Практикум по комплексным числам и функциям

Министерство образования Московской области
Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
Московской области
«Балашихинский промышленно-экономический колледж»






И.А. КАВЕРИНА



ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО

Учебно-методическое пособие
























Балашиха 2015 г.
Каверина И.А. Теория функций комплексного переменного.- Учебно-методическое пособие. // Балашиха: Балашихинский промышленно-экономический колледж, 2015, 30 с..

Пособие разработано в соответствии с требованиями федерального государственного образовательного стандарта по специальности среднего профессионального образования 230115 «Программирование в компьютерных системах». Приводятся задачи для самостоятельного решения.


§1.1 Комплексные числа и действия над ними
Комплексными числами называются числа вида 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 – действительные числа, 13 EMBED Equation.3 1415 – действительная часть, 13 EMBED Equation.3 1415 – мнимая часть комплексного числа.
По определению, два комплексных числа: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 – равны тогда и только тогда, когда 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Комплексное число 13 EMBED Equation.3 1415 называется сопряженным комплексному числу 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415. Другими словами, если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Всякому комплексному числу 13 EMBED Equation.3 1415 можно поставить в соответствие единственную точку плоскости 13 EMBED Equation.3 1415 и обратно, всякую точку 13 EMBED Equation.3 1415 плоскости 13 EMBED Equation.3 1415 можно рассматривать как геометрический образ единственного комплексного числа 13 EMBED Equation.3 1415.
y

М


0 х
Рисунок 1

Для сокращения вместо “точка, соответствующая комплексному числу 13 EMBED Equation.3 1415”, говорят просто “точка 13 EMBED Equation.3 1415”. При этом множество всех действительных чисел изображается точками оси абсцисс, которая поэтому называется действительной осью, множество чисто мнимых чисел 13 EMBED Equation.3 1415 точками оси ординат, называемой мнимой осью. Заметим, что одна точка мнимой оси, а именно начало коорди-

нат, изображает действительное число нуль. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.
В некоторых случаях удобно считать геометрическим изображением числа 13 EMBED Equation.3 1415 радиус-вектор точки 13 EMBED Equation.3 1415 – 13 EMBED Equation.3 1415.

y
0 z3
5 x
-2 z2

-5 z1
Рисунок 2
Пример 1. Построить точки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
В дальнейшем, наряду с представлением комплексных чисел в декартовых координатах, полезно иметь их представление в обобщенных полярных координатах.
Рассмотрим число 13 EMBED Equation.3 1415, которому на плоскости соответствует точка 13 EMBED Equation.3 1415. Ее координаты в полярной системе координат 13 EMBED Equation.3 1415.



y
M(x; y)

·


·
0 x
Рисунок 3
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Полярный радиус 13 EMBED Equation.3 1415 называется модулем комплексного числа и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415.

Полярный угол 13 EMBED Equation.3 1415 называется аргументом комплексного числа и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415.
Эта форма называется тригонометрической формой комплексного числа.
Модуль комплексного числа определяется однозначно: 13 EMBED Equation.3 1415.
Аргумент комплексного числа определяется с точностью до слагаемого, кратного 13 EMBED Equation.3 1415. Главным значением аргумента называется значение, заключенное в интервале 13 EMBED Equation.3 1415. Обозначается оно 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415.
Очевидно, 13 EMBED Equation.3 1415.
Главное значение аргумента определяется однозначно.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
Тригонометрическая форма комплексного числа будет иметь вид
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2. Написать в тригонометрической форме комплексное число 13 EMBED Equation.3 1415.

y

z 1


-1 0 x

Рисунок 4
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.

Пусть 13 EMBED Equation.3 1415. Используя формулу Эйлера 13 EMBED Equation.3 1415, получаем так называемую показательную форму записи комплексного числа:
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 3. Представить в показательной форме комплексное число 13 EMBED Equation.3 1415.
y

-1 0
x


z -1
Рисунок 5
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Пример 4. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. По формуле Эйлера 13 EMBED Equation.3 1415.
§1.2 Алгебраические действия над комплексными числам
Сложение и умножение комплексных чисел производится по правилам сложения и умножения алгебраических многочленов с учетом 13 EMBED Equation.3 1415. При записи результата следует отделить действительную часть от мнимой, т. е. собрать отдельно члены, содержащие множитель 13 EMBED Equation.3 1415, и члены, не содержащие множитель 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

В частности, 13 EMBED Equation.3 1415. Операции сложения и вычитания сводятся к сложе- нию и вычитанию векторов, изображающих эти числа. Отсюда расстояние между точками 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 5. 13 EMBED Equation.3 1415 – уравнение окружности с центром в точке 13 EMBED Equation.3 1415 и радиусом равным 13 EMBED Equation.3 1415.
Деление на комплексное число, отличное от нуля, определяется как действие, обратное умножению. Для представления частного в виде
13 EMBED Equation.3 1415
следует провести простые преобразования, показанные на следующем примере.

Пример 6.
13 EMBED Equation.3 1415.
Для модуля и аргумента произведения и частного справедливы следующие утверждения:
1. 13 EMBED Equation.3 1415

Пример 7. Найти модуль и аргумент произведения 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, умножение на 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует повороту вектора 13 EMBED Equation.3 1415 на угол 13 EMBED Equation.3 1415;

2. 13 EMBED Equation.3 1415.

Пусть 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Можно доказать методом полной математической индукции, что для любого целого 13 EMBED Equation.3 1415 (формула Муавра). Формула справедлива и для целых отрицательных 13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 8. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415.

y

13 EMBED Equation.3 1415
0 x

-1 z
Рисунок 7
Решение
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Корнем 13 EMBED Equation.3 1415-й степени из комплексного числа называется такое число 13 EMBED Equation.3 1415, для которого 13 EMBED Equation.3 1415.
Используя формулу Муавра, получим
13 EMBED Equation.3 1415
Для других значений 13 EMBED Equation.3 1415 аргументы будут отличаться от полученных на число кратное 13 EMBED Equation.3 1415, и, следовательно, получатся значения корня, совпадающие с рассмотренными. Итак, корень 13 EMBED Equation.3 1415-й степени из комплексного числа имеет 13 EMBED Equation.3 1415 различных значений.

Пример 9. Найти все значения 13 EMBED Equation.3 1415 и построить их.

y

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
· x
13 EMBED Equation.3 1415
Рисунок 8
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
§1.3 Понятие функции комплексного переменного. Элементарные функции
Говорят, что на множестве 13 EMBED Equation.3 1415 точек плоскости 13 EMBED Equation.3 1415 задана функция 13 EMBED Equation.3 1415, если указан закон, по которому каждой точке 13 EMBED Equation.3 1415 из 13 EMBED Equation.3 1415 ставится в соответствие определенная точка или совокупность точек 13 EMBED Equation.3 1415.
В первом случае функция 13 EMBED Equation.3 1415 называется однозначной, во втором – многозначной. В дальнейшем, если не будет оговорено противное, под функцией будем понимать однозначную функцию.
Если положить 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то задание функции комплексного переменного 13 EMBED Equation.3 1415 будет равносильным заданию двух функций двух действительных переменных: 13 EMBED Equation.3 1415.
Функции комплексного переменного 13 EMBED Equation.3 1415 определяются как суммы следующих рядов, сходящихся на всей комплексной плоскости:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415



На действительной оси 13 EMBED Equation.3 1415 эти функции совпадают с соответствующими элементарными функциями действительного переменного.
Для функции комплексного переменного справедлива формула Эйлера:
13 EMBED Equation.3 1415.
Из этой формулы следует, что

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Остаются справедливыми при комплексных значениях аргумента все тригонометрические тождества.
Основное свойство показательной функции 13 EMBED Equation.3 1415 также сохраняется. В частности,
13 EMBED Equation.3 1415
Функции 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415 – целое положительное число), 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 определяются как обратные функции по отношению к 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.3 1415 и являются многозначными функциями.
Можно показать, что
13 EMBED Equation.3 1415
В этом выражении при каждом фиксированном 13 EMBED Equation.3 1415 получаем однозначные функции, которые называются ветвями, 13 EMBED Equation.3 1415 называется главной ветвью функции 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Степень с комплексным основанием 13 EMBED Equation.3 1415 и комплексным показателем 13 EMBED Equation.3 1415 определяется равенством
13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 1. Вычислить значения функций:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение 13 EMBED Equation.3 1415.
б) 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Или, учитывая, что 13 EMBED Equation.3 1415, получим
13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415.

Решение
13 EMBED Equation.3 1415

Пример 2. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415

Условимся откладывать значения 13 EMBED Equation.3 1415 на одной комплексной плоскости, а значения 13 EMBED Equation.3 1415– на другой. Тогда однозначную функцию комплексного переменного можно рассматривать как отображение множества 13 EMBED Equation.3 1415 плоскости 13 EMBED Equation.3 1415 на множество 13 EMBED Equation.3 1415 плоскости 13 EMBED Equation.3 1415. Если при этом двум различным точкам 13 EMBED Equation.3 1415 всегда соответствуют различные точки 13 EMBED Equation.3 1415, то такое отображение называется взаимно однозначным или однолистным в 13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 3. При отображении 13 EMBED Equation.3 1415 найти образ линии 13 EMBED Equation.3 1415.

Решение. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, исключим 13 EMBED Equation.3 1415 из системы:

13 EMBED Equation.3 1415

где 13 EMBED Equation.3 1415 – уравнение линии в плоскости 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем искомую зависимость, связывающую 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415


Преобразуя уравнение 13 EMBED Equation.3 1415, получим

13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, окружность 13 EMBED Equation.3 1415 в плоскости 13 EMBED Equation.3 1415 отображается в окружность 13 EMBED Equation.3 1415 в плоскости 13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 4. При отображении 13 EMBED Equation.3 1415 найти образ полярной сетки полуплоскости 13 EMBED Equation.3 1415.

Решение
Найдем образы полуокружностей (рис. 8):
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
Образы-окружности 13 EMBED Equation.3 1415 с удаленной точкой 13
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· Рисунок 8

0 x



Найдем образы лучей (рис. 9)
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Образы-лучи с удаленной точкой 13 EMBED Equation.3 1415.

v






Рисунок 9


0 u




Следовательно, образом полярной сетки полуплоскости 13 EMBED Equation.3 1415 является полярная сетка плоскости 13 EMBED Equation.3 1415 с разрезом вдоль положительной полуоси 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 9).

§1.4 Задачи
1.1. Вычислить значения функций:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 в точках 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415 – целое число;
б) 13 EMBED Equation.3 1415 в точках 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415 в точках 13 EMBED Equation.3 1415;
г) 13 EMBED Equation.3 1415 в точках 13 EMBED Equation.3 1415;
д) 13 EMBED Equation.3 1415 в точках 13 EMBED Equation.3 1415;
е) 13 EMBED Equation.3 1415 в точках 13 EMBED Equation.3 1415.
1.2. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
1.3. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415, подсчитав действительную и мнимую части с точностью до 0,0001.
1.4. Вычислить действительные и мнимые части функций: а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415.
1.5. Решить уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415.
1.6. Доказать тождества:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
1.7. Построить на комплексной плоскости образы точки 13 EMBED Equation.3 1415 при отображениях: а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415
1.8. При отображении 13 EMBED Equation.3 1415 найти образ линии 13 EMBED Equation.3 1415
1.9. При отображении 13 EMBED Equation.3 1415 найти образ прямоугольной сетки полуплоскости 13 EMBED Equation.3 1415
1.10. При отображении, осуществляемом функцией Жуковского 13 EMBED Equation.3 1415, найти образ линии 13 EMBED Equation.3 1415
§1.5 Задачи для самостоятельного решения
1.11. Вычислить значения функций:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 в точках 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 в точках 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 в точках 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415 в точках 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415 в точках 13 EMBED Equation.3 1415
е) 13 EMBED Equation.3 1415 в точках 13 EMBED Equation.3 1415
1.12. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
1.13. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415, подсчитав действительную и мнимую части с точностью до 13 EMBED Equation.3 1415.
1.14. Вычислить действительные и мнимые части функций: а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415
1.15. Доказать тождества:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
1.16. При отображении 13 EMBED Equation.3 1415 найти образ линии 13 EMBED Equation.3 1415
1.17. При отображении 13 EMBED Equation.3 1415 найти образ линии 13 EMBED Equation.3 1415
1.18. При отображении 13 EMBED Equation.3 1415 найти прообраз прямоугольной сетки плоскости 13 EMBED Equation.3 1415 с разрезом вдоль положительного направления действительной оси.

§2.1 Производная функции комплексного переменного
Комплексное число 13 EMBED Equation.3 1415 называется пределом функции 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415, стремящемся к 13 EMBED Equation.3 1415, если для любого 13 EMBED Equation.3 1415 существует такое 13 EMBED Equation.3 1415, что как только 13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда следует, что если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415

Верно и обратное утверждение.
Функция 13 EMBED Equation.3 1415 называется непрерывной в точке 13 EMBED Equation.3 1415, если
13 EMBED Equation.3 1415.
Производной функции комплексного переменного 13 EMBED Equation.3 1415 называется
13 EMBED Equation.3 1415
Функция, имеющая производную в точке 13 EMBED Equation.3 1415, называется дифференцируемой в этой точке.
Для дифференцируемости функции комплексного переменного 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 в данной точке необходимо и достаточно, чтобы функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 были дифференцируемы в данной точке и удовлетворяли в этой точке условиям Коши-Римана:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

При этом 13 EMBED Equation.3 1415

Так как основные свойства предельного перехода сохраняются, сохраняются основные правила дифференцирования.
Функция 13 EMBED Equation.3 1415 называется аналитической в области 13 EMBED Equation.3 1415, если она дифференцируема в каждой точке области 13 EMBED Equation.3 1415. Функция 13 EMBED Equation.3 1415 называется аналитической в точке 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, если она аналитична в некоторой ее окрестности.
Элементарные функции в области определения аналитичны и для них справедливы основные формулы дифференцирования; для многозначных функций производные определяются для каждой ветви в отдельности.

Пример 5
Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

Условия Коши-Римана выполняются на всей плоскости, значит, функция дифференцируема на всей плоскости, и ее производная
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 6
Показать, что при 13 EMBED Equation.3 1415 функция 13 EMBED Equation.3 1415 не имеет производных.
Решение
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 равны только при 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 равны только при 13 EMBED Equation.3 1415.
Условия Коши-Римана не выполняются ни в одной точке, кроме 13 EMBED Equation.3 1415.

Замечание. 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415 дифференцируема, но не аналитична в ней, т. к. она не аналитична в окрестности этой точки.
Функция двух действительных переменных 13 EMBED Equation.3 1415, имеющая в области 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывные частные производные второго порядка и удовлетворяющая уравнению Лапласа 13 EMBED Equation.3 1415, называется гармонической в области 13 EMBED Equation.3 1415.
Действительная и мнимая части аналитической в односвязной области 13 EMBED Equation.3 1415 функции 13 EMBED Equation.3 1415 являются гармоническими функциями в области 13 EMBED Equation.3 1415. Для всякой гармонической в односвязной области функции 13 EMBED Equation.3 1415 существует функция 13 EMBED Equation.3 1415, аналитичная в области 13 EMBED Equation.3 1415. Ее мнимая часть 13 EMBED Equation.3 1415 называется функцией, гармонически сопряженной с функцией 13 EMBED Equation.3 1415. Аналогично для всякой гармонической в односвязной области 13 EMBED Equation.3 1415 функции 13 EMBED Equation.3 1415 существует функция 13 EMBED Equation.3 1415, аналитическая в области 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 7
Найти аналитическую функцию 13 EMBED Equation.3 1415, если
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Функция 13 EMBED Equation.3 1415 является гармонической. Действительно,
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Из условий Коши-Римана следует, что
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Так как 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Если аналитическая в области 13 EMBED Equation.3 1415 функция 13 EMBED Equation.3 1415 отображает эту область на область 13 EMBED Equation.3 1415 плоскости 13 EMBED Equation.3 1415, причем всюду в области 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 равен коэффициенту растяжения, происходящему при этом отображении в точке 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415 равен углу поворота каждой из гладких линий, проходящих через точку 13 EMBED Equation.3 1415, при том же отображении.

Пример 8. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Коэффициент растяжения
13 EMBED Equation.3 1415

угол поворота 13 EMBED Equation.3 1415

§2.2 Задачи

2.1. Проверить выполнение условий Коши-Римана для следующих функций:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415

2.2. Показать, что при 13 EMBED Equation.3 1415 функция 13 EMBED Equation.3 1415 не имеет производных.
2.3. Будет ли дифференцируемой функция 13 EMBED Equation.3 1415
2.4. Найти область, в которой функция 13 EMBED Equation.3 1415 будет аналитической.
2.5. Определить вещественные функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 так, чтобы функция 13 EMBED Equation.3 1415 была дифференцируемой.
2.6. Найти аналитическую функцию 13 EMBED Equation.3 1415, если
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
2.7. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении
13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415: а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.8. Найти линии равного растяжения и линии равного угла поворота для отображений: а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415.
2.9. Выяснить геометрический смысл производной линейной функции 13 EMBED Equation.3 1415. При отображениях 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 найти образ квадрата: 13 EMBED Equation.3 1415


§2.3 Задачи для самостоятельного решения
2.10. Будет ли дифференцируемой функция 13 EMBED Equation.3 1415
2.11. Показать, что функция 13 EMBED Equation.3 1415 дифференцируема и найти ее производную.
2.12. При каком значении 13 EMBED Equation.3 1415 функция 13 EMBED Equation.3 1415 дифференцируема?
2.13. При каком значении 13 EMBED Equation.3 1415 функция 13 EMBED Equation.3 1415 дифференцируема?
2.14. Найти аналитическую функцию 13 EMBED Equation.3 1415, если
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415.
2.15. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении 13 EMBED Equation.3 1415:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 в точках 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 в точках 13 EMBED Equation.3 1415.

§3.1 Ответы на задачи для самостоятельного решения

1.1. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415

д) 13 EMBED Equation.3 1415

е) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

1.2. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

1.3. 13 EMBED Equation.3 1415


1.4. а) 13 EMBED Equation.3 1415

б) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

в) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

1.5. 13 EMBED Equation.3 1415
1.8. 13 EMBED Equation.3 1415

1.9. Образом являются два семейства парабол с общим фокусом в начале координат и с осями, совпадающими с действительной осью.

1.10. 13 EMBED Equation.3 1415

1.11. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

в) 13 EMBED Equation.3 1415

г) 13 EMBED Equation.3 1415

д) 13 EMBED Equation.3 1415 е) 13 EMBED Equation.3 1415

1.12. 13 EMBED Equation.3 1415
1.13. 13 EMBED Equation.3 1415

1.14. а) 13 EMBED Equation.3 1415

б) 13 EMBED Equation.3 1415

в) 13 EMBED Equation.3 1415

1.16. 13 EMBED Equation.3 1415
1.17. 13 EMBED Equation.3 1415


1.18. Прообразом являются два семейства равнобочных гипербол. У одного семейства асимптоты есть биссектрисы координатных углов, а у другого асимптотами служат оси 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.

2.3. Нет.


2.4. Функция аналитическая при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
и при 13 EMBED Equation.3 1415

2.5. 13 EMBED Equation.3 1415

2.6. а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415

2.7. а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415

2.8. а)13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

б) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

2.9. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

2.10. Нет.
2.11. 13 EMBED Equation.3 1415
2.12. 13 EMBED Equation.3 1415
2.13. 13 EMBED Equation.3 1415

2.14. а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415

2.15. а) 13 EMBED Equation.3 1415

б) 13 EMBED Equation.3 1415


§4.1 Задачи контрольной работы
Задача 1
Выполнить указанные действия:
1.
13 EMBED Equation.3 1415;
2.
13 EMBED Equation.3 1415;


3.
13 EMBED Equation.3 1415;
4.
13 EMBED Equation.3 1415;


5.
13 EMBED Equation.3 1415;

6.
13 EMBED Equation.3 1415;

7.
13 EMBED Equation.3 1415;
8.
13 EMBED Equation.3 1415;


9.
13 EMBED Equation.3 1415;
10.
13 EMBED Equation.3 1415;


11.
13 EMBED Equation.3 1415;
12.
13 EMBED Equation.3 1415;


13.
13 EMBED Equation.3 1415;
14.
13 EMBED Equation.3 1415;


15.
13 EMBED Equation.3 1415;
16.
13 EMBED Equation.3 1415;


17.
13 EMBED Equation.3 1415;

18.
13 EMBED Equation.3 1415;


19.
13 EMBED Equation.3 1415;
20.
13 EMBED Equation.3 1415;


21.
13 EMBED Equation.3 1415;
22.
13 EMBED Equation.3 1415;


23.
13 EMBED Equation.3 1415;

24.
13 EMBED Equation.3 1415;

25.
13 EMBED Equation.3 1415;
26.
13 EMBED Equation.3 1415;


27.
13 EMBED Equation.3 1415;
28.
13 EMBED Equation.3 1415;


29.
13 EMBED Equation.3 1415;
30.
13 EMBED Equation.3 1415.


Задача 2
Представить комплексное число в тригонометрической форме:
1.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
2.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
3.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

4.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
5.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
6.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

7.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
8.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
9.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

10.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
11.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
12.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

13.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
14.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
15.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

16.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
17.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
18.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

19.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
20.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
21.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

22.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
23.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
24.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

25.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
26.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
27.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

28.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
29.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
30.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


Задача 3
Вычислить корень:
1.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
2.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
3.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

4.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
5.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
6.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

7.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
8.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
9.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

10.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
11.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

Решить уравнение:

12.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
14.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

15.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
16.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
17.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

18.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
19.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
20.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

21.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
22.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
23.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

24.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
25.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
26.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

27.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
28.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
29.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

30.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


Задача 4
Представить число в показательной форме:
1.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
2.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
3.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

4.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
5.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
6.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

7.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
8.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
9.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

10.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
11.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
12.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

13.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
14.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
15.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

16.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
17.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
18.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

19.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
20.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
21.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

22.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
23.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
24.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

25.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
26.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
27.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

28.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
29.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
30.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.



Задача 5
Определить и построить множество точек, удовлетворяющих данным уравнениям или неравенствам:
1.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
2.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
3.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

4.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
5.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
6.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

7.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
8.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
9.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

10.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
11.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
12.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

13.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
14.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
15.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

16.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
17.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
18.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

19.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
20.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
21.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

22.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
23.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
24.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

25.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
26.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
27.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

28.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
29.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
30.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.



Задача 6
Найти действительную и мнимую части:
1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
5. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
6. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

7. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
8. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
9. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

10. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
11. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
12. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

13. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
14. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
15. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

16. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
17. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
18. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

19. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
20. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
21. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

22. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
23. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
24. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

25. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
26. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
27. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

28. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
29. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
30. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.



Задача 7

Найти аналитическую функцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 по следующим данным, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

5. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
6. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

7. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
8. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

9. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
10. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

11. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
12. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

13. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
14. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

15. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
16. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

17. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
18. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

19. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
20. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

21. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
22. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

23. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
24. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

25. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
26. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

27. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
28. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

29. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
30. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


Литература

1. Арамович И. Г., Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1968. 41 с.
2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 19685. 464 с.
3. Ефимов А. В. Математический анализ (специальные разделы). Общие функциональные ряды и их приложение. М.: Высш. школа, 1980. 279 с.
4. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1981. 302 с.
5. Лаврентьев М. А., Шабаш Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.
6. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1979. 320 с.
7. Веснина А.А. Хаустова Н.М. Теория функций комплексной переменной. // Омск.- Методические указания, ОмГТУ.- 2005.- 68С.



Содержание
13 TOC \o "1-3" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc305682825" 14§1.1 Комплексные числа и действия над ними 13 PAGEREF _Toc305682825 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc305682826" 14§1.2 Алгебраические действия над комплексными числам 13 PAGEREF _Toc305682826 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc305682827" 14§1.3 Понятие функции комплексного переменного. Элементарные функции 13 PAGEREF _Toc305682827 \h 1481515
13 LINK \l "_Toc305682828" 14§1.4 Задачи 13 PAGEREF _Toc305682828 \h 14131515
13 LINK \l "_Toc305682829" 14§1.5 Задачи для самостоятельного решения 13 PAGEREF _Toc305682829 \h 14131515
13 LINK \l "_Toc305682830" 14§2.1 Производная функции комплексного переменного 13 PAGEREF _Toc305682830 \h 14141515
13 LINK \l "_Toc305682831" 14§2.2 Задачи 13 PAGEREF _Toc305682831 \h 14181515
13 LINK \l "_Toc305682832" 14§2.3 Задачи для самостоятельного решения 13 PAGEREF _Toc305682832 \h 14191515
13 LINK \l "_Toc305682833" 14§3.1 Ответы на задачи для самостоятельного решения 13 PAGEREF _Toc305682833 \h 14191515
13 LINK \l "_Toc305682834" 14§4.1 Задачи контрольной работы 13 PAGEREF _Toc305682834 \h 14231515
13 LINK \l "_Toc305682835" 14Литература 13 PAGEREF _Toc305682835 \h 14291515
13 LINK \l "_Toc305682836" 14Содержание 13 PAGEREF _Toc305682836 \h 14301515
15










13PAGE 15


13PAGE 14215




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native,Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native2Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeoEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativelEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativecEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native(Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native