Изучение механизмов рассеяния носителей заряда в полупроводниках
Вестник НГУ. Серия физика. 2013, том 8, выпуск 3.
УДК 537.311.33
Т.Т. Муратов
Ташкентский государственный педагогический
университет им. Низами, ул. Юсуф Хос Хожиб,
103, Ташкент, 100070, Узбекистан
E-Mail: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Формализм «магнетосечений» 13 EMBED Equation.3 1415центров при резонансном рассеяний носителей заряда в невырожденных полупроводниках
Развит новый подход к изучению кинетических эффектов в ковалентных полупроводниках. На примере расчета кинетических коэффициентов при резонансном рассеянии демонстрируются некоторые особенности предлагаемого подхода. Изучается влияние предельно слабого магнитного поля на кинетические эффекты. В отличие от стандартного метода, учитывающего наличие 13 EMBED Equation.3 1415поля в неравновесной функции распределения с последующим получением искомых формул для кинетических коэффициентов, в предлагаемом подходе наличие (влияние) слабого 13 EMBED Equation.3 1415поля фиксируется в качестве локального (виртуального) приращения сечения конкретного рассеяния, в данном случае резонансного. Формальная замена: 13 EMBED Equation.3 1415 позволяет сравнительно легко проанализировать влияние поля на кинетические эффекты. Показано, что при наличии 13 EMBED Equation.3 1415 поля электронная проводимость достигает максимума вблизи 1 K в области полей порядка 100 Э.
В процессе расчета выявляется общность результатов при любом механизме рассеяния. Главное требование сводится к тому, чтобы низкотемпературная асимптотика: 13 EMBED Equation.3 1415 конкретного механизма рассеяния была постоянной.
Ключевые слова: кинетические коэффициенты, резонансное рассеяние, 13 EMBED Equation.3 1415центры, классические слабые и сильные магнитные поля, магнетосечение.
Введение
Ситуация, когда дискретный уровень мелкой донорной (акцепторной) примеси локализован вблизи дна зоны проводимости (потолка валентной зоны) довольно часто встречается в полупроводниках. Если при этом кинетическая энергия свободного электрона (дырки) весьма близка по величине к энергии такого уровня, то возникает резонансное рассеяние носителей заряда.
В полупроводниках примесный потенциал имеет сложную структуру, состоящую из дально- действующей кулоновской 13 EMBED Equation.3 1415 и короткодействующей 13 EMBED Equation.3 1415 частей. Короткодействую- щая часть потенциала обусловлена разницей химической природы примесного атома и атома матрицы так и самих атомов матрицы. Всегда один из атомов будет обладать большим срод- ством к электрону, вследствие чего электронная пара будет стянута в его сторону. При очень низких температурах 13 EMBED Equation.3 1415 примесь обычно находится в нейтральном состоянии, поэтому именно короткодействующая (полярная) часть потенциала ответственна за химические свойст-
ва примесей.
Следует отметить, однако, что помимо 13 EMBED Equation.3 1415, радиус действия которой порядка постоянной решетки, потенциал мелкого нейтрального донора характеризуется также второй, более плав- ной частью 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415) с глубиной порядка боровской энергии мелкого донора 13 EMBED Equation.3 1415 и радиусом действия порядка боровского радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415– эффективная масса носителя заряда).
Именно13 EMBED Equation.3 1415 потенциал, природа которого обусловлена поляризационным взаимодействием между нейтральным донором и свободным электроном, приводит к образованию неглубокого уровня (так называемого 13 EMBED Equation.3 1415центра), ответственного за резонансное рассеяние.
При низких температурах наличие 13 EMBED Equation.3 1415центра можно учесть формальным методом, основанным на приближении 13 EMBED Equation.3 1415рассеяния [1] (это оправдано, так как длина электронной вол- ны 13 EMBED Equation.3 1415 гораздо больше радиуса (13 EMBED Equation.3 1415) 13 EMBED Equation.3 1415 потенциала и усло- вие преобладания 13 EMBED Equation.3 1415волны: 13 EMBED Equation.3 1415, хорошо соблюдается). В рамках такого подхода удается рассчитать все основные кинетические коэффициенты в ковалентных полупроводниках [2]. Однако в работе [2] расчеты проведены только для случая резонансного рассеяния, но в то же время электроны взаимодействуют и с акустическими фононами, причем почти упруго, вплоть до очень низких температур (13 EMBED Equation.3 1415) (за исключением сверхчистых монокристаллов алмаза [3]) и поэтому в действительности необходимо рассматривать одновременно два механизма рас- сеяния. Учет рассеяния носителей на высоковозбужденных акустических фононах позволял бы корректно осуществлять формальные процедуры получения (в методическом отношении) за- висимостей типа 13 EMBED Equation.3 1415 и анализировать влияние слабого магнитного поля ( как впрочем и других факторов) на параметры резонансного рассеяния, что затруднительно провести на основе результатов работы [2].
В работе [4] показано насколько существенно могут отличаться при резонансном рассеянии число Лоренца 13 EMBED Equation.3 1415 и фактор Холла 13 EMBED Equation.3 1415 в сильно вырожденных полупроводниках от универсаль- ных постоянных 13 EMBED Equation.3 1415 и 1 соответственно. Соответствующие интегралы 13 EMBED Equation.3 1415 вычислялись чис- ленно. В работе [5] в рамках двухзонной модели проведены расчеты концентрационных за- висимостей кинетических коэффициентов для PbTe Na + Te в диапазоне 13 EMBED Equation.3 1415. Рас- четы 13 EMBED Equation.3 1415 с учетом межзонных переходов рассмотрены в работах [5-7]. В работе [6] для 13 EMBED Equation.3 1415 полу- чены явные аналитические формулы.
Следует также отметить работу [8], где уточняется энергия примесных резонансных состо- яний с использованием скорректированного фактора Холла.
В [9] отмечается положительная корреляция между переходом в сверхпроводящее состо- яние и резонансным рассеянием, причем природа положительной корреляции до сих пор не- выяснена.
В предлагаемой работе в рамках простой модели изучается влияние резонансного рассеяния на кинетические эффекты в предельно слабом 13 EMBED Equation.3 1415поле, и выводятся соответствующие форму- лы для кинетических коэффициентов.
Для достижения этой цели с помощью вспомогательной процедуры выводятся формулы в первом приближении. На основе качественного анализа полученных формул вскрывается спе-цифика резонансного рассеяния. Наличие поля учитывается во втором приближении, причем по развиваемому подходу автора, посредством замены 13 EMBED Equation.3 1415в исходных формулах пер- вого приближения: (посредством 13 EMBED Equation.3 1415).
Электропроводность и подвижность
При высоких температурах подвижность носителей заряда обусловлена взаимодействием электрона (дырки) проводимости с акустическими колебаниями решетки. Длину свободного пробега электрона в этом случае можно аппроксимировать формулой
13 EMBED Equation.3 1415.
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415постоянная определяемая тепловыми флуктуациями решетки, где 13 EMBED Equation.3 1415энергия порядка атомной (или несколько больше), 13 EMBED Equation.3 1415 постоянна решетки (13 EMBED Equation.3 1415). Следует отметить, что 13 EMBED Equation.3 1415 от кинетической энергии 13 EMBED Equation.3 1415 электрона не зависит. Полагая 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, получим 13 EMBED Equation.3 1415.
Длина свободного пробега, связанного с резонансным рассеянием, равна
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415концентрация рассеивающих центров, 13 EMBED Equation.3 1415сечение 13 EMBED Equation.3 1415рассеяния [1], 13 EMBED Equation.3 1415энергия связи 13 EMBED Equation.3 1415центра (резонансный уровень). Простые расчеты показывают, что (13 EMBED Equation.3 1415) порядка мэВ [2]. Полагая, к примеру 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415) находим, что 13 EMBED Equation.3 1415 на два порядка превышает 13 EMBED Equation.3 1415 уже при комнатных температурах (см. приложение 1.1).
Таким образом, есть основание полагать, что при низких температурах влияние резонанс- ного рассеяния может стать более существенным, чем рассеяние на акустических фононах.
Предполагая независимость обоих механизмов рассеяния, имеем
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 , (1)
где 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Удельная электропроводность в случае, когда носители подчиняются классической статис- тике 1 (невырожденный газ невзаимодействующих между собой электронов), равна
13 EMBED Equation.3 1415 , (2)
где 13 EMBED Equation.3 1415концентрация носителей в зоне проводимости: 13 EMBED Equation.3 1415.
Взяв квадратуру с учетом (1), находим
13 EMBED Equation.3 1415, (3)
где 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415.
Пользуясь разложением в ряд и асимптотическим выражением для 13 EMBED Equation.3 1415можно показать, что [10]
13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415), (4)
13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415). (5)
Для того чтобы исследовать поведение проводимости 13 EMBED Equation.3 1415 и подвижности 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 при раз- личных температурах, необходимо, строго говоря, учесть зависимость числа нейтральных ато- мов примеси от температуры. Если быть последовательным, то при этом надо было бы учиты- вать рассеяние на 13 EMBED Equation.3 1415 ионах примеси. Однако в большинстве полупроводников (кроме может быть Ge [2]) энергия диссоциации доноров такова, что число ионов примеси при низких тем- пературах столь мало, что они не оказывают сколько-нибудь заметного влияния на длину сво- бодного пробега носителей заряда, так что в актуальном диапазоне температур 13 EMBED Equation.3 1415 мож- но положить 13 EMBED Equatiof.3 1415 полной концентрации примесных центров.
При 13 EMBED Equation.3 1415 (т.е.13 EMBED Equation.3 1415) или высоких температурах 13 EMBED Equation.3 1415, из (3) и (5) получим обыч- ный результат:13 EMBED Equation.3 1415 [11, стр. 83]. При очень низких температурах (13 EMBED Equation.3 1415), в пределах актуального интервала 13 EMBED Equation.3 1415, из (3) и (4) получим (дополнительно см. приложение 1.2)
13 EMBED Equation.3 1415 (6)
т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Из рис.1 видно, что теоретическая кривая качественно верно передает ход эксперименталь- ных точек в окрестности 13 EMBED Equation.3 1415. Относительно слабый спад подвижности указывает на наличие резонансного рассеяния.
Качественное соответствие с данными эксперимента позволяют рассматривать 13 EMBED Equation.3 1415 центры как уровни, «контролирующие» подвижность носителей заряда. В этом смысле формулы (6) наиболее приспособлены к применению в случае полупроводников Si, Ge, AIIIBV [2].
Заметим, что разложения (4) и (5) не охватывают (теоретически) промежуточную область 13 EMBED Equation.3 1415, где рассеяние на заряженных (и других) центрах может быть существенным [13].
2. Теплопроводность и термоэлектродвижущая сила
В соответствии с вышеизложенным мы приходим к выводу о том, что и процессы переноса тепла носителями также должны контролироваться центрами. Однако это предположение тре- бует соответствующего математического обоснования.
Для расчета электронной теплопроводности воспользуемся известной формулой
13 EMBED Equation.3 1415, (7)
где 13 EMBED Equation.3 1415коэффициенты, которые в классическом пределе определяются через интеграл:
13 EMBED Equation.3 1415. (8)
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415эффективное время релаксации по импульсу, которое при квадратичном законе дисперсии13 EMBED Equation.3 1415 определяется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415. (9)
Подставляя в (7) 13 EMBED Equation.3 1415 с учетом формул (1) и (9), получим
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. (10)
Интегралы 13 EMBED Equation.3 1415 выражаются через функцию13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Аккуратный расчет на основе разложения (4) приводит в этом случае к формуле
13 EMBED Equation.3 1415. (11)
Видно, что электронная теплопроводность при наличии резонансного рассеяния, как и электропроводность, пропорциональная 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 что вполне естественно в области примесной проводимости: 13 EMBED Equation.3 1415. В отличие от вырожденных носителей в данном слу- чае число Лоренца 13 EMBED Equation.3 1415 не отклоняется сколько-либо заметно от универсальных постоянных. Это связано с тем, что резонансное рассеяние в вырожденных полупроводниках имеет ярко выра- женный селективный характер: интенсивно рассеиваются только те носители (дырки), энергии которых лежат в пределах тонкого слоя 13 EMBED Equation.3 1415. Это и проявляется на поведении 13 EMBED Equation.3 1415 в виде харак- терных максимумов [4]. Напротив, в невырожденных резонансное рассеяние изотропно: рас- сеиваются все носители с энергиями 13 EMBED Equation.3 1415 2. Сильное резонансное рассеяние носителей вблизи 13 EMBED Equation.3 1415 уровня Ферми в пределах слоя размытия и вследствие этого резкая зависимость 13 EMBED Equation.3 1415 от энергии усложняет вычисление кинетических коэффициентов. Выбор параметров (13 EMBED Equation.3 1415) необходимых для расчета 13 EMBED Equation.3 1415, осуществляется только на основе текущих экспериментальных данных [8]! Привлекает получение аналитической формулы для13 EMBED Equation.3 1415. Трудность получения анали- тической формулы заключается в том, что функцию13 EMBED Equation.3 1415 нельзя разлагать в ряд Тейлора в окрестности уровня Ферми 13 EMBED Equation.3 1415. При невырожденных носителях подобное разложение было бы допустимо, и мы получили бы в принципе формулу (9) (так поступают, например, в теории колебаний, когда хотят получить формулу для периода малых колебаний механических систем, ограничиваясь квадратичным членом). Математическое требование сводится к тому, чтобы соблюдалась квадратичность спектра, тогда как формула Брейта-Вигнера для 13 EMBED Equation.3 1415- ширины при- месной полосы не предполагает квадратичности.
В некоторых случаях всё же удаётся получить аналитическую формулу (для электропровод- ности, на основе уравнения электронейтральности) [14].
Таким образом, мы можем лишь констатировать, что резонансное рассеяние носителей в вырожденных полупроводниках имеет более специфичный и нетривиальный характер, нежели в невырожденных.
Отметим, что линейный закон возрастания электронной теплопроводности (13 EMBED Equation.3 1415) [15, стр. 331] в диапазоне 13 EMBED Equation.3 1415соответствует более быстрому росту (спаду) последней, чем это было бы при наличии резонансного рассеяния:
13 EMBED Equation.3 1415 ( рис. 2).
Этот факт легко понять, если воспользоваться аналогией с «квазистационарными» состояни- ями. При резонансном рассеянии электрон не просто «натыкается» на примесь или «задевает» ее, но задерживается около нее на некоторое время. Уменьшение средней длины свободного пробега 13 EMBED Equation.3 1415 из-за задержки эквивалентно некоторому приросту примесного теплосопротив- ления (в расчете на единицу объема). При линейном законе спада мы имели бы соответственно более низкий прирост теплосопротивления.
Выведем формулу для 13 EMBED Equation.3 1415применяя стандартную методику усреднения по энергиям.
Как известно для тепловых электронов:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 . (12)
Подставляя сюда функцию 13 EMBED Equation.3 1415 из (1) получим
13 EMBED Equation.3 1415. (13)
Интеграл в (13) выражается через интеграл ошибок:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. (14)
Для 13 EMBED Equation.3 1415 имеет место асимптотическое разложение:
13 EMBED Equation.3 1415 . (15)
Подставляя разложение (15) в (14) после соответствующих вычислений получим
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. (16)
Из (13) и (16) находим
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. (17)
Формула (17) позволяет оценит различные параметры: сечение рассеяния, среднее время пробега (квазизадержки).
Следует отметит, что теоретическая формула (7) получается в результате совместного реше- ния уравнений переноса энергии и заряда, так как в гамильтониане теории как известно отсутствует член, соответствующий электронной теплопроводности.
Для оценки термо-э.д.с. при преобладании резонансного рассеяния носителей примем, что 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 (что соответствует 13 EMBED Equation.3 1415), используя асимптотику кинетических коэффициентов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 получим 13 EMBED Equation.3 1415, что в три раза меньше термо-э.д.с. при рассеянии на ионах примеси (13 EMBED Equation.3 1415). Как и следовало ожидать, термосопро-
тивление при резонансном рассеянии оказалось больше, нежели при рассеянии на ионах приме- си. Учитывая на самом деле достаточно сложный характер зависимости 13 EMBED Equation.3 1415 в более широком интервале температур можно заключить, что 13 EMBED Equation.3 1415 слабо меняется в диапазоне 13 EMBED Equation.3 1415. При температурах 13 EMBED Equation.3 1415 носители преимущественно рассеиваются на тепловых колебаниях решетки вплоть до комнатных температур. Это оправдывает формулу (1), являющуюся цен-тральной (в нашем случае) при вычислении кинетических коэффициентов.
Таким образом, формулы (6), (11) и (17) представляют первое приближение (так называ- емую 13 EMBED Equation.3 1415- аппроксимацию).
Эффект Холла и магнетосопротивление
Для определения холловской подвижности 13 EMBED Equation.3 1415 на опыте обычно измеряют, помимо удель- ной электропроводности 13 EMBED Equation.3 1415, постоянную Холла13 EMBED Equation.3 1415. Если имеются носители заряда только одного знака, и они подчиняются классической статистике, то произведение 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415 . (18)
Подставляя сюда 13 EMBED Equation.3 1415 из (1), получим
13 EMBED Equation.3 1415 . (19)
Интеграл знаменателя совпадает с интегралом в (2). Интеграл числителя равен
13 EMBED Equation.3 1415 , (20)
где
13 EMBED Equation.3 1415.
Из (19), (3) и (20) получим
13 EMBED Equation.3 1415. (21)
Для определения поведения 13 EMBED Equation.3 1415 при низких температурах подставим разложения (4) и (15) в (21) (см. приложение 3.1)
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. (22)
Если известны 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то отсюда можно оценить 13 EMBED Equation.3 1415.
Из (21) видно, что при 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415), 13 EMBED Equation.3 1415. При высоких температурах 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому также 13 EMBED Equation.3 1415.
Применение разложений (4) и (15) (с учетом (17)) дает для поперечного магнетосопротив- ления (13 EMBED Equation.3 1415) оценку (см. приложение 3.2) (по Эргинсою данный эффект отсутствует, так как если 13 EMBED Equation.3 1415, то13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415. (23)
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415циклотронная частота, соответствующая эффективной массе на дне зоны прово- димости. Отсюда видно, что магнетосопротивление по асимптотике является эффектом «второ- го порядка» (13 EMBED Equation.3 1415) по сравнению с подвижностью, теплопроводностью и эффектом Холла.
Величину 13 EMBED Equation.3 1415 можно интерпретировать как среднюю кинетическую энергию носителей, отклоненных в магнитном поле на фоне неупорядоченно расположенных 13 EMBED Equation.3 1415 центров. В промежутках между актами рассеяния частица движется под действием поля. Прежде чем рассеяться, частица проходит малую часть орбиты. Почти прямая линия между двумя центрами является очень малой частью орбиты. Двигаясь вдоль этой «линии» носитель приобретает относительно «точки наблюдения» на оси постоянного вектора 13 EMBED Equation.3 1415 кратковременный момент импульса13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415циклотронная скорость), при- чем 13 EMBED Equation.3 1415 является «радиусом кривизны» (13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 радиус циклотронной орбиты).
При достаточно низких температурах 13 EMBED Equation.3 1415 вполне является интегралом движения.
Как видно из (23) тепловое движение стремится стряхнуть частицу с орбиты. Критерий устойчивости на мгновенной орбите: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
К сожалению, неупорядоченность 13 EMBED Equation.3 1415центров не позволяет, представит их поле в виде периодической функции (теорема Фурье). Концентрация примесей 13 EMBED Equation.3 1415 считается малой, т.е. одновременное рассеяние носителей на двух и более центрах не учитывается, что соответ- ствует обычному газовому приближению [12, 15, 16].
Следует указать на то, что13 EMBED Equation.3 1415, и никакого «выигрыша», на первый взгляд, резонанс- ное рассеяние в среднем не получает (13 EMBED Equation.3 1415). Однако из-за «укорочения» 13 EMBED Equation.3 1415 (вдоль 13 EMBED Equation.3 1415) между актами рассеяния, 13 EMBED Equation.3 1415 (поперечник) как-бы получает (в квазиклассическом смысле 3 ) некоторое 13
·EMBED Equation.3 1415 малое (виртуальное) приращение, причем в качестве параметра малости выступает множитель 13 EMBED Equation.3 1415 (см. приложение 3.3).
Учет «рассеивающего» влияния 13 EMBED Equation.3 1415поля
На основе формулы для магнетосечения 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415 (см. приложение 3.3), можно сравнительно легко проанализировать влияние поля на тепло- и электропроводность. Качественно ясно, что оба типа проводимостей должны умень- шиться из-за укорочения 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Из этой оценки нетрудно понять, что «точные» формулы для 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415 должны иметь вид (в рамках правомерности формул (6) и (11))
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. (24)
Следовательно, суперслабое магнитное поле не «возмущает» число Лоренца: 13 EMBED Equation.3 1415.
Закон Видемана-Франца выполняется с достаточным запасом точности. Факт уменьшения 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 (в среднестатистическом аспекте) можно также выразит в терминах укорочения средней длины свободного пробега
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, (25)
где 13 EMBED Equation.3 1415 задаётся формулой (17). Общая картина представлена на рис. 3.
Зависимость (25) налагает ограничение на 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415. Вне предела 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415аппроксимация неправомерна (13 EMBED Equation.3 1415 температура, соответствую-щая поперечному отклонению носителей, при которой «магнитный момент» орбиты 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (рис.3)). Предельное значение поля 13 EMBED Equation.3 1415, (13 EMBED Equation.3 1415).
На основании (24) и (25) можно сформулировать правило:
пусть известно усредненное сечение рассеяния электрона на 13 EMBED Equation.3 1415центре в отсутствие магнитного поля; сечение рассеяния в суперслабом магнитном поле 13 EMBED Equation.3 1415 будет таким же, как и сечение без поля но с поправкой 13 EMBED Equation.3 1415.
Влияние слабого поля на 13 EMBED Equation.3 1415 определяется зависимостью (9), из которой после усреднения следует 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. время свободного пробега для «медленных» электронов больше чем для «быстрых», а это значит что 13 EMBED Equation.3 1415.
Отметим, что если использовать стандартные методы расчета [11, 15] то объем различных вычислений возрос бы, а результаты были - бы почти те же. В этом основное преимущество данного подхода – учет влияния слабого магнитного поля осуществляется на основе замены 13 EMBED Equation.3 1415 (образно гибридное сечение). Исходя из такого квазиклассического «расшире- ния» можно в принципе рассчитать всевозможные кинетические эффекты в слабом 13 EMBED Equation.3 1415поле, число которых велико, при этом важно придерживаться схеме13 EMBED Equation.3 1415–аппроксимации (при одном превалирующем механизме рассеяния из двух).
Замена 13 EMBED Equation.3 1415 не претендует на числовой множитель при13 EMBED Equation.3 1415 для 13 EMBED Equation.3 1415, так как данная замена предполагает суперслабое поле и отражает лишь уменьшение13 EMBED Equation.3 1415. В случае 13 EMBED Equation.3 1415стандартный метод и 13 EMBED Equation.3 1415 приводят к одному и тому же числовому множите- лю [11, стр. 96].
Электропроводность тонких полупроводников
Если травлением или протяжкой уменьшить диаметр полупроводника 13 EMBED Equation.3 1415 до такой степени, что 13 EMBED Equation.3 1415, то значительная часть электронов проводимости будет рассеиваться на поверхности. Отсюда следует, что поверхностное рассеяние будет существенной добавкой к объемным эф- фектам. Для полупроводников в отличие от металлов поверхностное рассеяние носит сугубо упругий характер: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. электроны не чувствуют «интерферен-ционную» структуру поверхности. Получение соответствующих формул требует решения кине- тического уравнения Больцмана с подходящими граничными условиями на поверхности [16, стр. 210]. Наибольший практический интерес может представит формула [15, стр. 261] (13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415 , (26)
где 13 EMBED Equation.3 1415объемное сопротивление, 13 EMBED Equation.3 1415 определяется выражением (6).
Подставляя в (26) формулу (17) получаем (для оценки:13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 . (27)
Как следует из числового интервала 13 EMBED Equation.3 1415 электроны не чувствуют наличие нейтральной при- меси вообще не говоря уже о 13 EMBED Equation.3 1415центрах. Поверхностное рассеяние затушевывает оста- точное примесное рассеяние: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (см. приложение 1.1). В этом смысле можно сказать, что ковалентный кристалл ведет себя как квазиидеальный. Вопреки традицион- ному воззрению, что нейтральные примеси ответственны за остаточное сопротивление, полученный результат показывает, что это не всегда так: электрофизика образца во многом регламентируется именно тем, в каком отношении соотносятся диаметр 13 EMBED Equation.3 1415 и средняя длина свободного пробега электронов 13 EMBED Equation.3 1415, кроме того увеличение концентрации носителей, за счет фотовозбуждения 13 EMBED Equation.3 1415центров, может привести к уменьшению поверхностного рассеяния и проявлению других механизмов рассеяния.
По-видимому также обстоит ситуация и в случае обычного нерезонансного рассеяния носи- телей заряда на глубоких нейтральных примесях [13].
Выводы
Основное содержание настоящей работы можно свести к формулам (6), (11), (17), (22)-(25) и (27) которые имеют прямой физический смысл, раскрывая специфику резонансного рассеяния, которые необходимы для осмысленного изучения поведения температурных зависимостей различных кинетических коэффициентов при низких температурах и суперслабых 13 EMBED Equation.3 1415полях.
Полученные формулы дают право, критически оспорит формулу Эргинсоя, согласно кото- рой подвижность носителей заряда в интервале 13 EMBED Equation.3 1415не зависит от температуры. Ведь совершенно ясно, что подвижность13 EMBED Equation.3 1415 в отличие от термо-э.д.с. 13 EMBED Equation.3 1415 весьма чувствительна к тем- пературе. Формула Эргинсоя носит эмпирический характер и её нельзя конечно воспринимать буквально. На наш взгляд резонансное рассеяние на нейтральных примесях более физично во многих отношениях, что подтверждается конкретными числовыми оценками.
При высоких и низких температурах 13 EMBED Equation.3 1415 пропорционально 13 EMBED Equation.3 1415 и имеет различную темпера- турную зависимость. Если откладывать на графике зависимость 13 EMBED Equation.3 1415 от 13 EMBED Equation.3 1415, то при высоких и низких температурах получаются прямые с угловыми коэффициентами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Для определения 13 EMBED Equation.3 1415температуры перехода от одной температурной зависимости к другой, необ- ходимо, строго говоря, решить сложное трансцендентное уравнение. Для оценки 13 EMBED Equation.3 1415 положим
13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415; тогда
13 EMBED Equation.3 1415.
Необходимо различать два крайних случая. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то легко показать,
13 EMBED Equation.3 1415. (28)
В противоположном случае, когда 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415. (29)
Когда 13 EMBED Equation.3 1415, то по порядку величины приложим критерий (28), как это видно из критерия (29).
Выше мы оценили 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415)13 EMBED Equation.3 1415. Во всяком случае, мы можем отсюда предполо- жительно заключить, что переход может наблюдаться и при более высоких температурах в за-висимости от степени легирования.
Легко показать, что если в более общем случае 13 EMBED Equation.3 1415, то при низких температурах, когда можно пренебречь решеточным сопротивлением, 13 EMBED Equation.3 1415 по-прежнему пропорционально 13 EMBED Equation.3 1415.
При не слишком слабых полях (13 EMBED Equation.3 1415) (когда разложение 13 EMBED Equation.3 1415 не вполне право-мерно, например, вблизи значений 200 Э) 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. (30)
Наличие максимума радикально отличается от случая 13 EMBED Equation.3 1415 [2].
Формулы (30) практически совпадают с формулами, полученными в работе [12], при этом 13 EMBED Equation.3 1415резонансно возрастает как 13 EMBED Equation.3 1415(рис. 1).
При очень низких температурах при наличии суперслабых 13 EMBED Equation.3 1415полей реализуются весьма благоприятные условия для повышения эффективности термопар (из-за квазипостоянства 13 EMBED Equation.3 1415) [14]
13 EMBED Equation.3 1415.
На основе (17) нетрудно оценить величину поля необходимую для туннелирования носи-телей. Для оценки 13 EMBED Equation.3 1415 положим 13 EMBED Equation.3 1415; тогда
13 EMBED Equation.3 1415.
Полученное значение напряженности соответствует области суперслабых полей. Коэффици-ент «просачивания» при этом практически равен единице. Так что говорит о наличии какого-либо потенциального барьера (ямы) при резонансном рассеянии особо не приходиться, и он
имеет в этом случае скорее формальный, нежели реальный смысл. Эффект «задержки» (аналог эффекта Рамзауэра) здесь выражается в том, что медленный электрон начинает при этом слегка спотыкаться, что качественно отражено на графиках (1) и (2).
Критически оценивая формулы (27) можно прийти к выводу, что джоулевы потери могут происходит только на поверхности, но тогда поверхностное рассеяние носителей не будет «абсолютно упругим» оно будет скорей квазиупругим (носители как-бы прилипают на короткое время к поверхности полупроводника).
Приложение 1.1
При высоких температурах 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, а се- чение 13 EMBED Equation.3 1415 может проявиться лишь как одиночный «всплеск» на фоне акустического рас- сеяния, но так как число резонирующих носителей исчезающе мало, то резонансное рассеяние весьма маловероятно 2.
При низких температурах 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; число фононов: 13 EMBED Equation.3 1415, (13 EMBED Equation.3 1415температура Дебая, 13 EMBED Equation.3 1415число атомов);
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
(13 EMBED Equation.3 1415скорость звука). Для точечных дефектов и примесных атомов (по Эргинсою) 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415. Кулоновское сечение: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, резонансное рассеяние в указанном интервале полностью доминирует (рис. 4), причем вблизи 4 K длинноволновое фононное рассеяние сменяется резонансным.
Приложение 1.2
При сильных магнитных полях отношение предельных значений электропроводности равно
13 EMBED Equation.3 1415.
Первый интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 имеет классическую асимптотику 13 EMBED Equation.3 1415, второй равен 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 и имеет классическую асимптотику 13 EMBED Equation.3 1415. В результате имеем 13 EMBED Equation.3 1415 в полном соответствии с результатом Давыдова-Шмушкевича [11, стр. 105]. В данном случае асимптотика 13 EMBED Equation.3 1415 означает, что в пределе классически сильного магнитного поля, рассеяние носителя на атоме примеси, аналогично рассеянию последнего на высоковозбужденном акустическом фононе. При такой трактовке мы приходим к независимости 13 EMBED Equation.3 1415 от скорости. К этому же выводу можно прийти и на основе теории Дебая [15].
Вывод справедлив и при произвольном 13 EMBED Equation.3 1415.
Приложение 3.1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Приложение 3.2
Общая теоретическая формула:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415, а функция
13 EMBED Equation.3 1415 определена интегралом (20). Из исходной формулы видно, что при 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415) , 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
При низких температурах на основе разложения (4) имеем
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 ,
кроме того
13 EMBED Equation.3 1415 .
Следовательно
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, т.е. получаем формулу (23), являющуюся свя-зующим звеном между первым и вторым приближением (13 EMBED Equation.3 1415).
Результат (23) требует качественного разъяснения: в актуальной области подавляющее большинство носителей (которые резонируют) лишь в среднем имеют энергию 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, и для них 13 EMBED Equation.3 1415 не «укорачивается». Но носители с энергией меньше средней (13 EMBED Equation.3 1415) будут от- клоняться в сторону «электрической» силы, а носители с энергией (13 EMBED Equation.3 1415) – в противо- положную сторону (рис.3). И для тех и для других 13 EMBED Equation.3 1415 уменьшится, при этом число отклоняю- щихся носителей ничтожно мало: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, откуда следует что 13 EMBED Equation.3 1415.
Приложение 3.3
Усреднение сечения резонансного рассеяния 3
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
В актуальном диапазоне:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
но 13 EMBED Equation.3 1415, только поэтому 13 EMBED Equation.3 1415,
тогда
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Как видно из асимптотической оценки при очень низких температурах тепловой разброс не существенен для статистического сечения резонансного рассеяния. Среднее сечение рассеяния определяется только одним единственным параметром 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415центра) и 13 EMBED Equation.3 1415(носителя) (при этом нет необходимости, чтобы 13 EMBED Equation.3 1415 было близко к 13 EMBED Equation.3 1415 2 ). Однако тепловой разброс сущес- твенен при наличии поля! Существенно, что приращение сечения квадратично по полю.
В формуле для 13 EMBED Equation.3 1415 отражено результирующее влияние магнитного поля и «поля» 13 EMBED Equation.3 1415центра. Область в окрестности центра как-бы слегка набухает, радиус действия его «потенциала» слегка возрастает. Другими словами влияние слабого 13 EMBED Equation.3 1415поля на резонансное рассеяние (как впрочем, и на другие механизмы рассеяния) эквивалентно (при нашем подходе) квазилокальному «растяжению» (13 EMBED Equation.3 1415) поперечника центра. Растяжение поперечника лимитировано сменой температурной зависимости. Во избежание «дифракции» должно соблю- даться условие 13 EMBED Equation.3 1415, которое, как правило, хорошо соблюдается в суперслабых полях.
Рассеивающее действие 13 EMBED Equation.3 1415поля наиболее эффективно на границе центра. В соответствии с «гипотезой локального равновесия», которое налагает, ограничение на 13 EMBED Equation.3 1415, а именно 13 EMBED Equation.3 1415, мы предполагаем, что изменением температуры в 13 EMBED Equation.3 1415 – окрестности центра можно пренебречь.
Относительная доля носителей, преодолевающих заслон, пренебрежимо мало: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, (13 EMBED Equation.3 1415 – угол отклонения) так что подавляющее большинство носителей интенсивно рассеиваются и в формулах кинетических коэффициентов не надо вводить попра- вок на 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415).
Как видно, формула для сечения формально сходна с формулой Сезерленда для газокине- тического сечения рассеяния частиц.
Таким образом, магнитное поле столь слабо13 EMBED Equation.3 1415, что оно лишь слегка искривляет траек- торию носителей между актами рассеяния, между тем как можно не учитывать его влияние на специфику рассеяния: 13 EMBED Equation.3 1415.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.: Физматлит, 2001, Т-3, 803 с.
2. Имамов Э.З., Колчанова Н.М., Крещук Л.Н., Яссиевич И.Н. Роль рассеяния на мелких
нейтральных центрах в кинетических явлениях при низкой температуре // ФТТ, 1985, Т.
27, № 1, С. 69-76.
3. Батурин А.С., Горелкин В.Н., Соловьев В.Р., Черноусов И.В. Расчет подвижности
носителей заряда в алмазе при низких температурах // ФТП, 2010, Т. 44, вып. 7, С. 897 901.
4. Прокофьева Л.В., Шабалдин А.А., Корчагин В.А., Немов С.А., Равич Ю.И.
Число Лоренца и фактор Холла в вырожденных полупроводниках при резонансном
рассеянии носителей тока // ФТП, 2008, Т. 42, вып. 10, С. 1180 -1189.
5. Прокофьева Л.В., Пшенай-Северин Д.А., Константинов П.П., Шабалдин А.А.
Электронный спектр и рассеяние носителей тока в PbTe Na +Te // ФТП, 2009, Т. 43,
вып. 9, С. 1195 -1198.
6. Коломоец Н.В. Влияние межзонных переходов на термоэлектрические свойства
вещества // ФТТ, 1966, Т. 8, № 4, С. 999-1003.
7. Пшенай-Северин Д.А., Федоров М.И. Влияние межзонного рассеяния на
термоэлектрические свойства полупроводников и полуметаллов // ФТТ, 2010, Т. 52, №
7, С. 1257-1261.
8. Немов С.А., Равич Ю.И., Корчагин В.И. Энергия примесных резонансных состояний в теллуриде свинца с различным содержанием примеси таллия // ФТП, 2011, Т. 45, вып.6, С. 740-742.
9. Немов С.А., Осипов П.А., Прошин В.И., Парфеньев Р.В., Шамшур Д.В., Шайнова Н.П.
Сверхпроводимость сплавов Sn 0.62 Pb 0.33 Ge 0.05 Te // ФТТ, 2000, Т. 42, № 7, С. 1180 -
1182.
10. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977, 344 с.
11. Аскеров Б.М. Кинетические эффекты в полупроводниках. Л.: Наука, 1970, 302 с.
12. Андреев С.П., Павлова Т.В., Небогатов В.А. Уширение кривой классического
циклотронного резонанса нейтральными примесями в двух- и трёхмерных
полупроводниках // Труды Научной Сессии НИЯУ МИФИ - 2010, Т. III, Современные
проблемы физики конденсированного состояния, С.89 -92.
13. Петрикова Е.А., Симакин М.В. Рассеяние носителей заряда на глубоких нейтральных
центрах в высокоомных кристаллах арсенида галлия // Вестн. ЕНУ им. Л. Н. Гумилева,
2010, № 6, С. 136 -138.
14. Кайданов В.И., Немов С.А., Равич Ю.И. Резонансное рассеяние носителей тока в
полупроводниках типа АIVBVI // ФТП, 1992, Т. 26, вып. 2, С. 201 - 222.
15. Блатт Ф. Физика электронной проводимости в твердых телах. М.: Мир, 1971, 472 с.
16. Фикс В.Б. Ионная проводимость в металлах и полупроводниках. М.: Наука, 1969, 296 с.
17. Erginsoy C. Neutral Impurity Scattering Semiconductors // Phys. Rev., 1950, Vol. 79, No. 6, P.
1013 -1014.
1. Применимость классической статистики при преобладании 13 EMBED Equation.3 1415приближения при низких температурах (13 EMBED Equation.3 1415) оправдано тем, что тепловое размытие 13 EMBED Equation.3 1415центров примерно на порядок и два меньше среднего расстояния между уровнями мелкого донора. 2. Во избежание недоразумений следует отметить, что и при более высоких температурах (13 EMBED Equation.3 1415) возможно резонансное рассеяние, поскольку носители лишь в среднем имеют энергию 13 EMBED Equation.3 1415. В соответствии с распределением Максвелла имеется некоторая часть медленных носителей, которые все же резонируют даже при 13 EMBED Equation.3 1415 и более высоких температурах. 3. После усреднения (пригодного для квазистационарного состояния) 13 EMBED Equation.3 1415 приобретает классические черты, к которому тогда уже приемлемо квазиклассическое рассмотрение.
T.T. Muratov
FORMALISM «MAGNETO CROSS-SECTIONS» OF 13 EMBED Equation.3 1415CENTERS AT RESONANCE SCATTERING OF CHARGED CARRIERS IN ANGENERATED SEMICONDUCTORS
The new approach to study of kinetic effects in covalent semiconductors is developed. On example of the calculation kinetic coefficients at resonance scattering are demonstrated some particularities of the proposed approach. It is studied influence limited weak magnetic field on kinetic effects. Unlike standard method, taking into account presence of the 13 EMBED Equation.3 1415field in the nonequilibrium distribution function with the following reception sought formulas for kinetic coefficients, in proposed approach presence (the influence) of the weak 13 EMBED Equation.3 1415field is fixed as local (virtual) incrementation of cross-section of the concrete scattering, in is given event resonance. Formal change: 13 EMBED Equation.3 1415 allows relatively easy to analyze the influence of the 13 EMBED Equation.3 1415field on kinetic effects. It is shown that at presence of the 13 EMBED Equation.3 1415field electronic conductivity reached the maximum near 1K in the range of fields of the order 100 Gauss.
Generality result is revealed in process of the calculation at any mechanism of the scattering. The main requirement is reduced to low-temperature asymptotics: 13 EMBED Equation.3 1415 of concrete mechanism of the scattering was constant.
Keywords: kinetic coefficients, resonance scattering, 13 EMBED Equation.3 1415сenters, classical weak and strong magnetic fields, magneto cross-section.
13PAGE 15
13PAGE 142215
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native2Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native