Исследования функций с помощью производной и построение ее графика
Урок 5.
Определение первообразной.
Цели урока: знать правила дифференцирования, определение первообразной. Уметь определить является ли функция F первообразной для функции f на указанном промежутке.
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. Устная работа.
1. Найдите производную функции
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
2. Найдите такую функцию, чтобы ее производной была данная функция:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415
3. Объяснение нового материала.
Вспомнить механический смысл производной. С точки зрения механики скорость прямолинейного движения определяется как производная пути по времени. Если некоторая точка прошла путь S(t), то ее мгновенная скорость 13 EMBED Equation.3 1415. Если теперь рассмотреть обратную задачу – нахождение пути, пройденного точкой с заданной скоростью, то придем к функции S(t), которую называют первообразной функции v(t), т.е. такой функцией, что 13 EMBED Equation.3 1415. Так как производная постоянной равна нулю, то первообразная определяется с точностью до постоянной. Например, 13 EMBED Equation.3 1415, и поэтому первообразной функции 13 EMBED Equation.3 1415 является функция 13 EMBED Equation.3 1415. Учащиеся должны знать определение первообразной из учебника и что операция интегрирования – обратная операция дифференцирования.
4. Закрепление нового материала.
Разобрать № 326(а, б), 327(а, б), 330(а, б), 331(а, б).
5. Задание из ЕГЭ.
Задание A:
Укажите первообразную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 1.
6. Итоги урока.
7. Домашнее задание.
Прочитать и разобрать §26.
Решить следующие задачи №330(в, г), 331(в, г).
Урок 6.
Определение первообразной.
Цели урока: знать правила дифференцирования, определение первообразной, понятие интегрирования. Уметь определить является ли функция F первообразной для функции f на указанном промежутке, находить простейшие первообразные.
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. Устная работа.
Сформулировать определение первообразной
Решить устно №1 (стр. 205)
3. Решение задач.
Прочитать примеры с 1 – 3 (стр. 174-175) из учебника.
Разобрать №328, 333, 334.
4. Задание из ЕГЭ.
Задание 1A:
Укажите первообразную функции 13 EMBED Equation.3 1415 на промежутке 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 2.
Задание 2В:
Найдите максимум функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Критические точки: 13 EMBED Equation.3 1415
Определим знаки производной
x = -2 – точка максимума, т.к. производная в ней меняет знак с «плюса» на «минус».
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 1
5. Итоги урока.
6. Домашнее задание.
Прочитать и разобрать §26.
Решить следующие задачи №329, 332.
Урок 7.
Основное свойство первообразной.
Цели урока: знать определение первообразной, признак постоянства функции, общий вид первообразных, основное свойство первообразных. Уметь находить общий вид первообразных, первообразную, принимающую заданное значение в указанной точке.
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. Устная работа.
Найдите производную функции:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415;
д) 13 EMBED Equation.3 1415; е) 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите одну из первообразных для функции 13 EMBED Equation.3 1415 на R.
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415;
г) 13 EMBED Equation.3 1415; д) 13 EMBED Equation.3 1415; е) 13 EMBED Equation.3 1415.
Напомнить учащимися правило о производной о постоянной. Записать на доске два утверждения.
а) Если 13 EMBED Equation.3 1415 = С (const) на некотором промежутке I то 13 EMBED Equation.3 1415 на этом промежутке
б) Если 13 EMBED Equation.3 1415 на некотором промежутке I, то функция 13 EMBED Equation.3 1415постоянна на этом промежутке.
Затем побеседовать с учащимися о связи между этими утверждениями.
3. Объяснение нового материала.
Вводится признак постоянства функции. Доказательство его на уроке не обязательно, можно дать домой для самостоятельного прочтения. Далее учитель доказывает теорему – основное свойство первообразных, поясняя геометрический смысл (рис. 118,а). Таблицу основных первообразных лучше иметь на плакате рядом с производными, чтобы учащиеся могли сопоставлять производные и первообразные, и не путали их. За неимением плаката (стр. 180) составить таблицу на доске и в тетрадях. Рассмотреть пример. Найти первообразную для функции 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 и т.д. Общий вид первообразных 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Закрепление нового материала.
Заполнить таблицу на доске и в тетрадях.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Проверка
10
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Во втором и третьем столбике записывать не только ответ, но и решение по необходимости.
Разобрать задачи №335, 338(а, б), 340, при наличии времени №341.
5. Задание из ЕГЭ.
Задание A:
Укажите первообразную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 3.
6. Итоги урока.
7. Домашнее задание.
Прочитать и разобрать §27.
Решить следующие задачи №336, 338(в, г).
Урок 8.
Основное свойство первообразной.
Цели урока: знать признак постоянства функции, основное свойство первообразных, геометрический смысл основного свойства первообразных. Уметь находить табличные первообразные, конкретную первообразную в указанной точке.
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. Устная работа.
Повторить признак постоянства функции, основное свойство первообразных, геометрический смысл основного свойства первообразных, табличные первообразные (стр. 180).
Найти первообразные для следующей функции:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415;
г) 13 EMBED Equation.3 1415; д) 13 EMBED Equation.3 1415; е) 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Решение задач.
Разобрать пример 2 (стр. 179), №337(а, б), 339(а, б).
4. Задание из ЕГЭ.
Задание 1A:
Для функции 13 EMBED Equation.3 1415укажите первообразную F, график которой проходит через точку 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 4.
Задание 2A:
Укажите первообразную F для функции 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 1.
5. Самостоятельная работа.
Ее можно проверить, сразу после выполнения и сдачи работы, с помощью кодоскопа.
Вариант I.
1) Найти первообразные для функций.
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415.
2) Для функции 13 EMBED Equation.3 1415 найти первообразную, график которой проходит через точку 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант II.
1) Найти первообразные для функций.
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415;
·г) 13 EMBED Equation.3 1415.
2) Для функции 13 EMBED Equation.3 1415 найти первообразную, график которой проходит через точку 13 EMBED Equation.3 1415.
6. Итоги урока.
7. Домашнее задание.
Прочитать и разобрать §27.
Решить следующие задачи №337(в, г), 339(в, г).
Урок 9.
Три правила нахождения первообразных.
Цели урока: знать определение первообразной, табличные первообразные, основное свойство первообразных, три правила нахождения первообразных. Уметь использовать правила нахождения первообразных, находить простейшие первообразные.
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. Устная работа.
Повторить определение первообразной, основное свойство первообразных. Заполнить на доске следующим образом: один из учащихся пишет на доске, учитель проводит фронтальный опрос.
13 EMBED Equation.3 1415
25
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3. Объяснение нового материала.
Преподаватель дает три правила нахождения первообразной, записывая формулы на доске согласно тексту учебника (стр. 181). После каждого записывать примеры, устно их поясняя.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Говоря о правилах нахождения первообразных, следует подчеркнуть, что правила нахождения производной и первообразной для суммы функций и для произведения постоянной на функцию одинаковы.
4. Закрепление нового материала.
На конкретных примерах можно показать, что правило нахождения первообразной функции, представленной в виде суммы функций, верно для суммы не только двух слагаемых, но и трех и более. Например, можно выполнить упражнение.
Найти первообразные функции:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415.
Затем проверить результат решения дифференцированием. Полезно, выполняя упражнение учебника, периодически проверять результат дифференцированием. При этом учащиеся не только проверяют изученный материал, но и глубже осознают связь между двумя операциями.
Решить задачи №342(в, г), 343(в, г), 344(в, г), 345(в, г).
5. Задание из ЕГЭ.
Задание A:
Укажите первообразную F функции 13 EMBED Equation.3 1415, если известно, что 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 2.
6. Итоги урока.
7. Домашнее задание.
Прочитать и разобрать §28.
Решить следующие задачи №343(а, б), 344(а, б), 345(а, б).
Урок 10.
Три правила нахождения первообразных.
Цели урока: знать определение первообразной, табличные первообразные, правила нахождения первообразных, основное свойство первообразных, табличные первообразные. Уметь находить общий вид первообразных и первообразную, принимающую заданное значение в указанной точке.
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. Устная работа.
Повторить определение первообразной, правила нахождения первообразных, основное свойство первообразной.
Найти общий вид первообразных:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
3. Решение задач.
Разобрать №346(в, г), 347(в, г).
Решить следующее упражнение.
Найти общий вид первообразных для функций:
Функция
Ответ
1) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
4. Самостоятельная работа.
Лучше писать ее с использованием и проверить сразу на уроке, после сдачи работ.
Вариант I.
Найти общий вид первообразных.
Функция
Ответ
1) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вариант II.
Найти общий вид первообразных.
Функция
Ответ
1) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
5. Задание из ЕГЭ.
Задание 1В:
Найдите наименьшее положительное значение аргумента, при котором график функции 13 EMBED Equation.3 1415проходит через точку лежащую на оси абсцисс.
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415.
Задание 2В:
Найдите наибольшее отрицательное значение аргумента, при котором график функции 13 EMBED Equation.3 1415 проходит через точку оси OX.
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415.
6. Итоги урока.
7. Домашнее задание.
Прочитать и разобрать §28.
Решить следующие задачи №346(а, б), 347(а, б).
Урок 11.
Три правила нахождения первообразных.
Цели урока: знать определение первообразной, основное свойство первообразных, правила нахождения первообразных. Уметь находить общий вид первообразных и первообразную, принимающую заданное значение в указанной точке.
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
Можно просто устно проверить ответы.
3. Проверка усвоения изученного материала.
1) Продолжить фразу
первообразная – это
первообразная суммы
постоянный множитель
основное свойство первообразной
геометрический смысл первообразной
Найдите первообразные функций.
13 EMBED Equation.3 1415
4. Индивидуальный опрос и фронтальная работа с классом.
К доске вызывается три ученика для выполнения двух упражнений.
1)
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
2)
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
3)
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
С остальными учащимися фронтально производится опрос о формулах с понижением степени тригонометрических функций.
5. Решение задач.
Объяснение способа решения упражнения с опорой на знания учащихся (по образцу).
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415. Найти F(x).
Решение:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Решить №348б 350б 352(а, б).
6. Обучающая самостоятельная работа.
Два ученика вызываются к доске и решают упражнения на ее закрытых полях по вариантам. Остальные учащиеся решают в тетрадях, затем проверяют по решениям на доске.
Вариант 1
Вариант 2
1. Найти F(x) для функций.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2. Для функции 13 EMBED Equation.3 1415 найти первообразную, график которой проходит через точку 13 EMBED Equation.3 1415
2. Для функции 13 EMBED Equation.3 1415 найти первообразную, график которой проходит через точку 13 EMBED Equation.3 1415
7. Задание из ЕГЭ.
Задание 1В:
Укажите количество промежутков убывания функции 13 EMBED Equation.3 1415, заданной на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 2
Задание 2В:
Укажите количество промежутков возрастания функции 13 EMBED Equation.3 1415, заданной на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 2
8. Итоги урока.
9. Домашнее задание.
Прочитать и разобрать §28.
Решить следующие задачи №349, 352(в, г).
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native