t - 5 V1(t)=3t2- 4t - 5
S'2(t)=(t33+t+1)'=t2+1 V2(t)=t2 +1
Так как по условию V1=V2 , то
3t2-4t-5=t2+12t2- 4t – 6=0 , t2-2t-3=0, t1=3 t2 =-1 -не уд. условию
Ответ: 3с
7*. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам:
S1 = t22 - t, S2 = 4t2 – 13t + 7. В какой момент времени скорость первой точки в три раза меньше скорости второй?
Решение: S1'(t)=(t22 - t )'=t-1 V1(t)=t - 1
S2(t)=(4t2-13t+7)'=8t-13 Так как по условию V1<V2 в 3 раза, то 3V1=V2
3(t-1)=8t -13; 3t-3=8t – 13; 5t=10; t=2c.
Ответ: 2 секунды
8**. Известно, что тело массой m = 2кг движется прямолинейно по закону
S = 5t2 + 3t - 6. Найдите кинетическую энергию тела через 3с. после начала движения.
Решение: Найдем скорость данного тела в момент времени t=3c
S'(t)=(5t2+3t-6)'=10t+3;
S'(t)=10∙3+3=33;
V=33м/с
Кинетическую энергию определим по формуле E=mv22 E=2кг332м2с22=1089джОтвет: 1089дж9**. Тело брошено с земли вертикально вверх с высоты 10м со скоростью 20 м/с. Определите, какой наибольшей высоты достигнет тело (g ≈ 10 м/с2).
Решение: Движения тела брошенного вверх описывается законом h=V0*t - gt22 , так как тело брошено с высоты 10м , то h=h0+V0t - gt22 или h=10+20t - 10t22 ; h=10+20t - 5t2;
h'(t) =(10+20t - 5t2)'=20 – 10t ; V(t) =20 – 10t
Тело достигнет максимальной высоты , когда его скорость
будет равно нулю.
20 – 10t=0; t=2; h(2)=10+20*2 – 5*22 =10+40 – 20=30(м)
Ответ: 30 м
10*. Изменение силы тока I в зависимости от времени t задано уравнением I = 4t2 - 7t +3. Найдите скорость изменения силы тока в момент времени t = 5с.
Решение: J'(t)=(4t2-7t+3)'=8t – 7
J'(5)=8*5 – 7=40 – 7=33 ; V=33а/м
Ответ: 33а/м
Ответы
Самостоятельная работа по теме: 22479057150

Приращение функции. Понятие о производной и непрерывности функций.
Вариант№1 1.а) 2∆х(2х˳+∆х) ; б)k∆x 2.а) 4 ; б)2-32 3.х1: - ; х2: + ; х3: - ; х4: + .
y
4.
0 3 x
5. а) 3х2 ; б) 5 ; в) -1 ; г) 12х .
6.х1=0; х2=2.
7.если х∈(6;∞) 8.скорость g(x)>f(х)
Вариант№2 1.а) х0(х02+3х0∆х +3∆х2) ; б)-х˳х˳(х˳+∆х) 2.а) 3 ; б)-1.
3.х1: + ; х2: - ; х3: + ; х4: - .
4. y

0 1 x
5. а) 2х ; б) -10 ; в) -1 ; г) 12х .
6.х1=1+2; х2=1- 2.
7.если х∈(-∞;1,5) 8.скоростьf(x)>g(x)
22479057150


Вычисление пределов.
8; 2) 12; 3) 35; 4) -28; 5) 0; 6) 5/2; 7) 0; 8) 3/5; 9) limх→а2а 2-3а+1; 10) 238; 11) 1; 12) -20; 13) 10; 14) -5; 15) -7; 16) 2/3; 17) 0; 18) -1,5; 19) 3; 20) 3.

22479057150


Производная тригонометрической функции.
а) y = cos x ; б) y = -0,2 cos x; в) y =0,2 cos 0,2 x; г) y =(2х+3) cos ( x2+3х);
д ) у = sin x; е) у = sin ; ж) у = -5х4 sin х5; з ) у = sin ;
и) у = - ; к) у = - ; л) у = - ; м) у = .
22479057150

Вычисление производной.
Вариант 1. 1. 2х- 1х 2; 2. 3ех+1х+1; 3. 4cosх+sinх-х2; 4. 2хln3+5х∙ln5+12х;
5. 144х 3+35х 4+х2; 6. -15sin5х-1+1ех; 7.-28(2-4х)6-11-2Х;
Вариант 2. 1. 3х+5; 2. ех+4х 2+14х; 3. Х3-sinх+3х; 4. ln 25∙5 х+166х 5-3хln5;
5. - 52х 6-х 22-10cos2х; 6. 4sin(2-Х)-ln22Х; 7. - 13-2Х+30(3-5Х)5;
Вариант 3. 1. 5-48х5; 2. 42х+3хln4 - 233х; 3. 3х54+5sinх; 4. 12х-3х2+2х4;
5. 15cos5х-ех4; 6. 32хln2-2sin(7-2х); 7.-30(1-3х)4+63х-2-1(1-х) 2 .
Вариант 4. 1. 7-40х7; 2. х32-24х7+52х2; 3. 355х2-4х+3; 4. 5х 5-1+23х+6cosх;
5. 2хln4-4ех5+3sinх-5ln33х; 6. -60(2-4х)2+321-2х-1(6-х) 2;
7. -2sin(2х-π2)+5 4-3х∙3ln5+3(3х+4)ln2.
22479057150
Найти соответствие: №1. I-6, II-4, III-2, IV-5, V-3, VI-1.
№2. I-3, II-4, III-5, IV-6, V-1, VI-2.
№3. I-2, II-1, III-5, IV-6, V-3, VI-4.
№4. I-4, II-5, III-6, IV-1, V-2, VI-3.
№5. I-5, II-6, III-3, IV-4, V-1, VI-2.
№6. I-5, II-4, III-6, IV-2, V-1, VI-3.


22479057150

Касательная к графику функции


22479057150

Применение производной
№ задания Вариант 1 Вариант 2
1 16,5 5
2 α = 30° α = 60°
3 (2; 0) (1; -1)
4 х = 1,
4,
х = 3,
х = -4,
х = -1 х = 0,
4,
х = 11,
х = -1,
х = -2
5 2 9,4
6 3 18
Тренажёры
Тренажёр № 1
22479057150

Вычисление приращения функции
А Б
1. 10 0
2. 4
2)
А Б
1. -10 0,2
2. 1
3. 0,8
4. 2 3


Тренажёр № 2
22479057150

Производная степенной функции
А Б
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Тренажёр № 3
22479057150

Производная сложной функции
А Б
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Тренажёр № 4
22479057150

Промежутки монотонности
А Б
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Тренажёр № 5
22479057150

Экстремумы функции
А Б
1.
2.
3.
4.
5. Экстремумов нет
6.
7.
8.
9.
10.

Тренажёр № 6
22479057150

Уравнение касательной
А Б
1. 1)2; 2) (2;8); 3) 1); 2) (1;-3); 3)
2. 1)4; 2) 3) 1)9; 2) (1;0); 3)
3. 1)9; 2) 3) 1)0; 2) (0;1), 3)
4. 1)-4; 2) 3) 1)0; 2) (0;0), (1;1), (2;0); 3)
5. 1)-6; 2) (2;1); 3) 1)-3; 2)
3)
6. 1)-2; 2)3) 1)-4; 2) 3)
7. 1)-1; 2) (0;0), 3) 1)2; 2) (1;3); 3)
8. 1)-1; 2) (1;4), (-1;-4); 3) 1)-1; 2) (0;1); 3)
9. 1)0; 2)
3) 1); 2)3)
10 1)1; 2)
3) 1); 2)3)

Тренажёр № 7
22479057150

Исследование функции на отрезке
А Б
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10

Тренажёр № 8
22479057150

Приложения производной к механике

А Б
1. 1) 7; 2) 5;2; 3) ; 4) 17 1) 50; 2) 49;63; 3) 6;0; 4) 400
2. 1) 23; 2) 15;4; 3)-; 4) 43 1) 2245; 2) 8;26; 3) ,0; 4) 8990
3. 1) 34; 2) 41;7; 3) ; 4) 69 1) 63; 2) -1;4; 3) ; 4) 223
4. 1) 7; 2) 10;1; 3)-; 4) 12 1) 113; 2) 59;26; 3)-; 4) 323
5. 1) 102; 2) 5;6; 3)-; 4) 302 1) 73; 2) 12;12; 3) 1; 4) 243
6. 1) 81; 2) 5;8; 3) ; 4) 261 1); 2) 1;; 3) 1; 4)
7. 1) 187; 2) 5;9; 3)-; 4) 572 1) 1114; 2);8; 3) -; 4) 4324
8. 1) 178; 2) 4;7; 3)-; 4) 553 1) ; 2) 7;8; 3)-; 4) 1132
9. 1) 995; 2) 0;2; 3) ,0; 4) 3990 1) 1377; 2) ;3; 3) ; 4) 119
10 1) ; 2) ;; 3)-; 4) 1) ; 2) ;; 3) -; 4)
Тесты
22479057150

Тест №1
Вариант 1
№ вопроса 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Ответ 5,5 -1 -0,6 60 17 256 0,5 0,5 3 4 6
Вариант 2
№ вопроса 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Ответ 3 -1 4,5 45 -2,0625 -11 3 0 5 6

22479057150

Тест №2
Т №2 1 -6 32 -0,5 1 9 135 -6 -6 7,5 0,125 4 -4 -6 -3 2 2 1 4 18 -14 0 4 3 5 20 -5


Индивидуальные работы
22479057150

Индивидуальная работа№1
Дифференцирование функции
Вариант 1



Вариант 2



Вариант 3




Вариант 4



Вариант 5



Вариант 6




Вариант 7



Вариант 8



Вариант 9




Вариант 10




Индивидуальная работа№2
22479057150

Производная показательной функции
Вариант 1 Вариант 2

Вариант 3 Вариант 4

Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8

Вариант 9 Вариант 10

22479057150

Индивидуальная работа №3
Исследование функций
Найдите промежутки монотонности функции
Вариант 1. у↓,если х∈-∞;-1∪1;+∞;у↑,если х∈-1;1.Вариант 2. у↑, если х∈-1;0∪1;+∞;у↓, если х∈-∞;-1∪(0;1).
Вариант 3. у↑, если х∈-2;0∪2;+∞;у↓, если х∈-∞;-2∪(0;2)
Вариант 4. У↑, если х∈-∞;0∪1;+∞;у↓, еслих∈-13;2.Вариант 5. У↑, если х∈-∞;0∪1;+∞; у↓, если х∈0;1.Вариант 6. У↑, если х∈-∞;-3∪-1;+∞;у↓, если х∈-3;-1.Вариант 7. У↑, если х∈-∞;0∪1;+∞; у↓, если х∈0;1.Вариант 8. У↑, если х∈-13;73; у↓, если х∈-∞;-13∪(73;+∞) .Вариант 9. У↑, если х∈-∞;-3∪1;+∞;у↓, если х∈-3;1.Вариант 10. у↑,если х∈-∞;-1∪1;+∞;у↓,если х∈-1;1.Исследуйте и постройте график функции f(x). Найдите наибольшее и наименьшее этой функции на заданном отрезке. y
Вариант 1. Наибольшее значение функции f (-3)=19; 3
Наименьшее значение функции f (-1)=-1; 1
y -2 0 1 x
Вариант 2. Наибольшее значение функции f (2)=11;
Наименьшее значение функции f (1)=2. 3
-1 0 1 x
y
Вариант 3.
Наибольшее значение функции f (-3,5) = 87,125;
Наименьшее значение функции f (-1)= -4. -3 -1 0 x
y
1-4
Вариант 4.
Наибольшее значение функции f (3)=0; 0 1 3 x
Наименьшее значение функции f (2)=-3. -3
Вариант 5. y
Наибольшее значение функции f ( 23 )=1527;
Наименьшее значение функции f (2)= 0. 1527
0 23 2 x
Вариант 6. 94 y
Наибольшее значение функции f ( 2 )=94;
Наименьшее значение функции f (0)=-74 . -2 -1 0 1 2 x
61954 y -74Вариант 7. 6
Наибольшее значение функции f (0) = 6;
Наименьшее значение функции f (2)= 0.
- 13 0 2 x

y
Вариант 8.
Наибольшее значение функции f (0,5) = -0,5; 0 1 x
Наименьшее значение функции f (1)= - 53. - 43
y - 53Вариант 9. -3 0 1 x
Наибольшее значение функции f (-3) = 0;
Наименьшее значение функции f (0)= -6,75.
-6,75
y
Вариант 10. 8
Наибольшее значение функции f (2) = 8; 4
Наименьшее значение функции f (1)= 0.
-2 -1 0 1 2 x
Зачёты
22479057150

Зачёт по теме «Производная»
Вариант 1
Найдите производную функций:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8)
9) 10)

11) 12)
13) 14)
15) 16)

17) 18)
19) 20)
21)
2. Дана функция f(x)=-3x4 + 2x2 + 13.
Hайдите: f´(-4), f´12.
Вариант 2
Найдите производную функций:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8)
9) 10)

11) 12)
13) 14)
15) 16)

17) 18)
19) 20)
21)
2. Дана функция f(x)= 4x4 - 3x2 + 14.
Hайдите: f´(5), f´-12.

22479057150

Зачёт по теме «Производная и её применение»

Вариант 1

;
t =2,2 cек;
23
-450
при х∈-∞;-2∪0;2 - функция возрастает;
при х∈-2;0∪2;+∞ - функция убывает;
f (3)=4 – наименьшее значение функции.
Вариант 2

;
v =48 м/c;
1

при х∈-1;0∪1;+∞ - функция возрастает;
при х∈-∞;-1∪0;1 - функция убывает;
f (2)=2 – наибольшее значение функции.
22479057150

Зачёт «Применение производной»
Вариант 1
при х∈-∞;-2∪3;+∞ - функция возрастает;
при х∈-2;3 - функция убывает.
y 8
6
-2 0 2 6 x
f (-3)=14 – наибольшее значение функции;
f (-2)= f (2)=-11– наименьшее значение
функции.
Вариант 2
при х∈-2;0∪2;+∞ - функция возрастает;
при х∈-∞;-2∪0;2 - функция убывает. 9 y
8

-4 -1 0 2 x
f (1)= -31 – наибольшее значение функции;
f (-2)= -68 – наименьшее значение функции;

22479057150
Контрольные работы
Контрольная работа по теме:
«Производная».
Вариант 1. Вариант 2.
1 а) 1. а)
б) б)
в) уl = 5x4+180x19 в) уl = 9x8-126x20
г) г)
д) д)
е) е)
ж) ж)
з) з)
2. α = 120о 2. α = 135о
3. -1
3. 3
4. 106м/с2
4. -132м/с2
5. 2π/3; 5π/6; 5π/3; 11π/6; 2π+2π/3; 2π+5π/6; 3π+2π/3; 3π+5π/6 5. π/3; 2π/3; 4π/3; 2π+ π/3; 5π/3; 3π+ π/3; 2π+2π/3; 3π+2π/3
22479057150

Контрольная работа по теме:
«Применение производной к исследованию функции».
Вариант1. Вариант2.
1. а) функция возрастает, если
x є (-∞;-2]U[0;+∞);
функция убывает, если x є [-2;0].
б) max y(x) = 0; min y(x) = -4.
в) наим y(-4) = -20
наиб y(-2) = y(1) = 0
1. а) функция возрастает, если
x є [-2;0]U[2;+∞); функция
убывает, если x є (-∞;-2]U[0;2].
б) max y(x) = 0; min y(x) = -4.
в) наим y(-2) = -4
наиб y(-3) = 4,25
3. y = x+1
3. y = 6-x
4. 4 см и 4 см. 4. 1728 см3.

2.2 Сборник примеров и задач


1.Определение производной.
Пусть задана функция , определенная и непрерывная на некотором промежутке.
Предел отношения приращения функции в точке х0 к приращению аргумента, когда последний стремится к 0 называется производной функции:
,
,
хк - конечное значение аргумента
хн - начальное значение аргумента
Физический смысл производной состоит в задаче нахождения мгновенной скорости движения:
, пусть .
Используя определение производной найдите , если:
1) ;5) ;
2) ;6) ;
3) ;7) ;
4) ;8) .
Точка движется по закону . Найти среднюю скорость движения за промежуток времени
1) от до ;2) от до .
Найти мгновенную скорость движения точки, если
1) ;2) .
Закон движения задан формулой . Найти:
1) среднюю скорость движения от до ;
2) скорость движения в момент и .
Определить скорость тела, движущегося по закону в момент времени и .
2. Геометрический смысл производной. Правила дифференцирования.
Геометрический смысл производной состоит в том, что тангенс угла наклона касательной к оси Ох называется производной функции в точке касания и равен угловому коэффициенту .
Уравнение касательной .
Таблица производных и правила дифференцирования:
1 правило. Производная суммы функций: .
2 правило. Производная произведения функций: .
3 правило. Производная частного функций: .
4 правило. Вынесение числового множителя за знак производной: .
Функция Производная Функция Производная
0
1
2x



k

Вычислить производные следующих функций:
1) ;20) ;39) ;
2) ;21) ;40) ;
3) ;22) ;41) ;
4) ;23) ;42) ;
5) ;24) ;43) ;
6) ;25) ;44) ;
7) ;26) ;45) ;
8) ;27) ;46) ;
9) ;28) ;47) ;
10) ;29) ;48) ;
11) ;30) ;49) ;
12) ;31) ;50) ;
13) ;32) ;51) ;
14) ;33) ;52) ;
15) ;34) ;53) ;
16) ;35) ;54) ;
17) ;36) ;55) ;
18) ;37) ;56) .
19) ;38) ;
Найдите , если
1);2) ;
3) ;9) ;
4) ;10);
5) ;11);
6) ;12) ;
7) ;13) ;
8) ;14) .
Найдите значения х, при которых значение производной равно 0, если:
1);5) ;
2) ;6) ;
3) ;7) .
4) ;
Выяснить при каких значениях х производная принимает положительные и отрицательные значения, если:
1);5) ;
2);6) ;
3);7) ;
4) ;8) .
Найти производные следующих функций:
1);7) ;
2) ;8) ;
3) ;9) ;
4) ;10) ;
5) ;11) ;
6) ;12) ;
13) ;18) ;
14) ;19) ;
15) ;20) ;
16) ;21) .
17) ;
Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой :
1);3) ;
2) ;4) .
Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой :
1);5) ;
2) ;6) ;
3) ;7) ;
4) ;8) .
Найти угол между касательной к графику функции в точке с абсциссой и осью Ох:
1);4) ;
2) ;5) ;
3) ;6).
Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой :
1);3) ;
2) ;4) .

3.Производная сложной функции.
Сложная функция – это функция от функции: .
Производную сложной функции считают с помощью правила цепочки, которое состоит в следующем: производная сложной функции равна произведению производных входящих в нее функций:
.
Найти производные следующих функций:
1) ;8) ;
2) ;9) ;
3) ;10) ;
4) ;11) ;
5) ;12) ;
6) ;13) ;
7) ;14) .
Найти значения х, при которых значение производной функции равно 0; положительно; отрицательно:
1);4) ;
2) ;5) ;
3) ;6) .
3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с
абсциссой , если:
1);3) ;
2) ;4) .
4.Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Исследование функции и построение графиков функций с помощью производной.
Если на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке.
Если на промежутке, то функция убывает на этом промежутке.
Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности.
Точки, в которых производная равна 0 или не существует называются критическими (точки, в которых производная не существует, называются точками разрыва).
называется точкой максимума функции, если:
1) ;
2) при переходе через точку производная меняет свой знак с «+» на «», а функция меняется с возрастания на убывание;
.
называется точкой минимума функции, если:
1) ;
2) при переходе через точку производная меняет свой знак с «-» на «+», а функция меняется с убывания на возрастание;
.
Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:
Указать область определения функции .
Вычислить производную функции.
Найти критические точки и точки разрыва (если существуют).
Разбить область определения критическими точками на промежутки.
Методом подстановки определить знак производной на каждом промежутке.
Пользуясь определением указать промежутки монотонности и точки экстремума (если существуют).
1. Найти интервалы возрастания и убывания функции:
1) ;10) ;
2) ;11) ;
3) ;12) ;
4) ;13) ;
5) ;14) ;
6) ;15) ;
7) ;16) ;
8) ;17) ;
9) ;18) .
Найти критические точки функции:
1) ;3) ;
2) ;4) .
Найти точки экстремума функции:
1) ;5) ;
2) ;6) ;
3) ;7) ;
4) ;8) .
Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:
1) ;6) ;
2) ;7) ;
3) ;8) ;
4) ;9) .
5) ;

При построении графиков функций сначала исследуют свойства
функций по вышеуказанному алгоритму, затем результаты заносят в таблицу:
x Промежуток Критическая точка Промежуток
f’(x) Знак производной 0 Знак производной
f(x) Поведение функции Значение функции в критической точке Поведение функции
После исследования находят точки пересечения функции с осью Ох: , и несколько дополнительных точек, для более точного построения. Выполняют построение.
Постройте график функции:
1) ;11) ;
2) ;12) ;
3) ;13) ;
4) ;14) ;
5) ;15) ;
6) ;16) ;
7) ;17) ;
8) ;18) ;
9) ;19) .
10) ;

Построить график функции:
1) на отрезке ;
2) на отрезке ;
3) на отрезке ;
4) на отрезке ;
5) на отрезке .
5.Наибольшее и наименьшее значение функции.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке используется следующий алгоритм:
найти значения функции на концах отрезка, то есть f(a) и f(b);
вычислить критические точки функции.
выделить критические точки, которые принадлежат данному отрезку ;
найти значение функции в выбранных критических точках;
из всех найденных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
Найдите наибольшее наименьшее значение функции на заданном отрезке:
1) ;
2) и ;
3) и ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
2. а) Число 36 записать в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая.
б) Число 50 записать в виде суммы двух чисел, сумма кубов которых наименьшая.
в) Записать число 625 в виде произведения двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.




III Приложение










Разноуровневые карточки-инструкции
В данном приложении представлен дидактический материал в помощь к сдаче зачётов, тренажёров, тестов, при решении контрольных работ по теме «Применение производной»,индивидуальных работ, в которую входят разноуровневые карточки-инструкции по вариантам.
Варианты 1 и 2 содержат следующий материал по темам:
Алгоритм нахождения углового коэффициента касательной;
Алгоритм написания уравнения касательной;
Алгоритм нахождения производной в физике и технике;
Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы;
Алгоритм исследования функции на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Карточка-инструкция
вариант 1
Алгоритм нахождения углового коэффициента касательной.
k = tga = f (х0)
Найти f (х).
Найти f (х0).
Записать ответ.
Пример: Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции f (х) = 3х2 - 4х + 2 в точке х0 = 1.
Так как k = tga = f (х0):
Вычислим производную функции, то есть найдём f (х):
f (х) = (3x2 - 4x + 2)= 6х – 4.
Найдём значение производной функции в точке хо , то есть f (1):
f (х0) = f (1)= 61- 4= 6 – 4 = 1 k=1.
Ответ: k=1.

Карточка-инструкция
вариант 2*
Алгоритм нахождения углового коэффициента касательной.
k = tga = f (х0)
Найти f (х).
Найти f (х0).
Записать ответ.
Пример: Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции f (х) = 1х2+ 2x + 3 в точке х0 = 1.
Так как k = tga = f (х0):
Вычислим производную функции, то есть найдём f (х):
f (х) = (1 х2+ 2x + 3)= ( х-2 + 2x + 3) = - 2х-1 + 2 = -2х + 2 .
Найдём значение производной функции в точке хо , то есть f (1):
f (х0) = f (1)= -21 + 2 = -2 + 2 = 0 k=0.
Ответ: k=0.
Карточка-инструкция
вариант 1
Алгоритм написания уравнения касательной у = f (х0) + f (х0)(х - х0)
Найти значение функции в точке хо , то есть найти f(х0).
Вычислить производную функции, то есть найти f (х).
Найти значение производной функции в точке хо , то есть найти f (х0).
Подставить полученные числа в п.1 и п.3 в формулу
у = f (х0) + f (х0)(х - х0).
Привести уравнение к стандартному виду и записать ответ.
Пример: Составить уравнение касательной к графику функции  f(x) = x2 - 5x в точке с абсциссой х0 = 2.
Уравнение касательной составим по формуле
у = f (х0) + f (х0)(х - х0).
Найдём значение функции в точке хо, для этого подставим значение
х0 = 2 исходную функцию, получим:
f (х0)= f (2)=22 - 52= 4 - 10= - 6.
Вычислим производную функции, то есть найдём f (х):
f (х) = (x2 - 5x)= 2х – 5.
Найдём значение производной функции в точке хо , то есть f (2):
f (х0) = f (2)= 22- 5= 4 – 5 = - 1.
Подставим полученные числа в п.1 и п.3 в формулу
у = f (х0) + f (х0)(х - х0):
у = - 6 + (- 1)( х – 2) = - 6 – х + 2 = - 4 – х.
Ответ: у = - 4 – х.
Карточка-инструкция
вариант 2*
Алгоритм написания уравнения касательной у = f (х0) + f (х0)(х - х0)
Найти значение функции в точке хо , то есть найти f(х0).
Вычислить производную функции, то есть найти f (х).
Найти значение производной функции в точке хо , то есть найти f (х0).
Подставить полученные числа в п.1 и п.3 в формулу
у = f (х0) + f (х0)(х - х0).
Привести уравнение к стандартному виду и записать ответ.
Пример: Составить уравнение касательной к графику функции  f(x) = 1х2 - 3x в точке с абсциссой х0 = 2.
Уравнение касательной составим по формуле
у = f (х0) + f (х0)(х - х0).
Найдём значение функции в точке хо, для этого подставим значение
х0 = 2 исходную функцию, получим:
f (х0)= f (2)= 122 - 32= 0,25 - 6= - 5,75.
Вычислим производную функции, то есть найдём f (х):
f (х) = ( 1х2 - 3x)= ( х-2 - 3х )= -2х-1 – 3 = - 2х-3.
Найдём значение производной функции в точке хо , то есть найти f (2):
f (х0) = f (2)= - 22-3= -1-3= -4.
Подставим полученные числа в п.1 и п.3 в формулу
у = f (х0) + f (х0)(х - х0):
у = - 5,75 + (- 4)( х – 2) = - 5,75 – 4х + 8 = 2,25 – 4х.
Ответ: у = 2,25 – 4х.

Карточка-инструкция
вариант 1
Алгоритм нахождения производной в физике и технике:
Находим производную от координаты по времени (она равна скорости).
Найдём производную скорости от времени (она равна ускорению).
Производная в физике и технике
Производная от координаты по времени есть скорость -
в этом заключается механический смысл производной: x'(t)= ϑ(t).
Производная от скорости по времени есть ускорение: ϑ'(t)=a(t).
Пример: Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t) = 3t3 + 2t + 1. Найдите её скорость и ускорение в момент времени
t = 2 (координата x(t) изменяется в сантиметрах, время t - в секундах).
Найдём скорость точки в произвольный момент времени, она равна:
ϑ(t)= x'(t)= (3t3 + 2t + 1)' = 9 t2 + 2 ( смс ).
Найдём скорость точки через 2 секунды, она равна:
ϑ(2)= = 9 ∙ 22 + 2 = 9 ∙ 4 + 2 = 36 + 2 = 38 ( смс ).
Найдём ускорение точки в произвольный момент времени, оно равно:
a(t) = ϑ'(t) = ( 9 t2 + 2 )= 18t ( смс2 )
Найдём ускорение точки через 2 секунды, оно равно:
a(2) 18 ∙ 2 = 36 ( смс2 )
Ответ: 38 смс; 36 смс2 .
Карточка-инструкция
вариант 2*
Алгоритм нахождения производной в физике и технике:
Находим производную от координаты по времени (она равна скорости).
Найдём производную скорости от времени (она равна ускорению).
Производная в физике и технике
Производная от координаты по времени есть скорость -
в этом заключается механический смысл производной: x'(t)= ϑ(t).
Производная от скорости по времени есть ускорение: ϑ'(t)=a(t).
Пример: Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t) = 0.5t4 - 7t + 5. В какой момент времени скорость точки равна 9, чему равно ускорение через 3 с после начала движения? (Координата x(t) измеряется в сантиметрах, время t - в секундах).
Найдём скорость точки в произвольный момент времени, она равна:
ϑ(t)= x'(t)= ( 0.5t4 - 7t + 5)' = 2 t3 - 7 ( смс ).
Так как скорость точки равна 9, то есть ϑ(t)=9 2 t3 – 7 = 9 2 t3 = 9 + 7 2 t3 = 16 t3 = 8 t = 38 = 2 (с).
Найдём ускорение точки в произвольный момент времени, оно равно:
a(t) = ϑ'(t) = (2 t3 – 7)= 6t2 ( мс2 )
Найдём ускорение точки через 3 секунды, оно равно:
a(3) 6 ∙ 32 = 6 ∙ 9 = 54 ( мс2 )
Ответ: 2 с; 54 мс2
Карточка-инструкция
вариант 1
Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:
Найти область определения: D (f).
Найти производную функции.
Найти критические точки, то есть решить уравнение f ' (х) = 0.
Отметить полученные точки в п.1 и п.3 на координатной прямой.
Определить знак производной на каждом интервале и промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума (max, min) .
Пример: Исследовать функцию f (х) = x3 + 6x - 15x – 3 на монотонность и экстремумы.
Найдём область определения функции: D (f) = R, то есть х ∈ (-∞;+∞).
Найдём производную функции, она равна:
f ' (х) = (x3 + 6x2 - 15x – 3)' = 3x2 + 12x – 15.
Найдём критические точки, решив уравнение f ' (х) = 0, то есть
3x2 + 12x – 15= 0 : 3 1367790443230x2 + 4x – 5= 0 D = 42 – 4 ∙1(-5) = 36 х1= -4-62= -5; х2= -4+62 =1.
Ответ: f на х ∈ (-∞;-5∪1;+∞); f на х -5;1;
х = -5 – точка max; х = 1 – точка min.
Карточка-инструкция
вариант 2*
Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:
Найти область определения: D (f).
Найти производную функции.
Найти критические точки, то есть решить уравнение f ' (х) = 0.
Отметить полученные точки в п.1 и п.3 на координатной прямой.
Определить знак производной на каждом интервале и промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума (max, min) .
Пример: Исследовать функцию f (х) = 3x4 - 4x3 - 12x2 + 10 на монотонность и экстремумы.
Найдём область определения функции: D (f) = R, то есть х ∈ (-∞;+∞).
Найдём производную функции, она равна:
f ' (х) = (3x4 - 4x3 - 12x2 + 10)' = 12x3 + 12x2 – 24х.
Найдём критические точки, решив уравнение f ' (х) = 0, то есть
12x3 + 12x2 – 24х = 0 : 12 x3 + x2 – 2х = 0 х (х2 + х – 2) = 0 х = 0 или х2 + х – 2 = 0;
D = 12 – 4 ∙1(-2) = 9 х1= 1-32= -1; х2= 1+32 =2.
100584062865
Ответ: f на х ∈ -1;0∪2;+∞); f ↓ на х (-∞;-1∪0;2;
х = -1 и х = 2 – точки min; х = 0 – точка max.
Карточка-инструкция
вариант 1
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции:
Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок [a; b].
Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок [a; b]. Для этого, находим производную функции, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни.Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.
Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если таковые имеются), а также при x = a и x = b.
Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее - они и будут искомыми.
Пример: Найти наибольшее и наименьшее значение функции
f(x) = x3 – 3x2 + 3x + 2 на отрезке [– 2; 2].
Область определения функции: D(f) = [-2;2]
Находим производную функции, она равна:
f '(x) = (x3 – 3x2 + 3x + 2 )' = 3x2 - 6x + 3.
Находим критические точки, решая уравнение f '(x) = 0, то есть
3x2 - 6x + 3= 0 : 3 , x2 - 2x + 1= 0 D = 0 х = 22 = 1 D(f);
  
х -2 1 2
у - 24 3 4
f(-2)= (-2)3 – 3(-2)2 +3(-2) + 2 = - 8 – 12 – 6 + 2 = - 24;
f(1)= 13 – 312 + 31 + 2 = 1 – 3 + 3 + 2 = 3;
f(2)= 23 – 322 +32 + 2 = 8 – 12 + 6 + 2 = 4.
Ответ: min[-2;2]у=-24; max[-2;2]у=4. Карточка-инструкция
вариант 2*
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции:
Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок [a; b].
Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок [a; b]. Для этого, находим производную функции, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни.Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.
Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если таковые имеются), а также при x = a и x = b.
Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее - они и будут искомыми.
Пример: Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = 8x2 - x4 на отрезке [-1;3].
Область определения функции: D(f) = [-1;3]
Находим производную функции, она равна:
f '(x) = (8x2 - x4)' = 16x - 4x3 = 4x(4 - x2 ).
Находим критические точки, решая уравнение f '(x) = 0, то есть
4x(4 - x2 )= 0, получаем 4х = 0 или 4 - x2 = 0, откуда х1=0 D(f); х2=2 D(f),
х3=-2 D(f).
 
х -1 0 2 3
у 7 0 16 9
f(-1)= 8(-1)2 – (-1)4 = 8 – 1 = 7;
f(0)= 8(0)2 – (0)4 = 0 – 0 = 0;
f(2)= 8(2)2 – (2)4 = 32 – 16 = 16;
f(3)= 8(3)2 – (3)4 = 72 – 81 = 9.
Ответ: min[-1;3]у=0; max[-1;3]у=16.IV. Заключение.
По требованиям ФГОС СПО к результатам освоения основной образовательной программы, можно сказать, что все прописанные там компетенции можно решить с помощью технологии модульного обучения. Это значит, выпускник должен обладать общими компетенциями, включающими способность:
ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем.
ОК 3. Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, нести ответственность за результаты своей работы.
ОК 4. Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, клиентами.
Процесс обучения по модульной технологии включает дифференциацию и индивидуализацию, учит самостоятельности и коллективизму, способствует развитию интеллекта, активизирует познавательную деятельность. Можно сделать вывод, исходя из опыта работы и сравнительного анализа результатов работ студентов, что технологии модульного обучения и традиционная технология оправдывают себя и эффективны.
Учебное пособие предназначено для студентов, изучающих математику, как на базовом, так и на профильном уровне, в частности для студентов образовательных учреждений начального и среднего профессионального образования. Также, студентов, отсутствующие на занятиях по тем или иным причинам могут самостоятельно изучить весь теоретический материал и, с помощью методических рекомендаций по выполнению самостоятельных работ различного рода, тестов, тренажёров, индивидуальных, контрольных работ, а также внеаудиторных самостоятельных работ по данной теме. В данном случае задачами преподавателя являются: оказание консультационных услуг, получение текущей и итоговой оценки знаний, мотивация к самостоятельной работе. В совокупности это и есть результат формирования общеучебных компетенций студентов.
Данное учебное пособие апробируется в учебном процессе преподавателями математики ОГБОУ СПО АТпромИС. По нашему мнению и студентов данное пособие
является актуальным, так как не хватает учебников, рекомендованных к применению. В учебном пособии материал подан эффективно, полно, доступно, присутствует наглядный материал и подобраны все виды контроля по данной теме, есть возможность пользоваться пособием неограниченное количество времени и при подготовке к итоговой аттестации.
В настоящее время пособие разрабатывается как учебно-методический комплекс для предоставления студенту полного комплекта учебно-методических материалов для самостоятельного изучения дисциплины с учетом необходимости повышения качества усвоения содержания учебного материала на уровне требований ФГОС СПО.
V. Список используемой литературы и интернет-ресурсы
.Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Тематическое планирование 2004г. Изд-во «Дрофа».
Алгебра и начал анализа 10-11 кл.: В двух частях. Ч.1 Учебник для общеобразовательных учреждений под ред. А.Г.Мордковича М.Мнемозина, 2009 -315с.
Алгебра и начал анализа 10-11 кл.: В двух частях. Ч.2 Задачник для общеобразовательных учреждений под ред. А.Г.Мордковича М.Мнемозина, 2010-327с.
Башмаков М.И. Математика: учебник для нач. и сред.проф.образования. М. Издательский центр «Академия», ОАО «Московские учебники», 2010.- 256с.
Алгебра и начала анализа. Контрольные работы. А. Г. Мордкович, Е. Е. Тульчинская. Изд-во «Мнемозина», Москва, 2008г.
Контрольные работы по алгебре и началам анализа. 10 класс. Научно-педагогическое объединение «Образование». Москва, 1998г. Ю. П. Дудницын, В. Л. Кронгауз.
Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы 10-11 класс. Учебно-методическое пособие. Изд-во «Дрофа». Москва, 2001г.
Алгебра и начала анализа. Самостоятельные работы. 10 класс. Л. А. Александрова. Изд-во «Мнемозина». Под редакцией А. Г. Мордковича. Москва, 2008г.
Башмаков М.И. Математика 10 класс. Сборник задач: среднее (полное) общее образование. М. Издательский центр «Академия», 2010 – 208с.
Башмаков М.И. Математика 11 класс. Сборник задач: среднее (полное) общее образование. М. Издательский центр «Академия», 2010 – 208с.
Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. - М.: Рольф, 1997.
Бурак В.К. Самостоятельная работа учащихся , М.: Просвещение, 1984
Колеватова Т.А. Самостоятельная работа студентов при изучении специальных дисциплин (Колеватова Т.А, преподаватель Орлово-Вятского сельскохозяйственного колледжа/ Среднее профессиональное образование. Приложение.-2009.-№8.- стр. 18-26.
Худжина М.В Формирование личностных компетенций студентов на занятиях по дисциплине «Математика»//СПО,-2008,-№11.- с.46-47.
Интернет - ресурсыhttp://catalog.alledu.ru/predmet/math/Учебно-информационные комплексы по математике для средних школ: http://mschool.kubsu.ru/uik/index.htmСайт-справочник правил, формул и теорем по математике:
http://matemathik.narod.ru/
Страна Математика: http://www.bymath.net/Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" (статьи по математике): http://kvant.mirror1.mccme.ru/rub/1.htmГрафики функций" Небольшой сайт в помощь школьнику, изучающему графики функций: определения, примеры, задачник: http://graphfunk.narod.ru/8.http://www.youtube.com/watch?v=TxFmRLiSpKo (Геометрический смысл производной)
http://www.ulsu/com/chhttp:// ablikova.center-obr.ru
http:// frg-64.ucoz.ru/publ/
http:// festival.1 september.ru
http://lineyka.inf.ua/ - LINEYKA.INF.UA – МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПОРТАЛ
http://www.alleng.ru/edu/math.htm. Образовательные ресурсы Интернета – Математика
http://www.ict.edu.ru. Специализированный портал «Информационно-коммуникационные технологии в образовании»