Урок по математике на тему Производная в физике (10 класс)

Тема. Производная в физике
(интегрированный урок).
Цель урока:
Образовательные:
Повторить определение производной, правила дифференцирования
функций, ее геометрический смысл.
Определить физический смысл производной.
Показать возможность использования производной в физике для
описания зависимости между физическими величинами, представленными соотношениями типа у = ∆х/ ∆t/.
Развивающие:
Развивать логическое мышление.
Формировать умения по применению знаний и способов действий
учащихся в нестандартных ситуациях.
Воспитательные:
Воспитывать коммуникативные способности во время коллективной работы на уроке, понимать необходимость интеллектуального обучения для достижения цели.

Оборудование: таблица «Формулы дифференцирования».
Портрет И. Ньютона. Диапроектор ЛЭТИ, диафильм «Производная» (фрагменты)
Математика – первая из всех наук,
и полезна, и необходима для них.
Р. Бэкон.
Вступительное слово учителя математики о значении
математики при изучении естественных наук.
Актуализация опорных знаний
В ходе фронтальной беседы повторяем определение производной, правила дифференцирования, геометрический смысл производной, решаем (в качестве разминки) устные упражнения.
Стихотворение о производной.
В данной функции от икс, нареченной игреком,
Вы фиксируете х, отмечая индексом.
Придаете вы ему тотчас приращение.
Приращений тех теперь взявши отношение,
Пробуждаете к нулю у ∆х стремление
Предел такого отношенья вычисляется,
Он производной в науке называется
2. Правила дифференцирования.
3. Геометрический смысл производной.
4. Устные упражнения (слайды)
Так для чего же мы изучали производную, знакомились с правилами дифференцирования?
Дело в том, что понятие производной возникло как математическое
описание скорости движения. Известно, что в конце 17 века великим английским учёным Исааком Ньютоном был открыт общий способ описания связи между путём и скоростью.
А в чем он заключается и как математика помогает разрешить
эту проблему, мы непосредственно обратимся к физике.
Слово предоставляется учителю физики.
(Учащиеся повторили заранее весь необходимый материал по физике) в процессе объяснения используются фрагменты диафильма «Производная»)Цель: показать возможность использования производной в физике дляописания зависимости между физическими величинами, представленными соотношениями типа у= ∆х/ ∆t.
Физика, изучающая явления природы и устанавливающая законы,
которые их описывают, нуждается в использовании математического языка для установления количественных соотношений между физическими величинами. По существу любой физический закон лишь тогда признается сформулированным, если ему придана чёткая математическая форма, то есть он записан в виде некоторой функциональной зависимости между физическими величинами.
Эйнштейн писал: «Одна из наиболее важных характерных черт
современной физики состоит в том, что выводы, сделанные из исходных идей, имеют не только качественный, но и количественный характер.
Чтобы сделать количественные выводы, мы должны использовать
математический язык. И если мы хотим сделать выводы, которые можно сравнить с результатами эксперимента, нам необходима математика как орудие исследования».
Классическим примером взаимодействия математики и физики
является создание Ньютоном исчисления бесконечно малых для решения задач динамики, в частности, для описания движения планет. Таким образом, появление производной в математике было вызвано потребностями физики в новых математических операциях.
Рассмотрим применение производной в физике на конкретных примерах.
Нахождение скорости тела.
При описании неравномерного движения и решения основной задачи механики необходимо уметь находить мгновенную скорость, то есть скорость тела в данный момент времени.
v= ∆х/∆t, где ∆х – перемещение тела за бесконечно малый
промежуток времени, то есть v= ∆х/∆t, при ∆t, стремящемся к нулю. Следовательно,v(t) = х'(t); то есть скорость тела есть производная от координаты по времени.
Пример. Зависимость координаты тела от времени задана уравнением
x (t) = 4 t2 -5t +2 м. Найти зависимость скорости тела от времени.
v(t)= 8t - 5м/с
Рассмотрим случай равноускоренного движения. Как известно, координата тела, движущегося равномерно, изменяется по закону:
х (t) = x + vt + at2/2, так как v(t) = х'(t), то v (t) = v + at, то есть мы получили хорошо известную формулу скорости для равноускоренного движения.
Нахождение ускорения тела
Согласно определению а = ∆v/ ∆t. Если ∆t бесконечно мало, то мы
получили ускорение тела в данный момент времени, то есть мгновенное ускорение.
а = ∆v/ ∆t, при ∆t > 0
Следовательно, а (t) = v' (t), то есть ускорение тела есть производная от
скорости по времени или вторая производная от координаты по времени.
Пример. Координата тела при свободном падении изменяется по
закону: x(t) = gt2/2. Доказать, что это движение является равноускоренным.
V (t) = gt, а (t) = g, следовательно, a=const.
Нахождение силы тока.
Согласно определению I = ∆q / ∆t. Если ∆t бесконечно мало, то мы
получим мгновенное значение силы тока (силу тока в данный момент времени), i = ∆q / ∆t при ∆t, стремящемся к нулю. Следовательно, i (t) = q' (t), то есть сила тока есть производная от заряда по времени.
Пример Заряд, протекающий через поперечное сечение проводника
изменяется по закону: q(t) = 0,4 sin 8 πt Kл. По какому закону изменяется сила тока?
i (t) = 3,2 π cos8 πt A4. Нахождение мощности.
N=A/t
Мгновенная мощность N = ∆A / ∆t при ∆t, стремящемся к нулю.
Следовательно, N (t ) =А ' (t), то есть мощность есть производная от работы по времени.
Вывод: соотношения между физическими величинами типа, y = ∆х/∆t,
требующие нахождения мгновенного значения величины у, можно описывать с помощью производной величины y.
Итоги урока. Рефлексия.