исследование физических явлений в Exctl
ИССЛЕДОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ EXCEL
Аннотация
Пособие содержит примеры использования Excel для исследования физических явлений и законов, выяснения границ применимости физических понятий и величин.
Для поиска данных приведенных расчетов использовались справочники и учебники физики, физическая энциклопедия.
Пособие окажется полезным ученикам старших классов и студентам, изучающим физику.
Введение
Специфика новой системы образования должна проявляться в ее способности не только вооружать знаниями обучающегося, но и формировать потребность в непрерывном самостоятельном овладении ими, развивать умения и навыки самообразования. Речь идет о таких знаниях, которые, во-первых, способны формировать широкий, целостный, энциклопедический взгляд на современный мир и место человека в этом мире; во-вторых, позволяют преодолеть предметную разобщенность и изолированность.
Исследования психологов позволяют утверждать, что чем больше своего труда вкладывает ученик в познавание темы, тем лучше он в ней разбирается, лучше запоминает.
Физика наука экспериментальная : все физическое знание добыто в конечном итоге из опыта, а не путем чистых размышлений. Для того, чтобы сформулировать самый простой физический закон, необходимо абстрагироваться от тех черт предмета или явления, которые несущественны или кажутся таковыми исследователю, то есть создать физическую модель. Без модели невозможно ничего объяснить, обобщить, понять сущность чего бы то ни было. Без модели нет теории, и от науки останется лишь набор бессвязных и никак не объясняемых фактов. Формирование знаний лишь тогда оказывается плодотворным, когда осуществляется в неразрывной связи с выработкой учебно-познавательных умений.
Уметь добывать и использовать информацию, создавать и работать с простейшими моделями, понимать пределы их применимости поможет использование компьютера.
кинематика
Использование электронных таблиц позволяет проводить элементарные исследования движений.
Пример1: На лодке переправляются через реку: скорость течение реки максимальна по середине реки и минимальна у берегов. Построить траекторию движения лодки в зависимости от скорости ее движения, от скорости течения и ширины реки.
Разобьем ширину реки на несколько участков и будем считать, что скорость изменяется скачком при переходе от участка к участку. Изменяя число участков, задавая разные значения скорости лодки и течения, можем видеть и изменение траектории движения.
Вот пример: ширина реки 5 км, скорость лодки относительно воды 3 км/час, максимальная скорость течения 4 км/час. Ширина реки разбита на 12 участков.
скорость движения лодки км/ч 3
максимальная скорость течения реки км/ч 4
ширина реки, км5
изменение скорости течения при переходе к другому участку 0,667
время прохождения участка реки 0,152
число участков 12
№ участка скорость течения текущий снос накопленный снос
1 0,667 0,10 0,101 2 1,333 0,20 0,303 3 2,000 0,30 0,606 4 2,667 0,40 1,010 5715066675
5
3,333 0,51 1,515 6 4,000 0,61 2,121 7 3,333 0,51 2,626 8 2,667 0,40 3,030 9 2,000 0,30 3,333 10 1,333 0,20 3,535 11 0,667 0,10 3,636 12 0,000 0,00 3,636 Пример 2. Неравномерное движение. Движение называется неравномерным, если за какие-либо равные промежутки времени проходит пути разной длины.
Мгновенной скоростью переменного движения называется такая скорость, с которой двигалось бы тело, если бы, начиная с данного мгновения, его движение стало бы равномерным.
Средней скоростью переменного движения называется скорость такого равномерного движения, при котором тело проходит такой же путь за то же время.
Среднюю скорость очень часто определяют как среднее арифметическое. Для более четкого их разделения полезно провести следующий расчет:
Катеру необходимо проехать из города А в город В и обратно по озеру и по реке. Сравнить время движения в обеих случаях.
Время движения по реке определится соотношением по озеру
В Excel исследуем зависимости при разных значениях скорости
Формулы введены следующим образом: в ячейку D2↔ =A2/(B2-C2)+A2/(B2+C2), в ячейку E2↔ =2*A2/B2, в ячейку F2↔ =D2-E2, в ячейку G2↔ =F2/60. Формулы размножены до 8 строки.
расстояние VкатераVрекиtв реке tв озере Δt Δtминут 500 8 2 133,33 125,00 8,33 0,14 3000 8 2 800,00 750,00 50,00 0,83 10000 8 2 2666,67 2500,00 166,67 2,78 3000 8 6 1714,29 750,00 964,29 16,07 10000 8 6 5714,29 2500,00 3214,29 53,57 10000 8 7 10666,6 2500,00 8166,67 136,11 Особенно резко отличаются значения времени движения по реке и озеру при близких по значению скоростей катера и течения. В предельном случае, когда значения скоростей будут одинаковы, катер против течения двигаться не сможет, т.е. время движения станет бесконечно большим.
Ускоренное движение
Для определения путей, проходимых телом в последовательные, равные промежутки времени при ускоренном движении введем в ячейку первого столбца величину ускорения, в третьем столбце будем определять путь,
пройденный телом за t секунд, в следующем – за t + 1 секунд. В следующем определим разность пройденных расстояний и, наконец, вычислим отношение разности пройденных расстояний к пути, пройденному за первую секунду
Ускорение T с St м St+1 м ∆S м ∆S/S1
6 0 0 3 3 1
1 3 12 9 3
165108890
2 12 27 15 5
3 27 48 21 7
4 48 75 27 9
5 75 108 33 11
6 108 147 39 13
7 147 192 45 15
8 192 243 51 17
9 243 300 57 19
10 300 363 63 21
11 363 432 69 23
12 432 507 75 25
13 507 588 81 27
14 588 675 87 29
15 675 768 93 31
16 768 867 99 33
Меняя значение ускорения, убеждаемся в том, что пути, проходимые телом за последовательные равные промежутки времени, относятся как нечетные числа.
Используем полученные соотношения : определить пути, пройденные свободно падающим телом за 5-ю, 7-ю, 12-ю секунды. Значение нечетного числа можно вычислить по формуле 2n-1. Тогда 5-е =9, 7-е =13, 12-е = 23, и значения получаем умножением полученного значения на 4,9: за 5-ю – 44,1; за 7-ю – 63,7; за 12-ю – 112,7.
Проверим : в подставим 5, получаем 122,5 за 4 – 78,4, значит за пятую 122,5 – 78,4 = 44,1. Аналогично можно проверить и другие ответы.
Движение в жидкости и газе
Сопротивление при движении в жидкости и газах можно определить по закону Стокса , где ɳ - динамическая вязкость, v – скорость .Определим максимальную скорость падения капли воды в воздухе.
Движение станет равномерным, когда сила тяжести станет равной силе сопротивления. Сила тяжести капли воды . Подставляя в формулу Стока, получим . Вычислим постоянные величины (кг/(м2с2), коэффициент вязкости воздуха ɳ = 1,84ˑ10-5 кг/(мˑс) Проведем расчеты для капель разных радиусов.
R ɳ kV
0,001 1,84E-05 2177,8 1,18E+02
0,01 1,18E+04
0,1 1,18E+06
Для измерения коэффициента вязкости жидкости измеряют скорость установившегося (т.е. равномерного) падения шарика в мензурке с делениями. Чтобы определить, из какого материала и какого размера шарик начинает двигаться равномерно через сколько времени, полезно провести расчеты в Excel.
Если частицы падают в вязкой жидкости под действием собственного веса, то установившаяся скорость достигается, когда эта сила трения совместно с силой Архимеда точно уравновешиваются силой гравитации. Результирующая скорость равна
Частица движется вниз если , и вверх в случае ), Vs - установившаяся скорость частицы (м/с), - радиус Стокса частицы (м), g - ускорение свободного падения (м/с²), ρp — плотность частиц (кг/м³), ρf - плотность жидкости (кг/м³), - динамическая вязкость жидкости (Па с).
roTroVR V V2 V3
1000 1,2 0,001 0,126463 1,480889 0,209067
7800 1000 0,002 0,505852 5,923556 0,836267
2700 1260 0,003 1,138167 13,328 1,8816
20955095250
0,004 2,023409 23,69422 3,345067
0,005 3,161576 37,02222 5,226667
0,006 4,55267 53,312 7,5264
0,007 6,196689 72,56356 10,24427
0,008 8,093635 94,77689 13,38027
0,009 10,24351 119,952 16,9344
0,01 12,6463 148,0889 20,90667
0,011 15,30203 179,1876 25,29707
0,012 18,21068 213,248 30,1056
0,013 21,37226 250,2702 35,33227
0,014 24,78676 290,2542 40,97707
0,015 28,45419 333,2 47,04
0,016 32,37454 379,1076 53,52107
0,017 36,54782 427,9769 60,42027
0,018 40,97403 479,808 67,7376
0,019 45,65316 534,6009 75,47307
0,02 50,58522 592,3556 83,62667
Сопротивление воздуха движению автомобиля
При полете тело «заметает» воздух массой , где ρ – плотность воздуха, который получает вследствие этого энергию E=m V2/ 2. Силу сопротивления можно определить по формуле
Fv = cx·S·v2·ρ/2,
где S – площадь фронтальной проекции автомобиля, м2; v – скорость движения автомобиля относительно воздуха, м/с; ρ – плотность воздуха, кг/м3; cх – коэффициент аэродинамического сопротивления.
Коэффициенты сопротивления возьмем 0,3 для легкового, 0,6 – автобуса и 0,8 – для грузового автомобиля. Средние сечения: легковой 2,7 м2 и 7,8 для автобуса и легкового автомобиля. Расчеты видны в таблице:
V roSxS F1 F2 F3
1 1,29 0,3 2,7 0,52245 2,6316 4,0248
2 0,6 6,8 2,0898 10,5264 16,0992
3 0,8 7,8 4,70205 23,6844 36,2232
4 8,3592 42,1056 64,3968
161925123825
5
13,06125 65,79 100,62
6 18,8082 94,7376 144,8928
7 25,60005 128,9484 197,2152
8 33,4368 168,4224 257,5872
9 42,31845 213,1596 326,0088
10 52,245 263,16 402,48
11 63,21645 318,4236 487,0008
12 75,2328 378,9504 579,5712
13 88,29405 444,7404 680,1912
14 102,4002 515,7936 788,8608
15 117,5513 592,11 905,58
16 133,7472 673,6896 1030,349
17 150,9881 760,5324 1163,167
18 169,2738 852,6384 1304,035
19 188,6045 950,0076 1452,953
20 208,98 1052,64 1609,92
21 230,4005 1160,536 1774,937
22 252,8658 1273,694 1948,003
При скорости движения 100 км/ч сила сопротивления по сравнению с слой сопротивления при скорости 40 км/ч увеличивается в 8 раз, при скорости 180 км/ч – в 30 раз.
Мощность двигателя, необходимая для преодоления аэродинамического сопротивления, пропорциональна, следовательно, кубу скорости:
Nv = Fv·v/3600 (кВт),
где v — относительная скорость движения автомобиля, км/ч., и мощность в киловатт часах
V roSxS P1 P2 P3
1 1,29 0,3 2,7 0,00029 0,00172 0,002236
2 0,6 8 0,002322 0,01376 0,017888
3 0,8 7,8 0,007837 0,04644 0,060372
4 0,018576 0,11008 0,143104
342901219205 0,036281 0,215 0,2795
6 0,062694 0,37152 0,482976
7 0,099556 0,58996 0,766948
8
0,148608 0,88064 1,144832
9 0,211592 1,25388 1,630044
10 0,29025 1,72 2,236
11 0,386323 2,28932 2,976116
12 0,501552 2,97216 3,863808
13 0,637679 3,77884 4,912492
14 0,796446 4,71968 6,135584
15 0,979594 5,805 7,5465
16 1,188864 7,04512 9,158656
17 1,425998 8,45036 10,98547
18 1,692738 10,03104 13,04035
19 1,990825 11,79748 15,33672
20 2,322 13,76 17,888
При увеличении скорости необходимая мощность двигателя возрастает в 140 раз при увеличении скорости от 40 км/ч до 180 км/ч .Траектория полета тела, брошенного под углом к горизонту
Исследуем для скорости 74 м/с и углов 30о, 45о и 60о
xV0 αград αрад y1 y2 y3
1 74 30 0,523599 0,576157 0,99821 1,728472
5334011239511 45 0,785398 6,20649 10,78346 18,61947
21 60 1,047198 11,59821 20,21077 34,79462
31 16,7513 29,28017 50,25391
41 21,66579 37,99164 64,99736
51 26,34165 46,34518 79,02495
61
30,7789 54,3408 92,33669
71 5905583820 34,97753 61,97849 104,9326
81 38,93754 69,25825 116,8126
91 42,65894 76,18009 127,9768
Исследование гравитационного взаимодействия
Численные расчеты гравитационных взаимодействий без вычислительной техники требуют достаточно много времени и потому редко выполнялись на уроках физики. Использование Excel позволяет рассмотреть несколько интересных примеров.
Задание № 1. Определите ускорение свободного падения на разных широтах Земного шара.
-34290079375
На поверхности Земли тела удерживаются силой тяготения , где М – масса Земли, R – ее радиус. Любая точка поверхности земного шара, лежащая на географической широте φ, движется по кругу радиуса r = R Cos φ с центростремительным ускорением ω2R Cos φ. Это ускорение сообщается составляющей силы тяготения ОG (Рис.1). Вторая составляющая ОС – вес тела. Для всех точек земной поверхности, не принадлежащих экватору и полюсам, вектор веса тела не направлен к центру Земли.
Разложим силу ОС на две: направленную вдоль радиуса OD и по касательной ОВ.
Вращение Земли приводит к двум фактам. Во-первых, вес (давление тела на Землю) стал меньше силы тяготения. Так как ОС ≈ OD, то это уменьшение равно DE = mR ω2 Cos2 φ.
Во-вторых, возникает сила, стремящаяся расплющить Землю, передвинуть вещество к экватору; эта сила ОВ = mR ω2 Cos φ Sin φ , и Земля имеет не форму шара, а форму, близкую к эллипсоиду вращения. Сила тяжести на широте φ будет mg - m ω2 R Cos2 φ . Ускорение свободного падения определяем по формуле g = , центростремительное ускорение - a = R ω2 Cos2 φ , и ускорение свободного падения на широте φ определится - g - а .Проведем расчеты в Excel:
M- Земли R- Земли ω G gφ φ1 ag-a5,97E+24 6,38E+06 7,27E-05 6,67E-11 9,79E+00 0 0 0,033741 9,751894
10 0,174533 0,033228 9,752407
20 0,349066 0,031706 9,753929
30 0,523599 0,02922 9,756415
40 0,698132 0,025847 9,759788
50 0,872665 0,021688 9,763947
60 1,047198 0,01687 9,768765
70 1,22173 0,01154 9,774095
80 1,396263 0,005859 9,779776
90 1,570796 2,07E-18 9,785635
Масса Земли, радиус, гравитационная постоянная введены в ячейки А2, В2 и D2 ; в ячейки столбца F введены значения углов в градусах. Формулы : в ячейке G2 - =РАДИАНЫ(F2), угловая скорость ω определена - =2*ПИ()/(24*3600), ускорение свободного падения g - = D2*A2/B2^2. Уменьшение ускорения на разных широтах определено в ячейках столбца Н - H2 - = $C$2^2*$B$2*(COS(G2))^2, в I2 - = $E$2 – H2. Все формулы размножены до 11 строки. Формат ячеек столбцов F, G , Н, I – общий, ячеек - A, B, C,D, E - экспоненциальный.
Задание № 2. Используя полученные данные определите дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, на разных широтах Земного шара.
α
VyVxV
Время полета и дальность
угол скорость широта g-aдальность
0,785 70,00 0 9,751894 502,4663
10 9,752407 502,4399
20 9,753929 502,3615
30 9,756415 502,2335
40 9,759788 502,0599
50 9,763947 501,8461
60 9,768765 501,5986
70 9,774095 501,325
80 9,779776 501,0338
90 9,785635 500,7338
Задан угол 45о и скорость 70 м/с. В столбец D скопированы данные предыдущей таблицы, в ячейку Е2 записана формула =$B$2^2*Sin(2*$A$2)/D2
Комментируя полученные результаты вычислений, обращаем внимание учащихся на необходимость округления до трех значащих цифр.
Траектории полета на разных широтах выглядят так:
xav0 gy1 y2 y3
0 0,785398 73 9,752 0 0 0
10 9,759 9,817001 9,81687 9,816382
20 9,785 19,26801 19,26748 19,26553
30 28,35301 28,35183 28,34744
40 37,07202 37,06992 37,06211
50 45,42503 45,42175 45,40955
1714500
60
53,41205 53,40732 53,38975
70 61,03306 61,02663 61,00272
80 68,28808 68,27968 68,24845
90 75,17711 75,16647 75,12695
100 81,70013 81,687 81,63821
110 87,85716 87,84126 87,78223
120 93,64819 93,62927 93,55902
130 99,07322 99,05102 98,96857
140 104,1323 104,1065 104,0109
150 108,8253 108,7957 108,686
160 113,1523 113,1187 112,9938
170 117,1134 117,0754 116,9344
180 120,7084 120,6659 120,5078
190 123,9375 123,8901 123,7139
200 126,8005 126,748 126,5528
210 129,2976 129,2397 129,0245
Задание 3. Определите ускорение свободного падения и первую космическую скорость на разных высотах над поверхностью Земли.
G M R R+hghVhVk1 6,67E-11 5,97E+24 6,38E+06 6,38E+06 9,786 7901,414 7,901
2 1,28E+07 2,446 5587,144 5,587
3 1,91E+07 1,087 4561,884 4,562
4 2,55E+07 0,612 3950,707 3,951
5 3,19E+07 0,391 3533,620 3,534
6 3,83E+07 0,272 3225,739 3,226
7 4,47E+07 0,200 2986,454 2,986
8 5,10E+07 0,153 2793,572 2,794
9 5,74E+07 0,121 2633,805 2,634
10 6,38E+07 0,098 2498,647 2,499
Высоты обозначены R+h, gh – ускорение на высоте R+h, первая космическая скорость на высоте R+h обозначена Vh, Vk – значение первой космической скорости в км/с.
Ускорение определяем по формуле , а скорость
Формулы введены так: в ячейку Е3 - =Е2+6,38Е+06, в F2 - =$B$2*$C$2/E2^2, в G2 - =КОРЕНЬ($B$2*$C$2/E2), в H2 - =G2/1000 для выражения скорости в км/с.
Задание № 4. Определите скорость движения планет на орбитах и период их вращения вокруг Солнца..Сравнивая выражения центростремительного ускорения и силу всемирного тяготения , из второго закона Ньютона получаем
Планета расстояние до Солнца (м) масса Солнца G V скорость период Период в годах
Меркурий 5,79E+10 2,00E+30 6,67E-11 47999,71 7,58E+06 0,241 3,38E+18
Венера 1,08E+11 35112,7 1,94E+07 0,615 3,38E+18
Земля 1,50E+11 29861,53 3,15E+07 1,000 3,38E+18
Марс 2,28E+11 24193,89 5,92E+07 1,880 3,38E+18
Юпитер 7,78E+12 4140,039 1,18E+10 375,252 3,38E+18
Сатурн 1,43E+12 9668,652 9,27E+08 29,460 3,38E+18
Уран 2,87E+12 6818,874 2,64E+09 83,984 3,38E+18
Нептун 4,50E+12 5447,093 5,19E+09 164,756 3,38E+18
Плутон 5,90E+12 4755,015 7,80E+09 247,674 3,38E+18
В ячейку Е2 записана формула =КОРЕНЬ($D$2*$C$2/B2), в ячейке F2- =2*ПИ()*В2/Е2. Чтобы периоды выразить в годах в ячейке G2 записано - = F2/$F$4Для убеждения в том, что результаты вычисления соответствуют законам природы, в столбце Н проверим выполнение закона Кеплера , для чего в ячейку H2 введем формулу =B2^3/F2^2 Формулы размножим до десятой строки.
планета масса R V T T/TзМеркурий 3,30E+23 5,80E+10 47958,315 87,95 0,2 Венера 4,90E+24 1,08E+11 35145,201 223,47 0,6 Земля 2,00E+30 1,50E+11 29821,692 365,78 1,0 Марс 6,40E+23 2,28E+11 24188,587 685,47 1,9 Юпитер 1,90E+27 7,80E+11 13077,677 4337,41 11,9 Сатурн 5,70E+26 1,43E+12 9658,505 10766,94 29,4 Уран 8,70E+25 2,87E+12 6817,686 30613,36 83,7 Нептун 1,00E+26 4,50E+12 5444,671 60104,50 164,3 Плутон 5,00E+24 5,90E+12 4755,015 90233,17 246,7 15240076200
Для закрепления умений предлагаем задания: используя справочные данные определите плотности планет, ускорение свободного падения и дальность полета на планетах, постройте сравнительные диаграммы размеров планет, расстояний их до Солнца.
Исследование столкновений
Закон сохранения импульса впервые сформулировал Декарт. Он формулирует его так: «если одно тело сталкивается с другим, оно не может сообщить ему никакого другого движения, кроме того, которое потеряет во время этого столкновения, как не может и отнять у него больше, чем одновременно приобретет само» (Декарт Р. Избранные произведения.- М. Изд-во полит. Лит.1950.). Ньютон сформулировал второй закон динамики через количество движения (mv) «Изменение количества движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует» . (Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Перевод с латинского и комментарии А.Н.Крылова. (М.: Наука, 1989.) Гюйгенс, рассматривая соударение тел в движущихся системах отсчета, пришел к принципу относительности .Термин «количество движения» просуществовал вплоть до недавнего времени и лишь недавно был заменен понятием «импульс тела». Импульсом тела называется произведение его массы на скорость , а импульсом системы - геометрическая сумма импульсов отдельных тел, входящих в систему: . Из второго и третьего законов следует постоянство векторной суммы количества движения тел, образующих замкнутую систему.
Открытие различных элементарных частиц и исследование процессов их столкновения и превращения, разработка теории реактивного движения, заставили ученых взглянуть на этот закон с иной точки зрения и сделать переоценку его значения в процессе познания. Сейчас он считается универсальным законом природы, не имеющим исключений. Не обнаружено ни одного явления ни в микромире, ни в макромире, где бы этот закон нарушался.
Закон сохранения импульса широко применяется при расчетах столкновений элементарных частиц, макроскопических тел, отдачи при выстреле и реактивной силы, создаваемой ракетным двигателем.
Ударом называется явление конечного изменения скоростей твердых тел за весьма малый промежуток времени τ, происходящее при их столкновениях. В процессе деформации тел при ударе возникают мгновенные (ударные) силы, величина которых весьма значительна. Для системы соударяющихся тел мгновенные силы являются внутренними силами. Их импульсы за время τ продолжительности удара во много раз больше импульсов всех внешних сил, приложенных к системе. Поэтому в процессе удара влиянием внешних сил можно пренебречь.
Удар называется прямым, если скорости центров инерции соударяющихся тел перед ударом параллельны линии удара. Удар называется центральным, если при ударе центры инерции соударяющихся тел лежат на линии удара.
Пример 1. Центральный абсолютно упругий удар (упругое столкновение). Ударом называется явление изменения скоростей тел за очень малый промежуток времени их столкновения. Удар называется абсолютно упругим, если в результате взаимодействия механическая энергия системы не изменяется. Удар называется центральным , если скорости тел до удара направлены вдоль линии, соединяющей центры масс тел.
U2
U1
m2
m1
m2
V2
V1
m1
Два шара с массами m1 и m2 движутся поступательно вдоль горизонтальной прямой со скоростями V1 и V2 .Требуется определить скорости шаров U1 и U2 после абсолютно упругого удара.
Закон сохранения проекции импульсов на горизонтальную ось запишется
m1V1 + m2V2 = m1U1 + m2U2
Закон сохранения энергии
Решая совместно эти уравнения, получим
и
Исследуем полученные уравнения с помощью Excel
m1 m2 V1 V2 U1 U2 5 40 10 2 -4,22222 3,777778 10 -2,8 5,2 15 -1,63636 6,363636 20 -0,66667 7,333333 25 0,153846 8,153846 30 0,857143 8,857143 35 1,466667 9,466667 40 2 10 45 2,470588 10,47059 50 2,888889 10,88889 55 3,263158 11,26316 60 3,6 11,6 65 3,904762 11,90476 70 4,181818 12,18182 75 4,434783 12,43478 80 4,666667 12,66667 В ячейке b3 введена формула =b2+5, в c2 – m2, d2 – V1, e2 – V2, f2 – формула =((b2-$c$2)*$d$2+2*$c$2*$e$2)/(b2+$c$2),
в ячейки g2 - =(($c$2-b2)*$e$2+2*b2*$d$2)/(b2+$c$2). Формулы размножены до 20 строки.
Видно, что если шары имеют одинаковые массы, то в результате упругого удара обмениваются скоростями.
Если второй шар до удара покоился (V2 = 0), то
и
m1 m2 V1 V2 U1 U2
5 40 10 0 -7,77778 2,222222
10 -6 4
15 -4,54545 5,454545
20 -3,33333 6,666667
25 -2,30769 7,692308
30 -1,42857 8,571429
35 -0,66667 9,333333
40 0 10
45 0,588235 10,58824
50
1,111111 11,11111
55 1,578947 11,57895
60 2 12
65 2,380952 12,38095
70 2,727273 12,72727
75 3,043478 13,04348
80 3,333333 13,33333
85 3,6 13,6
90 3,846154 13,84615
95 4,074074 14,07407
100 4,285714 14,28571
При m1> m2 первый шар после удара движется вправо, но с меньшей скоростью, при m1 < m2 первый шар движется влево, при равных массах шары обмениваются скоростью.
Пример 2. Центральный абсолютно неупругий удар (неупругое столкновение) двух шаров. При абсолютно неупругом ударе между телами действуют не потенциальные силы, и после удара тела движутся как одно целое с общей скоростью.
Пусть скорости поступательного горизонтального движения шаров с массами m1 и m2 до удара были соответственно равны V1 и V2 , а после удара их общая скорость равна U.
X
U
V2
V1
m2
m1
Воспользовавшись законом сохранения импульсов с учетом направления векторов скорости и оси Х , запишем уравнение
m1V1 + m2V2 = (m1 + m2) U.
Откуда
Кинетическая энергия шаров до удара , после удара . Уменьшение механической энергии системы сопровождается возрастанием внутренней энергии – выделяется тепло Q = Eo – Ek . Выражение называют ударный импульс. Определим и отношение выделенной энергии к начальной
Проведем исследование в Excel
A B C D E F G H I J K
1 m1 m2 V1 V2 U S E0 EkQ k 2 2 20 10 -12 -10 40 1540 1100 440 0,285714
3 4 -8,33333 73,33333 1640 833,3333 806,6667 0,49187
4
5
6 6 -6,92308 101,5385 1740 623,0769 1116,923 0,64191
7 8 -5,71429 125,7143 1840 457,1429 1382,857 0,751553
Проведем исследование в Excel
A B C D E F G H I J K
1 m1 m2 V1 V2 U S E0 EkQ k 2 2 20 10 -12 -10 40 1540 1100 440 0,285714
3 4 -8,33333 73,33333 1640 833,3333 806,6667 0,49187
4
5
6 6 -6,92308 101,5385 1740 623,0769 1116,923 0,64191
7 8 -5,71429 125,7143 1840 457,1429 1382,857 0,751553
8 10 -4,66667 146,6667 1940 326,6667 1613,333 0,831615
9 12 -3,75 165 2040 225 1815 0,889706
10 14 -2,94118 181,1765 2140 147,0588 1992,941 0,931281
11 16 -2,22222 195,5556 2240 88,88889 2151,111 0,960317
12 18 -1,57895 208,4211 2340 47,36842 2292,632 0,979757
13 20 -1 220 2440 20 2420 0,991803
14 22 -0,47619 230,4762 2540 4,761905 2535,238 0,998125
15 24 0 240 2640 0 2640 1
16 26 0,434783 248,6957 2740 4,347826 2735,652 0,998413
17 28 0,833333 256,6667 2840 16,66667 2823,333 0,994131
18 30 1,2 264 2940 36 2904 0,987755
19 32 1,538462 270,7692 3040 61,53846 2978,462 0,979757
20 34 1,851852 277,037 3140 92,59259 3047,407 0,970512
21 36 2,142857 282,8571 3240 128,5714 3111,429 0,960317
22 38 2,413793 288,2759 3340 168,9655 3171,034 0,949412
23 40 2,666667 293,3333 3440 213,3333 3226,667 0,937984
24 42 2,903226 298,0645 3540 261,2903 3278,71 0,926189
25 44 3,125 302,5 3640 312,5 3327,5 0,914148
Для определения скорости движения шаров после удара в ячейки столбца F введена формула: =(B2*$D$2+$C$2*$E$2)/(B2+$C$2).
Начальная кинетическая энергия Е0 определяется в столбце
H: =(B2*$D$2^2+$C$2*$E$2^2)/2
Энергия после удара в столбце I : =((B2+$C$2)*F2^2)/2
Внутренняя энергия в столбце J: =H2-I2, коэффициент в K: = (H2-I2)H2 Меняя значения масс шариков и их скорости, наблюдаем изменения всех параметров.