Прототипы в 8 ЕГЭ по математике 2016 (профиль)
ПРОТОТИПЫ В8
1. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна . Найдите площадь боковой поверхности конуса.
2. Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 2. Найдите объём куба.
3. Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.
4. В правильной четырёхугольной призме ребро равно 15, а диагональ равна 17. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки , и .
5. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.
.6. В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер: , , . Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки , и .
7. В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер , , . Найдите синус угла между прямыми и .
8. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна . Найдите радиус сферы.
9. В кубе точка — середина ребра , точка — середина ребра , точка — середина ребра . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
10. Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 6. Какой станет площадь поверхности призмы, если все её рёбра увеличатся в три раза, а форма останется прежней?
11. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра.
12. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.
13. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 45. Найдите объем пирамиды.
14. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.
15. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен , а высота равна 2.
16. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 1,5 раза, а образующая останется прежней?
17. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.
18. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.
19. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60. Высота пирамиды равна 12. Найдите объем пирамиды.
20. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 12. Найдите объем пирамиды.
21. Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна и образует с плоскостью этой грани угол 45. Найдите объем параллелепипеда.
22. В цилиндрический сосуд налили 6 куб. см воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см.
23. Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.
Вариант 1 Вариант 2
1. Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 26. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.
2. В цилиндрический сосуд налили 10 куб. см воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,9 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см.
3. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60. Высота пирамиды равна 21. Найдите объем пирамиды.
4. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 15. Найдите объем пирамиды.
5. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 21. Найдите объем шестиугольной пирамиды.
6. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен , а высота равна 3.
7. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 2, объем равен 156. Найдите боковое ребро этой пирамиды.
8. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 8, а угол между боковой гранью и основанием равен 45. Найдите объем пирамиды.
9. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 3.
10. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 1. Площадь боковой поверхности призмы равна 24. Найдите высоту цилиндра.
11. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна . Найдите радиус сферы.
12.. В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер , , . Найдите синус угла между прямыми и
13. В кубе точка — середина ребра , точка — середина ребра , точка — середина ребра . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
14. Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 35. Найдите объём куба.
15. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 84. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.
16. В правильной четырёхугольной призме ребро равно 14, а диагональ равна 50. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки , и . 1. Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 28. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.
2. В цилиндрический сосуд налили 10 куб. см воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 2,3 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см.
3. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60. Высота пирамиды равна 3. Найдите объем пирамиды.
4. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 48. Найдите объем пирамиды.
5. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 8. Найдите объем шестиугольной пирами
6. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен , а высота равна 7.
7. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, объем равен 112. Найдите боковое ребро этой пирамиды.
8. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 9, а угол между боковой гранью и основанием равен 45. Найдите объем пирамиды.
9. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9.
10. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Площадь боковой поверхности призмы равна 32. Найдите высоту цилиндра.
11. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна . Найдите радиус сферы.
12. В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер , , . Найдите синус угла между прямыми и .
13. В кубе точка — середина ребра , точка — середина ребра , точка — середина ребра . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
14. Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 21. Найдите объём куба.
15. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 88. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.
16. В правильной четырёхугольной призме ребро равно 15, а диагональ равна 25. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки , и .